Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Christian Barth & Christian Benz 2. Juni 2005 1 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung – einfache eindimensionale Probleme 1.1 Elektromagnetische Wellen & Photonen . . . . . . . . . . 1.1.1 Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz . . 1.1.2 Ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Materie–Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Freies Teilchen (V = 0) . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Zusammenhang zwischen Ψ(x,t = 0) und g(x) . . . 1.3.3 Zeitliche Entwicklung eines Freien Wellenpaketes . 1.4 Zeitunabhängiges Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Separation der Variablen ~r, t, stationäre Zustände 1.4.2 Stufenpotentiale (qualitativ) . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Stufenpotentiale (quantitativ) . . . . . . . . . . . . 1.4.4 Beispiel: Stufe bei x0 = 0 E > V0 . . . . . . . . . 1.4.5 Stufe E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.6 Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 5 6 7 7 7 8 9 10 10 11 14 15 16 17 . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 23 24 26 26 26 27 27 28 29 29 30 . . . . . . 33 33 35 35 36 37 37 4 Der Harmonische Oszillator (HO) 4.1 Einführung – H.O. in der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Analytische Lösung der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Mathematische Hilfsmittel 2.1 Wellenfunktionen als Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Zustandsraum F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Orthonormierte Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Ebene Wellen und andere verallgemeinerte Basiszustände 2.2 Dirac–Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 ket“ und bra“ liefert Bracket . . . . . . . . . . . . . . . ” ” 2.2.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Hermitisch konjugierter (= ˆ adjungierter) Operator . . . . 2.3 Darstellungen im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eigenwert–Gleichungen / Observablen . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Eigenwerte / Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Postulate der Quantenmechanik 3.1 Allgemeine Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Schrödinger Gleichung / allgemeine Resultate . . . . 3.2.1 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit . . . . . . . 3.2.2 Wahrscheinlichkeitsdichten und Ströme . . . 3.2.3 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten 3.2.4 Zeitliche Entwicklung von Zuständen . . . . . Seite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 4.3 4.4 Seite 4.2.2 H.O. Algebraische Lösung . . . . . . . . . . . . . . Diskussion der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Qualitativer Beitrag zum Grundzustand . . . . . . Dreidimensionaler Harmonischer Oszillator in kartesischen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinaten . . . . . 41 45 45 45 45 3 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Literaturangaben • Cohen–Tannoudji, Diu, Laloë (Grundlage dieser Vorlesung) • Landau Lifshitz (knapp) • Messiah (ausführlich) • Dawydow (Viele Anwendungsbeispiele) • Nolting Band 5 (O–Ton: billig“) ” • Schwabl Historische Entwicklung (1900–1925/27) Planck → Heisenberg / Schrödinger Kopenhagener Interpretation“ ” Dualität zwischen Wellenbild und Teilchenbild fürs Photon Dualität zwischen Wellenbild und Teilchenbild fürs Elektron Doppelspalt Experiment Seite 4 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 1 Einführung – einfache eindimensionale Probleme • Die Quantenmechanik findet in fast allen Gebieten der Physik Verwendung • Die Stabilität der Materie beruht auf der Quantemechanik • Diskrete Atomniveaus ⇒ diskrete Übergangsenergie → Farben • Halbleiter: Bändermodell • Kernphysik: Statistischer Charakter des radioaktiven Zerfalls • Verschränkte Zustände: EPR–Paradoxon (Einstein, Podolski, Rosa) • Verknüpfung von QM & Relativitätstheorie ⇒ Existenz von Antiteilchen 1.1 Elektromagnetische Wellen & Photonen 1.1.1 Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz Planck: E = hf = ~ω h h = 6,62 · 10− 34Js Wirkungsquantum“ ” 2π R t2 Erinnerung: Wirkung ≡ t1 p(t) · q̇(t)dt ~= Später: Energie–Differenz von Atomniveaus = ~ωPhoton entsprechend: Impuls ↔ Wellenlänge Compton–Streuung γ + e → γ + e (mit anderen Impulsen) Impulserhaltung: p~ = ~ |{z} k |{z} Impuls 2π/λ 1.1.2 Ausbreitung Intensität (Energiedichte / Zeiteinheit) I(x) ∼ |E(x)|2 Beitrag der durch den Spalt 1 bzw. 2 fallenden Welle E(x) = E1 (x) + E2 (x) I ∼ |E1 (x) + E2 (x)|2 = I1 (x) + I1 (x) + 2E1 (x)E2 (x) | {z } Interferenzterm Entsprechender Ansatz für Wellenfunktion: I(x) ⇒ Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Schirm. Die Bahn eines einzelnen Photons kann nicht vorhergesagt werden. Anmerkungen • Superpositionsprinzip E1 (x), E2 (x) sind Lösungen der Maxwell–Gleichungen ⇒ E(x) = λ1 E1 (x) + λ2 E2 (x) ist ebenfalls Lösung, denn E genügt linearen DGL! (gilt auch für Wellenfunktion Ψ in der QM) Seite 5 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 • I(x) = Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine große Zahl von Photonen ist erforderlich für Interferenzmuster. • Wichtiger Unterschied: Elektrisches Feld ist reell. Gelegentliche Beschreibung durch komplexe Zahlen: < Eeiωt =E ˆ cos ωt QM: <[Ψ] und =[Ψ] sind wesentlich 1.1.3 Spektralzerlegung Polarisiertes Licht mit Ausbreitungsrichtung ~ez fällt auf Analysator A Klassisch: P polarisiert Licht in ~eP Richtung E(~r,t) = E0~eP ei(kz−ωt) Intensität E02 hinter P Intensität hinter A: E 0 (~r,t) = E00 ~ex ei(kz−ωt) , wobei E00 = E0~ex~eP = E0 cos θ IA = E002 = E02 cos2 θ QM: Photon wird in Analysator gestoppt (Wahrscheinlichkeit = sin2 θ) oder durchgelassen (Wahrscheinlichkeit = cos2 θ) ⇒ 2 mögliche Resultate. (klassisch: Welle wird geschwächt) Nach A würde das Photon weitere Analysatoren (bezüglich x–Richtung) sicher durchlaufen: Nach A ist es im Eigenzustand zu A“. ” Es gibt hier zwei Eigenzustände mit Polarisation ~ex und ~ey . Für diese ist das Messresultat in A sicher. Jeder Zustand kann in Eigenzustände von A zerlegt werden: ~eP = cos θ~ex + sin θ~ey elektromagnetisches Feld • I(x) ∼ |E(x)|2 Seite 6 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 • Überlagerungsprinzip E1 , E2 Lösung ⇒ E = λE1 + λE2 E ist Lösung • Spektralzerlegung Jeder Zustand mit Polarisation ~eP kann in Eigenzustand ~ex und ~ey zerlegt werden. 1.2 Materie–Wellen Übertragung der Dualität von Wellen und Teilchen auf Teilchen mit Masse m 6= 0 (de Broglie) . . . Schrödinger 1. Klassische Trajektorie x(t) ⇒ Zeitlich veränderliche Wellenfunktion Ψ(~r,t) 2. Wahrscheinlichkeitsdichte = |Ψ(~r,t)|2 (Kopenhagener Interpretation), das Teilchen am Ort ~r zur Zeit t zu finden. R ⇒ Normierung |Ψ|2 dV = 1 3. Klassische Bewegungsgleichung ⇒ Schrödingergleichung 2 ~ − 2m ∆Ψ(~r,t) + V (~r,t)Ψ(~r,t) = i~∂t Ψ(~r,t) Lineare, partielle DGL, homogen ⇒ Überlagerungsprinzip erster Ordnung in t Anfangswertproblem: Ψ(~r,t)|t0 legt Ψ(~r,t) ∀ t fest. 1.3 Wellenpakete 1.3.1 Freies Teilchen (V = 0) ~2 ∆Ψ(~r,t) = i~∂t Ψ(~r,t) 2m DGL mit konstanten Koeffizienten. ~ Ψ~k (~r,t) = Aei(k~r−ωk t) ebene Welle, A, ~k beliebig − ~2 (1) 2 p ~ k ωk = ~2m ; (=E ˆ = 2m ) 2 2 |Ψ| = |A| konstant ⇒ nicht integrierbar Lineare DGL: jede Überlagerung von Lösungen mit verschiedenen k ist Lösung. Normierbare Überlagerung von ebenen Wellen ⇒ Wellenpaket Z dk (2π) 3 2 ~ g(~k)ei(k~r−ωk t) = Ψ(~r,t) (2) ist Lösung von (1). Seite 7 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Bei fester Zeit t (= 0 per Konvention) g(~k) = Fouriertransformation von Ψ(~r,t = 0) Z d~r ~ ~ i~k~r = Ψ(~r,t = 0) g(k) = 3 g(k)e (2π) 2 (3) Zu einer festen Zeit t(= 0) kann zu Ψ(~r,0) immer die Fouriertransformation angegeben werden. Gleichung (2) legt dann Ψ(~r,t) ∀ t fest. (Bei Anwesenheit eines Potentials gilt 2~ k2 aber nicht mehr E = ~ωk = ~2m ) Zeitliche Entwicklung eines Wellenpaketes: ⇒ elektromagnetische Welle im Vakuum ω = ck (f = c/λ) – lineares Dispersionsprinzip ⇒ Form des Wellenpakets bleibt erhalten. Im Medium oder in Halbleitern: ω(k) ist Funktion von k ⇒ Wellenpaket wird verformt. vP haseng. = ω(k) vGruppeng. = dω k dk 1.3.2 Zusammenhang zwischen Ψ(x,t = 0) und g(x) Frage: Breite“ von Ψ(x,0)und g(k) ” Ansatz oBdA: g(x) = |g(x)| e|α(k) | {z } {z } Betrag Phase Annahmen: 1. g ist glatt, und nur im [k0 − wesentlich von 0 verschieden ∆k 2 ; k0 + ∆k 2 ] 2. α(k) variert nur wenig in diesem Bereich: ⇒ daher Taylor: α(k) = α(k0 ) + (k − k0 ) dα |k=k0 dk |{z} =−X0 Konsequenz für Ψ(x,0) Z dk ikx e 2π Z z }| { dk √ · |g(k)|ei[α(k0 )−(k−k0 )x0 +k0 x − k0 x +kx] 2π Ψ(x, t = 0) = erweitert = Seite 8 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 =⇒ Ψ(x, t = 0) = ei[αk0 +k0 x] R √dk |g(k)|ei[k−k0 ][x−x0 ] 2π • Falls x = x0 dann e(··· ) = 1 ⇒ |Ψ| ist maximal • Für |x − x0 | ⇒ |Ψ| ist klein 1 ∆k : → nur positive Beiträge viele Oszillationen innerhalb des Integrationsgebiet −→ Auslöschung für: (x − x0 )∆k 1 −→ Maximum des Wellenpakets im Ortsraum bei: x0 = −[ dα dk ]k−k0 (Methode der stationären Phase) −→ Breite im Ortsraum: 1 ∆x ∼ ∆k Physikalische Bedeutung / Nutzen p = ~k =⇒ Zusammenhang zwischen Breite der Verteilung im Ortsraum: dN = |Ψ(x, 0)|2 dx R p 2 √1 und der Breite im Impulsraum: dN dpΨ̃(p,0)ei ~ dp = |Ψ̃(p, =)| mit: Ψ(x,0) = 2π~ 1.3.3 Zeitliche Entwicklung eines Freien Wellenpaketes ebene Welle: Ψ(x,t) = ei(kx−wt) mit ω = ω(k)vPhase = vϕ (k) = ω |k| em Welle im Vakuum: [ein Wellenpaket] Z ∞ −∞ dk √ g(k)ei(kx−ωt) = 2π Z = |0 Seite ∞ Z 0 dk dk √ g(k)ei|k|(x−ct) + √ g(k)ei|k|(x+ct) 2π 2π {z } | −∞ {z } f1 (x−ct) f2 (x+ct) 9 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 in QM: Z dk √ g(k)ei(α(ω)−ω(k)t) 2π also α(k) − ω(k)t statt α(k) wie vorhin xm ax(t) = − =⇒ Maximum verschiebt sich um: vgr = d (α(k) − ω(k)t) dk dω(k) dk |k0 t ~k0 dω p0 |x0 = = dk m m wie im klassischen, nur mit Ψ da (Funktion der Zeit breiter) 1.4 Zeitunabhängiges Potential 1.4.1 Separation der Variablen ~r, t, stationäre Zustände Schrödingergleichung: ~2 i~∂t Ψ(~r, t) = − ∆Ψ(~r, t) + | {z } | 2m Ableitung nach t Abhängigkeit von ~ r , nicht t z }| { V (~r) Ψ(~r, t) } {z Ableitung nach ~ r Ansatz: Ψ(~r, t) = ϕ(~r) · χ(t) ⇒ 1 i~∂t χ(t) χ(t) | {z } Funktion von t, unabhängig von ~ r ⇒const. ≡~ω 1 = ϕ(~r) | ~2 − ∆ϕ(~r) + V (~r)ϕ(~r) 2m {z } Funktion von ~ r unabhängig von t 1. Lösung für x(t): i~ ∂ x(t) = ~ωx(t) ∂t x(t) = Ae−iωt ~2 − ∆ + V (~r) ϕ(~r) = ~ωϕ(~r) 2m Planck-Einstein, ~ωϕ(~r) Seite 10 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 ~2 − 2m ∆ + V (~r) ϕ(~r) = Eϕ(~r) ← : Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung Eigenwert-Gleichung eines linearen Operator mit: E = Eigenwert ϕ = Eigenfunktion Ψ(~r, t) = ϕ(~r) · e−iωt : stationärer Zustand. |Ψ(~r, t)|2 ist unabhängig von der Zeit. Schrödinger–Gleichung ⇒ Zeitentwicklung der Wellenfunktion Ψ Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung ⇒ stationäre Zustände und deren Energien. Im Allgemeinen gibt es mehrere Lösungen Hϕn (~r) = En ϕn (~r), stationäre Zustände: Ψ(~r, t) = eiEn t/~ ϕn (~r) Dann ist Ψ(~r, t) = X cn ϕn (~r)eiEn t/~ (4) 1 Lösung der Schrödinger Gleichung. |Ψ(~r, t)|2 ist im Allgemeinen zeitabhängig, Beispiel: c1 = c2 = 1 E2 t E1 t |Ψ|2 = ϕ1 e−i ~ + ϕ2 e−i ~ = |ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 + Interferenzterm (ist zeitabhänig) Später: Jede Lösung der Schrödinger-Gleichung kann auf die Form (5) gebracht werden. 1.4.2 Stufenpotentiale (qualitativ) Idealisierung von Grenzflächen Seite 11 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 klassisches Teilchen: läuft von links nach rechts über die Stufe, solange E > V0 . oder wird reflektiert für E < V0 Stationäre Schrödinger–Gleichung ~2 d 2 + V (x) ϕ(x) = Eϕ(x) − 2m dx2 2 d 2m (E − V (x)) ϕ(x) = 0 dx2 ~2 Analogie zur Optik: Ansatz für elektrisches Feld: ~ r, t) = ~eE(x)e−iωt E(~ Wellengleichung im Medium: d2 n2 d 2 − dx2 c2 dt2 2 d + dx2 E(x)e−iωt = 0 n2 ω 2 c2 E(x) = 0 für große n → kleine Phasengeschwindigkeit 2 2 Analogie in QM: 2m (E − V )= ˆ n c2ω ~2 transparent Glass n2 >0 ⇔ Medium, z.B. <0 totalreflektierendes Metal ( √ e±ikx k = ωc √ n2 n2 > 0 Ausbreitung: e±i%x % = ωc n2 n2 < 0 Beispiele: Stufe : Seite 12 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Brechungsindex: n1 = n2 = E > V0 c √ 2mE ~ω c p 2m(E − V0 ) ~ω =⇒ n21 > n22 > 0 Teilchenreflexion an der Grenzschicht zwischen zwei Medien. klassisch: Teilchen läuft langsam weiter. V0 > E > 0 n21 > 0; p c 2m(V0 − E) n2 = i ~ω n22 < 0 Totalrefexion, aber Eindringen in die Grenzschicht. Barriere : Optik: Welle dringt von (1) nach (2) ein, wird dort gedämpft (ein Teil wird auch reflektiert), läuft bis zum rechten Rand, und dort zum Teil weiter. Topf : Seite 13 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 klassisch: beliebige Energien sind zulässig Optik: oszillierende Wellen im Bereich (2) Dämpfung im Bereich (1), (3), stehende Wellen nur für diskrete Werte von k. E > O klassisch: teilweise Transmission jedoch keine Reflektion bei: Luft|Glas|Luft 1.4.3 Stufenpotentiale (quantitativ) 2 d 2m Ausgangspunkt: dx + (E − V (x)) ϕ(x) = 0 2 ~2 V stückweise konstant. 1. E > V ϕ(x) = Aeikx + A0 e−ikx A, A’ komplex, beliebig ~2 k 2 2m =E·V 2. E < V ϕ(x) = Be%x + Be−%x mit 3. E = V ϕ(x) = c + c0 x (~%)2 2m =V −E Anschlussbedingungen bei der Sprungstelle: 1. ϕ ist stetig an der Sprungstelle 2. Ψ ist stetig an der Sprungstelle 3. d2 Ψ(x0 dx2 + ε) − d2 Ψ(x0 dx2 − ε) = 2m ~2 (V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) ϕ(x0 ) Ersetze den Sprung durch glatten Übergang in einem Intervall < −ε,ε > Seite 14 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 integriere die Schrödinger Gleichung von x0 − ε bis x0 + ε Z dx d2 dx2 Φ(x) x0 −ε x0 +ε x0 +ε = 2m ~2 Z dx (Vε (x) − E) {z } | beschränkt lim ε→0 Φ(x) | {z } sei beschränkt x −ε 0 d d Φ(x0 + ε) − Φ(x0 − ε) = 0 dx dx 1. Ableitung ist stetig (gilt nicht bei ∞ hoher Barriere) 2. =⇒ Funktion Φ ist stetig 3. Schrödinger Gleichung: (plus Terme O(ε)) d2 ϕ(x0 dx2 + ε) − d2 ϕ(x0 dx2 − ε) = 2m ~2 (V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) ϕ(x0 ) ∆V ist limε→0 (V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) = 2m ∆V (x0 )ϕ(x0 ) ~2 ist automatisch erfüllt, wenn (1), (2) gilt und k, % korrekt gewählt werden. Wenn Barriere ∞ hoch ist ⇒ ϕ stetig; verschwindet im verbotenen Bereich. Anschlussbedingung: ϕ(x0 ) = 0 1.4.4 Beispiel: Stufe bei x0 = 0 in (1): in (2): Seite k1 = k2 = q 2mE ~2 q 2m(E−V0 ) ~2 −→ E > V0 Φ1 (x) = A1 eik1 x + A01 e−ik1 x −→ Φ2 (x) = A2 eik2 x + A02 e−ik2 x 15 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 1. A1 + A01 = A2 + A02 2. k1 (A1 − A01 ) = k2 (A2 + A02 ) 3. folgt aus (1),(2) (nachrechnen!) 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten =⇒ ? • Normierung ist irrelevant, bleibt unbestimmt. Entweder nur Verhältnisse: oder wir setzen A1 = 1 • in (2) nur auslaufende Welle ⇒ A02 = 0 A2 A1 ; A02 A01 Randbedingung In (1) einlaufende und auslaufende Welle (= reflektierte Welle) (1),(2)(A02 = 0) ⇒ Wähle A ≡ 1 ( ϕ(x) = A01 A1 A2 A1 = = k1 − k2 , k1 + k2 2k1 , k1 + k2 2 −ik1 x eik1 x + kk11 −k x<0 +k2 e 2k1 ik x 2 x>0 k1 +k2 e 2 2 Reflexionskoeffizient: R = kk11 −k +k2 1 2 k2 Transmissionskoeffizient: T = k12k +k2 · k1 = 4k1 k2 (k1 +k2 )2 [bild] k1 k2 = ˆ Verhältnis der Geschwindigkeiten R+R=1 (k1 −k2 )2 (k1 +k2 )2 + 4k1 k2 (k1 +k2 )2 =1 1.4.5 Stufe E < V0 q =⇒ k2 → i%2 = i 2m(V~02−E) Φ2 = B2 e%2 x + Φ2 = B20 e−%2 x Forderung: B2 = 0 wegen expotentiellem Abfall im verbotenen Bereich. Lösung wie oben mit k2 → i%2 , ( −i%2 −ik1 x eik1 x + kk11 +i% e x<0 2 ϕ 2k1 −% x 2 x>0 k1 +i%2 e Transmission = 0; Seite ϕ → 0 für x → +∞ 16 ; ··· Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2 2 R = kk11 −i% +i%2 = 1; k1 −i%2 k1 +i%2 = e−2iδ δ = arctan k%21 1.4.6 Potentialtopf −V0 < E < 0 φ1 = B1 e%x + 6 B10 e−%x φ3 = 6 B3 e%x + B30 e−%x φ2 = A2 e%x + A02 e−%x mit: r %= v u −2mE u k=t (V0 + E) ~2 | {z } −2mE ~2 >0 R 1 Teilchen: ⇒ quadratintegrable Lösung B3 = 0 dx |Φ(x)|2 = 1 B10 = 0 4 Konstanten - 1 Normierung - 4 Anschlussbed.: ⇒ System ist überbestimmt, hat nur Lösung für bestimmte diskrete E bzw % oder k. Anschlussbedingungen: bei x = − a2 , Seite a B1 e−% 2 ϕ stetig ϕ0 stetig %B1 e−% 2 a a a = A2 e−ik 2 A02 e+ik 2 a a = ikA2 e−ik 2 − ikA02 eik 2 17 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 A2 A02 A2 A02 = identisch für % → −% ik+% ik−% ik + % (ik−%) a 2 = B1 e 2ik ik − % (−ik−%) a 2 = B1 e 2ik A2 A02 eika = ik−% ik+% e−ika bei y = + a2 (5) a → −a a) Normierung bleibt zunächst unbestimmt b) Gleichung Gl. (5) und Gl. (5) können zusammen nur für bestimmte Energien 2 ik−% erfüllt werden: =⇒ = e2ika ik+% Eigenwert–Gleichung für E bzw. r −2mE k= (V0 + E) ~2 r %= −2mE ~2 Zwei Lösungssystem: ik − % = ik + % eika −eika ka 2 = arctan k% Potentialtopf E < 0 Nur beschränkte Zahl von Lösungen. Ansatz: Seite ϕ1 = B1 e+%x ϕ3 = B2 e−%x ϕ2 = A2 eikx + A02 e−ikx x < − a2 x > a2 − a2 < x < a 2 18 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 4 Anschlussbedingungen für B1 , B2 , A2 , A02 Zunächst nur Verhältnisse festgelegt ⇒ System überbestimmt ⇒ Gleichung für E; Anschluss bei x = − a2 : A2 A02 = ik+% ik−% eika x = a2 : A2 A02 = ik−% ik+% e−ika ik−% ik+% 2 = e2ika q q 2m (V + E) , % = (−E) Eigenwert–Gleichung für E mit k = 2m 0 ~2 ~2 Aus der Form ik − % 2 2ika ·e =1 ik + % 2 sieht man, dass A = ±1 ist. A02 ⇒ Zwei Lösungssysteme: Gerade und ungerade. ik − % = +eika und − eika ik + % Etwas trickreiche Algebra für den ersten Fall (+eika ): k + i% = e2iθ k − i% | {z } Betrag =1 mit tan θ = k% ; oder θ = arctan k% e2iθ = eika eiθ = eika/2 ka % = θ = arctan 2 k % k = tan ka 2 Umformung: 1 cos2 Mit k0 = Seite 2mV0 %2 k 2 + %2 k2 ka ~2 =1+ 2 = = = 02 2 2 2 k k k k 2mV0 ~2 cos ka = 2 ka 2 = 1 + tan2 k k0 tan ka 2 >0 gerade Lösung 19 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 ik−% Aus ik+% = eika folgt: sin ka = k tan ka 2 k0 2 <0 ungerade Lösung 0 0 Für diese Wahl von k0 gibt es 32 Lösungen vom Typ G U . Aus k folgen dann A2 , A2 , B1 , B3 . Mit wachsendem k0 ; (V0 ) erhalten wir immer mehr Lösungen und die Werte für k liegen approximativ bei n( πa ). Für V0 → ∞: unendlich tiefer Topf 1 nπ 2 kn = n( πa ); En = 2m (a) Für beliebig kleine k0 gibt es immer noch eine Lösung. (Schnittpunkt mit cos) Seite 20 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2 Mathematische Hilfsmittel Wellenfunktion Φ(x, t) ist sehr spezielle Beschreibung eines Systems. |Ψ|2 ⇒ Verteilung als Funktion von x |Ψ̃|2 ⇒ Verteilung als Funktion von p Alternativ: Angabe von En für gebundenen Zustand, oder: Mehrere En und relative Amplitude falls ÜBerlagerung verschiedener Energie-Eigenzustände vorliegt. Im Allgemeinen viele Möglichkeiten (Messgrößen, Observable) für die Charakterisierung. Umgekerht gibt es verschiedene Möglichkeiten die gleiche Messung zu beschreiben: Z.B.: Erwartungswert des Impulses: Z Z ~δx ? ? hpi = dp Ψ̃ (p)pΨ̃(p) = dx Ψ (x) Ψ(x) i Ziel: Abstrakte Beschreibung eines Zustandes (statt Bahnkurve in klassischer Mechanik) als Element eines Vektorraumes (genauer: eines Hilbertraumes) und der Messgröße (≡ Observable) durch hermitische (genauer: selbstadjungierte) Operatoren unabhängig von einer Basis. Die Messung entspricht Matrixelement dieses Operators. 2.1 Wellenfunktionen als Zustandsraum 2.1.1 Zustandsraum F { Quadratintegrable Funktion } ≡ L2 Hier oft zusätzliche Einschränkungen, abhängig vom Problem (z.B. stetig, differenzierbar, beschränkt oder nur in einem Intervall 6= 0, . . . ) F = { genügend reguläre Funktionen ∈ L2 } • F linearer Raum → Superpositionsprinzip Ψ1 , Ψ2 , ∈ F ⇒ Ψ = λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ∈ F da |Ψ|2 ebenfalls quadratintegrabel. Beweis: |Ψ|2 = |λ1 |2 |Ψ1 |2 + |λ2 |2 |Ψ2 |2 + 2<{λ1 λ?2 Ψ1 Ψ?2 } | {z } < |λ1 λ2 |2 (|Ψ1 |2 |Ψ2 |2 ) ⇒ R R dx |Ψ|2 < |λ1 |2 dx |Ψ1 |2 + . . . • Skalarprodukt (ϕ, Ψ) ≡ R d~r ϕ? (~r)Ψ(~r) Es gilt (ϕ, Ψ)? = Ψ, ϕ) n o n o linear → (ϕ, Ψ) ist antilinear bezüglich Ψ ϕ d.h. (ϕ, λΨ) = λ(ϕ, Ψ); (λϕ, Ψ) = λ? (ϕ, Ψ) Falls (ϕ, Ψ) = 0 ≡ ϕ, Ψ sind orthogonal Ferner: (ϕ, Ψ) = 0 ⇔ Ψ = 0 1 (ϕ, Ψ) 2 = Normierung = kΨk Seite 21 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Schwarzsche Ungleichung |(Ψ1 , Ψ2 )| ≤ kΨ1 k · kΨ2 k Beweis: Betrachte Ψ1 kΨ1 k + Ψ2 kΨ2 k 2 ≥0 • Lineare Operatoren: Lineare Abbildung A : ϕAΨ mit Ψ, ϕ ∈ F A (λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ) = λ1 AΨ1 + λ2 AΨ2 Beispiele: – Ortsoperator X = ˆ Multiplikation der Wellenfunktion im Ortsraum mit x X Ψ(x, y, z) = xΨ(x, y, z) – Ableitungsoperator: Dx Ψ(x, y, z) = d Ψ(x, y, z) dx – Paritätsoperator: Π Ψ(x, y, z) = Ψ(−x, −y, −z) – Hamiltonoperator: H Ψ(x, y, z) = − ~∆ + V (x, y, z) Ψ(x, y, z) 2m Anmerkung: Der A ist i.A. nicht für alle Zustände definiert, Bsp p a Operator 1 dazu: Ψ(x) = 2 a+|x| R R dx |Ψ(x)|2 = 1 aber dx Ψ? (x)Ψ(x)x – Produkt: AB definiert durch (AB)Ψ = A(BΨ) i.A.: AB 6= BA [AB] = AB - BA Bsp: [x, Dx ] d d d d [x, Dx ] Ψ(~r) = x − x Ψ = x Ψ − (xΨ) dx dx dx dx = −Ψ ~Dx → [x, Dx ] = −1 oder [x, ] = i~ i } | {z p [x, p] = i~ Seite 22 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2.1.2 Orthonormierte Basis • Vektor wird charakterisiert durch seine Komponenten bezüglich orthonormaler Basis {ui } ui (~r) ∈ F i = 1 . . . n (oder eventuell ∞) (ui , uj ) = δij ⇔ orthonormiert {ui } ist Basis“, wenn jedes Ψ ∈ F geschrieben werden kann als ” P r)). Ψ(~r) = ∞ i (ci ui (~ • Berechnung der ci : ausführliche Schreibweise X Ψ(~r) = ci ui (~r) Kurznotation P Ψ = i ci ui i Z d~r u?j (~r)Ψ(~r) = X i Z Z ci d~r u?j (~r)ui (~r) (uj , Ψ) = {z } | P i ci (uj , ui ) | {z } δij δij d~r u?j (~r)Ψ(~r) = cj (uj , Ψ) = cj • Skalarprodukt in Komponentenschreibweise ϕ= X Gi ui (~r); i ausführlich kurz X P P Ψ(~r) = cj uj (~r) ϕ = i Gi ui ; Ψ = j cj uj j Z d~r ϕ? (~r)Ψ(~r) = X G?i ci (ϕ, Ψ) = P i Gi vi i speziell (Ψ, Ψ) = 2 i |ci | P Analogie zu Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 in R3 ist offensichtlich. • Vollständigkeitsrelation: Jede Funktion Ψ(~r) ∈ F kann dargestellt werden in der Form Seite 23 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Ψ(~r) = X ci ui (~r) Ψ= P i ci ui i = Z X i P dr~0 u?i (r~0 )Ψ(r~0 ) ui (~r) = i (ui Ψ) ui {z } | | {z } =ci Z dr~0 Ψ(r~0 ) |i ⇒ ? r )u (r ~0 ) i i ui (~ P =ci X ui (~r)ui (r~0 ) = {z P i ui ui =1 } δ(~ r −r~0 ) = δ(~r − r~0 ) 2.1.3 Ebene Wellen und andere verallgemeinerte Basiszustände (nur eindimensional) 1 eipx/~ nicht normierbar; p= ˆ Index Ebene Welle: vp (x) ≡ √2π~ Zerlegung eines Wellenpaketes nach ebenen Wellen = ˆ Entwicklung nach Basis {vp } Fourier–Transformation: Z dp √ Ψ̃(p)eipx/~ 2π~ Z = dp Ψ̃(p) vp |{z} | {z } |{z} Ψ(x) = = ˆ P i =c ˆ i =u ˆ i ⇒ Darstellung des Vektors Umkehrung: Z Ψ̃(p) = | {z } ci dx √ Ψ(x)e−ipx/~ 2π~ Z = dx vp? Ψ(x) | {z } =(u ˆ i ,Ψ) ⇒ Berechnung der Koeffizienten Parseval’sche Gleichung Z ? Z dp Ψ̃? (p)Ψ̃(p) X 2 (Ψ, Ψ) = |ci | dx Ψ (x)Ψ(x) = i Seite 24 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Vollständigkeit: ? 0 i ui (x)ui (x ) P = δ(x0 − x) Hier: Z dp eipx/~ √ 2π~ Orthonormiertheit: (vp , vp0 ) Z ! 0 e−ipx /~ √ 2π~ ! = δ(x0 − x) dx −ipx + ip0 x ~ = δ(p − p0 ) e ~ 2π~ in Analogie zu δij Entsprechendes gilt für den Ortsraum mit der verallgemeinerten Basis {ξx0 (x)} mit ξx0 (x) = δ(x − x0 ) Aufgabe: Entwickle ξx0 (x) bezüglich vp und umgekehrt vp bezüglich ξx0 (x). Wie lauten Vollständigkeitsrelationen und Orthonormiertheit für {ξ}? Verallgemeinerung auf beliebige konstante Basis {Wα } (W − α0 ) orthonormiert R α , Wα0 ) = δ(α ? 0 0 dα Wα (x)Wα0 (x ) = δ(x − x )) vollständig gemischte Basis (Bindungs– und Streuzustände) {ui , wα } ; i diskret, α kontinuierlich (ui , uj ) = δij (wα , wα0 ) = δα−α0 (ui , wα ) = 0 Vollständigkeit: X 0 ui (x)u+ i (x ) Z + dα wα (x)wα? (x0 ) = δ(x − x0 ) i Seite 25 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2.2 Dirac–Notation 2.2.1 Einführung Zustand eines Teilchens kann charakterisiert werden durch Ψ(~r) oder durch Komponenten bezüglich einer Basis. Basis ui (~r) vp~ (~r) ξ(r~0 ) wEn (~r) Index i p~ r~0 n Komponenten ci Ψ̃(~r) Ψ(r~0 ) cn Ψ(~r) P R u ci ui (~r) p Ψ̃(~ p)vp~ (~r) R d~ dr~ Ψ(r~0 )ξr~0 (~r) P 0 r) n cn wEn (~ Analogie zum Vektor in R3 : a1 X ~a = a2 = ai~ei i a3 Bezeichnung allgemein Impulsdarstellung Orstdarstellung Energiedarstellung für gebundene Zustände bezüglich Basis ~e1~e2~e3 Basiswechsel: neue Basisvektoren: ~ei = O |{z} e~0i orthongonale Matrix ~a = 0 ~0 i ai ei P wobei a0j = ~0 ~i ) i ai (ej , e P = ~0 ~0 i ai ej O ei P | {z } Oij ~a hat Bedeutung unabhängig von Basis. ~a · ~b liefert das gleiche Resultat in jeder Basis. 2.2.2 ket“ und bra“ liefert Bracket ” ” Abstrakte Beschreibung eines Zustandes ohne Bezug auf Wellenfunktionen. a) ket“ ≡ Element der Zustandsumme symbolisiert durch ha| charakterisiert den Zu” stand ohne Bezug auf Basis. b) bra“: Zu jeder ket“ |ϕi gehört eine bra“ hϕ| die zusammen mit einer beliebigen ” ” ” ket“ |ϕi eine komplexe Zahl definiert: ” hϕ|Ψi = komlexe Zahl (entspricht dem Skalarprodukt wie in Abschnitt 2.1) Es gelten fogende Rechenregeln: hϕ|Ψi? = hΨ|ϕi hϕ|λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 i = λ1 hϕ|Ψ1 i + λ2 hϕ|Ψ2 i linear hλ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 |Ψi = λ?1 hϕ1 |Ψi + λ?2 hϕ1 |Ψi antilinear Seite 26 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2.2.3 Lineare Operatoren A|Ψi ist wieder ket“, |AΨi und hϕ|(A|Ψi) einerseits Skalarprodukt von hϕ| mit dem ” ket“ (A|Ψi), andererseits kann es als Matrix interpretiert werden. ” Beispiel für linearen Operator: Gegeben sei |Ψ1 i und hϕ1 | (fest gewählt). Dann definiert |Ψ1 ihϕ1 | einen linearen Operator auf beliebige ket“ |Ψi durch ” |Ψ1 ihϕ1 |Ψi Analogie für Vektoren: a1 .. . ; an b1 ba? = ... bn b1 .. : . bn a·b= X ai · bi Skalarprodukt i b1 a?1 b2 a?2 . . . . . . .. .. .. . . . a?n = ... . . . ? bn a1 . . . . . . bn a?n a?1 Projektor: Es sei hΨ|Ψi = 1 PΨ ≡ |ΨihΨ| Operator PΨ |ϕi = |Ψi hΨ|ϕi |{z} | {z } Richtung Gewicht Projektor auf 1 − P Unterraum. Es gilt PΨ2 = PΨ Es seienP|Ψ1 i . . . |Ψq i orthonormierte ket“, d.h. hΨi |Ψj i = δij für 1 ≤ ij ≤ q. Dann ” ist P = 1≤ij≤q |Ψj ihΨi | Projektor auf den durch |Ψ1 i . . . |Ψq i aufgespannten Raum. Zeige dass P 2 = P (Nachrechnen!) 2.2.4 Hermitisch konjugierter (= ˆ adjungierter) Operator A auf ket“ |Ψi liefert (A|Ψi); ist wieder ket“. ” ” Wirkung von A auf bra“ hϕ| (liefert bra“ hϕ|A ) ist festgelegt durch die Forderung: ” ” (hϕ|A) |Ψi = hϕ| (A|Ψi) ∀ Ψ Seite 27 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 und wir schreiben in Analogie zur Matrixnotation: (hϕ|A) |Ψi = hϕ| (A|Ψi) = hϕ|A|Ψi Der zu A adjungierte (hermitisch konjugierte) Operator A+ ist definiert durch hϕ|A+ |Ψi ≡ hΨ|A+ |ϕi? ∗ in Analogie zu Matrizen: (M + )ij = Mji |AΨi = A|Ψi Beachte: hAΨ| = hΨ|A+ A++ = A, Es gilt: (wie hλΨ| = λ∗ hΨ| ) (λA)+ = λ∗ A+ (AB)+ = B + A+ 2.3 Darstellungen im Zustandsraum Wahl einer Darstellung = ˆ Wahl einer normierten Basis Zustände werden dann dargestellt“ durch die Komponenten dieser Basis. ” Operatoren : Matrizen Zusammenstellung der wesentlichen Formeln (nur für diskreten Index): {|ui i} orthonormierte Basis P Jeder ket |Ψi kann geschrieben werden als |Ψi = i ci |ui i Es P gilt ∀ i : Pi = |ui ihui | ist Projektor. i Pi = 1 Beispiel: hϕ|Ψi = hϕ|1|Ψi = hϕ| X Pi |Ψi i = X hϕ|ui ihui |Ψi i ket |Ψi in der durch {|ui i} festgelegten Dastellung entspricht der einspaltigen Matrix: hu1 |Ψi c1 hu2 |Ψi c2 = .. .. . . bra hΨ| in der durch {|ui i} festgelegten Dastellung entspricht der einzeiligen Matrix: hΨ|u1 i hΨ|u2 i . . . = c?1 c?2 . . . Seite 28 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Operator A Aij = hui |A|uj i Produkt von A mit |Ψi : A|Ψi in der durch {|ui i} charakterisierten Basis. |Ψ0 i = A|Ψi X c0i = Aij cj j Basis–Wechsel = ˆ Wechsel der Darstellung“ ” Übergang von Basis {|ui i} zu Basis {|tk i} Regel wird festgelegt durch die Komponenten jedes der neuen Basisvektoren bezüglich der alten Basis. X |tk i = hui |tk i |ui i | {z } i Komponenten von tk bezüglich ui Sik ≡ hui |tk i Transformationsmatrix ∗ (S)+ ki = (Sik ) = htk |ui i S ist unitär: SS + = S + S = 1 Beweis: (SS + )ij = P iht | u i k hui |t | k{z k} j =1 • von ket: htk |Ψi = P +) ki • von bra: hϕ|tk i = P Sik i (S ∗ i bi = hui |uj i Neue Komponenten | {z } δij ci 2.4 Eigenwert–Gleichungen / Observablen 2.4.1 Eigenwerte / Eigenvektoren A|Ψi = λ |{z} |Ψi |{z} Eigenwert Eigenvektor 2 Fälle: λ ist einfacher Eigenwert ⇔ der zu λ gehörige Eigenvektor ist eindeutig festgelegt. λ ist g–facher Eigenwert ⇔ linear unabhängiger Eigenvektor zu λ : |Ψi i; i = 1 . . . g Diese spannen Eigenwertgleichung in bestimmter Darstellung A|Ψi = λ|Ψi ci ≡ hui |Ψi; hui |A P |{z} |u ihu | j P Aij cj = λci P (Aij − λδij ) cj = 0 | {z } j j PM j Seite j Aij = hui |A|uj i |Ψi = λhui |Ψi j ij cj =0 29 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Homogenes Gleichungssystem; hat nur Lösungen 6= 0 wenn Det (Aij − λδij ) = 0 Säkulargleichung“ ” Für N × N –Matrix ⇒ Gleichung N–ten Grades für λ ⇒ N Wurzeln, reell oder komplex, einfach oder vielfach. cj ist für festes λ Lösung der komplexen Gleichung. Für hermitische Operatoren gilt: Falls die Säkulargleichung die Wurzel λ n–fach hat, so gibt es n linear unabhängige Eigenvektoren zu λ. 2.4.2 Observable Im folgenden sei A hermitisch ⇒ Eigenwerte reell Denn es gilt: A|Ψi = λ|Ψi für Eigenvektor |Ψi hΨ|A|Ψi = λhΨ|Ψi λ? hΨ|Ψi = hΨ|A|Ψi? = hΨ|A+ |Ψi da A hermitisch = hΨ|A|Ψi = λhΨ|Ψi Ferner: A|ϕi hΨ|A|ϕi hϕ|A+ |Ψi? = |{z} Definition von A+ = |{z} hϕ|A|Ψi? = λ? hϕ|Ψi? A hermitisch λhΨ|ϕi ⇒ hΨ|A = λhΨ| = Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen orthogonal aufeinander. λ|Ψi; A|ϕi = µ|ϕi; λ 6= µ λhϕ|Ψi Wirkung nach rechts hϕ|A|Ψi = λhµ|Ψi Wirkung nach links ⇒ λ 6= µ ⇒ hϕ|Ψi = 0 A|Ψi = Endlich dimensionaler Raum, hermitische Matrix: {Eigenvektor} = Basis Hier: Forderung: Hermitischer Operator O dessen Eigenvektor eine Basis bilden ≡ Observable. D.h. Jeder Zustand kann entwickelt werden nach Eigenvektor von O. Bsp.: Hamilton Operator: Energie–Eigenzustände sind vollständig. Behauptung: Falls [A,B] = 0 ⇒ ∃ Orthogonale Basis mit Basisvektoren die simultan Eigenvektoren zu A und B sin Vollständiger Satz von Observablen A, B, C, . . . 1. Alle Operatoren vertauschen untereinander Seite 30 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 2. Das System der Eigenvektoren ist nicht mehr entartet, d.h. zwei Eigenvektoren zu A, B, C unterscheiden sich in wenigstens einem Eigenwert. Die Eigenvektoren sind eindeutig durch ihre Eigenwerte charakterisiert. Beispiel: Eindimensionales Potential x oder p x oder p kn oder Energie Eindimensionale Box [Bild] kn = nπ a Anmerkungen: • Wenn O mit allen Operatoren eines vollständigen Satzes von Operatoren vertauscht, so ist O eine Funktion dieser Operatoren. Beispiel: 1–dimensional [O, x] = 0, dann ist O eine Funktion von x. • Zustände ket (oder bra) werden oft durch die Eigenwerte eines vollständigen Satzes charakterisiert. |pi ebene Welle mit Impuls p |E1 i Grundzustand des Hamilton Operators (1–dim. Problem) |n,l,mi Energie–Eigenzustand mit En ∼ n2 , mit (Drehimpuls)2 = l(l + 1)~2 , und lz = m~ Impuls: {Eigenzustände |p0 i} = Basis; hp0 |p00 i = δ(p0 − p00 ) Impulsdarstellung: hp0 |ΨiΨ̃(p) Ort: {Eigenzustand: |xi} = Basis Ortsdarstellung: hx|Ψi = Ψ(x) hx|x0 i = δ(x − x0 ) Energie: {Eigenzustand |En i oder |ni} = Basis Energiezustand hEn |Ψi • Funktionen eines Operators: f (H) Entweder: Wähle Darstellung, in welcher A diagonal ist. hi|A|ji = ai δij = a1 a2 .. . an f (a1 ) 0 0 0 0 f (a ) 0 0 2 hi|f (A)|ji = f (ai )δij = . .. .. .. .. . . . 0 0 0 f (an ) P P Falls f (u) = n cn un , dann f (A) = n cn An Wichtige Beispiele: P sei Impulsoperator, a Konstante eiaP/~ Seite 31 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Impulsdarstellung: hp00 |eiaP/~ |p0 i = eiaP/~ δ(p00 − p0 ) Z hp0 |eiaP/~ |Ψi = dp00 hp0 |eiaP/~ |p0 ihp0 |Ψi = eiaP/~ Ψ̃(p0 ) Ortsdarstellung: X 1 a (a )n n! dx Zn X 1 a (a )n |x0 ihx0 |Ψi hx|eiaP/~ | |{z} Ψi = dx0 hx| n! dx n dx0 |x0 ihx0 | Z X 1 a = dx0 (a )n δ(x − x0 )Ψ(x0 ) n! dx n X 1 X 1 a (a )n Ψ(x) = an Ψ(n) (x) = n! dx n! n n a eiaP/~ = ˆ ea dx = R = Ψ(x + a) Hamilton–Operator in Orts– bzw. Impulsdarstellung H= p2 2m + V (x); p = Impulsoperator x = Ortsoperator • Ortsdarstellung d 2 ) δ(x0 − x00 ) dx0 V (x0 )δ(x0 − x00 ) Z dx00 hx0 |H|x00 ihx00 |Ψi Z d 2 1 dx00 [ (i~ ) + V (x0 )]δ(x0 − x00 )Ψ(x00 2m dx0 ~2 d 2 − ( ) + V (x0 ) Ψ(x0 ) 2m dx0 hx0 |P 2 |x00 i = (i~ hx0 |V (x)|x00 i = hx|H|Ψi = = = Seite 32 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 • Impulsdarstellung hp0 |P 2 |p00 i = p20 δ(p0 − p00 ) Z hp0 |V (x)|p00 i = dx1 dx2 hp0 |x1 i hx1 |V (x)|x2 i hx2 |p00 i | {z } | {z } | {z } Z = dx1 dx2 Vp0 (x1 )? δ(x1 − x2 ) Vp00 (x2 ) dx1 i(p00 −p0 )x1 /~ e V (x1 ) 2~π √ = Ṽ (p00 − p0 )/ 2π~ Z p20 dp0 hp0 |H |{z} |Ψi = Ψ̃(p0 ) + √ Ṽ (p00 − p0 )Ψ̃(p00 ) 2m 2π~ 0 0 = |p0 ihp0 | hp0 |H|Ψi = Ehp0 |Ψi Integralgleichung 3 Postulate der Quantenmechanik 3.1 Allgemeine Prinzipien Zwei Jahre Intensive Diskussion 1925/26 (Kopenhagener Interpretation) Klassisches mechanisches System: Zur Zeit t0 : Zustand festgelegt durch die verallgemeinerten Koordinaten qi (t0 ), pi (t0 ), Bewegung im Phasenraum. (Bild - beliebiger Zeitpunkt: qi (t), pi (t) aus den hamilton’schen Gleichungen) Quantenmechanik • Zur Zeit t0 : Zustand festgelegt durch |Ψ(t0 )i. Jede Messung wird beschrieben durch die Wirkung eines Operators der auf Ψ(t0 ) wirkt. → Observable“ ” • Messung → Eigenwert von A z.B. Energieeigenwerte, Spin bei Stern Gerlach • Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu finden (ohne Entartung) P (an ) = |hun |Ψi|2 an g–fach entartet P (an ) = P i,...,g i hun |Ψi2 Falls A kontinuierliches Spektrum: Dichte dP (α) = |hνα |Ψi|2 dα Seite 33 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Beispiel: Dichte im Ortsraum: dP (x) = |hx|Ψi|2 dx = |Ψ(x)|2 dx 2 dP (p) = |hp|Ψi|2 dp = Ψ̃(p) dp Reduktion des Wellenpaketes“ ” Nach der Messung ist das System (Wahrscheinlichkeit 1) im Unterraum, der durch an chararkterisiert wird: Pn |Ψi a |Ψi = n p → hΨ|Pn |Ψi Pn ist der Projektor auf den durch a charakterisierten Unterraum (falls keine Entartung Pn = |un ihun |). Beispiel: Ortsmessung Teilchen zwischen ∞ hohen Wänden im Grundzustand: (3 Zeichnungen) Teilchen nicht mehr im Energiegrundzustand. Überlagerung von allen Energie–Eigenzuständen. Anmerkung: Sukzessive Messungen von Observablen aus vollständigem Satz führt auf einen Zustand, der Eigenzustand zu all diesen Operatoren ist. Der Zustand ist dann eindeutig festgelegt. d i~ dt |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i Zeitentwicklung: In der Quantenmechanik werden Observable häufig aus klassischen Größen dediziert: In Ortsdarstellung: x → X p → P = i~ d dx alle anderen Observablen, die klassische Funktionen von x und p sind, werden durch diese Substitution gewonnen. ⇒ Korrespondenzprinzip“ ” Erwartungswerte (diskretes, nicht entartetes Spektrum) Einzelne Messung liefert einen der Eigenwerte an mit der Wahrscheinlichkeit Pn = |hun |Ψi|2 X X viele Messungen: an Pn = hΨ |un ian hun | Ψi | {z } n n A = hΨ|A|Ψi Seite 34 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Schwankungen um den Mittelwert |Ψi(∆A)2 ≡ |Ψi (A − hΨ|A|Ψi)2 |Ψi Heisenberg’sche Unschärfe–Beziehung Ausgangspunkt: [Q,P ] = i~ Trick: Betrachte |ϕi = (Q + iλp) |Ψi |{z} beliebig (Q + iλP ) (Q − iλP ) |Ψi | {z } 2 2 2 Q + λ P + iλ(QP − P Q) 0 ≤ hϕ|ϕi = hΨ| [Q,P ] = i~ 0 ≤ hΨ|Q2 |Ψi + λ2 hΨ|P 2 |Ψi − λ~ hΨ|Ψi | {z } ∀λ =1 Wähle λ = ~ 2 P2 ; Ψ P2 Ψ = hΨ|P 2 |Ψi 2 2 Q Ψ P Ψ≥ ~2 u Gleichheitszeichen gilt nur für Gauß–Paket. 3.2 Schrödinger Gleichung / allgemeine Resultate d |Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i dt Für gegebenes |Ψ(t0 )i liegt |Ψ(t)i für alle t bekannt. i~ 3.2.1 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit hΨ(t)|Ψ(t)i | {z } zeitlich konstant Beweis: d hΨ(t)|Ψ(t)i = dt d d hΨ(t)| |Ψ(t)i + hΨ(t)| Ψ(t) i dt |dt {z } | {z } d 1 Ψ=− i~ hΨ|H(t) dt 1 H(t)|Ψi i~ ⇒ = 0 Im Ortsraum: Seite Z d~r |Ψ(~r, t)|2 zeitlich konstant = 1 35 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 3.2.2 Wahrscheinlichkeitsdichten und Ströme ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2 ~ ?˜ ~(~r, t) = Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ? 2mi Plausibilität: p~ ~ ~v = m im Klassische Stromdichte = Dichte · Geschwindigkeit ~v = Für ebene Wellen: Ψ(~r, t) = Aei(~p~r−Et)/~ ⇒ ρ = |A|2 2 ~j = |A| i~ p ~ i~ p p~ − − = |A|2 ~ ~ 2mi m |{z} vGruppe Lokale Erhaltung Elektrodynamik: ∂ ∂t ρ(~r, t) | {z } Ladungsdichte +∇ ~(~r, t) | {z } =0 Stromdichte Hier: ∂ ~ ~ Ψ? ∇Ψ ~ − Ψ∇Ψ ~ ? (Ψ? Ψ) + ∇ ∂t 2mi ∂ ~ ~ ? ~ ∂ ? ? ~ 2 Ψ − ∇Ψ ~ ∇Ψ ~ ? − Ψ∇ ~ 2 Ψ? Ψ Ψ+Ψ Ψ + ∇Ψ ∇Ψ + Ψ? ∇ = ∂t ∂t 2mi ∂ ? ~ ~2 ? ∂ ~ ~2 = Ψ − ∇ Ψ Ψ+ Ψ+ ∇ Ψ Ψ? = 0 |{z} ∂t 2m ∂t 2mi Schr. Gl. einsetzen Schrödinger–Gleichung: ∂ ~2 ~ 2 i~ Ψ = − ∇ +V Ψ | · Ψ? ∂t 2m ~2 ~ 2 ∂ ? − −i~ Ψ = ∇ + V Ψ? |·Ψ ∂t 2m 2 ∂ ∂ ? ~2 ~ ~ ~ ? ? ? −i~ Ψ Ψ + Ψ Ψ = Ψ − ∇Ψ + Ψ ∇Ψ ∂t ∂t 2m 2m Seite 36 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 3.2.3 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten ⇒ hAi = hΨ(t)|A|Ψ(t)i d d d ∂ hA(t)i = hΨ(t)|A|Ψ(t)i + hΨ(t)|A| Ψ(t)i + hΨ(t)| A|Ψ(t)i dt dt dt ∂t 1 ∂ = hΨ(t)|[A,H]|Ψ(t)i + hΨ(t)| A|Ψ(t)i i~ ∂t d 1 ∂ hA(t)i = h[A,H]i + h Ai dt i~ ∂t Insbesondere: Falls [A,H] = 0 und falls ∂ ∂t A =0 ⇒ d dt hAi = 0 Wähle speziell: A = R Ortsoperator A = P Impulsoperator H= p2 p R, = i~ 2m m ~~ (R) [P,H] = [P, V (R)] = ∇V i ∂ ∂ R=0 ; P =0 ∂t ∂t hP i t d hRi (t) = ⇒ dt m d ~ (R)(t)i hP i (t) = −h∇V dt p2 + V (x) 2m [R,H] = ⇒ Ehrenfest–Theorem analog zur Hamilton–Gleichung in der Mechanik ~ (R)i = ~ (hRi) Beachte: h∇V 6 ∇V Klassischer Grenzfall: ~ (R)i → ∇V ~ (hRi) h∇V d2 ~ (hRi) ⇒ m 2 hRi = −∇V dt 3.2.4 Zeitliche Entwicklung von Zuständen ∂ Konservative Systeme ∂t H=0 Eigenzustände / –werte zum Zeitpunkt t = t0 H|Ψn (t0 )i = En |Ψn (t0 )i Seite 37 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Definiere Basis {|Ψn (t0 )i} Zeitliche Entwicklung von beliebigem Zustand X |Ψ(t)i = cn (t)|Ψ(t0 )i n DGL für cn (t) i~ X d n dt X cn (t) |Ψ(t0 )i = cn (t)En |Ψn (t0 )i n d ⇒ i~ cn (t) = En cn (t) dt ⇒ cn (t) = cn (t)e−iEn (t−t0 )/~ X cn (t)e−iEn (t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i |Ψ(t)i = n Wichtige Konsequenz: Falls nur ein cn 6= 0, cn = eiϕ O.B.d.A. hAi (t) = hΨ(t)|A|Ψ(t)i = hΨ(t0 )|eiEn (t−t0 )/~ Ae−iEn (t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i = hAi (t0 ) Erwartungswerte ändern sich nicht stationäre Zustände“ ⇔ scharfe Energie ” Seite 38 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 4 Der Harmonische Oszillator (HO) 4.1 Einführung – H.O. in der klassischen Mechanik Teilchen der Masse m im Potential V (x) = 12 kx2 (Bild Potential) Bewegungsgleichung: mẍ = − dV dx = −kx Lösung: q x(t) = xM cos (ωt − ϕ) k ω= m ; xM , ϕ aus Anfangsbedingung Energie: p2 1 1 + mω 2 x2 = mω 2 x2M 2m 2 2 Bemerkung: Die potentielle Energie U (x) vieler physikalischer Systeme hat bei x = x0 ein Minimum. E =T +V = Entwickeln von x = x0 1 U (x) = U (x0 ) + U 0 (x0 )(x − x0 ) + U 00 (x0 )(x − x0 )2 | {z } | {z } 2 | {z } =0 konst. = 0 konst. (Bild U (x)) Beschreibbar: • Oszillationen von Atomen im Kristall, Molekül • Quantisierung“ von Feldern ” 4.2 Harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik H= 1 p2 + mω 2 x2 2m 2 Klassische Größen → Operatoren Eigenwert–Gleichung HΨ = EΨ im Ortsraum: ~2 d 2 1 2 2 − + mω x Ψ = EΨ 2m dx2 2 4.2.1 Analytische Lösung der DGL p E ε = ~ω Setze x̂ = x mω ~ , Seite d2 2 − x̂ + 2ε Ψ(x̂) = 0 dx̂2 (6) 39 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 (x̂ ε) Verhalten für Ψ(x̂) für große x̂ 2 ± x̂2 Ansatz: G± (x̂) = e G± (x̂) löst DGL: d2 2 − x̂ ± 1 G± (x̂) = 0 dx̂2 Für große x̂ ≈ x̂ ± 1 ≈ x̂ + 2ε Normierbarkeit nur abfallende Lösung. Ψ(x̂) = h(x̂)e− ⇒ Ansatz für Gl. (6): x̂2 2 Einsetzen in Gl. (6): d2 2 d − 2x̂ + (2ε − 1) h(x̂) = 0 dx̂2 dx̂ Lösung mit Potenzreihenansatz h(x̂) = ∞ X am x̂m+p n=0 a0 6= 0 (ai = 0 für i < 0) (m + p + 2)(m + p + 1)am+2 = (2m + 2p − 3ε + 1)am am+2 m ∞ 1 am m ⇒ Normierbare Lösung nur, falls Potenzreihe abbricht. → 1. m = −2 ⇒ p(p − 1) = 0 ⇒ p = 0; p=1 2. ! 0 = 1 1 ⇒ εn = m + p + = n + 2 2 1 ⇒ En = ~ω n + 2 (2m + 2p − 2ε + 1) einsetzen in DGL: d2 2 d − 2x̂ + 2n h(x̂) = 0 dx̂2 dx̂ n = 0,1,2, . . . Hermite DGL Seite 40 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Lösung: Hermite Polynome Hn (x̂) n 2 d 2 Hn (x̂) = (−1)n ex̂ e−x̂ n dx̂ r √ ~ Nn = πn! ... mω H0 (y) = 1 H1 (y) = 2y H2 (y) = 4y 2 − 2 Stationäre Zustände des H.O. x̂2 ϕn (x̂) = Nn e− 2 Hn (x̂) 1 En = ~ω n + 2 n = 0,1,2, . . . • ∆E = En − En−1 = ~ω = konstant • E0 = 12 ~ω heißt Nullpunktsenergie Eigenschaften von ϕn (x̂) • ϕn (−x̂) = (−1)n ϕn (x̂) • ϕn (x̂) hat n reelle Nullstellen • Extrema liegen innerhalb der klassischen Grenzen“ ” 4.2.2 H.O. Algebraische Lösung Def. dimensionslose Größen r mω 1 x p̂ = √ p ~ m~ω H 1 E Ĥ = = (x̂2 + p̂2 ) ε= ~ω 2 ~ω x̂ = [x̂, p̂] = i Eigenwertgleichung: Ĥ|ϕν i = Eν |ϕν i 1 a = √ (x̂ + ip̂) 2 1 x̂ = √ (a + a† ) 2 1 a† = √ (x̂ − ip̂) 2 i i h † p̂ = √ a − a 2 Eigenschaften von a, a† Seite 41 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 1. h a, a† i 1 [x̂ + ip̂, x̂ − ip̂] 2 1 = (i [x̂ − p̂] + i [p̂, x̂]) 2 = 1 = 2. N |{z} = aa† = Besetzungszahloperator 3. H = a† a + 1 2 x̂ + p̂2 − 1 2 1 1 =N+ 2 2 ⇒ Eigenzustände von Ĥ sind auch Eigenzustände von N̂ und umgekehrt. ⇒ Lösen von H|ϕν i = Eν |ϕν i ist äquivalent zur Lösung von N |ϕν i = ν|ϕν i Eigenschaften von N 1. i a† a, a h i = a† , a a = −a [N, a] = h N, a† i h [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B = a† 2. Eigenwerte ν von N ν≥0 0 ≤ ||(a|ϕν i)|| = haϕν |aϕν i = hϕν |a† a|ϕν i = hϕν |N |ϕν i = ν hϕν |ϕν i | {z } >0 ⇒ν≥0 • niedrigster Eigenwert ≥ 0 • Falls ν > 0 ⇒ a|ϕν i = 0 3. Sei |ϕν i Eigenzustand von N zum Eigenwert ν − 1, a|ϕν i ∼ |ϕν−1 i ⇒ a† |ϕν i ist Eigenzustand zum Eigenwert ν + 1, a† |ϕν i ∼ |ϕν+1 i N a† |ϕν i = (a† + a† N )|ϕν i = (ν + 1)a† |ϕν i Seite 42 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Analog für a|ϕν i Richtige Normierung |ϕν i sei 1. Normiert hϕν |ϕν i = 1 ha† ϕν |a† ϕν i = hϕν |aa† |ϕν i = hϕν |a† a + 1|ϕν i − (ν + 1)hϕν |ϕν i √ ⇒ a† |ϕν i = ν + 1|ϕν+1 i √ a|ϕν i = n|ϕν−1 i Falls eine Eigenfunktion bekannt ist erhält man alle anderen sukzessive. Anwendung von a und a† : Falls |ϕ0 i bekannt 1 1 |ϕn i = √ a† |ϕn−1 i = √ (a† )n |ϕ0 i n n! 4. Eigenwerte ν von N sind ∈ N0 Annahme: Es gibt ν̄ mit n < ν̄ < n + 1 N (an |ϕν̄ i) n ∈ N0 ([N, a] = −a; = [N, an ] = −ann ) (ν̄ − n) an |ϕν̄ i | {z } ≥0 n+1 N (a |ϕν̄ i) = (ν̄ − n − 1) an+ | {z } <0 D.h. wir haben N |ϕn i = n|ϕn i 1 ⇒ H|ϕn i = ~ω n + |ϕn i 2 n = 0, 1, 2, . . . Interpretation von a, a† : a† heißt Erzeugungsoperator a heißt Vernichtungsoperator (Bild: Parabel n= 0, 1, 2, 3) 5. Eigenzustände des Hamiltonoperators: Besetzungsdarstellung 1 a = √ (x̂ + ip̂) 2 Im Orstraum: 1 ϕ0 (x) = hx|a|ϕ0 i = √ 2 a|ϕ0 i = 0 d x̂ + dx̂ hx|ϕ0 i | {z } ϕ0 (x̂) Seite 43 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 Lösung: ϕ0 (x̂) = N0 e−x̂/2 Angeregte Zustände: hx|ϕn i = = 1 √ hx|(a† )n |ϕ0 i n! 1 1 d √ √ (x̂ − )ϕ0 (x) n dt n! 2 Explizite Form von H, N, a, a† , x̂, p̂ Besetzungszahldarstellung |ϕn i = |ni hm|N |ni = nδm,n 0 0 1 ⇒ (N ) = 2 .. . 0 1 H = ~ω N + 2 1/2 3/2 ⇒ H = ~ω 0 a† |ni = † hm|a |mi = √ √ 0 5/2 n + 1|n + 1i n + 1δm,n+1 √0 1 0 √ 2 0 † a = √ .. . 3 .. . 0 √ 0 1 √ 0 2 √ 0 3 a = . .. 0 0 0 0 .. . 0 Hinweis: Berechnen Sie a† a und vergleichen Sie die Spur und Determinante auf der linken und Seite 44 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 rechten Seite. √ 0 1 √ 0 √ 1 0 2 √ √ 1 2 0 3 (x̂) = √ √ .. .. 2 . . 3 .. . 0 0 √ 0 √0 − 1 √ 1 0 − 2 √ √ i 2 0 − 3 (p̂) = √ √ .. .. 2 . . 3 .. . 0 0 1 x̂ = √ a + a† 2 i p̂ = √ a† − a 2 4.3 Diskussion der Resultate 4.3.1 Erwartungswerte Für stationäre Zustände (Energieeingenzustände) gilt hxi = 0; hpi = 0 für alle Zeiten. hn|x2 |ni wächst mit n und entspricht genau dem Wert, welchen man als zeitlichen Mittelwert von x2 bei klassischer Bewegung erhalten würde. (Ohne Beweis) Analog für p2 4.3.2 Qualitativer Beitrag zum Grundzustand Klassisch: x = 0, p = 0, E = 0 ∀t Quantenmechanik: Wellenfunktion ist ausgedehnt über Bereich ∼ ξ ∼, hV i ≈ 12 mω 2 ξ 2 2 Erwartungswert p2 ∼ ~ξ2 (Unschärferelation) hp2 i ~2 ⇒ Kinetische Energie: hT i = 2m = 2mξ 2 hHi = hHi wird minimal für ξ 2 = Größenordnung ~ mω ~2 1 + mω 2 ξ 2 2 2mξ 2 und man erhält hV i = hT i und hHi ≈ ~ω als korrekte 4.4 Dreidimensionaler Harmonischer Oszillator in kartesischen Koordinaten p~2 1 2 ~2 ~ = Eϕ(R) ~ + mω R ϕ(R) 2m 2 {z } | H = Hx + Hy + Hz mit Hx = ~2 d2 2m dx2 + 12 mω 2 x2 Es gilt weiterhin [Hx , Hy ] = 0; [Hx , Hz ] = 0; [Hy , Hz ] = 0 können gleichzeitig diagonalisiert werden; Problem entspricht drei ungekoppelten harmonischen Oszillatoren. Seite 45 Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005 ~ = ϕx (x) + ϕy (y) + ϕz (z) Ansatz: ϕ(R) Hϕ = (Hx + Hy + Hz ) ϕ = Hx ϕx ϕy ϕz + Hy ϕx ϕy ϕz + Hz ϕx ϕy ϕz H x ϕ x H y ϕy H z ϕ z ⇒ + + =E ϕ ϕ ϕ | {zx } | {zy } | {zz } =Ex ⇒ =Ey =Ez konstant Drei entkoppelte Gleichungen und Ex + Ey + Ez = E H x ϕ x = E x ϕx H y ϕy = E y ϕy H z ϕz = E z ϕz ϕnx x (x) sei Lösung der 1 − D Gleichung mit Energie ~ω nx + n ϕy y (x) → ~ω ny + 12 ϕnz z (x) → ~ω nz + 12 1 2 3 E = ~ω(nx + ny + nz + ) 2 Energie–Eigenwerte sind entartet angeregt von n = nx + ny + nz , reicht nicht um den Zustand festzulegen. Die Angabe von nx , ny , nz legt Zustand eindeutig fest. Gegeben sei n. Wieviele nx , ny , nz Kombinationen passen? ⇒ Seite (n + 1)(n + 2) 2 46