Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005

Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Christian Barth & Christian Benz
2. Juni 2005
1
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung – einfache eindimensionale Probleme
1.1 Elektromagnetische Wellen & Photonen . . . . . . . . . .
1.1.1 Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz . .
1.1.2 Ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Spektralzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Materie–Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Freies Teilchen (V = 0) . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Zusammenhang zwischen Ψ(x,t = 0) und g(x) . . .
1.3.3 Zeitliche Entwicklung eines Freien Wellenpaketes .
1.4 Zeitunabhängiges Potential . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Separation der Variablen ~r, t, stationäre Zustände
1.4.2 Stufenpotentiale (qualitativ) . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Stufenpotentiale (quantitativ) . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Beispiel: Stufe bei x0 = 0 E > V0 . . . . . . . . .
1.4.5 Stufe E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.6 Potentialtopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Der Harmonische Oszillator (HO)
4.1 Einführung – H.O. in der klassischen Mechanik . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Analytische Lösung der DGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Mathematische Hilfsmittel
2.1 Wellenfunktionen als Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Zustandsraum F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Orthonormierte Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Ebene Wellen und andere verallgemeinerte Basiszustände
2.2 Dirac–Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
ket“ und bra“ liefert Bracket . . . . . . . . . . . . . . .
”
”
2.2.3 Lineare Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Hermitisch konjugierter (=
ˆ adjungierter) Operator . . . .
2.3 Darstellungen im Zustandsraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Eigenwert–Gleichungen / Observablen . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Eigenwerte / Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Postulate der Quantenmechanik
3.1 Allgemeine Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Schrödinger Gleichung / allgemeine Resultate . . . .
3.2.1 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit . . . . . . .
3.2.2 Wahrscheinlichkeitsdichten und Ströme . . .
3.2.3 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten
3.2.4 Zeitliche Entwicklung von Zuständen . . . . .
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4.3
4.4
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4.2.2 H.O. Algebraische Lösung . . . . . . . . . . . . . .
Diskussion der Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Qualitativer Beitrag zum Grundzustand . . . . . .
Dreidimensionaler Harmonischer Oszillator in kartesischen
. . . . . . . .
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Koordinaten
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Literaturangaben
• Cohen–Tannoudji, Diu, Laloë (Grundlage dieser Vorlesung)
• Landau Lifshitz (knapp)
• Messiah (ausführlich)
• Dawydow (Viele Anwendungsbeispiele)
• Nolting Band 5 (O–Ton: billig“)
”
• Schwabl
Historische Entwicklung (1900–1925/27)
Planck → Heisenberg / Schrödinger
Kopenhagener Interpretation“
”
Dualität zwischen Wellenbild und Teilchenbild fürs Photon
Dualität zwischen Wellenbild und Teilchenbild fürs Elektron
Doppelspalt Experiment
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4
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1 Einführung – einfache eindimensionale Probleme
• Die Quantenmechanik findet in fast allen Gebieten der Physik Verwendung
• Die Stabilität der Materie beruht auf der Quantemechanik
• Diskrete Atomniveaus ⇒ diskrete Übergangsenergie → Farben
• Halbleiter: Bändermodell
• Kernphysik: Statistischer Charakter des radioaktiven Zerfalls
• Verschränkte Zustände: EPR–Paradoxon (Einstein, Podolski, Rosa)
• Verknüpfung von QM & Relativitätstheorie ⇒ Existenz von Antiteilchen
1.1 Elektromagnetische Wellen & Photonen
1.1.1 Zusammenhang zwischen Energie und Frequenz
Planck: E = hf = ~ω
h
h = 6,62 · 10− 34Js Wirkungsquantum“
”
2π
R t2
Erinnerung: Wirkung ≡ t1 p(t) · q̇(t)dt
~=
Später: Energie–Differenz von Atomniveaus = ~ωPhoton
entsprechend: Impuls ↔ Wellenlänge
Compton–Streuung
γ + e → γ + e (mit anderen Impulsen)
Impulserhaltung: p~ = ~ |{z}
k
|{z}
Impuls
2π/λ
1.1.2 Ausbreitung
Intensität (Energiedichte / Zeiteinheit) I(x) ∼ |E(x)|2
Beitrag der durch den Spalt 1 bzw. 2 fallenden Welle
E(x) = E1 (x) + E2 (x)
I ∼ |E1 (x) + E2 (x)|2 = I1 (x) + I1 (x) + 2E1 (x)E2 (x)
|
{z
}
Interferenzterm
Entsprechender Ansatz für Wellenfunktion:
I(x) ⇒ Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Schirm. Die Bahn eines einzelnen Photons kann nicht vorhergesagt werden.
Anmerkungen
• Superpositionsprinzip
E1 (x), E2 (x) sind Lösungen der Maxwell–Gleichungen
⇒ E(x) = λ1 E1 (x) + λ2 E2 (x) ist ebenfalls Lösung, denn E genügt linearen DGL!
(gilt auch für Wellenfunktion Ψ in der QM)
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• I(x) = Wahrscheinlichkeitsverteilung. Eine große Zahl von Photonen ist erforderlich
für Interferenzmuster.
• Wichtiger Unterschied: Elektrisches Feld
ist reell. Gelegentliche Beschreibung durch
komplexe Zahlen: < Eeiωt =E
ˆ cos ωt
QM: <[Ψ] und =[Ψ] sind wesentlich
1.1.3 Spektralzerlegung
Polarisiertes Licht mit Ausbreitungsrichtung ~ez fällt auf Analysator A
Klassisch: P polarisiert Licht in ~eP Richtung
E(~r,t) = E0~eP ei(kz−ωt) Intensität E02 hinter P
Intensität hinter A: E 0 (~r,t) = E00 ~ex ei(kz−ωt) , wobei E00 = E0~ex~eP = E0 cos θ
IA = E002 = E02 cos2 θ
QM: Photon wird in Analysator gestoppt (Wahrscheinlichkeit = sin2 θ) oder durchgelassen (Wahrscheinlichkeit = cos2 θ) ⇒ 2 mögliche Resultate. (klassisch: Welle wird
geschwächt)
Nach A würde das Photon weitere Analysatoren (bezüglich x–Richtung) sicher
durchlaufen: Nach A ist es im Eigenzustand zu A“.
”
Es gibt hier zwei Eigenzustände mit Polarisation ~ex und ~ey . Für diese ist das Messresultat in A sicher.
Jeder Zustand kann in Eigenzustände von A zerlegt werden:
~eP = cos θ~ex + sin θ~ey
elektromagnetisches Feld
• I(x) ∼ |E(x)|2
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• Überlagerungsprinzip
E1 , E2 Lösung ⇒ E = λE1 + λE2
E ist Lösung
• Spektralzerlegung
Jeder Zustand mit Polarisation ~eP kann in Eigenzustand ~ex und ~ey zerlegt werden.
1.2 Materie–Wellen
Übertragung der Dualität von Wellen und Teilchen auf Teilchen mit Masse m 6= 0 (de Broglie) . . . Schrödinger
1. Klassische Trajektorie x(t)
⇒ Zeitlich veränderliche Wellenfunktion
Ψ(~r,t)
2. Wahrscheinlichkeitsdichte = |Ψ(~r,t)|2
(Kopenhagener Interpretation), das Teilchen am Ort ~r zur Zeit t zu finden.
R
⇒ Normierung |Ψ|2 dV = 1
3. Klassische Bewegungsgleichung ⇒ Schrödingergleichung
2
~
− 2m
∆Ψ(~r,t) + V (~r,t)Ψ(~r,t) = i~∂t Ψ(~r,t)
Lineare, partielle DGL, homogen ⇒ Überlagerungsprinzip erster Ordnung in t
Anfangswertproblem: Ψ(~r,t)|t0 legt Ψ(~r,t) ∀ t fest.
1.3 Wellenpakete
1.3.1 Freies Teilchen (V = 0)
~2
∆Ψ(~r,t) = i~∂t Ψ(~r,t)
2m
DGL mit konstanten Koeffizienten.
~
Ψ~k (~r,t) = Aei(k~r−ωk t) ebene Welle, A, ~k beliebig
−
~2
(1)
2
p
~
k
ωk = ~2m
; (=E
ˆ = 2m
)
2
2
|Ψ| = |A| konstant ⇒ nicht integrierbar
Lineare DGL: jede Überlagerung von Lösungen mit verschiedenen k ist Lösung. Normierbare Überlagerung von ebenen Wellen ⇒ Wellenpaket
Z
dk
(2π)
3
2
~
g(~k)ei(k~r−ωk t) = Ψ(~r,t)
(2)
ist Lösung von (1).
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Bei fester Zeit t (= 0 per Konvention)
g(~k) = Fouriertransformation von Ψ(~r,t = 0)
Z
d~r
~
~ i~k~r = Ψ(~r,t = 0)
g(k) =
3 g(k)e
(2π) 2
(3)
Zu einer festen Zeit t(= 0) kann zu Ψ(~r,0) immer die Fouriertransformation angegeben
werden. Gleichung (2) legt dann Ψ(~r,t) ∀ t fest. (Bei Anwesenheit eines Potentials gilt
2~
k2
aber nicht mehr E = ~ωk = ~2m
)
Zeitliche Entwicklung eines Wellenpaketes:
⇒ elektromagnetische Welle im Vakuum
ω = ck
(f = c/λ) – lineares Dispersionsprinzip
⇒ Form des Wellenpakets bleibt erhalten.
Im Medium oder in Halbleitern: ω(k) ist Funktion von k ⇒ Wellenpaket wird verformt.
vP haseng. = ω(k)
vGruppeng. = dω
k
dk
1.3.2 Zusammenhang zwischen Ψ(x,t = 0) und g(x)
Frage: Breite“ von Ψ(x,0)und g(k)
”
Ansatz oBdA: g(x) = |g(x)| e|α(k)
| {z } {z }
Betrag Phase
Annahmen: 1. g ist glatt, und nur im [k0 −
wesentlich von 0 verschieden
∆k
2
; k0 +
∆k
2 ]
2. α(k) variert nur wenig in diesem Bereich:
⇒ daher Taylor: α(k) = α(k0 ) + (k − k0 )
dα
|k=k0
dk
|{z}
=−X0
Konsequenz für Ψ(x,0)
Z
dk ikx
e
2π
Z
z
}|
{
dk
√ · |g(k)|ei[α(k0 )−(k−k0 )x0 +k0 x − k0 x +kx]
2π
Ψ(x, t = 0) =
erweitert
=
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=⇒ Ψ(x, t = 0) = ei[αk0 +k0 x]
R
√dk |g(k)|ei[k−k0 ][x−x0 ]
2π
• Falls x = x0 dann e(··· ) = 1
⇒ |Ψ| ist maximal
• Für |x − x0 | ⇒ |Ψ| ist klein
1
∆k :
→ nur positive Beiträge
viele Oszillationen innerhalb des Integrationsgebiet
−→ Auslöschung für:
(x − x0 )∆k 1
−→ Maximum des Wellenpakets im Ortsraum bei:
x0 = −[ dα
dk ]k−k0 (Methode der stationären Phase)
−→ Breite im Ortsraum:
1
∆x ∼ ∆k
Physikalische Bedeutung / Nutzen p = ~k
=⇒ Zusammenhang zwischen Breite der Verteilung im Ortsraum: dN
= |Ψ(x, 0)|2
dx
R
p
2
√1
und der Breite im Impulsraum: dN
dpΨ̃(p,0)ei ~
dp = |Ψ̃(p, =)| mit: Ψ(x,0) = 2π~
1.3.3 Zeitliche Entwicklung eines Freien Wellenpaketes
ebene Welle:
Ψ(x,t) = ei(kx−wt) mit ω = ω(k)vPhase = vϕ (k) =
ω
|k|
em Welle im Vakuum: [ein Wellenpaket]
Z
∞
−∞
dk
√ g(k)ei(kx−ωt) =
2π
Z
=
|0
Seite
∞
Z 0
dk
dk
√ g(k)ei|k|(x−ct) +
√ g(k)ei|k|(x+ct)
2π
2π
{z
} | −∞
{z
}
f1 (x−ct)
f2 (x+ct)
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in QM:
Z
dk
√ g(k)ei(α(ω)−ω(k)t)
2π
also α(k) − ω(k)t statt α(k) wie vorhin
xm ax(t) = −
=⇒ Maximum verschiebt sich um:
vgr =
d
(α(k) − ω(k)t)
dk
dω(k)
dk |k0 t
~k0
dω
p0
|x0 =
=
dk
m
m
wie im klassischen, nur mit Ψ da (Funktion der Zeit breiter)
1.4 Zeitunabhängiges Potential
1.4.1 Separation der Variablen ~r, t, stationäre Zustände
Schrödingergleichung:
~2
i~∂t Ψ(~r, t) = −
∆Ψ(~r, t) +
| {z }
| 2m
Ableitung nach t
Abhängigkeit von ~
r , nicht t
z }| {
V (~r)
Ψ(~r, t)
}
{z
Ableitung nach ~
r
Ansatz: Ψ(~r, t) = ϕ(~r) · χ(t)
⇒
1
i~∂t χ(t)
χ(t)
|
{z
}
Funktion von t, unabhängig von ~
r ⇒const. ≡~ω
1
=
ϕ(~r)
|
~2
−
∆ϕ(~r) + V (~r)ϕ(~r)
2m
{z
}
Funktion von ~
r unabhängig von t
1. Lösung für x(t):
i~
∂
x(t) = ~ωx(t)
∂t
x(t) = Ae−iωt
~2
−
∆ + V (~r) ϕ(~r) = ~ωϕ(~r)
2m
Planck-Einstein, ~ωϕ(~r)
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~2
− 2m
∆ + V (~r) ϕ(~r) = Eϕ(~r)
← : Zeitunabhängige Schrödinger Gleichung
Eigenwert-Gleichung eines linearen Operator mit:
E = Eigenwert
ϕ = Eigenfunktion
Ψ(~r, t) = ϕ(~r) · e−iωt : stationärer Zustand.
|Ψ(~r, t)|2 ist unabhängig von der Zeit.
Schrödinger–Gleichung ⇒ Zeitentwicklung der Wellenfunktion Ψ
Zeitunabhängige Schrödinger–Gleichung ⇒ stationäre Zustände und deren Energien.
Im Allgemeinen gibt es mehrere Lösungen
Hϕn (~r) = En ϕn (~r),
stationäre Zustände: Ψ(~r, t) = eiEn t/~ ϕn (~r)
Dann ist
Ψ(~r, t) =
X
cn ϕn (~r)eiEn t/~
(4)
1
Lösung der Schrödinger Gleichung.
|Ψ(~r, t)|2 ist im Allgemeinen zeitabhängig, Beispiel: c1 = c2 = 1
E2 t E1 t
|Ψ|2 = ϕ1 e−i ~ + ϕ2 e−i ~ = |ϕ1 |2 + |ϕ2 |2 + Interferenzterm (ist zeitabhänig)
Später: Jede Lösung der Schrödinger-Gleichung kann auf die Form (5) gebracht
werden.
1.4.2 Stufenpotentiale (qualitativ)
Idealisierung von Grenzflächen
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klassisches Teilchen: läuft von links nach rechts über die Stufe, solange E > V0 . oder
wird reflektiert für E < V0
Stationäre Schrödinger–Gleichung
~2 d 2
+ V (x) ϕ(x) = Eϕ(x)
−
2m dx2
2
d 2m
(E − V (x)) ϕ(x) = 0
dx2 ~2
Analogie zur Optik: Ansatz für elektrisches Feld:
~ r, t) = ~eE(x)e−iωt
E(~
Wellengleichung im Medium:
d2
n2 d 2
−
dx2
c2 dt2
2
d
+
dx2
E(x)e−iωt = 0
n2 ω 2
c2
E(x) = 0
für große n → kleine Phasengeschwindigkeit
2 2
Analogie in QM: 2m
(E − V )=
ˆ n c2ω
~2
transparent
Glass
n2 >0
⇔
Medium,
z.B.
<0
totalreflektierendes
Metal
(
√
e±ikx k = ωc √ n2 n2 > 0
Ausbreitung:
e±i%x % = ωc n2 n2 < 0
Beispiele:
Stufe :
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Brechungsindex:
n1 =
n2 =
E > V0
c √
2mE
~ω
c p
2m(E − V0 )
~ω
=⇒
n21 > n22 > 0
Teilchenreflexion an der Grenzschicht zwischen zwei Medien. klassisch: Teilchen
läuft langsam weiter.
V0 > E > 0
n21 > 0;
p
c
2m(V0 − E)
n2 = i ~ω
n22 < 0
Totalrefexion, aber Eindringen in die Grenzschicht.
Barriere :
Optik: Welle dringt von (1) nach (2) ein, wird dort gedämpft (ein Teil wird auch
reflektiert), läuft bis zum rechten Rand, und dort zum Teil weiter.
Topf :
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klassisch: beliebige Energien sind zulässig
Optik: oszillierende Wellen im Bereich (2)
Dämpfung im Bereich (1), (3), stehende Wellen nur für diskrete Werte von k. E > O
klassisch: teilweise Transmission jedoch keine Reflektion bei: Luft|Glas|Luft
1.4.3 Stufenpotentiale (quantitativ)
2
d
2m
Ausgangspunkt: dx
+
(E
−
V
(x))
ϕ(x) = 0
2
~2
V stückweise konstant.
1. E > V
ϕ(x) = Aeikx + A0 e−ikx
A, A’ komplex, beliebig
~2 k 2
2m
=E·V
2. E < V
ϕ(x) = Be%x + Be−%x mit
3. E = V
ϕ(x) = c + c0 x
(~%)2
2m
=V −E
Anschlussbedingungen bei der Sprungstelle:
1. ϕ ist stetig an der Sprungstelle
2. Ψ ist stetig an der Sprungstelle
3.
d2
Ψ(x0
dx2
+ ε) −
d2
Ψ(x0
dx2
− ε) =
2m
~2
(V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) ϕ(x0 )
Ersetze den Sprung durch glatten Übergang in einem Intervall < −ε,ε >
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integriere die Schrödinger Gleichung von x0 − ε bis x0 + ε
Z
dx
d2
dx2
Φ(x)
x0 −ε
x0 +ε

x0 +ε
=
2m
~2
Z
dx (Vε (x) − E)
{z
}
|
beschränkt
lim
ε→0
Φ(x)
| {z }

sei beschränkt x −ε
0
d
d
Φ(x0 + ε) −
Φ(x0 − ε) = 0
dx
dx
1. Ableitung ist stetig (gilt nicht bei ∞ hoher Barriere)
2. =⇒ Funktion Φ ist stetig
3. Schrödinger Gleichung:
(plus Terme O(ε))
d2
ϕ(x0
dx2
+ ε) −
d2
ϕ(x0
dx2
− ε) =
2m
~2
(V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) ϕ(x0 )
∆V ist limε→0 (V (x0 + ε) − V (x0 − ε)) = 2m
∆V (x0 )ϕ(x0 )
~2
ist automatisch erfüllt, wenn (1), (2) gilt und k, % korrekt gewählt werden.
Wenn Barriere ∞ hoch ist ⇒ ϕ stetig; verschwindet im verbotenen Bereich. Anschlussbedingung: ϕ(x0 ) = 0
1.4.4 Beispiel: Stufe bei x0 = 0
in (1):
in (2):
Seite
k1 =
k2 =
q
2mE
~2
q
2m(E−V0 )
~2
−→
E > V0
Φ1 (x) = A1 eik1 x + A01 e−ik1 x
−→
Φ2 (x) = A2 eik2 x + A02 e−ik2 x
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1. A1 + A01 = A2 + A02
2. k1 (A1 − A01 ) = k2 (A2 + A02 )
3. folgt aus (1),(2) (nachrechnen!) 2 Gleichungen mit 4 Unbekannten =⇒ ?
• Normierung ist irrelevant, bleibt unbestimmt. Entweder nur Verhältnisse:
oder wir setzen A1 = 1
• in (2) nur auslaufende Welle ⇒
A02 = 0
A2
A1
;
A02
A01
Randbedingung
In (1) einlaufende und auslaufende Welle (= reflektierte Welle)
(1),(2)(A02 = 0) ⇒
Wähle A ≡ 1
(
ϕ(x) =
A01
A1
A2
A1
=
=
k1 − k2
,
k1 + k2
2k1
,
k1 + k2
2 −ik1 x
eik1 x + kk11 −k
x<0
+k2 e
2k1
ik
x
2
x>0
k1 +k2 e
2
2
Reflexionskoeffizient: R = kk11 −k
+k2 1 2 k2
Transmissionskoeffizient: T = k12k
+k2 · k1 =
4k1 k2
(k1 +k2 )2
[bild]
k1
k2
=
ˆ Verhältnis der Geschwindigkeiten
R+R=1
(k1 −k2 )2
(k1 +k2 )2
+
4k1 k2
(k1 +k2 )2
=1
1.4.5 Stufe E < V0
q
=⇒ k2 → i%2 = i 2m(V~02−E)
Φ2 = B2 e%2 x + Φ2 = B20 e−%2 x
Forderung: B2 = 0 wegen expotentiellem Abfall im verbotenen Bereich.
Lösung wie oben mit k2 → i%2 ,
(
−i%2 −ik1 x
eik1 x + kk11 +i%
e
x<0
2
ϕ
2k1
−%
x
2
x>0
k1 +i%2 e
Transmission = 0;
Seite
ϕ → 0 für x → +∞
16
; ···
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2
2
R = kk11 −i%
+i%2 = 1;
k1 −i%2
k1 +i%2
= e−2iδ
δ = arctan k%21
1.4.6 Potentialtopf
−V0 < E < 0
φ1 = B1 e%x + 6 B10 e−%x
φ3 = 6 B3 e%x + B30 e−%x
φ2 = A2 e%x + A02 e−%x
mit:
r
%=
v
u −2mE
u
k=t
(V0 + E)
~2 | {z }
−2mE
~2
>0
R
1 Teilchen: ⇒ quadratintegrable Lösung B3 = 0
dx |Φ(x)|2 = 1 B10 = 0
4 Konstanten - 1 Normierung - 4 Anschlussbed.: ⇒ System ist überbestimmt, hat
nur Lösung für bestimmte diskrete E bzw % oder k.
Anschlussbedingungen: bei x = − a2 ,
Seite
a
B1 e−% 2
ϕ
stetig
ϕ0
stetig %B1 e−% 2
a
a
a
= A2 e−ik 2 A02 e+ik 2
a
a
= ikA2 e−ik 2 − ikA02 eik 2
17
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
A2
A02
A2
A02
=
identisch für % → −%
ik+%
ik−%
ik + % (ik−%) a
2
= B1
e
2ik
ik − % (−ik−%) a
2
= B1
e
2ik
A2
A02
eika
=
ik−%
ik+%
e−ika bei y = + a2
(5)
a → −a
a) Normierung bleibt zunächst unbestimmt
b) Gleichung Gl. (5) und Gl. (5) können zusammen nur für bestimmte Energien
2
ik−%
erfüllt werden: =⇒
= e2ika
ik+%
Eigenwert–Gleichung für E bzw.
r
−2mE
k=
(V0 + E)
~2
r
%=
−2mE
~2
Zwei Lösungssystem:
ik − %
=
ik + %
eika
−eika
ka
2
= arctan k%
Potentialtopf E < 0
Nur beschränkte Zahl von Lösungen.
Ansatz:
Seite
ϕ1 = B1 e+%x
ϕ3 = B2 e−%x
ϕ2 = A2 eikx + A02 e−ikx
x < − a2
x > a2
− a2 < x <
a
2
18
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
4 Anschlussbedingungen für B1 , B2 , A2 , A02
Zunächst nur Verhältnisse festgelegt ⇒ System überbestimmt
⇒ Gleichung für E;
Anschluss bei x = − a2 :
A2
A02
=
ik+%
ik−%
eika
x = a2 :
A2
A02
=
ik−%
ik+%
e−ika
ik−%
ik+%
2
= e2ika
q
q
2m
(V
+
E)
,
%
=
(−E)
Eigenwert–Gleichung für E mit k = 2m
0
~2
~2
Aus der Form
ik − % 2 2ika
·e
=1
ik + %
2
sieht man, dass A
= ±1 ist.
A02
⇒ Zwei Lösungssysteme: Gerade und ungerade.
ik − %
= +eika und − eika
ik + %
Etwas trickreiche Algebra für den ersten Fall (+eika ):
k + i%
= e2iθ
k − i%
| {z }
Betrag =1
mit tan θ = k% ; oder θ = arctan k%
e2iθ = eika
eiθ = eika/2
ka
%
= θ = arctan
2
k
%
k
= tan ka
2
Umformung:
1
cos2
Mit k0 =
Seite
2mV0
%2
k 2 + %2
k2
ka
~2
=1+ 2 =
=
= 02
2
2
2
k
k
k
k
2mV0
~2
cos ka =
2
ka
2
= 1 + tan2
k
k0
tan ka
2 >0
gerade Lösung
19
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
ik−%
Aus ik+%
= eika folgt:
sin ka = k
tan ka
2
k0
2 <0
ungerade Lösung
0
0
Für diese Wahl von k0 gibt es 32 Lösungen vom Typ G
U . Aus k folgen dann A2 , A2 , B1 , B3 .
Mit wachsendem k0 ; (V0 ) erhalten wir immer mehr Lösungen und die Werte für k liegen
approximativ bei n( πa ).
Für V0 → ∞: unendlich tiefer Topf
1 nπ 2
kn = n( πa ); En = 2m
(a)
Für beliebig kleine k0 gibt es immer noch eine Lösung. (Schnittpunkt mit cos)
Seite
20
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2 Mathematische Hilfsmittel
Wellenfunktion Φ(x, t) ist sehr spezielle Beschreibung eines Systems.
|Ψ|2 ⇒ Verteilung als Funktion von x
|Ψ̃|2 ⇒ Verteilung als Funktion von p
Alternativ: Angabe von En für gebundenen Zustand, oder: Mehrere En und relative
Amplitude falls ÜBerlagerung verschiedener Energie-Eigenzustände vorliegt.
Im Allgemeinen viele Möglichkeiten (Messgrößen, Observable) für die Charakterisierung. Umgekerht gibt es verschiedene Möglichkeiten die gleiche Messung zu beschreiben:
Z.B.: Erwartungswert des Impulses:
Z
Z
~δx
?
?
hpi = dp Ψ̃ (p)pΨ̃(p) = dx Ψ (x)
Ψ(x)
i
Ziel: Abstrakte Beschreibung eines Zustandes (statt Bahnkurve in klassischer Mechanik) als Element eines Vektorraumes (genauer: eines Hilbertraumes) und der Messgröße (≡ Observable) durch hermitische (genauer: selbstadjungierte) Operatoren
unabhängig von einer Basis. Die Messung entspricht Matrixelement dieses Operators.
2.1 Wellenfunktionen als Zustandsraum
2.1.1 Zustandsraum F
{ Quadratintegrable Funktion } ≡ L2
Hier oft zusätzliche Einschränkungen, abhängig vom Problem (z.B. stetig, differenzierbar, beschränkt oder nur in einem Intervall 6= 0, . . . )
F = { genügend reguläre Funktionen ∈ L2 }
• F linearer Raum → Superpositionsprinzip
Ψ1 , Ψ2 , ∈ F ⇒ Ψ = λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ∈ F da |Ψ|2 ebenfalls quadratintegrabel.
Beweis: |Ψ|2 = |λ1 |2 |Ψ1 |2 + |λ2 |2 |Ψ2 |2 + 2<{λ1 λ?2 Ψ1 Ψ?2 }
|
{z
}
< |λ1 λ2 |2 (|Ψ1 |2 |Ψ2 |2 )
⇒
R
R
dx |Ψ|2 < |λ1 |2 dx |Ψ1 |2 + . . .
• Skalarprodukt
(ϕ, Ψ) ≡
R
d~r ϕ? (~r)Ψ(~r)
Es gilt (ϕ, Ψ)? = Ψ, ϕ)
n
o
n o
linear
→ (ϕ, Ψ) ist antilinear
bezüglich Ψ
ϕ
d.h. (ϕ, λΨ) = λ(ϕ, Ψ);
(λϕ, Ψ) = λ? (ϕ, Ψ)
Falls (ϕ, Ψ) = 0 ≡ ϕ, Ψ sind orthogonal
Ferner: (ϕ, Ψ) = 0 ⇔ Ψ = 0
1
(ϕ, Ψ) 2 = Normierung = kΨk
Seite
21
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Schwarzsche Ungleichung
|(Ψ1 , Ψ2 )| ≤ kΨ1 k · kΨ2 k
Beweis: Betrachte
Ψ1
kΨ1 k
+
Ψ2
kΨ2 k
2
≥0
• Lineare Operatoren:
Lineare Abbildung A : ϕAΨ mit Ψ, ϕ ∈ F
A (λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 ) = λ1 AΨ1 + λ2 AΨ2
Beispiele:
– Ortsoperator X =
ˆ Multiplikation der Wellenfunktion im Ortsraum mit x
X Ψ(x, y, z) = xΨ(x, y, z)
– Ableitungsoperator:
Dx Ψ(x, y, z) =
d
Ψ(x, y, z)
dx
– Paritätsoperator:
Π Ψ(x, y, z) = Ψ(−x, −y, −z)
– Hamiltonoperator:
H Ψ(x, y, z) =
−
~∆
+ V (x, y, z) Ψ(x, y, z)
2m
Anmerkung: Der
A ist i.A. nicht für alle Zustände definiert, Bsp
p a Operator
1
dazu: Ψ(x) = 2 a+|x|
R
R
dx |Ψ(x)|2 = 1 aber dx Ψ? (x)Ψ(x)x
– Produkt: AB definiert durch (AB)Ψ = A(BΨ)
i.A.: AB 6= BA
[AB] = AB - BA
Bsp: [x, Dx ]
d
d
d
d
[x, Dx ] Ψ(~r) = x
−
x Ψ = x
Ψ −
(xΨ)
dx dx
dx
dx
= −Ψ
~Dx
→ [x, Dx ] = −1 oder [x,
] = i~
i }
| {z
p
[x, p] = i~
Seite
22
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2.1.2 Orthonormierte Basis
• Vektor wird charakterisiert durch seine Komponenten bezüglich orthonormaler Basis {ui }
ui (~r) ∈ F
i = 1 . . . n (oder eventuell ∞)
(ui , uj ) = δij ⇔ orthonormiert
{ui } ist Basis“, wenn jedes Ψ ∈ F geschrieben werden kann als
”
P
r)).
Ψ(~r) = ∞
i (ci ui (~
• Berechnung der ci :
ausführliche Schreibweise
X
Ψ(~r) =
ci ui (~r)
Kurznotation
P
Ψ = i ci ui
i
Z
d~r u?j (~r)Ψ(~r) =
X
i
Z
Z
ci
d~r u?j (~r)ui (~r) (uj , Ψ) =
{z
}
|
P
i ci (uj , ui )
| {z }
δij
δij
d~r u?j (~r)Ψ(~r) = cj
(uj , Ψ) = cj
• Skalarprodukt in Komponentenschreibweise
ϕ=
X
Gi ui (~r);
i
ausführlich
kurz
X
P
P
Ψ(~r) =
cj uj (~r) ϕ = i Gi ui ; Ψ = j cj uj
j
Z
d~r ϕ? (~r)Ψ(~r) =
X
G?i ci
(ϕ, Ψ) =
P
i Gi vi
i
speziell (Ψ, Ψ) =
2
i |ci |
P
Analogie zu Basisvektoren ~e1 , ~e2 , ~e3 in R3 ist offensichtlich.
• Vollständigkeitsrelation: Jede Funktion Ψ(~r) ∈ F kann dargestellt werden in der
Form
Seite
23
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Ψ(~r) =
X
ci ui (~r)
Ψ=
P
i ci ui
i

=

Z
X

i
P
dr~0 u?i (r~0 )Ψ(r~0 ) ui (~r) = i (ui Ψ) ui
{z
}
|
| {z }
=ci
Z
dr~0 Ψ(r~0 )
|i
⇒
? r )u (r
~0 )
i
i ui (~
P
=ci
X
ui (~r)ui (r~0 ) =
{z
P
i ui ui
=1
}
δ(~
r −r~0 )
= δ(~r − r~0 )
2.1.3 Ebene Wellen und andere verallgemeinerte Basiszustände
(nur eindimensional)
1
eipx/~ nicht normierbar;
p=
ˆ Index
Ebene Welle: vp (x) ≡ √2π~
Zerlegung eines Wellenpaketes nach ebenen Wellen =
ˆ Entwicklung nach Basis {vp }
Fourier–Transformation:
Z
dp
√
Ψ̃(p)eipx/~
2π~
Z
=
dp Ψ̃(p) vp
|{z} | {z } |{z}
Ψ(x) =
=
ˆ
P
i
=c
ˆ i
=u
ˆ i
⇒ Darstellung des Vektors
Umkehrung:
Z
Ψ̃(p) =
| {z }
ci
dx
√
Ψ(x)e−ipx/~
2π~
Z
=
dx vp? Ψ(x)
|
{z
}
=(u
ˆ i ,Ψ)
⇒ Berechnung der Koeffizienten
Parseval’sche Gleichung
Z
?
Z
dp Ψ̃? (p)Ψ̃(p)
X 2
(Ψ, Ψ) =
|ci |
dx Ψ (x)Ψ(x) =
i
Seite
24
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Vollständigkeit:
? 0
i ui (x)ui (x )
P
= δ(x0 − x)
Hier:
Z
dp
eipx/~
√
2π~
Orthonormiertheit:
(vp , vp0 )
Z
!
0
e−ipx /~
√
2π~
!
= δ(x0 − x)
dx −ipx + ip0 x
~
= δ(p − p0 )
e ~
2π~
in Analogie zu δij
Entsprechendes gilt für den Ortsraum mit der verallgemeinerten Basis {ξx0 (x)} mit
ξx0 (x) = δ(x − x0 )
Aufgabe: Entwickle ξx0 (x) bezüglich vp und umgekehrt vp bezüglich ξx0 (x). Wie lauten
Vollständigkeitsrelationen und Orthonormiertheit für {ξ}?
Verallgemeinerung auf beliebige konstante Basis {Wα }
(W
− α0 )
orthonormiert
R α , Wα0 ) = δ(α
?
0
0
dα Wα (x)Wα0 (x ) = δ(x − x )) vollständig
gemischte Basis (Bindungs– und Streuzustände)
{ui , wα }
;
i diskret, α kontinuierlich
(ui , uj ) = δij
(wα , wα0 ) = δα−α0
(ui , wα ) = 0
Vollständigkeit:
X
0
ui (x)u+
i (x )
Z
+
dα wα (x)wα? (x0 ) = δ(x − x0 )
i
Seite
25
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2.2 Dirac–Notation
2.2.1 Einführung
Zustand eines Teilchens kann charakterisiert werden durch Ψ(~r) oder durch Komponenten bezüglich einer Basis.
Basis
ui (~r)
vp~ (~r)
ξ(r~0 )
wEn (~r)
Index
i
p~
r~0
n
Komponenten
ci
Ψ̃(~r)
Ψ(r~0 )
cn
Ψ(~r)
P
R u ci ui (~r)
p Ψ̃(~
p)vp~ (~r)
R d~
dr~ Ψ(r~0 )ξr~0 (~r)
P 0
r)
n cn wEn (~
Analogie zum Vektor in R3 :


a1
X
~a =  a2  =
ai~ei
i
a3
Bezeichnung
allgemein
Impulsdarstellung
Orstdarstellung
Energiedarstellung für gebundene Zustände
bezüglich Basis ~e1~e2~e3
Basiswechsel: neue Basisvektoren: ~ei =
O
|{z}
e~0i
orthongonale Matrix
~a =
0 ~0
i ai ei
P
wobei
a0j
=
~0 ~i )
i ai (ej , e
P
=
~0 ~0
i ai ej O ei
P
| {z }
Oij
~a hat Bedeutung unabhängig von Basis.
~a · ~b liefert das gleiche Resultat in jeder Basis.
2.2.2
ket“ und bra“ liefert Bracket
”
”
Abstrakte Beschreibung eines Zustandes ohne Bezug auf Wellenfunktionen.
a) ket“ ≡ Element der Zustandsumme symbolisiert durch ha| charakterisiert den Zu”
stand ohne Bezug auf Basis.
b) bra“: Zu jeder ket“ |ϕi gehört eine bra“ hϕ| die zusammen mit einer beliebigen
”
”
”
ket“ |ϕi eine komplexe Zahl definiert:
”
hϕ|Ψi = komlexe Zahl
(entspricht dem Skalarprodukt wie in Abschnitt 2.1)
Es gelten fogende Rechenregeln:
hϕ|Ψi? = hΨ|ϕi
hϕ|λ1 Ψ1 + λ2 Ψ2 i = λ1 hϕ|Ψ1 i + λ2 hϕ|Ψ2 i linear
hλ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 |Ψi = λ?1 hϕ1 |Ψi + λ?2 hϕ1 |Ψi antilinear
Seite
26
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2.2.3 Lineare Operatoren
A|Ψi ist wieder ket“, |AΨi und hϕ|(A|Ψi) einerseits Skalarprodukt von hϕ| mit dem
”
ket“ (A|Ψi), andererseits kann es als Matrix interpretiert werden.
”
Beispiel für linearen Operator:
Gegeben sei |Ψ1 i und hϕ1 | (fest gewählt). Dann definiert |Ψ1 ihϕ1 | einen linearen Operator
auf beliebige ket“ |Ψi durch
”
|Ψ1 ihϕ1 |Ψi
Analogie für Vektoren:
 

a1
 ..  
 . ;
an

b1


ba? =  ... 
bn

b1
..  :
. 
bn

a·b=
X
ai · bi
Skalarprodukt
i

b1 a?1 b2 a?2 . . . . . .

..
.. 
..
. . . a?n =  ...
.
.
. 
?
bn a1 . . . . . . bn a?n

a?1
Projektor:
Es sei hΨ|Ψi = 1
PΨ ≡ |ΨihΨ| Operator
PΨ |ϕi =
|Ψi hΨ|ϕi
|{z} | {z }
Richtung Gewicht
Projektor auf 1 − P Unterraum.
Es gilt PΨ2 = PΨ
Es seienP|Ψ1 i . . . |Ψq i orthonormierte ket“, d.h. hΨi |Ψj i = δij für 1 ≤ ij ≤ q. Dann
”
ist P = 1≤ij≤q |Ψj ihΨi | Projektor auf den durch |Ψ1 i . . . |Ψq i aufgespannten Raum.
Zeige dass P 2 = P (Nachrechnen!)
2.2.4 Hermitisch konjugierter (=
ˆ adjungierter) Operator
A auf ket“ |Ψi liefert (A|Ψi); ist wieder ket“.
”
”
Wirkung von A auf bra“ hϕ| (liefert bra“ hϕ|A ) ist festgelegt durch die Forderung:
”
”
(hϕ|A) |Ψi = hϕ| (A|Ψi) ∀ Ψ
Seite
27
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
und wir schreiben in Analogie zur Matrixnotation:
(hϕ|A) |Ψi = hϕ| (A|Ψi) = hϕ|A|Ψi
Der zu A adjungierte (hermitisch konjugierte) Operator A+ ist definiert durch
hϕ|A+ |Ψi ≡ hΨ|A+ |ϕi?
∗
in Analogie zu Matrizen: (M + )ij = Mji
|AΨi = A|Ψi
Beachte:
hAΨ| = hΨ|A+
A++ = A,
Es gilt:
(wie hλΨ| = λ∗ hΨ| )
(λA)+ = λ∗ A+
(AB)+ = B + A+
2.3 Darstellungen im Zustandsraum
Wahl einer Darstellung =
ˆ Wahl einer normierten Basis
Zustände werden dann dargestellt“ durch die Komponenten dieser Basis.
”
Operatoren : Matrizen
Zusammenstellung der wesentlichen Formeln (nur für diskreten Index):
{|ui i} orthonormierte Basis
P
Jeder ket |Ψi kann geschrieben werden als |Ψi = i ci |ui i
Es
P gilt ∀ i : Pi = |ui ihui | ist Projektor.
i Pi = 1
Beispiel:
hϕ|Ψi = hϕ|1|Ψi = hϕ|
X
Pi |Ψi
i
=
X
hϕ|ui ihui |Ψi
i
ket |Ψi in der durch {|ui i} festgelegten Dastellung entspricht der einspaltigen Matrix:

 

hu1 |Ψi
c1
 hu2 |Ψi   c2 

=

..
..
.
.
bra hΨ| in der durch {|ui i} festgelegten Dastellung entspricht der einzeiligen Matrix:
hΨ|u1 i hΨ|u2 i . . . = c?1 c?2 . . .
Seite
28
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Operator A Aij = hui |A|uj i
Produkt von A mit |Ψi : A|Ψi in der durch {|ui i} charakterisierten Basis.
|Ψ0 i = A|Ψi
X
c0i =
Aij cj
j
Basis–Wechsel =
ˆ Wechsel der Darstellung“
”
Übergang von Basis {|ui i} zu Basis {|tk i}
Regel wird festgelegt durch die Komponenten jedes der neuen Basisvektoren bezüglich
der alten Basis.
X
|tk i =
hui |tk i
|ui i
| {z }
i
Komponenten von tk bezüglich ui
Sik ≡ hui |tk i Transformationsmatrix
∗
(S)+
ki = (Sik ) = htk |ui i
S ist unitär: SS + = S + S = 1
Beweis: (SS + )ij =
P
iht | u i
k hui |t
| k{z k} j
=1
• von ket: htk |Ψi =
P
+)
ki
• von bra: hϕ|tk i =
P
Sik
i (S
∗
i bi
= hui |uj i Neue Komponenten
| {z }
δij
ci
2.4 Eigenwert–Gleichungen / Observablen
2.4.1 Eigenwerte / Eigenvektoren
A|Ψi =
λ
|{z}
|Ψi
|{z}
Eigenwert Eigenvektor
2 Fälle:
λ ist einfacher Eigenwert ⇔ der zu λ gehörige Eigenvektor ist eindeutig festgelegt.
λ ist g–facher Eigenwert ⇔ linear unabhängiger Eigenvektor zu λ : |Ψi i; i = 1 . . . g Diese spannen
Eigenwertgleichung in bestimmter Darstellung
A|Ψi = λ|Ψi
ci ≡ hui |Ψi;
hui |A
P |{z}
|u ihu |
j
P
Aij cj = λci
P
(Aij − λδij ) cj = 0
|
{z
}
j
j
PM
j
Seite
j
Aij = hui |A|uj i
|Ψi = λhui |Ψi
j
ij cj =0
29
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Homogenes Gleichungssystem; hat nur Lösungen 6= 0 wenn Det (Aij − λδij ) = 0
Säkulargleichung“
”
Für N × N –Matrix ⇒ Gleichung N–ten Grades für λ ⇒ N Wurzeln, reell oder komplex,
einfach oder vielfach. cj ist für festes λ Lösung der komplexen Gleichung.
Für hermitische Operatoren gilt:
Falls die Säkulargleichung die Wurzel λ n–fach hat, so gibt es n linear unabhängige
Eigenvektoren zu λ.
2.4.2 Observable
Im folgenden sei A hermitisch
⇒ Eigenwerte reell
Denn es gilt: A|Ψi = λ|Ψi für Eigenvektor |Ψi
hΨ|A|Ψi = λhΨ|Ψi
λ? hΨ|Ψi = hΨ|A|Ψi? = hΨ|A+ |Ψi
da A hermitisch = hΨ|A|Ψi = λhΨ|Ψi
Ferner: A|ϕi
hΨ|A|ϕi
hϕ|A+ |Ψi?
=
|{z}
Definition von A+
=
|{z}
hϕ|A|Ψi? = λ? hϕ|Ψi?
A hermitisch
λhΨ|ϕi ⇒ hΨ|A = λhΨ|
=
Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten stehen orthogonal aufeinander.
λ|Ψi; A|ϕi = µ|ϕi; λ 6= µ
λhϕ|Ψi Wirkung nach rechts
hϕ|A|Ψi =
λhµ|Ψi Wirkung nach links
⇒ λ 6= µ ⇒ hϕ|Ψi = 0
A|Ψi
=
Endlich dimensionaler Raum, hermitische Matrix:
{Eigenvektor} = Basis
Hier: Forderung: Hermitischer Operator O dessen Eigenvektor eine Basis bilden ≡ Observable.
D.h. Jeder Zustand kann entwickelt werden nach Eigenvektor von O.
Bsp.: Hamilton Operator: Energie–Eigenzustände sind vollständig.
Behauptung:
Falls [A,B] = 0 ⇒ ∃ Orthogonale Basis mit Basisvektoren die simultan Eigenvektoren zu A und B sin
Vollständiger Satz von Observablen A, B, C, . . .
1. Alle Operatoren vertauschen untereinander
Seite
30
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
2. Das System der Eigenvektoren ist nicht mehr entartet, d.h. zwei Eigenvektoren zu
A, B, C unterscheiden sich in wenigstens einem Eigenwert. Die Eigenvektoren sind
eindeutig durch ihre Eigenwerte charakterisiert.
Beispiel: Eindimensionales Potential x oder p
x oder p
kn oder Energie
Eindimensionale Box [Bild]
kn = nπ
a
Anmerkungen:
• Wenn O mit allen Operatoren eines vollständigen Satzes von Operatoren vertauscht,
so ist O eine Funktion dieser Operatoren.
Beispiel: 1–dimensional [O, x] = 0, dann ist O eine Funktion von x.
• Zustände ket (oder bra) werden oft durch die Eigenwerte eines vollständigen Satzes
charakterisiert.
|pi
ebene Welle mit Impuls p
|E1 i
Grundzustand des Hamilton Operators (1–dim. Problem)
|n,l,mi Energie–Eigenzustand mit En ∼ n2 , mit (Drehimpuls)2 = l(l + 1)~2 , und lz = m~
Impuls: {Eigenzustände |p0 i} = Basis; hp0 |p00 i = δ(p0 − p00 )
Impulsdarstellung: hp0 |ΨiΨ̃(p)
Ort: {Eigenzustand: |xi} = Basis
Ortsdarstellung: hx|Ψi = Ψ(x)
hx|x0 i = δ(x − x0 )
Energie: {Eigenzustand |En i oder |ni} = Basis
Energiezustand hEn |Ψi
• Funktionen eines Operators: f (H)
Entweder: Wähle Darstellung, in welcher A diagonal ist.



hi|A|ji = ai δij = 


a1
a2
..




.
an

f (a1 )
0
0
0
 0
f
(a
)
0
0
2

hi|f (A)|ji = f (ai )δij =  .
..
..
..
 ..
.
.
.
0
0
0 f (an )
P
P
Falls f (u) = n cn un , dann f (A) = n cn An





Wichtige Beispiele:
P sei Impulsoperator, a Konstante
eiaP/~
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31
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Impulsdarstellung:
hp00 |eiaP/~ |p0 i = eiaP/~ δ(p00 − p0 )
Z
hp0 |eiaP/~ |Ψi =
dp00 hp0 |eiaP/~ |p0 ihp0 |Ψi
= eiaP/~ Ψ̃(p0 )
Ortsdarstellung:
X 1
a
(a )n
n!
dx
Zn
X 1
a
(a )n |x0 ihx0 |Ψi
hx|eiaP/~ | |{z} Ψi =
dx0 hx|
n!
dx
n
dx0 |x0 ihx0 |
Z
X 1
a
=
dx0
(a )n δ(x − x0 )Ψ(x0 )
n! dx
n
X 1
X 1
a
(a )n Ψ(x) =
an Ψ(n) (x)
=
n!
dx
n!
n
n
a
eiaP/~ =
ˆ ea dx
=
R
= Ψ(x + a)
Hamilton–Operator in Orts– bzw. Impulsdarstellung
H=
p2
2m
+ V (x);
p = Impulsoperator
x = Ortsoperator
• Ortsdarstellung
d 2
) δ(x0 − x00 )
dx0
V (x0 )δ(x0 − x00 )
Z
dx00 hx0 |H|x00 ihx00 |Ψi
Z
d 2
1
dx00 [
(i~
) + V (x0 )]δ(x0 − x00 )Ψ(x00
2m dx0
~2 d 2
−
(
) + V (x0 ) Ψ(x0 )
2m dx0
hx0 |P 2 |x00 i = (i~
hx0 |V (x)|x00 i =
hx|H|Ψi =
=
=
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32
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
• Impulsdarstellung
hp0 |P 2 |p00 i = p20 δ(p0 − p00 )
Z
hp0 |V (x)|p00 i =
dx1 dx2 hp0 |x1 i hx1 |V (x)|x2 i hx2 |p00 i
| {z } |
{z
} | {z }
Z
=
dx1 dx2 Vp0 (x1 )? δ(x1 − x2 ) Vp00 (x2 )
dx1 i(p00 −p0 )x1 /~
e
V (x1 )
2~π
√
= Ṽ (p00 − p0 )/ 2π~
Z
p20
dp0
hp0 |H |{z} |Ψi =
Ψ̃(p0 ) + √
Ṽ (p00 − p0 )Ψ̃(p00 )
2m
2π~
0
0
=
|p0 ihp0 |
hp0 |H|Ψi = Ehp0 |Ψi
Integralgleichung
3 Postulate der Quantenmechanik
3.1 Allgemeine Prinzipien
Zwei Jahre Intensive Diskussion 1925/26 (Kopenhagener Interpretation)
Klassisches mechanisches System:
Zur Zeit t0 : Zustand festgelegt durch die verallgemeinerten Koordinaten qi (t0 ), pi (t0 ),
Bewegung im Phasenraum.
(Bild - beliebiger Zeitpunkt: qi (t), pi (t) aus den hamilton’schen Gleichungen)
Quantenmechanik
• Zur Zeit t0 : Zustand festgelegt durch |Ψ(t0 )i. Jede Messung wird beschrieben durch
die Wirkung eines Operators der auf Ψ(t0 ) wirkt. → Observable“
”
• Messung → Eigenwert von A
z.B. Energieeigenwerte, Spin bei Stern Gerlach
• Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert an zu finden (ohne Entartung)
P (an ) = |hun |Ψi|2
an g–fach entartet P (an ) =
P
i,...,g
i
hun |Ψi2
Falls A kontinuierliches Spektrum:
Dichte dP (α) = |hνα |Ψi|2 dα
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33
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Beispiel: Dichte im Ortsraum:
dP (x) = |hx|Ψi|2 dx = |Ψ(x)|2 dx
2
dP (p) = |hp|Ψi|2 dp = Ψ̃(p) dp
Reduktion des Wellenpaketes“
”
Nach der Messung ist das System (Wahrscheinlichkeit 1) im Unterraum, der durch an
chararkterisiert wird:
Pn |Ψi
a
|Ψi = n p
→
hΨ|Pn |Ψi
Pn ist der Projektor auf den durch a charakterisierten Unterraum (falls keine Entartung
Pn = |un ihun |).
Beispiel: Ortsmessung
Teilchen zwischen ∞ hohen Wänden im Grundzustand:
(3 Zeichnungen)
Teilchen nicht mehr im Energiegrundzustand. Überlagerung von allen Energie–Eigenzuständen.
Anmerkung: Sukzessive Messungen von Observablen aus vollständigem Satz führt auf
einen Zustand, der Eigenzustand zu all diesen Operatoren ist. Der Zustand ist dann
eindeutig festgelegt.
d
i~ dt
|Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i
Zeitentwicklung:
In der Quantenmechanik werden Observable häufig aus klassischen Größen dediziert:
In Ortsdarstellung: x → X
p → P = i~
d
dx
alle anderen Observablen, die klassische Funktionen von x und p sind, werden durch diese
Substitution gewonnen. ⇒ Korrespondenzprinzip“
”
Erwartungswerte (diskretes, nicht entartetes Spektrum)
Einzelne Messung liefert einen der Eigenwerte an mit der Wahrscheinlichkeit
Pn = |hun |Ψi|2
X
X
viele Messungen:
an Pn =
hΨ |un ian hun | Ψi
| {z }
n
n
A
= hΨ|A|Ψi
Seite
34
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Schwankungen um den Mittelwert
|Ψi(∆A)2 ≡ |Ψi (A − hΨ|A|Ψi)2 |Ψi
Heisenberg’sche Unschärfe–Beziehung
Ausgangspunkt: [Q,P ] = i~
Trick: Betrachte |ϕi = (Q + iλp) |Ψi
|{z}
beliebig
(Q + iλP ) (Q − iλP ) |Ψi
|
{z
}
2
2
2
Q + λ P + iλ(QP − P Q)
0 ≤ hϕ|ϕi = hΨ|
[Q,P ] = i~
0 ≤ hΨ|Q2 |Ψi + λ2 hΨ|P 2 |Ψi − λ~ hΨ|Ψi
| {z }
∀λ
=1
Wähle λ =
~
2
P2
;
Ψ
P2
Ψ
= hΨ|P 2 |Ψi
2 2
Q Ψ P Ψ≥
~2
u
Gleichheitszeichen gilt nur für Gauß–Paket.
3.2 Schrödinger Gleichung / allgemeine Resultate
d
|Ψ(t)i = H(t)|Ψ(t)i
dt
Für gegebenes |Ψ(t0 )i liegt |Ψ(t)i für alle t bekannt.
i~
3.2.1 Erhaltung der Wahrscheinlichkeit
hΨ(t)|Ψ(t)i
|
{z
}
zeitlich konstant
Beweis:
d
hΨ(t)|Ψ(t)i =
dt
d
d
hΨ(t)| |Ψ(t)i + hΨ(t)|
Ψ(t) i
dt
|dt {z }
| {z }
d
1
Ψ=− i~
hΨ|H(t)
dt
1
H(t)|Ψi
i~
⇒ = 0
Im Ortsraum:
Seite
Z
d~r |Ψ(~r, t)|2 zeitlich konstant = 1
35
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3.2.2 Wahrscheinlichkeitsdichten und Ströme
ρ(~r, t) = |Ψ(~r, t)|2
~ ?˜
~(~r, t) =
Ψ ∇Ψ − Ψ∇Ψ?
2mi
Plausibilität:
p~
~ ~v
=
m
im
Klassische Stromdichte = Dichte · Geschwindigkeit
~v =
Für ebene Wellen:
Ψ(~r, t) = Aei(~p~r−Et)/~
⇒ ρ = |A|2
2
~j = |A|
i~
p
~
i~
p
p~
− −
= |A|2
~
~
2mi
m
|{z}
vGruppe
Lokale Erhaltung
Elektrodynamik:
∂
∂t
ρ(~r, t)
| {z }
Ladungsdichte
+∇ ~(~r, t)
| {z }
=0
Stromdichte
Hier:
∂
~ ~ Ψ? ∇Ψ
~ − Ψ∇Ψ
~ ?
(Ψ? Ψ) + ∇
∂t
2mi ∂
~ ~ ? ~
∂ ?
?
~ 2 Ψ − ∇Ψ
~ ∇Ψ
~ ? − Ψ∇
~ 2 Ψ?
Ψ Ψ+Ψ
Ψ +
∇Ψ ∇Ψ + Ψ? ∇
=
∂t
∂t
2mi
∂ ?
~ ~2 ?
∂
~ ~2
=
Ψ −
∇ Ψ Ψ+
Ψ+
∇ Ψ Ψ?
=
0
|{z}
∂t
2m
∂t
2mi
Schr. Gl. einsetzen
Schrödinger–Gleichung:
∂
~2 ~ 2
i~ Ψ =
−
∇ +V Ψ
| · Ψ?
∂t
2m
~2 ~ 2
∂ ?
−
−i~ Ψ =
∇ + V Ψ?
|·Ψ
∂t
2m
2
∂
∂ ?
~2 ~
~ ~ ?
?
?
−i~
Ψ Ψ +
Ψ Ψ = Ψ −
∇Ψ + Ψ
∇Ψ
∂t
∂t
2m
2m
Seite
36
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
3.2.3 Zeitliche Entwicklung von Erwartungswerten
⇒
hAi = hΨ(t)|A|Ψ(t)i
d
d
d
∂
hA(t)i =
hΨ(t)|A|Ψ(t)i + hΨ(t)|A| Ψ(t)i + hΨ(t)| A|Ψ(t)i
dt
dt
dt
∂t
1
∂
=
hΨ(t)|[A,H]|Ψ(t)i + hΨ(t)| A|Ψ(t)i
i~
∂t
d
1
∂
hA(t)i =
h[A,H]i + h Ai
dt
i~
∂t
Insbesondere:
Falls [A,H] = 0 und falls
∂
∂t A
=0
⇒
d
dt
hAi = 0
Wähle speziell:
A = R Ortsoperator
A = P Impulsoperator
H=
p2
p
R,
= i~
2m
m
~~
(R)
[P,H] = [P, V (R)] = ∇V
i
∂
∂
R=0 ;
P =0
∂t
∂t
hP i t
d
hRi (t) =
⇒
dt
m
d
~ (R)(t)i
hP i (t) = −h∇V
dt
p2
+ V (x)
2m
[R,H] =
⇒ Ehrenfest–Theorem analog zur Hamilton–Gleichung in der Mechanik
~ (R)i =
~ (hRi)
Beachte: h∇V
6 ∇V
Klassischer Grenzfall:
~ (R)i → ∇V
~ (hRi)
h∇V
d2
~ (hRi)
⇒ m 2 hRi = −∇V
dt
3.2.4 Zeitliche Entwicklung von Zuständen
∂
Konservative Systeme ∂t
H=0
Eigenzustände / –werte zum Zeitpunkt t = t0
H|Ψn (t0 )i = En |Ψn (t0 )i
Seite
37
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Definiere Basis {|Ψn (t0 )i}
Zeitliche Entwicklung von beliebigem Zustand
X
|Ψ(t)i =
cn (t)|Ψ(t0 )i
n
DGL für cn (t)
i~
X d
n
dt
X
cn (t) |Ψ(t0 )i =
cn (t)En |Ψn (t0 )i
n
d
⇒ i~ cn (t) = En cn (t)
dt
⇒ cn (t) = cn (t)e−iEn (t−t0 )/~
X
cn (t)e−iEn (t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i
|Ψ(t)i =
n
Wichtige Konsequenz: Falls nur ein cn 6= 0, cn = eiϕ
O.B.d.A.
hAi (t) = hΨ(t)|A|Ψ(t)i
= hΨ(t0 )|eiEn (t−t0 )/~ Ae−iEn (t−t0 )/~ |Ψ(t0 )i
= hAi (t0 )
Erwartungswerte ändern sich nicht stationäre Zustände“ ⇔ scharfe Energie
”
Seite
38
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
4 Der Harmonische Oszillator (HO)
4.1 Einführung – H.O. in der klassischen Mechanik
Teilchen der Masse m im Potential V (x) = 12 kx2
(Bild Potential)
Bewegungsgleichung: mẍ = − dV
dx = −kx
Lösung:
q x(t) = xM cos (ωt − ϕ)
k
ω= m
; xM , ϕ aus Anfangsbedingung
Energie:
p2
1
1
+ mω 2 x2 = mω 2 x2M
2m 2
2
Bemerkung: Die potentielle Energie U (x) vieler physikalischer Systeme hat bei x = x0
ein Minimum.
E =T +V =
Entwickeln von x = x0
1
U (x) = U (x0 ) + U 0 (x0 )(x − x0 ) + U 00 (x0 )(x − x0 )2
| {z }
| {z }
2 | {z }
=0
konst. = 0
konst.
(Bild U (x))
Beschreibbar:
• Oszillationen von Atomen im Kristall, Molekül
• Quantisierung“ von Feldern
”
4.2 Harmonischer Oszillator in der Quantenmechanik
H=
1
p2
+ mω 2 x2
2m 2
Klassische Größen → Operatoren
Eigenwert–Gleichung HΨ = EΨ im Ortsraum:
~2 d 2
1
2 2
−
+ mω x Ψ = EΨ
2m dx2 2
4.2.1 Analytische Lösung der DGL
p
E
ε = ~ω
Setze x̂ = x mω
~ ,
Seite
d2
2
−
x̂
+
2ε
Ψ(x̂) = 0
dx̂2
(6)
39
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
(x̂ ε)
Verhalten für Ψ(x̂) für große x̂
2
± x̂2
Ansatz: G± (x̂) = e
G± (x̂) löst DGL:
d2
2
− x̂ ± 1 G± (x̂) = 0
dx̂2
Für große x̂ ≈ x̂ ± 1 ≈ x̂ + 2ε
Normierbarkeit nur abfallende Lösung.
Ψ(x̂) = h(x̂)e−
⇒ Ansatz für Gl. (6):
x̂2
2
Einsetzen in Gl. (6):
d2
2 d
− 2x̂
+ (2ε − 1) h(x̂) = 0
dx̂2
dx̂
Lösung mit Potenzreihenansatz
h(x̂) =
∞
X
am x̂m+p
n=0
a0 6= 0 (ai = 0 für i < 0)
(m + p + 2)(m + p + 1)am+2 = (2m + 2p − 3ε + 1)am
am+2 m ∞ 1
am
m ⇒ Normierbare Lösung nur, falls Potenzreihe abbricht.
→
1.
m = −2 ⇒ p(p − 1) = 0
⇒ p = 0;
p=1
2.
!
0
=
1
1
⇒ εn = m + p + = n +
2
2
1
⇒ En = ~ω n +
2
(2m + 2p − 2ε + 1)
einsetzen in DGL:
d2
2 d
− 2x̂
+ 2n h(x̂) = 0
dx̂2
dx̂
n = 0,1,2, . . .
Hermite DGL
Seite
40
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Lösung: Hermite Polynome Hn (x̂)
n
2 d
2
Hn (x̂) = (−1)n ex̂
e−x̂
n
dx̂
r
√
~
Nn =
πn!
...
mω
H0 (y) = 1
H1 (y) = 2y
H2 (y) = 4y 2 − 2
Stationäre Zustände des H.O.
x̂2
ϕn (x̂) = Nn e− 2 Hn (x̂)
1
En = ~ω n +
2
n = 0,1,2, . . .
• ∆E = En − En−1 = ~ω = konstant
• E0 = 12 ~ω
heißt Nullpunktsenergie
Eigenschaften von ϕn (x̂)
• ϕn (−x̂) = (−1)n ϕn (x̂)
• ϕn (x̂) hat n reelle Nullstellen
• Extrema liegen innerhalb der klassischen Grenzen“
”
4.2.2 H.O. Algebraische Lösung
Def. dimensionslose Größen
r
mω
1
x
p̂ = √
p
~
m~ω
H
1
E
Ĥ =
= (x̂2 + p̂2 )
ε=
~ω
2
~ω
x̂ =
[x̂, p̂] = i
Eigenwertgleichung:
Ĥ|ϕν i = Eν |ϕν i
1
a = √ (x̂ + ip̂)
2
1
x̂ = √ (a + a† )
2
1
a† = √ (x̂ − ip̂)
2
i
i h †
p̂ = √ a − a
2
Eigenschaften von a, a†
Seite
41
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
1.
h
a, a†
i
1
[x̂ + ip̂, x̂ − ip̂]
2
1
=
(i [x̂ − p̂] + i [p̂, x̂])
2
= 1
=
2.
N
|{z}
= aa† =
Besetzungszahloperator
3.
H = a† a +
1 2
x̂ + p̂2 − 1
2
1
1
=N+
2
2
⇒ Eigenzustände von Ĥ sind auch Eigenzustände von N̂ und umgekehrt.
⇒ Lösen von H|ϕν i = Eν |ϕν i ist äquivalent zur Lösung von N |ϕν i = ν|ϕν i
Eigenschaften von N
1.
i
a† a, a
h
i
= a† , a a = −a
[N, a] =
h
N, a†
i
h
[AB, C] = A [B, C] + [A, C] B
= a†
2. Eigenwerte ν von N
ν≥0
0 ≤ ||(a|ϕν i)||
= haϕν |aϕν i = hϕν |a† a|ϕν i = hϕν |N |ϕν i = ν hϕν |ϕν i
| {z }
>0
⇒ν≥0
• niedrigster Eigenwert ≥ 0
• Falls ν > 0 ⇒ a|ϕν i = 0
3. Sei |ϕν i Eigenzustand von N zum Eigenwert ν − 1, a|ϕν i ∼ |ϕν−1 i ⇒ a† |ϕν i ist
Eigenzustand zum Eigenwert ν + 1, a† |ϕν i ∼ |ϕν+1 i
N a† |ϕν i = (a† + a† N )|ϕν i = (ν + 1)a† |ϕν i
Seite
42
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Analog für a|ϕν i
Richtige Normierung |ϕν i sei 1. Normiert hϕν |ϕν i = 1
ha† ϕν |a† ϕν i = hϕν |aa† |ϕν i = hϕν |a† a + 1|ϕν i − (ν + 1)hϕν |ϕν i
√
⇒ a† |ϕν i =
ν + 1|ϕν+1 i
√
a|ϕν i =
n|ϕν−1 i
Falls eine Eigenfunktion bekannt ist erhält man alle anderen sukzessive.
Anwendung von a und a† :
Falls |ϕ0 i bekannt
1
1
|ϕn i = √ a† |ϕn−1 i = √ (a† )n |ϕ0 i
n
n!
4. Eigenwerte ν von N sind ∈ N0
Annahme: Es gibt ν̄ mit n < ν̄ < n + 1
N (an |ϕν̄ i)
n ∈ N0
([N, a] = −a;
=
[N, an ] = −ann )
(ν̄ − n) an |ϕν̄ i
| {z }
≥0
n+1
N (a
|ϕν̄ i)
=
(ν̄ − n − 1) an+
|
{z
}
<0
D.h. wir haben
N |ϕn i = n|ϕn i
1
⇒ H|ϕn i = ~ω n +
|ϕn i
2
n = 0, 1, 2, . . .
Interpretation von a, a† :
a† heißt Erzeugungsoperator
a heißt Vernichtungsoperator
(Bild: Parabel n= 0, 1, 2, 3)
5. Eigenzustände des Hamiltonoperators:
Besetzungsdarstellung
1
a = √ (x̂ + ip̂)
2
Im Orstraum:
1
ϕ0 (x) = hx|a|ϕ0 i = √
2
a|ϕ0 i = 0
d
x̂ +
dx̂
hx|ϕ0 i
| {z }
ϕ0 (x̂)
Seite
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Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
Lösung: ϕ0 (x̂) = N0 e−x̂/2
Angeregte Zustände:
hx|ϕn i =
=
1
√ hx|(a† )n |ϕ0 i
n!
1 1
d
√ √ (x̂ − )ϕ0 (x)
n
dt
n! 2
Explizite Form von H, N, a, a† , x̂, p̂
Besetzungszahldarstellung |ϕn i = |ni
hm|N |ni = nδm,n

0
0

1

⇒ (N ) = 
2

..
.
0
1
H = ~ω N +
2

1/2
3/2
⇒ H = ~ω 
0
a† |ni =
†
hm|a |mi =

√
√




0


5/2
n + 1|n + 1i
n + 1δm,n+1
√0
 1 0

√

2 0
†
a = 

√ ..

.
3

..
.
0
√

0
1 √

0
2 √


0
3
a = 

.
..

0

0








0
0





.. 
. 
0
Hinweis:
Berechnen Sie a† a und vergleichen Sie die Spur und Determinante auf der linken und
Seite
44
Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
rechten Seite.
√

0
1 √
0
√
 1 0

2 √


√

1 
2
0
3


(x̂) = √ 
√
.. .. 
2
.
. 
3


..
. 0
0
√

0
√0 − 1
√
 1
0
−
2

√
√
i 
2
0
−
3

(p̂) = √ 
√
..
..
2
.
.
3

..
.
0
0

1 x̂ = √ a + a†
2
i p̂ = √ a† − a
2








4.3 Diskussion der Resultate
4.3.1 Erwartungswerte
Für stationäre Zustände (Energieeingenzustände) gilt hxi = 0; hpi = 0 für alle Zeiten.
hn|x2 |ni wächst mit n und entspricht genau dem Wert, welchen man als zeitlichen Mittelwert von x2 bei klassischer Bewegung erhalten würde. (Ohne Beweis)
Analog für p2
4.3.2 Qualitativer Beitrag zum Grundzustand
Klassisch: x = 0, p = 0, E = 0 ∀t
Quantenmechanik: Wellenfunktion ist ausgedehnt über Bereich ∼ ξ ∼, hV i ≈ 12 mω 2 ξ 2
2
Erwartungswert p2 ∼ ~ξ2 (Unschärferelation)
hp2 i
~2
⇒ Kinetische Energie: hT i = 2m = 2mξ
2
hHi =
hHi wird minimal für ξ 2 =
Größenordnung
~
mω
~2
1
+ mω 2 ξ 2
2
2mξ
2
und man erhält hV i = hT i und hHi ≈ ~ω als korrekte
4.4 Dreidimensionaler Harmonischer Oszillator in kartesischen Koordinaten
p~2
1
2 ~2
~ = Eϕ(R)
~
+ mω R ϕ(R)
2m 2
{z
}
|
H = Hx + Hy + Hz
mit Hx =
~2 d2
2m dx2
+ 12 mω 2 x2
Es gilt weiterhin
[Hx , Hy ] = 0;
[Hx , Hz ] = 0;
[Hy , Hz ] = 0
können gleichzeitig diagonalisiert werden; Problem entspricht drei ungekoppelten harmonischen Oszillatoren.
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Theo D – Kühn – Mitschrieb SS 2005
~ = ϕx (x) + ϕy (y) + ϕz (z)
Ansatz: ϕ(R)
Hϕ = (Hx + Hy + Hz ) ϕ = Hx ϕx ϕy ϕz + Hy ϕx ϕy ϕz + Hz ϕx ϕy ϕz
H x ϕ x H y ϕy H z ϕ z
⇒
+
+
=E
ϕ
ϕ
ϕ
| {zx } | {zy } | {zz }
=Ex
⇒
=Ey
=Ez
konstant
Drei entkoppelte Gleichungen und Ex + Ey + Ez = E
H x ϕ x = E x ϕx
H y ϕy = E y ϕy
H z ϕz = E z ϕz
ϕnx x (x) sei Lösung der 1 − D Gleichung mit Energie ~ω nx +
n
ϕy y (x) → ~ω ny + 12 ϕnz z (x) → ~ω nz + 12
1
2
3
E = ~ω(nx + ny + nz + )
2
Energie–Eigenwerte sind entartet angeregt von n = nx + ny + nz , reicht nicht um den
Zustand festzulegen. Die Angabe von nx , ny , nz legt Zustand eindeutig fest.
Gegeben sei n. Wieviele nx , ny , nz Kombinationen passen?
⇒
Seite
(n + 1)(n + 2)
2
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