Vorkurs - Universität Koblenz · Landau

Vorkurs
Teil A: Mathematische Objekte und Beweismethoden
Wintersemester 2014/15
von
Dr. Dominik Faas
Institut für Mathematik
Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften
Universität Koblenz-Landau, Campus Landau
1 Zahlen
Teil A.1: Umgang mit mathematischen Objekten
1 Zahlen
Frage 1.1.
Welche Arten von Zahlen bzw. welche Zahlmengen kennen Sie?
ˆ Natürliche Zahlen:
1, 2, 3, . . .
N
=
{1, 2, 3, . . .}
N0
=
{0, 1, 2, 3, . . .} = N ∪ {0}
ˆ Ganze Zahlen:
(Menge der natürlichen Zahlen)
(Menge der natürlichen Zahlen und der 0)
. . . , −3, −2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .
Z = {. . . , −3, −2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .} = N0 ∪ {−n; n ∈ N}
ˆ Rationale Zahlen:
a
b
(Menge der ganzen Zahlen)
mit a, b ∈ Z und b =/ 0
a
Q = { ; a, b ∈ Z, b =/ 0}
b
(Menge der rationalen Zahlen)
ˆ Reelle Zahlen, Irrationale Zahlen:
R
R∖Q
(Menge der reellen Zahlen)
(Menge der irrationalen Zahlen)
Frage 1.2.
Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Zahlmengen?
Es gilt:
N⊂Z⊂Q⊂R
und
R∖Q⊂R
ˆ Jede natürliche Zahl ist auch eine ganze Zahl.
ˆ Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl.
ˆ Jede rationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
ˆ Jede irrationale Zahl ist auch eine reelle Zahl.
Hinweis: Zu den Symbolen {. . .}, ∪, ∈, ⊂ folgen später weitere Erläuterungen.
Aufgabe 1.3.
(a) Nennen Sie einige:
● natürliche Zahlen.
● ganze Zahlen, die keine natürlichen Zahlen sind.
● rationale Zahlen, die keine ganzan Zahlen sind.
● reelle Zahlen, die keine rationalen Zahlen sind.
(b) Nennen Sie eine Eigenschaft
● die jede der Zahlmengen N, Z, Q, R hat.
● die Z hat, aber nicht N.
● die Q hat, aber nicht Z.
● die R hat, aber nicht Q.
● die N hat, aber nicht R.
2
2 Verknüpfungen von Zahlen
Frage 2.1.
Was ist eine Verknüpfung (von Zahlen)?
Eine Verknüpfung kann wie folgt erklärt werden:
ˆ Der Verknüpfung wird ein Symbol ∗ zugeordnet. Hinweis: (∗ ist hier nur als Platzhalter zu
verstehen, in den meisten Fällen wird hier ein allgemein bekanntes Symbol stehen.)
ˆ Zwei Zahlen x, y sollen verknüpft werden, das Ergebnis soll wieder eine Zahl sein. Hinweis:
(x, y sind hier ebenfalls Platzhalter für Zahlen, mehr dazu später (Variablen).)
ˆ Es wird festgelegt aus welchen Zahlmengen, die Zahlen x, y kommen dürfen (eventuell sind
Einschränkungen nötig) und in welcher Zahlmenge dann das Ergebnis liegen kann.
ˆ Falls notwendig wird genau erklärt (festgelegt, definiert), wie man ausgehend von x, y auf das
Ergebnis der Verknüpfung kommt. Dabei wird das Ergebnis der Verknüpfung mit x ∗ y notiert.
Frage 2.2.
Welche Verknüpfungen von Zahlen kennen Sie? (Geben Sie auch an, aus welcher
Zahlenmenge die zu verknüpfenden Zahlen kommen dürfen und in welcher Zahlmenge dann das Ergebnis liegen kann.)
Symbol
erlaubte Zahlen
Ergebnis
+
x ∈ N, y ∈ N
x+y ∈N
+
x ∈ Z, y ∈ Z
x+y ∈Z
+
x ∈ Q, y ∈ Q
x+y ∈Q
+
x ∈ R, y ∈ R
x+y ∈R
−
x ∈ Z, y ∈ Z
x−y ∈Z
−
x ∈ Q, y ∈ Q
x−y ∈Q
−
x ∈ R, y ∈ R
x−y ∈R
⋅
x ∈ N, y ∈ N
x⋅y ∈N
⋅
x ∈ Z, y ∈ Z
x⋅y ∈Z
⋅
x ∈ Q, y ∈ Q
x⋅y ∈Q
⋅
x ∈ R, y ∈ R
x⋅y ∈R
∶
x ∈ Z, y ∈ Z ∖ {0}
x∶y∈Q
∶
x ∈ Q, y ∈ Q ∖ {0}
x∶y∈Q
∶
x ∈ R, y ∈ R ∖ {0}
x∶y∈R
(hoch)
x ∈ N, y ∈ N
(x hoch y) = xy ∈ N
(hoch)
x ∈ R ∖ {0}, y ∈ Z
(x hoch y) = xy ∈ R ∖ {0}
Oftmals (aber nicht immer) liegen x, y und auch x ∗ y in derselben Grundmenge.
3
2 Verknüpfungen von Zahlen
Frage 2.3.
Gibt es auch Verknüpfungen anderer Objekte (als Zahlen)? Nennen Sie Beispiele.
Ja, beispielsweise:
ˆ ∩ und ∪ zwischen Mengen (Für zwei Mengen A, B sind A ∩ B und A ∪ B ebenfalls Mengen.)
ˆ + zwischen Vektoren (Für zwei Vektoren u, v ∈ Rn ist u + v ∈ Rn ebenfalls ein Vektor.)
ˆ das Skalarprodukt von Vektoren ( Für zwei Vektoren u, v ist u ⋅ v eine Zahl (kein Vektor).)
ˆ ∧ und ∨ zwischen Aussagen (Für zwei Aussagen a, b sind a ∧ b und a ∨ b ebenfalls Aussagen.)
Frage 2.4.
Kann man Verknüpfungen miteinander kombinieren?
Ja. Man muss dabei Klammern setzen (oder geltende Konventionen beachten). Beispiele:
ˆ (3 + 5) ⋅ 2 = 8 ⋅ 2 = 16
,
3 + 5 ⋅ 2 = 3 + (5 ⋅ 2) = 3 + 10 = 13
ˆ 4 ∶ 2 ⋅ 8 + 5 = ((4 ∶ 2) ⋅ 8) + 5 = (2 ⋅ 8) + 5 = 16 + 5 = 21
ˆ 2 + 7 + 5 = (2 + 7) + 5 = 9 + 5 = 14
bzw.
2 + 7 + 5 = 2 + (7 + 5) = 14
Hinweis: Hierbei ist nur deshalb keine Klammer notwendig, weil bei beiden möglichen Klammerungen dasselbe Ergebnis herauskommt, dies ist wegen des Assoziativgesetzes so.
2
ˆ 43 = 4(3
4
2
)
= 49 = 262144
,
(43 )2 = 642 = 4096
Frage 2.5.
Welche Eigenschaften haben diese Verknüpfungen (exemplarisch)?
ˆ + und ⋅ sind (auf jeder Grundmenge) kommutativ, d.h.:
x + y = y + x und x ⋅ y = y ⋅ x
Es gilt immer:
Hinweis:
Genauer formuliert:
Für alle x, y ∈ R gilt:
x+y =y+x
Für alle x, y ∈ R gilt:
x⋅y =y⋅x
ˆ − und ∶ sind nicht kommutativ.
ˆ Für die Verknüpfung + gibt es ein sogenanntes “Neutrales Element“ N ∈ R. Dieses erfüllt
N + x = x und auch x + N = x für alle x ∈ R. (Natürlich ist N = 0 gemeint.)
Hinweis: Genauer formuliert:
Es gibt ein N ∈ R , so dass für alle x ∈ R gilt:
x + N = x und N + x = x
ˆ Für − und ∶ gibt es kein Neutrales Element.
ˆ ⋅ und + erfüllen zusammen das Distributivgesetz, d.h.:
Es gilt immer:
Hinweis: Genauer formuliert:
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
Für alle a, b, c ∈ R gilt:
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
ˆ ⋅ und − erfüllen zusammen das Distributivgesetz.
Hinweis: Wir werden die Quantoren ∀: für alle und ∃: es gibt noch behandeln.
Aufgabe 2.6.
Betrachten Sie die folgenden Verknüpfungen:
(a) +, −, ⋅ zwischen reellen Zahlen.
(b) die Verknüpfungen △ und ▽ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
n △ m ∶= kgV(n, m)
und
n ▽ m ∶= ggT(n, m)
(c) ∩ und ∪ zwischen Teilmengen von R
(d) ∖ zwischen Mengen (es ist A ∖ B ∶= {x; x ∈ A und x ∉ B})
(e) die Verknüpfung ○ zwischen Abbildungen R → R
(für zwei Abbildungen f, g ∶ R → R ist: f ○ g ∶ R → R, x ↦ f (g(x)) definiert)
Beantworten Sie jeweils die folgenden Fragen.
(i) Für welche der Verknüpfungen gilt das Kommutativgesetz (d.h. es gilt x ∗ y =
y ∗ x für alle zugelassenen Objekte)?
(ii) Für welche der folgenden Verknüpfungen gilt das Assoziativgesetz (d.h. es gilt
(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) für alle zugelassenen Objekte)?
5
2 Verknüpfungen von Zahlen
(iii) Welche der Verknüpfungen besitzen ein Neutrales Element/Objekt N ? (d.h.
es gilt N ∗ x = x und x ∗ N = x für alle zugelassenen Objekte x und das eine
Objekt N )?
Hinweis: Sie können die Aufgabenteile (c),(d),(e) auch auf später verschieben, wenn Mengen bzw. Abbildungen besprochen werden.
Aufgabe 2.7.
Erfinden Sie eine neue Verknüpfung. Hat diese Verknüpfung bestimmte (interessante) Eigenschaften?
6
3 Relationen zwischen Zahlen
Frage 3.1.
Was ist eine Relation zwischen Zahlen?
Eine Relation kann wie folgt erklärt werden:
ˆ Der Relation wird ein Symbol ∼ zugeordnet. Hinweis: (∼ ist hier nur als Platzhalter zu
verstehen, in den meisten Fällen wird hier ein allgemein bekanntes Symbol stehen.)
ˆ Zwei Zahlen x, y sollen mittels der Relation untersucht/verglichen werden werden, dabei gibt
es stets nur zwei Möglichkeiten:
x ∼ y kann gültig (d.h. wahr) sein
oder
x ∼ y kann ungültig (d.h. falsch) sein
Anders gesagt: x ∼ y ist eine Aussage (entweder eine wahre oder eine falsche Aussage, je
nachdem, welche Werte man für x und y einsetzt).
ˆ Es muss festgelegt sein, aus welchen Grundmengen, die Zahlen x, y kommen dürfen.
ˆ Falls notwendig wird genau erklärt (festgelegt, definiert), wie man ausgehend von x, y entscheiden kann, ob x ∼ y gültig ist.
Frage 3.2.
Welche Relationen zwischen Zahlen kennen Sie?
ˆ Auf den Grundmengen N, Z, Q, R sind die Relationen =, >, <, ≤, ≥, =/ bekannt.
√
Beispielsweise: −8 = −8, 3 < 10, −7 ≥ −8, 0 =/ −2 sind wahre Aussagen
√
√
4 = −4, 8 > 8,
99 ≤ 98, 3 =/ 3
sind falsche Aussagen
ˆ Auf N (auch auf Z) gibt es die Teilbarkeitsrelation, die durch das Symbol ∣ dargestellt wird.
Dabei ist a ∣ b (genau) dann gültig, wenn a ein Teiler von b ist. Hinweis: Dies kann man
noch präziser formulieren, dies folgt später.
Beispielsweise ∶
4 ∣ 20,
26 ∣ 78,
7∣7
aber
3 ∤ 10,
44 ∤ 22
Hinweis: Dabei steht a ∤ b (natürlich) dafür, dass a ∣ b nicht gültig ist.
Frage 3.3.
Gibt es auch Relationen zwischen anderen Objekten (nicht Zahlen)? Können Sie
Beispiele nennen?
Ja, beispielsweise:
ˆ ⊂, ⊊ und ⊃, ⊋ (und auch = bzw. =/ ) zwischen Mengen Hinweis: mehr dazu später
ˆ ∥ und ⊥ zwischen Geraden oder Vektoren
Frage 3.4.
Kann man Relationen miteinander kombinieren?
keine offensichtliche Möglichkeit (man kann aber darüber diskutieren)
7
3 Relationen zwischen Zahlen
Frage 3.5.
Welche Eigenschaften haben die Relationen aus Frage 3.2 (exemplarisch)?
Beispielsweise:
ˆ ≤ ist reflexiv, d.h.:
x ≤ x ist immer wahr Hinweis: Präziser: ∀x ∈ R ∶ x ≤ x
ˆ ≤ ist transitiv, d.h.:
Wenn x ≤ y und y ≤ z beide wahr sind, dann ist auch x ≤ z wahr.
Hinweis: Präziser: ∀x, y, z ∈ R ∶ [(x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z]
ˆ < ist transitiv, aber nicht reflexiv
ˆ =/ ist weder transitiv, noch reflexiv, aber symmetrisch, d.h.:
Wenn x =/ y wahr ist, dann ist auch y =/ x wahr.
Hinweis: Präziser: ∀x, y ∈ R ∶ [x =/ y ⇒ y =/ x]
ˆ ...
Aufgabe 3.6.
Betrachten Sie die folgenden Relationen:
(a) <, ≤, = und =/ zwischen reellen Zahlen.
(b) die Verknüpfungen ∣ zwischen natürlichen Zahlen
(c) die Verknüpfung ≡ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
Für x, y ∈ N ∶
x ≡ y ∶⇔ x + y ist gerade
(d) die Verknüpfung ≜ zwischen natürlichen Zahlen, wobei
Für x, y ∈ N ∶
x ≜ y ∶⇔ x + y ist durch 3 teilbar
(e) ⊂ zwischen Mengen
(f ) ∼ und ≁ zwischen Teilmengen von R, wobei:
⎧
⎪
⎪ A ∼ B gilt ∶⇔
⎨
⎪
⎪
⎩ A ≁ B gilt ∶⇔
⎫
A ∩ B =/ ∅ ⎪
⎪
⎬
A∩B =∅ ⎪
⎪
⎭
(g) ∥ und ⊥ zwischen Geraden
(h) Die Ähnlichkeitsrelation zwischen Dreiecken.
Beantworten Sie jeweils die folgenden Fragen.
(i) Welche dieser Verknüpfungen sind reflexiv?
(ii) Welche dieser Verknüpfungen sind transitiv?
(iii) Welche dieser Verknüpfungen sind symmetrisch?
Aufgabe 3.7.
Erfinden Sie eine neue Relation. Hat diese Relation (interessante) Eigenschaften?
8
4 Aussagen
Frage 4.1.
Was ist eine Aussage?
Aussagen sind Sätze, die Sachverhalte beschreiben und denen man einen Wahrheitswert (d.h. entweder “wahr“ oder “falsch“) zuordnen kann. (vgl: Wikipedia)
Aufgabe 4.2.
Nennen Sie Beispiele von wahren und von falschen Aussagen.
ˆ Wahre Aussagen:
-) 97 ist eine Primzahl.
-) 3 + 4 = 6 + 1
-) 20 ∣ 140
-) 744.2 > 743.9
-) Jedes Quadrat ist ein Rechteck.
-) Es gibt eine negative reelle Zahl, deren Quadrat 7 ist.
-) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
-) Landau hat mehr als 25000 Einwohner.
ˆ Falsche Aussagen:
-) 91 − 12 = 103
-) 744.2 ≤ 743.9
-) 12 ∤ 36
-) Jedes Rechteck ist ein Quadrat.
-) Es gibt eine rationale Zahl, deren Quadrat 7 ist.
-) Landau hat höchstens 30000 Einwohner.
ˆ Aussagen, von denen niemand weiß, ob sie wahr oder falsch sind:
-) Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge.
-) Jede gerade Zahl, die größer oder gleich 4 ist, kann als Summe zweier Primzahlen geschrieben werden.
-) Am 24.12.2015 wird es in Landau schneien.
Hierbei handelt es sich trotzdem um Aussagen, denn sie können ja nur entweder wahr oder
falsch sein.
ˆ Keine Aussagen mit einem eindeutigen Wahrheitswert:
-) Der Mond ist genau 400000 km von der Erde entfernt.
-) x > 34
-) Ich habe heute Nacht gut geschlafen.
Hinweis: Bei nicht-mathematischen Aussagen gerät man leicht in eine “Grauzone“. Es ist dann
nicht mehr unbedingt klar, ob es sich überhaupt um Aussagen handelt. Die Mathematik zeichnet sich
dadurch aus, dass alle Aussagen präzise formuliert werden können.
9
4 Aussagen
Frage 4.3.
Kennen Sie Verknüpfungen zwischen Aussagen? Erklären Sie sie gegebenenfalls.
ˆ ∧ (sprich: “und“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ∧ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ∧ b ist wahr,
a und b beide wahr sind
falls
ˆ ∨ (sprich: “oder“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ∨ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ∨ b ist wahr,
falls
(mindestens) eine der beiden Aussagen a und b wahr ist
ˆ / (sprich: “entweder oder“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen
a und b ist a / b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a / b ist wahr,
falls
genau eine der beiden Aussagen a und b wahr ist
ˆ ⇒ (sprich: “folgt“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a und b
ist a ⇒ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ⇒ b ist wahr,
falls
a falsch ist oder b wahr ist (oder beides)
ˆ ⇔ (sprich: “äquivalent“) ist eine Verknüpfung zwischen Aussagen, denn zu zwei Aussagen a
und b ist a ⇔ b wiederum eine Aussage. Dabei gilt:
a ⇔ b ist wahr,
falls
a und b beide falsch oder beide wahr sind
Hinweis: Wir werden später sehen, warum die letzten beiden Punkte sinnvoll sind.
ˆ ¬ (sprich: “nicht“) ist ebenfalls von Bedeutung: Zu einer Aussage a ist ¬a wiederum eine
Aussage. Dabei gilt:
¬a ist wahr,
falls
a falsch ist
Aufgabe 4.4.
Angenommen A und B sind (irgendwelche) Aussagen: Untersuchen Sie in welchen
Fällen, die Aussagen
(¬A) ∧ (¬B)
bzw.
¬(A ∨ B)
wahr sind. (Gehen Sie dazu alle Kombinationsmöglichkeiten für die Wahrheitswerte
von A und B durch.)
Was stellen sie fest? (Formulieren Sie eine entsprechende allgemeingültige Regel.)
10
Frage 4.5.
Was ist eine Variable?
Eine Variable bezeichnet in der Mathematik einen Platzhalter für eine Rechengröße, beispielsweise
eine Zahl. (Wikipedia)
Dabei benutzt man ein bestimmtes Symbol (z.B. einen Buchstaben) und stellt (genau) klar, wofür
dieses Symbol stehen kann (steht z.B. x für eine Zahl, so muss dabei auch festgelegt werden, in
welcher Zahlmenge x liegen darf ). Variablen können auch für andere Objekte stehen (z.B. Mengen, Vektoren, Funktionen, Relationen, Verknüpfungen, Aussagen, . . .). Hinweis: Die Benutzung
von Variablen hat eine enorme Bedeutung in der Mathematik, denn sie erlaubt es übergeordnete
Sachverhalte zu formulieren.
Frage 4.6.
Kann man Variablen mit Verknüpfungen, Zahlen und Relationen kombinieren, um
damit Aussagen zu erstellen?
Nein, beispielsweise sind (x, y sind hierbei Variablen, die für reelle Zahl stehen)
x<4
,
x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1)
,
x2 + y 2 = −7
,
(x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2
keine Aussagen, denn der Wahrheitswert kann davon abhängen, für welche Zahlen x und y stehen.
Frage 4.7.
Was erhält man stattdessen?
Eine Aussageform: Dies bezeichnet einen Ausdruck mit (mindestens) einer Variablen, der in eine
Aussage übergehen kann. (Wikipedia)
Frage 4.8.
Wie kann eine Aussageform in eine Aussage übergehen?
ˆ Durch Einsetzen (Ersetzen der Variablen durch eine bestimmte Zahl):
-) Die Aussageform x < 4 wird beispielsweise zu einer wahren Aussage, wenn man x durch
die Zahl −3 ersetzt und zu einer falschen Aussage, wenn man x durch die Zahl
199
12
ersetzt.
-) Die Aussageform x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1) wird beispielsweise zu einer falschen Aussage, wenn
man x durch die Zahl −5 und y durch die Zahl 1 ersetzt.
-) Die Aussageform x2 + y 2 = −7 wird immer zu einer falschen Aussage, wenn man x und
y durch irgendwelche reellen Zahlen ersetzt.
-) Die Aussageform (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2 wird immer zu einer wahren Aussage, wenn
man x und y durch irgendwelche reellen Zahlen ersetzt.
Hinweis: Bei einer Aussageform, bei der man durch Ersetzen der Variablen immer eine
wahre (bzw. immer eine falsche) Aussage erhalten würde, handelt es sich dennoch nicht um
eine Aussage.
ˆ Durch die Verwendung von Quantoren: Es gibt zwei Quantoren, die häufig verwendet werden:
∀ ∶ “für alle“
und
∃ ∶ “es existiert (es gibt)“
11
4 Aussagen
Aufgabe 4.9.
Nennen Sie Beispiele von wahren und falschen Aussagen, in denen Quantoren vorkommen.
ˆ Wahre Aussagen:
-) ∀x, y ∈ R ∶ (x + y) ⋅ (x − y) = x2 − y 2
-) ∀x ∈ R ∖ {0} ∶ x2 > 0
-) ∃x ∈ R ∶ x < 4
-) ∃x, y ∈ R ∶ x + 5 =/ 4 ⋅ (y − 1)
-) ∀a ∈ Q ∃b ∈ Q ∶ a + 1 = 2b
ˆ Falsche Aussagen:
-) ∀x ∈ R ∶ x < 4
-) ∀x ∈ R ∶ x2 > 0
-) ∃x, y ∈ R ∶ (x + y) ⋅ (x − y) =/ x2 − y 2
-) ∃b ∈ Q ∀a ∈ Q ∶ a + 1 = 2b
Aufgabe 4.10.
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Bilden Sie zu den Aussagen in den
doppelt umrahmten Blöcken jeweils auch die Gegenaussage.
3 ≤ 4 + 2 ∧ 2 − 1 =/ 5 ∶ 5
2
1 = 4 + 3 ∨ 12 = 164
2
2
2
2
2
2
3 +4 =5
3 +4 =5
4≥
4≥
9
2
9
2
(4 ≤ 4 ∨ 4 ∣ 7) ∧ 7 ∣ 4
3 < 5 ⇒ 2 ∣ 18
2
2
¬ (5 ⋅ 3 = 15) ∧ 22 − 5 > 17
4≥
2
2
2
¬ (5 ⋅ 3 = 15 ∧ 22 − 5 > 17)
4≥
/ 6 + 8 = 10
3 < 5 ⇔ 2 ∣ 18
⇔ 4 =/ 6
⇔ 2 ∣ 18
3 < 5 ⇒ 4 =/ 6
2
∨ 6 + 8 = 10
3 < 5 ⇔ 4 =/ 6
4 ≤ 4 ∨ (4 ∣ 7 ∧ 7 ∣ 4)
⇒ 4 =/ 6
⇒ 2 ∣ 18
∃x, y ∈ Z ∶ x − y = y − x
∀x, y ∈ Q ∃z ∈ Q ∶ x = z ⋅ y
∀x, y ∈ Z ∶ x − y = y − x
∀x ∈ Z ∶ (x > 5 ⇒ x > 3)
∀x, y ∈ Z ∶ x ⋅ y = y ⋅ x
∀x ∈ Z ∶ (x > 3 ⇒ x > 5)
∀x ∈ R ∃y ∈ R ∶ y > x
∀x ∈ R ∶ (x + 8 = 17 ⇔ x = 9)
∃x ∈ R ∀y ∈ R ∶ y > x
∀x ∈ R ∶ (x2 = 9 ⇔ x = 3)
∃x ∈ R ∶ (x = 0 ⇔ x = 1)
(∃x ∈ Z ∶ x2 = 16) ∧ (∃x ∈ Z ∶ 8x − 2 = −42)
∃x ∈ Z ∶ (x2 = 16 ∧ 8x − 2 = 38)
∀x ∈ R ∶ (x < 7 ∨ x ≥ −2)
(∀x ∈ R ∶ x < 7) ∨ (∀x ∈ R ∶ x ≥ −2)
12
9
2
9
2
Aufgabe 4.11.
Formulieren Sie die folgenden (wahren) Aussagen präzise:
(i) In R gilt das Distributivgesetz.
(ii) Auf Q gibt es eine Division (mit der Ausnahme, dass nicht durch 0 dividiert
werden darf ).
(iii) Die Multiplikation in N hat ein Neutrales Element.
(iv) Jede ganze Zahl hat eine Gegenzahl (die ebenfalls eine ganze Zahl ist).
(v) Q ist dicht.
(vi) Jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger.
(vii) N ist nach unten beschränkt.
(viii) Es gibt eine kleinste natürliche Zahl.
(ix) Z ist nicht nach unten beschränkt.
(x) Die Teilbarkeitsrelation (auf N) ist reflexiv und transitiv.
(xi) Je zwei natürliche Zahlen haben ein kleinstes gemeinsames Vielfaches.
13
5 Mengen
5 Mengen
Frage 5.1.
Was ist eine Menge ?
Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik. Einzelne Elemente (beispielsweise Zahlen) werden zu einer Menge zusammengefasst. Dabei geht es ausschließlich
um die Frage, welche Elemente in der Menge enthalten sind. Es wird nicht danach gefragt, ob ein
Element mehrmals enthalten ist, oder ob es eine Reihenfolge unter den Elementen gibt. (vgl: Wikipedia)
Frage 5.2.
Welche Möglichkeiten und Notationen gibt es, Mengen zu beschreiben? Geben Sie
jeweils auch Beispiele an.
Bei der Beschreibung einer Menge muss (präzise!) geklärt werden, welche Objekte Elemente der
Menge sind (und welche nicht). Diese Information findet man grundsätzlich zwischen zwei Mengenklammern {. . .}. Dabei hat man etwa die folgenden Möglichkeiten:
ˆ Die Elemente werden einfach aufgezählt.
Beispiele:
√
4
{1, 2, 3, 4, 5, 6} , { 2, − , 0, −8} , {1, 2, 3, 4, . . .} , {. . . , −11, −7, −3, 1, 5, 9, 13, . . .}
77
(Die Pünktchen können dabei nur verwendet werden, wenn absolut klar ist, wie die Zahlenfolge
fortgesetzt werden soll.)
ˆ Die Elemente der Menge werden mit einer (oder mehreren) Variablen beschrieben. Nach einem Trennzeichen (meist ; oder ∣) wird geklärt, welche Objekte für die Variable(n) eingesetzt
werden dürfen. Wann immer man solche zugelassenes Objekte einsetzt, erhält man ein Element der Menge.
Beispiele:
{2k+1; k ∈ N} , {k2 ; k ∈ Z} , {
n
a
; n ∈ N0 } , {−3x +2; x ∈ R} , { ; a ∈ Z, b ∈ N}
n+1
b
ˆ Die Elemente der Menge werden durch eine Variable (aus einer Grundmenge) dargestellt.
Nach einem Trennzeichen (meist ; oder ∣) werden eine (oder mehrere) Bedingung(en) für die
Variablen festgelegt. Setzt man für die Variable ein Objekt (eine Zahl) ein, so ist dieses Objekt
genau dann ein Element der Menge, wenn die angegebenen Bedingungen erfüllt sind.
Beispiele:
{x ∈ R; 4x+3 ≤ 17} , {n ∈ N; n ungerade} , {a ∈ Z; a2 < 0} , {x ∈ R; x < 7 ∧ x2 ≥ 4}
{a ∈ N; ∃b ∈ Z ∶ b2 = a} , {x ∈ R; ∀y ∈ R ∶ (xy)2 = y 2 }
Frage 5.3.
Erklären Sie die Symbole ∈ und ∉ und ihre Verwendung.
∈ und ∉ stehen immer zwischen einem Objekt x und einer Menge A. Dabei sind x ∈ A und x ∉ A
Aussagen (wenn man für x ein bestimmtes Objekt und für A eine bestimmte Menge einsetzt, ansonsten sind es lediglich Aussageformen) und es gilt:
ˆ Die Aussage x ∈ A ist genau dann gültig (wahr), wenn x ein Element von A ist.
ˆ Die Aussage x ∉ A ist genau dann gültig (wahr), wenn x kein Element von A ist.
Also gilt für alle Objekte x und alle Mengen A:
14
x ∉ A ⇔ ¬(x ∈ A)
Aufgabe 5.4.
Entscheiden Sie bei den folgenden Mengen jeweils, ob die angegebenen Zahlen Elemente dieser Menge sind. Ergänzen Sie jeweils auch die alternativen Darstellungen:
Welche der Zahlen sind
Alternative Darstellungen
Menge
Elemente der Menge?
der Menge
A = {4k + 3; k ∈ Z}
−1 , 0 , 1 , 3 , 99 , 101 , −99 , −101 A = {. . . ,
B = {k ∈ R; 4k + 3 ∈ Z}
3
4
7
8
,
,
1
5
,
−9
2
, 0 , 12
B={
,
8 , −6 , 503 , −503 , 88
99
2
99
101
− 99
4
D = {x ∈ Q ∖ N; ∣x∣ > 4}
99 ,
E = {x ∈ Z; x2 + 5x + 1 = 0}
−5 , −3 , −1 , 0 , 1 , 3 , 5
, 99 ⋅ π ,
,
C={
D=
,
}
F = {x ∈
;
; x, y ∈ N}
I = { x+1
y+4
I=
,
−5
12
,
3
8
,
1
2
, 17 , 0
,
,
, . . .}
∈ Z mit:
E=
F ={
5
12
, . . .}
; k ∈ Z}
{ ab ; a, b
, −3 , 2 , 12
−9 , −8 , −5 , −9
√ 2 18 −18
x
G = {2 − 5; x ∈ R}
−8 , −5 , 0 , 2 , 5 , 5
√
H = {x + y; x, y ∈ R mit x > 0 ∧ y < 0} −4 , − 32 , 0 , 55 , 199
F = {z ∈ Z; −4z > 8 und z + 4 > −4}
,
; k ∈ Z}
B = {. . . ,
C = {. . . , −12, −7, −2, 3, 8, 13, 18, . . .}
,
}
H=
Frage 5.5.
Erklären Sie, wann zwei Mengen gleich sind.
Zwei Mengen A, B sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten, also wenn:
ˆ Jedes Element von A auch ein Element von B ist.
ˆ Jedes Element von B auch ein Element von A ist.
Präziser:
∀Mengen A, B ∶
A = B ⇔ [(∀x ∈ A ∶ x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B ∶ x ∈ A)]
oder:
∀Mengen A, B ∶
A = B ⇔ [∀x ∶ (x ∈ A ⇔ x ∈ B)]
Frage 5.6.
Welche Relationen zwischen Mengen kennen Sie? Erklären Sie sie auch.
(Ist ∼ eine Relation zwischen Mengen, so ist (wenn A, B Mengen sind) A ∼ B eine Aussage, d.h.
sie kann entweder wahr oder falsch sein. Um die Relation (präzise) zu beschreiben, muss geklärt
werden, wann die Aussage wahr ist und wann nicht.)
ˆ ⊂ (sprich:“Teilmenge“) ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A⊂B
∶⇔
∀x ∈ A gilt x ∈ B
D.h.: Die Relation A ⊂ B liegt (genau) dann vor, wenn jedes Element von A auch in B liegt.
ˆ ⊂/ ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A ⊂/ B
∶⇔
¬(A ⊂ B)
⇔
∃x ∈ A mit x ∉ B
D.h.: Die Relation A ⊂/ B liegt (genau) dann vor, wenn es mindestens ein Element von A
gibt, dass nicht in B liegt.
ˆ ⊃ (sprich:“Obermenge“) ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A⊃B
∶⇔
∀x ∈ B gilt x ∈ A
D.h.: Die Relation A ⊂ B liegt (genau) dann vor, wenn jedes Element von B auch in A liegt.
15
∧
∧
}
5 Mengen
ˆ ⊃/ ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A ⊃/ B
∶⇔
¬(A ⊃ B)
⇔
∃x ∈ B mit x ∉ A
D.h.: Die Relation A ⊃/ B liegt (genau) dann vor, wenn es mindestens ein Element von B
gibt, dass nicht in A liegt.
ˆ ⊊ (sprich:“echte Teilmenge“) ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B
gilt:
A⊊B
A ⊂ B ∧ A ⊃/ B
∶⇔
(∀x ∈ A gilt x ∈ B) ∧ (∃x ∈ B mit x ∉ A)
⇔
D.h.: Die Relation A ⊊ B liegt (genau) dann vor, wenn jedes Element von A auch in B liegt,
es aber mindestens ein Element von B gibt, dass nicht in A liegt.
ˆ ⊋ (sprich:“echte Obermenge“) ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B
gilt:
A⊋B
A ⊂/ B ∧ A ⊃ B
∶⇔
(∃x ∈ A mit x ∉ B) ∧ (∀x ∈ B gilt x ∈ A)
⇔
D.h.: Die Relation A ⊋ B liegt (genau) dann vor, wenn jedes Element von B auch in A liegt,
es aber mindestens ein Element von A gibt, dass nicht in B liegt.
ˆ = ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A=B
A⊂B∧A⊃B
∶⇔
(∀x ∈ A gilt x ∈ B) ∧ (∀x ∈ B gilt x ∈ A)
⇔
D.h.: Die Relation A = B liegt (genau) dann vor, wenn jedes Element von A auch in B liegt
und jedes Element von B auch in A liegt, d.h. wenn A und B genau dieselben Elemente haben.
ˆ =/ ist eine Relation zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A =/ B
∶⇔
¬(A = B)
⇔
(∃x ∈ B mit x ∉ A) ∨ (∃x ∈ A mit x ∉ B)
D.h.: Die Relation A =/ B liegt (genau) dann vor, wenn es (mindestens) ein Element gibt,
dass in einer der beiden Mengen A, B enthalten ist, aber nicht in der Anderen.
Aufgabe 5.7.
(a) Finden Sie möglichst viele (bzw. alle) Teilmengenbeziehungen und Gleichheiten
unter den folgenden Mengen:
A = {n ∈ N ; 4 ∣ n}
E = {48, 120}
,
,
B = {2, 4, 6, 8, . . .}
F =∅
,
,
C = {3n; n ∈ N}
G = {n ∈ N; ∃k ∈ N ∶ n = 2k}
,
,
D={
2k + `
; k, ` ∈ N}
k
H = {q ∈ Q; q > 2}
(b) Finden Sie möglichst viele (bzw. alle) Teilmengenbeziehungen und Gleichheiten
unter den folgenden Mengen:
A = {−1, 1}
E={
16
,
B = {x ∈ Q; −1 ≤ x ≤ 1}
,
C = {sin(x); x ∈ R}
sin(x) + cos(y)
; x, y ∈ R} , F = {x ∈ R; x2 ≤ 1} ,
2
a
H = { ; a ∈ Z, b ∈ N mit b ≥ ∣a∣}
b
,
D={
sin(x) + cos(x)
; x ∈ R}
2
G = {x ∈ R; x2 = 1}
Frage 5.8.
Welche Verknüpfungen zwischen Mengen kennen Sie? Erklären Sie diese Verknüpfungen auch (in Worten, formal bzw. graphisch).
(Ist ∗ eine Verknüpfung zwischen Mengen, so ist (wenn A, B Mengen sind) A∗B wieder eine Menge.
Um die Verknüpfung (präzise) zu beschreiben, muss geklärt werden, welche Element zu dieser Menge
gehören.)
ˆ ∩ (sprich:“geschnitten“) ist eine Verknüpfung zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B
gilt:
A ∩ B ∶= {x; x ∈ A ∧ x ∈ B}
Zu A ∩ B gehören also (genau) die Elemente, die sowohl zu A als auch zu B gehören.
ˆ ∪ (sprich:“vereinigt“) ist eine Verknüpfung zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A ∪ B ∶= {x; x ∈ A ∨ x ∈ B}
Zu A ∪ B gehören also (genau) die Elemente, die zu mindestens einer der Mengen A oder B
gehören.
ˆ ∖ (sprich:“ohne“) ist eine Verknüpfung zwischen Mengen. Für beliebige Mengen A, B gilt:
A ∖ B ∶= {x; x ∈ A ∧ x ∉ B}
Zu A ∖ B gehören also (genau) die Elemente, die zu A aber nicht zu B gehören.
Hinweis: Manchmal betrachtet man grundsätzlich nur Mengen, die Teilmenge einer Grundmenge M sind (z.B. M = R). Dann schreibt man auch: Ac ∶= M ∖ A (sprich:“Komplement
von A (in M )“).
ˆ △ (sprich:“symmetrische Differenz“) ist eine Verknüpfung zwischen Mengen. Für beliebige
Mengen A, B gilt:
A △ B ∶= {x; x ∈ A / x ∈ B}
Zu A △ B gehören also (genau) die Elemente, die zu einer der beiden Mengen A, B gehören,
aber nicht zu der Anderen.
Aufgabe 5.9.
Gegeben seien:
A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
,
B = {y ∈ R; y ≤ 4}
,
C = {3k + 1; k ∈ Z}
Bestimmen Sie:
A∩B
,
A∩C
,
B∩C
,
A∪C
,
A∪B
,
R∖B
,
A△C
Aufgabe 5.10.
Welche der folgenden Formeln sind allgemeingültig (d.h. sie gelten für alle Mengen)?
A∩B = B∩A
,
A∪B ⊋A
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
,
A∪B ⊃A
,
,
(A∩B)∪C = A∩(B∪C)
A∩B =A⇔B ⊂A
,
,
(A∩B)∪C = (A∪B)∩(B∪C)
A△B ⊂A∪B
17
6 Tupel
6 Tupel
Frage 6.1.
Was ist ein Tupel?
Ein Tupel ist eine endliche Liste, in der, hintereinander (nicht notwendig verschiedene) mathematische Objekte (z.B. Zahlen) stehen. Ist n die Länge der Liste, dann spricht man von einem n-Tupel
(2-Tupel nennt man auch geordnete Paare, 3-Tupel Tripel und 4-Tupel Quadrupel). Das an i-ter
Stelle eines Tupels stehende Objekt heißt seine i-te Komponente.
Notiert werden kann ein Tupel so:
(x1 , x2 , . . . , xn ).
(vgl: Wikipedia)
(Beispiel: (1, 3, 1, −8) ist ein Tupel mit 1.Komp. 1, 2.Komp. 3, 3.Komp. 1 und 4.Komp. −8)
Hinweis: Grundsätzlich spielt die Anordnung der Komponenten bei Tupeln nicht unbedingt eine
Rolle (statt in einer Zeile kann man die Komponenten beispielsweise auch in einer Spalte anordnen). Wichtig ist aber, dass die Reihenfolge der Komponenten untereinander klar wird.
Frage 6.2.
Wann sind zwei Tupel (x1 , . . . , xn ) und (y1 , . . . , ym ) gleich?
(Genau dann) Wenn n = m ist und x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 , . . . xn = yn gilt.
Zwei Tupel sind also (genau) dann gleich, wenn sie gleich lang sind und jeweils entsprechende
Komponenten beider Tupel übereinstimmen.
Aufgabe 6.3.
ˆ Gilt {3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3} = {1, 2, 3} ?
ˆ Gilt (3, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 3) = (1, 2, 3) oder (1, 2, 3, 1) = (2, 1, 1, 3) ?
Aufgabe 6.4.
(a) Zählen Sie alle 3-Tupel auf, deren Komponenten Elemente der Menge {0, 1} sind.
(b) Zählen Sie alle 2-Tupel auf, deren Komponenten Elemente der Menge {1, 2, 3, 4, 5} sind.
(c) Wieviele 12-Tupel gibt es, deren Komponenten Elemente der Menge {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} sind.
(d) Wieviele n-Tupel gibt es, deren Komponenten Elemente einer vorgegebenen kelementigen Menge sind. (Beantworten Sie die Frage allgemein für beliebige
n, k ∈ N.)
Frage 6.5.
Wo finden Tupel in der Mathematik Verwendung? Geben Sie Beispiele an.
ˆ zur Beschreibung von Punkten in der Ebene (2-Tupel) oder im Raum (3-Tupel) mittels Koordinaten
ˆ zur Beschreibung von Vektoren in der Ebene (2-Tupel) oder im Raum (3-Tupel)
ˆ Lösungen von Gleichungen (oder Gleichungssystemen) mit mehreren Unbekannten können als
Tupel beschrieben werden (dabei müssen die Komponenten des Lösungstupels eineindeutig den
in der Gleichung vorkommenden Variablen zugeordnet worden sein)
ˆ zur Beschreibung von Ergebnissen in der Wahrscheinlichkeitsrechnung (wenn die Reihenfolge
beachtet werden soll)
18
Frage 6.6.
Was ist A × B und An , wenn A, B Mengen sind und n ∈ N ist? Geben Sie eine
präzise Definition und erläutern Sie diese an einem Beispiel.
ˆ A × B ist ebenfalls eine Menge. Die Elemente von A × B sind die 2-Tupel, deren erste Komponente ein Element aus A ist und deren 2.Komponente ein Element aus B ist.
Definition:
A × B ∶= {(a, b); a ∈ A, b ∈ B}
Beispiele:
●
{1, 2, 3}
×
{3, 4, 5, 6}
=
●
{1, 10, 100}
×
{0, 5}
=
⎫
⎧
⎪
⎪
⎪ (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 3), (2, 4), ⎪
⎬
⎨
⎪
⎪
⎪
⎭
⎩ (2, 5), (2, 6), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) ⎪
{(1, 0), (1, 5), (10, 0), (10, 5), (100, 0), (100, 5)}
●
N0
×
R ∖ {0}
=
{(n, x); n ∈ N0 , x ∈ R ∖ {0}}
ˆ An ist ebenfalls eine Menge. Die Elemente von An sind die n-Tupel, deren sämtliche Komponenten Elemente von A sind.
Definition:
An ∶= {(a1 , . . . , an ); a1 , . . . , an ∈ A}
Beispiele:
●
{1, 2, 3, 4, 5, 6}2
=
●
{0, 1}4
=
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), ⎪
⎪
⎬
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) ⎪
⎭
⎪
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 1, 0, 0), ⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(1, 0, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 0, 0), ⎪
⎪
⎬
(0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 1, 0, 0), ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
(0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0) ⎪
⎭
Frage 6.7.
Welche Verknüpfungen zwischen Tupeln kennen Sie? Beschreiben Sie sie auch.
(Ist ∗ eine Verknüpfung zwischen Tupeln, so ist (wenn x, y Tupel sind) x ∗ y wieder ein Tupel. Um
die Verknüpfung (präzise) zu beschreiben, muss geklärt werden, welche Tupel für x und y zugelassen
sind und wie man aus diesen beiden Elementen x ∗ y bestimmt.)
ˆ Für zwei Tupel (x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn kann man eine “Tupel-Addition“ ⊕ definieren. Dabei gilt:
(x1 , x2 , . . . , xn ) ⊕ (y1 , y2 , . . . , yn ) ∶= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
Hinweis: Dabei wurde bewusst ein Symbol ⊕ gewählt, das sich von dem bekannten Symbol
+ für die Zahlen-Addition unterscheidet. Manchmal wird auch dassselbe Symbol + für die
Zahlen-Addition und die Tupel-Addition verwendet, dies geht aber nur, wenn jederzeit klar
ist, was gemeint ist.
19
6 Tupel
ˆ Für zwei Tupel (x1 , x2 , . . . , xn ), (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn kann man eine “Tupel-Multiplikation“ ⊙
definieren. Dabei gilt:
(x1 , x2 , . . . , xn ) ⊙ (y1 , y2 , . . . , yn ) ∶= (x1 ⋅ y1 , x2 ⋅ y2 , . . . , xn ⋅ yn )
Hinweis: Diese Verknüpfung findet in der Mathematik weit weniger Verwendung als die
oben erklärte Addition ⊕.
ˆ Für zwei Tupel (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ) ∈ R3 ist das Kreuzprodukt × definiert. Dabei gilt:
(x1 , x2 , x3 ) × (y1 , y2 , y3 ) = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )
Aufgabe 6.8.
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch:
{0, 1, 2} ⊂ {0, 1, 2}4
{0, 1, 2}6 ⊂ {0, 1, 2, 3, 4}6
N2 ⊂ N × R ∧ N × R ⊂ R2
Q × Q = Q2
(Q ∖ {0}) × (Q ∖ {0}) = (Q × Q) ∖ {(0, 0)}
Für alle Mengen A, B und alle n ∈ N gilt: A ⊂ B ⇒ An ⊂ B n
Für alle Mengen A und alle n, m ∈ N gilt: n ≤ m ⇒ An ⊂ Am
Für alle Mengen A, B, C gilt: A ⊂ B ⇒ A × C ⊂ B × C
Für alle n ∈ N gilt: {}n = {}
Für alle Mengen A, B, C, D gilt: (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (B × D)
Für alle Mengen A, B, C, D gilt: (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D)
20
7 Abbildungen
Frage 7.1.
Was ist eine Abbildung (bzw. Funktion)? Anders gefragt: Durch welche Angaben ist
eine Abbildung vollständig festgelegt/beschrieben?
Eine Abbildung ist durch die folgenden Angaben festgelegt:
ˆ die Definitionmenge: eine Menge
ˆ die Zielmenge: eine Menge (nicht die leere Menge)
ˆ die Zuordnung: eine Vorschrift, die angibt, wie jedem Element der Definitionsmenge (genau)
ein Element der Zielmenge zugeordnet wird
Ist D die Definitionmenge und Z die Zielmenge einer Abbildung f , so ist also jedem d ∈ D ein
eindeutiges Element aus Z zugeordnet. Dieses bezeichnet man mit f (d) (sprich: “f von d“).
Man schreibt oft: d ↦ f (d), und sagt: “d wird (von der Abbildung f ) auf f (d) abgebildet.“
Schreibweise:
f ∶ D → Z, d ↦ . . .
oder
f ∶ D → Z, f (d) = . . .
Aufgabe 7.2.
Handelt es sich im Folgenden um Abbildungen?
⎧
1↦4 ⎫
⎪
⎪
⎪
2 ⎪
(i) {1, 2, 3, 4} → {2, 3, 4, 5, 6} , ⎨ 23 ↦
↦
2 ⎬
⎪
⎪
⎪
⎩ 4↦6 ⎪
⎭
1↦2 ⎫
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪ 4↦3 ⎪
⎪
(ii) {1, 2, 3, 4} → {2, 3, 4, 5, 6} , ⎨ 4 ↦ 4 ⎬
⎪
2↦5 ⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 1↦6 ⎪
⎭
(iii) N → Z, n ↦ −n
(iv) Z → N, z ↦ −z
(v) Z → N, z ↦ 47339
√
(vi) Q+ → Q+ , q ↦ q
√
√
(vii) {−4, 12, 3} → R+ , x ↦ 12 + 3x + 2
1
(viii) R → {1, 2, 3, 4, 5}, x ↦ { 2
3
(ix) R → {1, 2, 3, 4, 5}, x ↦ { 45
, falls x > 4
, falls x < −3
}
, falls − 3 ≤ x ≤ 4
, falls x ≤ 0 }
, falls x ≥ 0
(x) {2k + 1; k ∈ N} → {k ∈ Q; 2k ∈ N}, x ↦ x − 1
(xi) R2 → R2 , (x1 , x2 ) ↦ (x2 , x1 )
(xii) R2 → R3 , (x1 , x2 ) ↦ ( xx12 , xx21 , 7)
(xiii) N3 → Z, (n1 , n2 , n3 ) ↦ n1 − n3
(xiv) N2 → R, (n1 , n2 ) ↦
n1 +n2
n1 2 −5n2 2
21
7 Abbildungen
Aufgabe 7.3.
Finden Sie mögliche Definitions- und Zielmengen für die folgenden Abbildungen:
√
f (x) = x − 5 , g(x) = ggT(x, 12)
h(x) = {
1
x−6
12 − x
, falls x ∈ N }
, falls x ∉ N
,
i((x1 , x2 )) =
x1
x2
−
x2 − 1 x1 + 1
Frage 7.4.
Wann gilt für zwei Abbildungen f ∶ Df → Zf und g ∶ Dg → Zg , dass sie gleich sind
(also f = g)?
Falls sie sowohl die gleiche Definitionsmenge als auch die gleiche Zielmenge haben und außerdem
jedes Element aus der Definitionsmenge durch f und g auf das gleiche Element abgebildet wird.
Formaler:
Df = Dg ∧ Zf = Zg ∧ ∀x ∈ Df ∶ f (x) = g(x)
Frage 7.5.
Unter welchen Bedingungen kann man zwei Abbildungen f ∶ A → B und g ∶ C → D
hintereinanderausführen? Was für ein Objekt erhält man dabei und wie ist es
definiert?
ˆ Man kann g hinter f ausführen, wenn B ⊂ C gilt. Man erhält dann erneut eine Abbildung
g ○ f (sprich: “g nach f“). Diese ist wie folgt definiert:
g ○ f ∶ A → D , (g ○ f )(a) = g( f (a) )
ˆ Man kann f hinter g ausführen, wenn D ⊂ A gilt. Man erhält dann erneut eine Abbildung
f ○ g (sprich: “f nach g“). Diese ist wie folgt definiert:
f ○ g ∶ C → B , (f ○ g)(c) = f ( g(c) )
Hinweis: Mit ○ werden Abbildungen verknüpft und man erhält eine neue Abbildung. Allerdings kann
man zwei Abbildungen nicht immer mittels ○ verknüpfen, es funktioniert nur, wenn die Zielmenge
der zweiten Abbildung eine Teilmenge der Definitionsmenge der ersten Abbildung ist.
Aufgabe 7.6.
(a) Bilden Sie für die folgenden Abbildungen f, g, h alle möglichen Hintereinanderausführungen von jeweils zwei dieser Abbildungen:
f∶
N
→
{0, 1, 2, 3, 4, 5}
,
f (n)
g∶
{1, 2, 3}
→
{−2, −1, 0, 1, 2}
,
g(u)
h∶
{z ∈ Z; ∣z∣ ≤ 7}
→
N
,
h(z)
= min(n, 5)
u=1∨u=3 }
= { −20 ,, falls
falls u = 2
= 2z + 17
(b) Bilden Sie für die folgenden Abbildungen f, g, h alle möglichen Hintereinanderausführungen von jeweils zwei dieser Abbildungen::
f∶
g∶
h∶
22
R
{ n1 ,
→
n ∈ N} →
Q ∖ {0}
→
{x ∈ R; ∣x∣ ≤ 1}
,
f (x)
= sin(x − 8)
N
,
g(x)
=
R
,
h(x)
=
1
x
1
x
+8
Teil A.2: Beweismethoden und -formulierungen
8 Grundsätzliches zu Beweisen
Frage 8.1.
Was verstehen Sie unter einem Beweis (in der Mathematik)?
Ein Beweis ist in der Mathematik die als fehlerfrei anerkannte Herleitung der Richtigkeit
einer Aussage aus einer Menge von Axiomen, die als wahr vorausgesetzt werden, und anderen
Aussagen, die bereits bewiesen sind. (vgl. wikipedia)
ˆ Ein Beweis muss schlüssig sein, d.h. er darf keine Fehler enthalten. und ein Leser muss dies
zweifelsfrei nachvollziehen können.
ˆ Nach dem Lesen/Durcharbeiten/Verstehen eines Beweises muss der Leser absolut sicher sein,
dass die Aussage stimmt.
ˆ Innerhalb eines Beweises dürfen andere Aussagen benutzt werden, die bereits als richtig anerkannt worden sind. Dies ist beispielsweise der Fall:
-) bei Aussagen, die bereits zuvor bewiesen wurden
-) bei Axiomen (elementare, als gültig vorausgesetzte Aussagen)
-) Aussagen, die so offensichtlich gültig sind, dass sie nicht näher begründet werden müssen
Hinweis: Bei Bedarf/auf Nachfrage sollte der Schreiber eines Beweises diese Aussagen
genauer begründen können. Was im Rahmen eines Beweises als “offensichtlich“ akzeptiert werden kann, hängt von Schreiber und Leser eines Beweises ab bzw. kann z.B. auch
auf Absprachen zwischen ihnen beruhen.
ˆ Ob eine Argumentation als Beweis akzeptiert werden kann, hängt auch vom Kenntnisstand
der Leser ab.
Hinweis: Statt “Schreiber und Leser“ könnte man besipielsweise auch “Dozent und Hörer“ oder
“Klausurteilnehmer und Korrektor“einsetzen.
Frage 8.2.
Wie lassen sich Beweise so formulieren, dass andere sie verstehen?
ˆ Es muss vorab geklärt sein, welchen Kenntnisstand die Leser haben. Dadurch wird klar, ob
bestimmte (bereits bewiesene) Aussagen benutzt werden dürfen und ob man gewisse Beweismethoden einfach verwenden kann, oder ob sie zusätzlich erläutert werden müssen.
ˆ Grundsätzlich kann man Beweise auf vielerlei Arten formulieren. Man sollte dabei immer
den Leser im Blick haben. (Ein Fließtext ohne Rechnungen ist nicht ausgeschlossen. Dabei ist
allerdings zu erwarten, dass die Beweise sehr lang werden und nur mühsam zu lesen sind.)
ˆ Speziell für das Mathematikstudium gilt: Es gibt gewisse Formulierungen, die mit bestimmten Beweismethoden verbunden sind und häufig verwendet werden (einige davon werden im
Folgenden vorgestellt). Sowohl Schreiber als auch Leser von Beweisen müssen mit dieser
“Sprache“ (und den dahinter stehenden Methoden) vertraut sein.
23
8 Grundsätzliches zu Beweisen
Frage 8.3.
Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung?
ˆ Mathematik besteht nicht (nur) aus dem Anwenden auswendig gelernter Schemata. Stattdessen ist das Argumentieren und das Ziehen logischer Schlüsse ein zentraler Bestandteil von
Mathematik. (Dies sollte sich auch im Unterricht aller Schulformen und Klassenstufen wiederspiegeln.) Einen Beweis nachzuvollziehen oder gar selbst zu führen, verlangt genau dies:
das Verständnis bzw. den Aufbau einer Kombination logischer Schlussfolgerungen
ˆ Beweise dienen dazu, Kommunikation über Mathematik herzustellen. Der Schreiber des Beweises muss seine Gedankengänge präzise und nachvollziehbar darstellen, damit der Leser den
Beweis verstehen kann. Umgekehrt muss der Leser in der Lage sein, die logische Argumentationskette, aus der der Beweis besteht, wieder aus den Formulierungen herauszuarbeiten.
ˆ Beweise können nur verstanden oder erbracht werden, wenn man die inhaltlichen Zusammenhänge einer mathematischen Theorie verstanden hat. Sie verbinden ihre verschiedenen
Teile und tragen so zu einem besseren Verständnis ihres gesamten (logisch strukturierten)
Aufbaus bei.
Frage 8.4.
Wie kann man einen Beweis nachvollziehen?
ˆ Es gibt gewisse Prinzipien bzw. Methoden, die beim Beweisen angewendet werden können (einige davon werden im Folgenden vorgestellt). Machen Sie sich grundsätzlich klar, wie (UND
WARUM) sie funktionieren. Kontrollieren Sie beim Lesen eines Beweises, ob sie korrekt angewendet wurden.
ˆ Machen Sie sich grundsätzlich mit dem Formalismus vertraut, der in den Beweisen benutzt
wird, die Sie lesen. Ein Beweis kann nur nachvollzogen werden, wenn man alle darin vorkommenden Formulierungen versteht.
ˆ Machen Sie sich zunächst (präzise) die Aussage klar, die gezeigt werden soll. Wenn ein Objekt
vorkommt, dessen Definition nicht kennen, schlagen Sie sie nach.
ˆ PRÜFEN SIE JEDEN EINZELNEN SCHRITT DES BEWEISES. Vertrauen Sie den
Schlussfolgerungen erst, wenn Sie sie verstanden haben. Suchen Sie nach Fehlern in der Argumentation und fragen Sie bei Unklarheiten (wenn möglich) nach.
ˆ Wird eine andere (zuvor bereits bewiesene) Aussage im Beweis benutzt, machen Sie sich
zunächst (präzise) diese Aussage klar.
ˆ In den meisten Fällen ist es viel einfacher, einen Beweis zu verstehen/nachzuvollziehen/zu
prüfen, als ihn selbst zu finden. (Manchmal wird ein Trick verwendet oder eine Idee eingesetzt, mit der Sie (noch) nicht vertraut sind.) Fragen Sie sich nicht immer sofort, woher die
Beweisidee kommt, sondern versuchen sie zunächst, einfach nur den Beweis nachzuvollziehen.
(Das ist der erste Schritt.)
ˆ Nach dem Verständnis eines Beweises sollten Sie davon überzeugt sein, dass der Beweis keinen
Fehler und keine Lücke enthält und dass die soeben bewiesene Aussage stimmt.
Frage 8.5.
Wie kann man einen Beweis selber finden?
24
Dies ist meist schwieriger als das Verstehen eines (gut formulierten) Beweises. Der Schwierigkeitsgrad hängt dabei von der zu beweisenden Aussage und den vorhandenen Hilfsmitteln (Aussagen,
die bereits beweisen wurden und daher verwendet werden dürfen) ab und reicht “von einfach bis
unmöglich“.
Es gibt kein “Rezept“ zum Finden von Beweisen. Daher nur einige Ratschläge:
ˆ Lernen Sie zuerst, Beweise zu verstehen und Fehler in Beweisen zu finden (vgl. Frage 8.4).
Dann können Sie Ihre eigenen Beweise einer Prüfung auf Korrektheit unterziehen und so
lernen, Fehler zu vermeiden.
ˆ Arbeiten Sie in Gruppen. Prüfen Sie ihre Ideen gegenseitig und erklären Sie sie sich.
ˆ Falls Sie einen Fehler in Ihrer Argumentation finden, überlegen Sie, ob man die Argumentation noch “retten“ kann. Falls nicht, verwerfen Sie Ihren Beweisansatz und überlegen Sie
neu.
ˆ Versuchen Sie sich an ähnliche Aussagen zu erinnern, bei denen Sie einen Beweis bereits
gesehen haben. Versuchen Sie, ob die Methode, die bei diesen Aussagen zu einem Beweis
geführt haben, auch hier funktioniert. (Kopieren Sie aber nicht einfach die Methode sondern
denken Sie sorgfältig darüber nach, ob eventuell eine Modifikation oder Ergänzung nötig ist.)
ˆ Prägen Sie sich Methoden ein, die häufig zum Erfolg führen. Machen Sie sich Definitionen
und zuvor bereits bewiesene Aussagen, die häufig in Beweisen Verwendung finden, klar und
prägen Sie sie sich ein.
ˆ Beweise finden ist keine Fähigkeit (die man entweder haben kann oder nicht) sondern eine
Fertigkeit, die man trainieren kann. Verbesserungen erreichen Sie immer dann, wenn Sie
Beweise nachvollziehen, prüfen oder selbst erstellen. Also: ÜBEN, ÜBEN, ÜBEN, . . .
25
9 Gleichungen und Ungleichungen
9 Gleichungen und Ungleichungen
9.1. Gleichungen zwischen Zahlen
Zu zeigen ist, dass zwei Zahlen gleich sind. Man kann wie folgt vorgehen:
Der Beweis besteht aus einer Rechnung, die mit der einen der beiden Zahlen beginnt
und mit der Anderen endet. Darin kommen nur Gleichheitszeichen vor, die alle (ggf.
mit Hilfe einer geeigneten Anmerkung) offensichtlich richtig sind. Am Ende kann
man dann folgern, dass die Gleichheit zwischen den beiden Zahlen (die nun ganz
links und ganz rechts in der Gleichungskette stehen) gültig ist.
Behauptung:
a=b
Beweis:
a = ... = b
Beispiel:
ˆ Behauptung: Es gilt: 17 ⋅ 44 + 5 = (257 − 6) ⋅ 3
Beweis: 17 ⋅ 44 + 5 = 748 + 5 = 753 = 251 ⋅ 3 = (257 − 6) ⋅ 3
ˆ Behauptung: Es gilt: 999 ⋅ 1001 = 999999
(∗)
Beweis 1: 999 ⋅ 1001 = (1000 − 1) ⋅ (1000 + 1) = 10002 − 12 = 1000000 − 1 = 999999
(zu (∗): dritte binomische Formel wurde verwendet)
(∗)
Beweis 2: 999 ⋅ 1001 = 999 ⋅ (1000 + 1) = 999 ⋅ 1000 + 999 ⋅ 1 = 999000 + 999 = 999999
(zu (∗): Distributivgesetz wurde verwendet)
ˆ Behauptung: Es gilt: 1 + 2 + 3 + . . . + 2014 =
2014 ⋅ 2015
2
Beweis:
1 + 2 + 3 + . . . + 2014
(∗)
=
(1 + 2014) + (2 + 2013) + (3 + 2012) + . . . + (1007 + 1008)
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=2015
(∗∗)
=
=
=2015
=2015
=2015
2014
⋅ 2015
2
2014 ⋅ 2015
2
(zu (∗): Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Addition wurden verwendet.)
(zu (∗∗): Die geschweiften Klammern in der Zeile darüber bilden eine Erklärung dafür, dass
das Gleichheitszeichen stimmt. Außerdem muss man sich klarmachen, dass genau
2014
2
geschweiften Klammern vorkommen.)
9.2. Ungleichungen zwischen Zahlen
Zu zeigen ist, dass eine Zahl kleiner (bzw. kleiner oder gleich) einer anderen ist. Man
kann wie folgt vorgehen:
Der Beweis besteht aus einer Rechnung, die mit der einen der beiden Zahlen beginnt
und mit der Anderen endet. Darin kommen nur die Zeichen <, = und ≤ vor, die alle
(ggf. mit Hilfe einer geeigneten Anmerkung) offensichtlich richtig sind. Am Ende
26
dieser
kann man dann folgern, dass die Zahl, die ganz links in der Rechnung steht, kleiner
oder gleich der Zahl, die ganz rechts steht, ist. Falls mindestens einmal das Zeichen
< vorkam, kann man sogar folgern, dass die Zahl, die ganz links in der Rechnung
steht, kleiner der Zahl, die ganz rechts steht, ist.
Beh:
a≤b
Beh:
a<b
Bew:
a ≤ ... < ... = ... ≤ b
Bew:
a ≤ ... < ... = ... ≤ b
(mindestens einmal muss < vorkommen)
Für ≥ oder > funktioniert das Ganze natürlich analog.
Beispiel:
ˆ Behauptung: Es gilt: 456 ⋅ 55 + 3 < 50000
Beweis: 456 ⋅ 55 + 3 < 456 ⋅ 55 + 55 = 457 ⋅ 55 < 500 ⋅ 100 = 50000
ˆ Behauptung: Es gilt:
Beweis:
4
9
=
4⋅13
9⋅13
=
4
9
≥
52
9⋅13
5
13
45
9⋅5
= 9⋅13
13
≥
=
√
√
ˆ Behauptung: Es gilt: 3 + 5 < 4
5
13
Beweis:
√ (1)
√
3+ 5 =
√
√
√ 2
( 3 + 5)
(2)
=
(3)
=
(4)
<
√
√
2
3 +
√
2
5 +2⋅
√ √
3⋅ 5
√
√
3 + 5 + 2 ⋅ 15
√
√
√
√
3 + 5 + 2 ⋅ 16 = 8 + 2 ⋅ 4 = 16 = 4
Wenn man diesen Beweis nachvollziehen möchte, muss man jeden einzelnen Schritt prüfen.
Dabei helfen folgende Anmerkungen:
√
√
√
(1) Die (bereits bekannte) Aussage ∀x ∈ R+ ∶ x = x2 wurde angewendet auf x = 3 + 5.
√
√
(Dabei ist klar, dass 3 + 5 ∈ R+ ist und man die Aussage darauf anwenden kann.)
(2) Die
(bereits
bekannte)
Formel
besagt:
√
√
∀a, b ∈ R ∶ (a + b) = a + b + 2ab . Sie wurde angewendet auf a = 3 und b = 5.
2
2
erste
binomische
2
(3) Es
wurden
die
(bereits
bekannten)
√
√
√
∀x, y ∈ R+ ∶ x ⋅ y = x ⋅ y verwendet.
Aussagen:
∀x ∈ R+ ∶
√ 2
x =x
und
√
√
√
√
(4) Aus der (bereits bekannten) Aussage ∀a, b ∈ R+ ∶ (a < b ⇒ a < b) folgt: 15 < 16.
√
√
√
√
Daraus ergibt sich: 2 ⋅ 15 < 2 ⋅ 16, daraus dann 3 + 5 + 2 ⋅ 15 < 3 + 5 + 2 ⋅ 16 und
√
√
√
√
daraus dann (wende nochmals obige Aussage an): 3 + 5 + 2 ⋅ 15 < 3 + 5 + 2 ⋅ 16
(Bei dieser Argumentation ist auch wichtig, dass Ungleichungen erhalten bleiben, wenn
man beide Seiten mit einer positiven Zahl multipliziert bzw. wenn man auf beiden Seiten
dieselbe Zahl addiert. Auch dies ist bereits bekannt.)
9.3. Einsatz von (bereits bekannten) ∀-Aussagen
Bei vielen bereits im Vorfeld bekannten Aussagen (die innerhalb eines Beweises
benutzt werden dürfen) handelt es sich um ∀-Aussagen. Diese können jederzeit nach
Belieben verwendet werden und man darf für die darin vorkommenden Variablen
einsetzen, was immer man möchte: bespielsweise eine Zahl, eine andere (im Beweis
27
10 Aussagen mit Quantoren ∃ und ∀
gerade vorkommende) Variable oder einen zusammengesetzten Ausdruck aus Zahlen
und Variablen (einen “Term“). Man muss lediglich sicherstellen, dass das was man
einsetzt, in der bekannten ∀-Aussage ein zugelassenes Objekt ist.
In obigen Beweisen finden Sie dazu zahlreiche Beispiele, weitere werden folgen. Man
verwendet bereits bekannte ∀-Aussagen sehr oft (nicht nur in Beweisen).
Aufgabe 9.4.
Setzen Sie die folgenden Teile zu einem Beweis der jeweils angegebenen Aussage zusammen oder entwickeln Sie einen eigenen Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises
muss nachvollziehbar sein.)
√ √
√
(a) Behauptung: 6 ⋅ 10 ⋅ 15 = 30
Beweisteile:
√
(♣)
(♠)
(♡)
(♢)
=
=
=
=
15
30
6⋅
√
10 ⋅
√
√ √
√ √
√ √
( 2 ⋅ 2) ⋅ ( 3 ⋅ 3) ⋅ ( 5 ⋅ 5)
2⋅3⋅5
√ √
√ √
√ √
( 2 ⋅ 3) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 3 ⋅ 5)
♣: Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation
♠: ∀x ∈ R+0 ∶
(b) Behauptung:
√
1
3
−
x⋅
1
4
√
<
♡: ∀x, y ∈ R+0 ∶
x=x
√ √
√
x⋅y = x⋅ y
♢: klar
1
11
Beweisteile:
1
11
♣: Erweitern
(♣)
(♠)
(♡)
=
=
<
1
12
1
3
♠: klar
−
1
4
4
12
−
3
12
♡: ∀x, y ∈ R+ ∶ (x > y ⇒
1
x
< y1 )
10 Aussagen mit Quantoren ∃ und ∀
10.1. Beweis von Existenzaussagen
Eine ∃-Aussage kann gezeigt werden, indem man ein entsprechendes Objekt “einfach“
angibt und dann nachweist, dass die geforderte Eigenschaft erfüllt ist.
Behauptung:
Beweis:
∃x ∈ X mit A(x)
● Setze/Wähle/Definiere/Betrachte x ∶= . . ..
● Prüfe (falls nötig), dass x ∈ X ist.
● Zeige A(x) (für das eine selbstgewählte x).
28
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∃x ∈ Q ∶ 8x + 5 = −13
Beweis: Setze x ∶= − 94 . Dann gilt:
9
8x + 5 = 8 ⋅ (− ) + 5 = −13
4
ˆ Behauptung: ∃x ∈ R ∶ x2 + 5 = 12
√
Beweis: Setze x ∶= 7.
√
Hinweis: Alternativ wäre hier auch x ∶= − 7 möglich gewesen.
Dann gilt:
x2 + 5 =
√
7
2
+ 5 = 7 + 5 = 12
ˆ Behauptung: ∃x ∈ [2, 3] ∶ x2 + 5 = 12
√
Beweis: Setze x ∶= 7.
√
√
√
√
Wegen 7 ≥ 4 = 2 und 7 ≤ 9 = 3 ist x ∈ [2, 3].
Es gilt: x2 + 5 =
√
7
2
+ 5 = 7 + 5 = 12
ˆ Behauptung: ∃x, y ∈ Z ∶ x + y = 1385
3
3
Beweis: Setze x ∶= 12 und y ∶= −7. Dann gilt:
x3 + y 3 = 123 + (−7)3 = 1728 − 343 = 1385
Hinweis: Es ist absolut nicht klar, wie man hierbei die Zahlen x, y findet. Dennoch ist der
Beweis schlüssig und leicht nachvollziehbar (aber nicht leicht zu finden).
10.2. Beweis von ∀-Aussagen
Eine ∀-Aussage kann wie folgt gezeigt werden: Man wählt ein (beliebiges∗ , aber
festes) Objekt aus der Menge der zugelassenen Objekte. Dafür verwendet man üblicherweise die Sprechweise: Sei . . . ∈ . . .. Dieses feste gewählte Objekt steht dabei
stellvertretend für alle zugelassenen Objekte. Daher genügt es im Folgenden, die zu
zeigende Aussageform für dieses eine Objekt beweisen. (Dieses ist dabei als unbekannt zu behandeln, man weiß nur, dass es in der Menge der zugelassenen Objekte
liegt.)
Hinweis: (zu ∗ ) “beliebig“ bedeutet hier nicht, dass man ein bestimmtes Objekt auswählt,
sondern ist eher im Sinne von “repräsentativ“ zu verstehen.
Behauptung:
Beweis:
∀x ∈ X gilt A(x)
● Sei x ∈ X.
● Zeige A(x) (verwende dabei nur das Wissen, dass x ∈ X ist).
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀x, y ∈ R ∶ (x + y)2 = x2 + 2x + y 2
Beweis: Seien x, y ∈ R. Dann gilt:
(x+y)2 = (x+y)⋅(x+y) = x⋅x+x⋅y +y ⋅x+y ⋅y = x2 +2x+y 2
Hinweis: Hierbei wurden elementare Rechengesetze (etwa Distributivgesetz, Kommutativund Assoziativgesetz der Multiplikation) verwendet. Dies ist möglich, da es sich dabei um
∀-Aussagen handelt, die jederzeit eingesezt werden können.
29
10 Aussagen mit Quantoren ∃ und ∀
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R ∶ (x + 1)2 − (x − 1)2 = 4x
Beweis 1: Sei x ∈ R. Es gilt:
(x + 1)2 − (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 − (x2 − 2x + 1) = x2 + 2x + 1 − x2 + 2x − 1 = 4x
(∗)
(zu (∗): zweimaliges Verwenden der binomischen Formel)
Beweis 2: Sei x ∈ R. Es gilt:
(∗)
(x+1)2 −(x−1)2 = ((x+1)+(x−1))⋅((x+1)−(x−1)) = 2x⋅2 = 4x
(zu (∗): Die 3.binomische Formel lautet: ∀a, b ∈ R ∶ a2 + b2 = (a + b) ⋅ (a − b). Sie wird hier
angewendet auf a = x + 1 und b = x − 1.)
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R ∶ x2 + 8x + 17 > 0
(∗)
Beweis: Sei x ∈ R. Es gilt:
x2 + 8x + 17 = x2 + 2 ⋅ 4x + 42 + 1 = (x + 4)2 + 1 ≥ 0 + 1 = 1 > 0
(zu (∗): Hier wird verwendet, dass ∀y ∈ R ∶ y 2 ≥ 0 gilt. Diese allgemeingültige Aussage wrid
auf y = x + 4 angewendet.)
Manchmal wird (beispielsweise in einem Vorlesungsskript oder auf einem Übungsblatt) die Formulierung “Sei(en) . . .“ vorausgeschickt. Dann folgt erst die Behauptung, in der das x ohne Quantor vorkommt.
Da das x hierbei wiederum fest, aber beliebig ist, steht es repräsentativ ∀x ∈ X.
Im Beweis ist x als unbekannt zu behandeln, man weiß nur, dass es in X liegt. (Man
braucht das “Sei(en) . . .“ aber nicht nochmals hinzuschreiben.) Gezeigt wird dabei
natürlich dabei die entsprechende ∀-Aussage.
Beispiel:
ˆ Sei x ∈ R.
Behauptung: x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
Beweis: (x − 1)(x2 + x + 1) = x3 + x2 + x − x2 − x − 1 = x3 − 1
(Gezeigt wurde dabei die Aussage:
∀x ∈ R ∶ x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1))
ˆ Seien a ∈ R und n, m ∈ N.
Behauptung: an+m = an ⋅ am
Beweis: an ⋅ am = a ⋅ a ⋅ . . . a ⋅ a ⋅ a ⋅ . . . a = a ⋅ a ⋅ . . . a = an+m
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
n-mal
m-mal
(Gezeigt wurde dabei die Aussage:
(n+m)-mal
∀a ∈ R∀n, m ∈ N ∶ an+m = an ⋅ am )
Hinweis: Hier wurde zweimal die folgende Definition von Potenzen benutzt:
Für x ∈ R und k ∈ N wird definiert:
xk ∶= x ⋅ x ⋅ . . . x
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
k-mal
30
Aufgabe 10.3.
Setzen Sie die folgenden Teile zu einem Beweis der jeweils angegebenen Aussage zusammen oder entwickeln Sie einen eigenen Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises
muss nachvollziehbar sein.)
ACHTUNG: Sie benötigen nicht alle Beweisteile.
(a) Behauptung: ∃x ∈ R ∶ (4 + x)2 = 7
Beweisteile:
Dann gilt:
Sei x ∈ R.
√
( 7)2
(4 + x)2
7
Setze x =
√
7 − 4.
√
(4 +
Setze x =
√
7 − 4)2
(4 +
(x einsetzen)
√
(∀y ∈ R+ ∶ ( y)2 ) = y)
(vereinfachen)
=
=
=
(b) Behauptung: ∀a, b, c ∈ R+ ∶
1
a
+
1
b
+
1
c
>
√
7 + 4.
7 − 4)2
3
a+b+c
Beweisteile:
Seien a, b, c ∈ R+ .
Dann gilt:
1
a
+
1
b
+
1
c
1
a+b+c
♣: Zusammenfassen
1
1
+
Setze a = 1, b = 2 und c = 3.
(♣)
(♠)
=
>
+
1
2
+
1
3
3
a+b+c
1
a+b+c
+
1
a+b+c
1
6
+
3
1+2+3
1
6
+
1
6
♠: denn a < a + b + c und b < a + b + c und c < a + b + c
10.4. Beweis von Aussagen, in denen mehrere Quantoren vorkommen
Interessant wird es, wenn es um Aussagen geht, in denen sowohl ∀ und ∃ vorkommt.
Dabei ist natürlich die Reihenfolge zu beachten. Grundsätzlich ist es sinnvoll, die
Aussage von vorne nach hinten durchzugehen, um den Beweis zu strukturieren.
Behauptung:
Beweis:
∀x ∈ X ∃y ∈ Y ∶ A(x, y)
● Sei x ∈ X.
● Setze y ∶= . . . (hier darf auch x benutzt werden)
● Prüfe (falls nötig), dass y ∈ Y ist.
● Zeige A(x, y)
(dabei darf für y das gewählte Objekt eingesetzt werden, x ist als beliebig zu behandeln)
31
10 Aussagen mit Quantoren ∃ und ∀
Behauptung:
Beweis:
∃x ∈ X ∀y ∈ Y ∶ A(x, y)
● Setze x ∶= . . . (hier darf y nicht benutzt werden).
● Prüfe (falls nötig), dass x ∈ X ist.
● Sei y ∈ Y .
● Zeige A(x, y)
(dabei darf für x das gewählte Objekt eingesetzt werden, y ist als beliebig zu behandeln)
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R+0 ∃y ∈ R+0 ∶ y 2 = x
√
√
Beweis: Sei x ∈ R+0 . Setze y ∶= x. Dann gilt y ∈ R+0 und y 2 = x
2
=x
Hinweis: y darf hier in Abhängigkeit von x definiert werden, da die Behauptung besagt, dass
es zu jedem x (mindestens) ein entsprechendes y gibt.
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R+0 ∃y ∈ R+ ∶ (y − 1)2 = x
√
√
Beweis: Sei x ∈ R+0 . Setze y ∶= x + 1. Dann gilt y ∈ R+ (denn es ist y = x + 1 ≥ 0 + 1 > 0) und
√
√
(y − 1)2 = ( x + 1 − 1)2 = x
2
=x
Hinweis: Damit der Beweis gültig ist, musste klar sein, dass das gewählte y tatsächlich (mit
Sicherheit) ∈ R+ ist. Dies wurde (in der Klammer) separat begründet.
ˆ Behauptung: ∃n ∈ R∀x ∈ R ∶ n ⋅ x = x
Beweis: Setze n ∶= 1. Sei x ∈ R. Dann gilt:
n⋅x=1⋅x=x
Hinweis: n muss hier unabhängig von x definiert werden, da die Behauptung besagt, dass es
(mindestens) ein n gibt, das mit allen x die geforderte Gleichheit erfüllt.
ˆ Behauptung: ∀a ∈ R∃b ∈ R ∶ b > a
Beweis: Sei a ∈ R. Setze b ∶= a + 1 (auch funktioniert hätte beispielsweise b = a + 17). Dann gilt
b = a + 1 > a.
ˆ Behauptung: ∃a ∈ R∀b ∈ R ∶ b > a
Beweis: nicht möglich, denn die Behauptung ist falsch
(man müsste zuerst a angeben und dann – mit diesem gewählten a – für ein beliebiges (d.h.
repräsentatives) b die Ungleichung zeigen)
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R ∖ {0}∀y ∈ R ∃z ∈ R ∶ y = z ⋅ x
Beweis: Sei x ∈ R ∖ {0} und sei y ∈ R. Setze z ∶= xy . Dann ist z ⋅ x =
y
x
⋅ x = y.
ˆ Behauptung: ∀a ∈ R ∖ {0} ∃b ∈ R ∖ {0} ∀c ∈ R ∶ abc = 2c
Beweis: Sei a ∈ R ∖ {0}. Setze b ∶=
2
a
(offensichtlich b ∈ R ∖ {0}). Sei c ∈ R.
Dann gilt:
abc = a ⋅
2
⋅ c = 2c
a
ˆ Behauptung: ∃a ∈ N ∀b, c ∈ N ∃d ∈ Z ∶ ab = 4(c + d)
Beweis 1: Setze a ∶= 4. Seien b, c ∈ N. Setze d ∶= b − c.
Dann gilt:
4(c + d) = 4(c + (b − c)) = 4b = ab
Beweis 2: Setze a ∶= 8. Seien b, c ∈ N. Setze d ∶= 2b − c.
Dann gilt:
32
4(c + d) = 4(c + (2b − c)) = 4 ⋅ 2b = 8b = ab
Aufgabe 10.5.
Setzen Sie die folgenden Teile zu einem Beweis der jeweils angegebenen Aussage zusammen oder entwickeln Sie einen eigenen Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises
muss nachvollziehbar sein.)
ACHTUNG: Sie benötigen nicht alle Beweisteile.
(a) Behauptung: ∀x, y ∈ Q ∃z ∈ Q ∶ z + y = x
Beweisteile:
Seien x, y ∈ Q.
Sei z ∈ Q.
Setze z = x − y.
Setze z = y − x.
Setze x = z + y.
Setze x = 3 und y = 2 und z = 1.
(beachte: z ∈ Q, da x, y ∈ Q)
z+y
x
(beachte: x ∈ Q, da y, z ∈ Q)
(x − y) + y
x−y
2+1
3
(beachte: x, y, z ∈ Q)
=
=
=
(b) Behauptung: ∃n ∈ N∗ ∀m ∈ N∗ ∶ nm ≤ mn
Beweisteile:
Sei n ∈ N∗ .
Sei m ∈ N∗ .
n1
m1
1n
Setze n = 1.
1m
nn
Setze m = 1.
mm
nm
mn
(n einsetzen)
(n einsetzen)
(m einsetzen)
(m einsetzen)
=
=
=
=
(Potenzgesetz)
(Potenzgesetz)
(da n ∈ N∗ )
(da m ∈ N∗ )
=
=
≤
≤
(c) Behauptung: ∀x ∈ R+ ∃y ∈ R+ ∀z ∈ R+ ∶
1
y+z
Setze n = m.
1
Setze m = n.
n
m
≤x
Beweisteile:
Sei x ∈ R+ .
Sei y ∈ R+ .
Setze x =
1
y+z
1
y+z
♣
♣
≤
≥
♣: beachte y +
♣
=
1
x
≥
1
x
Sei z ∈ R+ .
Seien x, z ∈ R+ .
Setze y = x1 .
+ 1.
1
1
(x
)
♠
♠
≤
≥
wegen y ∈ R+
Setze z = x1 .
1
1
(x
+z)
x
♠
=
Seien x, y, z ∈ R+ .
1
1
(y+ x
)
♡
♡
≤
≥
♠: beachte z +
♡
=
1
x
≥
1
x
(x einsetzen)
(y einsetzen)
(z einsetzen)
=
=
=
wegen z ∈ R+
♡: beachte ∀a ∈ R+ ∶
33
1
1
(a
)
10 Aussagen mit Quantoren ∃ und ∀
10.6. Einsatz von (bereits bekannter) Existenzaussagen
Bisher hatten wir Existenzbeweise geführt, indem wir ein passendes Objekt angegeben haben (“Setze . . .“). Stattdessen kann man auch auf bereits bekannte Existenzaussagen zurückgreifen: Wird durch eine solche Aussage die Existenz von Objekten mit einer bestimmten Eigenschaft garantiert, so kann man ein solches Objekt
“wählen“ und es dann im weiteren Verlauf des Beweises benutzen und auf seine
Eigenschaft zurückgreifen (obwohl man es nicht kennt).
Beispiel:
ˆ bereits bekannte Aussage (∗): ∀a ∈ R+ ∃b ∈ R+ mit b2 = a
Behauptung: ∀a ∈ R+ ∃b ∈ R+ mit b4 = a
Beweis: Sei a ∈ R+ . Wähle c ∈ R+ mit c2 = a. Dies geht nach (∗).
Hinweis: Die ∀-Aussage (∗) wird angewendet auf a. Man erhält eine ∃-Aussage, die garantiert, dass es ein Element c wie behauptet gibt. Man kann daher ein Element c wählen und
damit weiterarbeiten. Man weiß allerdings nur, dass c ∈ R+ ist und dass c2 = a ist und kennt
nicht den Wert von c.
Wähle b ∈ R+ mit b2 = c. Dies geht nach (∗).
Hinweis: Die ∀-Aussage (∗) wird nochmals angewendet, diesmal auf c. Man erhält eine ∃Aussage, die garantiert, dass es ein Element b wie behauptet gibt. Daher kann man solch ein
Element wählen und damit weiterarbeiten.
Nun folgt:
a = c2 = (b2 )2 = b4
ˆ bereits bekannte Aussage (∗): ∀x ∈ R∃n ∈ N ∶ n > x
Behauptung: ∀x ∈ R+ ∃n ∈ N ∶
1
n
<x
Beweis: Sei x ∈ R.
Wendet man (∗) auf
1
x
(statt x an), so folgt:
∃n ∈ N ∶ n >
1
x
Wir wählen solch ein n ∈ N.
Hinweis: Das heißt, wir wissen jetzt, dass n ∈ N ist und dass n >
1
x
ist, auch wenn wir n
nicht genau kennen. Das “wählen“ eines solchen n ist nur möglich, weil wir wissen, dass
(mindestens) so ein n existiert.
Nun folgt:
1
n
<
1
1/x
=x
(Hierbei wurde benutzt:
∀a, b ∈ R+ mit a > b gilt: a1 < 1b )
ˆ bereits bekannte Aussage (∗): ∀a, b ∈ N ∃u, v ∈ Z mit u ⋅ a + v ⋅ b = ggT(a, b)
Behauptung: ∃u, v ∈ Z mit 17a + 55b = 4
Beweis: Wähle ũ, ṽ ∈ Z mit 17ũ + 55ṽ = ggT(17, 55) = 1. Dies geht nach (∗) angewendet auf
a = 17 und b = 55.
Hinweis: Damit man diese Elemente wählen kann, muss garantiert sein, dass solche Elemente überhaupt existieren. Dies ist aber wegen (∗) gesichert. Nun kann man auf Zahlen ã, b̃
zurückgreifen, die man zwar nicht kennt, von denen man aber weiß, dass 17ã + 55b̃ = 1 ist.
Man verwendet hier nicht direkt die Bezeichnungen a, b, da dies (noch) nicht die Zahlen sind,
die man gemäs Behauptung “finden“ muss.
Setze a ∶= 4ã und b ∶= 4b̃. Nun folgt:
17a + 55b = 17 ⋅ 4ã + 55 ⋅ 4b̃ = 4 ⋅ (17ã + 55b̃) = 4 ⋅ 1 = 4
Hinweis: Hierbei ist “wähle “ (als “fixiere“ zu verstehen). Man darf daher für ein Element,
dass man “gewählt“hat, nicht einfach ein anderes Objekt einsetzen (wie man das bei der
Verwendung einer ∀-Aussage tun kann).
34
Aufgabe 10.7.
Setzen Sie die folgenden Teile zu einem Beweis der jeweils angegebenen Aussage zusammen oder entwickeln Sie einen eigenen Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises
muss nachvollziehbar sein.)
ACHTUNG: Sie benötigen nicht alle Beweisteile.
(a) bereits bekannte Aussage: ∀x ∈ R+ ∃n ∈ N∗ ∶
Behauptung: ∀x ∈ R+ ∃n ∈ N∗ ∶
√1
n
1
n
< x (∗)
<x
Beweisteile:
Sei x ∈ R+ .
Sei n ∈ N∗ .
Wähle n ∈ N∗ mit
1
n
Wähle x ∈ R+ mit x > n1 .
Wähle n ∈ N∗ mit
< x.
1
n
Wähle n ∈ N∗ mit
Wähle n ∈ N∗ mit
< x2 .
1
n
√1
n
√
<
< x.
x.
(dass solch ein n existiert, folgt, wenn man (∗) anwendet)
√
(dass solch ein n existiert, folgt, wenn man (∗) auf x statt x anwendet)
(dass solch ein n existiert, folgt, wenn man (∗) auf x2 statt x anwendet)
(dass solch ein x existiert, folgt, wenn man (∗) auf n statt x anwendet)
√
√
√
1
1
1
√1
n
x
n2
x2
n
n
x
n
(Rechenregel
für
√
⋅)
(Rechenregel
=
für
√
⋅)
(Rechenregel
=
(Rechenregel
für
√
⋅)
für
√
⋅ und Wahl von x)
(Rechenregel
für
=
(Rechenregel
<
für
√
⋅ und Wahl von x)
√
⋅ und Wahl von n)
=
(Rechenregel
<
für
√
⋅ und Wahl von n)
<
(b) bereits bekannte Aussage: ∀y ∈ R+ ∃x ∈ R ∶ 2x = y (∗)
Behauptung: ∀a ∈ R+ ∖ {1} ∀b ∈ R+ ∃x ∈ R ∶ ax = b
Beweisteile:
Seien a ∈ R+ ∖ {1} und b ∈ R+ .
Setze: x = v ⋅ u
Wähle u ∈ R mit 2u = a.
Wähle v ∈ R mit 2v = b.
Setze: x =
Wähle x ∈ R+ mit ax = b.
v
u
Wähle u ∈ R mit 2a = u.
Wähle v ∈ R mit 2b = v.
(beachte: wegen a =/ 1 ist u =/ 0))
(dass solch ein u existiert, folgt, wenn man (∗) auf y = a anwendet)
(dass solch ein u existiert, folgt, wenn man (∗) auf x = a anwendet)
(dass solch ein v existiert, folgt, wenn man (∗) auf y = b anwendet)
(dass solch ein v existiert, folgt, wenn man (∗) auf x = b anwendet)
(dass solch ein x existiert, folgt, wenn man (∗) auf a = 2 und b = y anwendet)
a
b
(Potenzgesetz)
=
x
y
(nach
ax
2u
Wahl von u)
=
2v
(nach
u
(2a )
Wahl von v)
=
(2u )
x
(nach
(2x )
b
Wahl von x)
=
a( u )
v
(nach
av⋅u
Def. von x)
=
35
v
(2u ) u
v⋅u
(2u )
11 Implikationen und Äquivalenzen
11 Implikationen und Äquivalenzen
Beweis von Implikationen bzw. Äquivalenzen
11.1. Beweis von Implikationen
Um eine . . . ⇒ . . .-Aussage zu zeigen, verwendet man meist eine der folgenden
Möglichkeiten:
Behauptung:
A⇒B
Beweis:
A ⇒ ... ⇔ ... ⇒ ... ⇒ B
ˆ Eine Implikationskette beginnt mit der einen Aussage (links vom Pfeil) und
endet mit der anderen (rechts vom Pfeil). Darin kommen nur Implikationen
der Form ⇒ oder Äquivalenzen ⇔ vor, die alle (ggf. mit Hilfe einer geeigneten
Anmerkung) offensichtlich richtig sind. Am Ende kann man dann folgern, dass
die behauptete Implikation zwischen den beiden Aussagen (die nun ganz links
und ganz rechts in der Kette stehen) gilt.
ˆ Man zeigt die Aussage, die rechts vom Pfeil steht.
Dabei darf man die Aussage, die links vom Pfeil steht, jederzeit nach Belieben benutzen (als wäre es eine bereits gezeigte Aussage). Meist schreibt man
sie (der Übersichtlichkeit halber) zu Beginn des Beweises der Implikation als
Voraussetzung auf und setzt einen kleinen Hinweis, wenn man sie benutzt.
Behauptung:
Beweis:
A⇒B
Vorausgesetzt sei: A.
(Beweis von B unter Verwendung von A)
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀a, b ∈ R+ ∶ (a2 = b2 ⇒ a = b)
Beweis 1: Seien a, b ∈ R+ . Dann gilt: a2 = b2 ⇒
√
√
(zu (∗): Wegen a, b ∈ R+ ist a2 = a und b2 = b.)
√
a2 =
√
(∗)
b2 ⇔ a = b
Beweis 2: Seien a, b ∈ R+ . Dann gilt:
(∗)
(∗∗)
a2 = b2 ⇔ a2 − b2 = 0 ⇔ (a + b) ⋅ (a − b) = 0 ⇒ a − b = 0 ⇔ a = b
(zu (∗): dritte binomische Formel
zu (∗∗): wegen a, b ∈ R+ ist a + b =/ 0)
,
Hinweis: Für die beiden Beweise hätten statt den Äquivalenzzeichen ⇔ auch Implikationen ⇒ genügt. Umgekehrt könnte man sich überlegen, ob man die Implikationen ⇒ durch
Äquivalenzzeichen ⇔ ersetzen darf. Es ist aber (im Rahmen des geforderten Beweises) nicht
notwendig, dies zu tun.
Beweis 3: Seien a, b ∈ R+ . Vorausgesetzt sei, dass a2 = b2 gilt. Nun folgt:
(∗)
a =
(zu (∗): Wegen a, b ∈ R+ ist
36
√
√ Vor. √ (∗)
a2 =
b2 = b
a2 = a und
√
b2 = b.)
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀a ∈ R ∶ (∃x ∈ R ∶ sin(x) + 3 cos(x) = a2 ⇒ ∣a∣ ≤ 2)
Beweis: Sei a ∈ R. Vorausgesetzt sei, dass ∃x ∈ R ∶ sin(x) + 3 cos(x) = a2 gilt. (z.z. ∣a∣ ≤ 2)
Hinweis: “z.z.“bedeutet: “zu zeigen“ (es wurde hier eingefügt, um die Beweisstruktur klarer
zu machen)
Wähle ein x ∈ R mit sin(x) + 3 cos(x) = a2 (geht nach Vor.).
Hinweis: Die Anmerkung: “geht nach Vor.“ stellt sicher, dass ein solches x existiert und
dass daher das “wähle “ möglich ist.
Nun folgt:
√
√
∣a∣ =
a2 =
√
√
sin(x) + 3 cos(x) ≤
1+3⋅1=
4=2
Hinweis: Jeder Schritt in dieser Kette von Gleichheiten und Abschätzungen muss/kann ggf.
noch näher erläutert werden.
ˆ Behauptung: ∀a ∈ N ∶ (12 ∣ a ⇒ 4 ∣ a)
Hinweis: Bevor wir mit dem Beweis beginnen, müssen Sie sich an die Definition von ∣ erinnern.
Beweis: Sei a ∈ N. Setze voraus: 12 ∣ a. (z.z. 4 ∣ a)
Wir wollen zeigen: ∃x ∈ N ∶ a = x ⋅ 4
Nach Voraussetzung ∃y ∈ N ∶ a = y ⋅ 12
(Wir wählen solch ein y.)
Hinweis: Grundsätzlich spielt es natürlich keine Rolle, ob man hier x oder y verwendet. Allerdings ist die Bezeichung x bereits vergeben.
Setze x ∶= 3y. Es folgt: a = y ⋅ 12 = y ⋅ 3 ⋅ 4 = x ⋅ 4
Also ist gezeigt: ∃x ∈ N ∶ a = x ⋅ 4
Nach Definition der Teilbarkeitsrelation folgt nun:
4∣a
11.2. Beweis von Äquivalenzen
Um eine . . . ⇔ . . .-Aussage zu zeigen, hat man (unter anderem) folgende Möglichkeiten:
ˆ Eine Implikationskette beginnt mit der einen Aussage und endet mit der anderen. Darin kommen nur Äquivalenzen ⇔ vor, die alle (ggf. mit Hilfe einer
geeigneten Anmerkung) offensichtlich richtig sind. Am Ende kann man dann
folgern, dass die behaupteteÄquivalenz zwischen den beiden Aussagen (die nun
ganz links und ganz rechts in der Kette stehen) gilt.
Behauptung:
Beweis:
A⇔B
A ⇔ ... ⇔ ... ⇔ B
ˆ Man teilt den Beweis in 2 Teile: “⇒“ und “⇐“.
Beide Implikationen zeigt man dann separat, beispielsweise mit einer der Methoden aus (i).
Behauptung:
Beweis:
A⇔B
“⇒“
Vorausgesetzt sei: A.
(Beweis von B unter Verwendung von A)
“⇐“
Vorausgesetzt sei: B.
(Beweis von A unter Verwendung von B)
37
11 Implikationen und Äquivalenzen
Beispiel:
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R ∶ (8x + 4 = 5 ⇔ x = 81 )
Beweis 1: Sei x ∈ R. Dann gilt:
−4
∶8
8x + 4 = 5 ⇔ 8x = ⇔ x =
1
8
(man beachte, dass es sich (bekanntlich) um allgemeingültige Äquivalenzen handelt, wenn man
bei einer Gleichung auf beiden Seiten −4 bzw. ∶ 8 rechnet)
Beweis 2: Sei x ∈ R.
“⇐“
Vorausgesetzt ist: x =
1
8
(z.z. 8x + 4 = 5)
Vor.
8x + 4 = 8 ⋅
“⇒“
1
+4=1+4=5
8
Vorausgesetzt ist: 8x + 4 = 5 (z.z. x = 18 )
x=
1
1
1
1
Vor. 1
⋅ 8x = ⋅ (8x + 4 − 4) =
⋅ (5 − 4) = ⋅ 1 =
8
8
8
8
8
ˆ Behauptung: ∀a, b ∈ N ∶ a ∣ b ⇔ a2 ∣ b2
Beweis: Seien a, b ∈ R.
“⇒“
Vorausgesetzt ist: a ∣ b.
⇒ ∃x ∈ N ∶ x ⋅ a = b (wähle solch ein x)
Wir zeigen: ∃y ∈ N ∶ b2 = y ⋅ a2
[dazu: Setze y ∶= x2 . Dann ist y ∈ N und es gilt:
2
Also folgt (nach Definitin von ∣): a ∣ b
“⇐“
b2 = (x ⋅ a) = x2 ⋅ a2 = y ⋅ a2 ]
2
Vorausgesetzt ist: a2 ∣ b2
⇒ ∃x ∈ N ∶ x ⋅ a2 = b2 (wähle solch ein x)
Wir zeigen: ∃y ∈ N ∶ b = y ⋅ a
[hier kommen wir nicht weiter, da bei der Wahl y ∶=
√
x nicht garantiert ist, dass y ∈ N ist]
BEWEIS NICHT VOLLSTÄNDIG
ˆ Behauptung: ∀x ∈ R ∶ [(∃y ∈ R ∶ x = ey ) ⇔ (∀z ∈ R ∶ x > −z 2 )]
Beweis: Sei x ∈ R.
“⇒“
Vorausgesetzt ist: ∃y ∈ R ∶ x = ey (Wir wählen solch ein y.)
(z.z. ∀z ∈ R ∶ x > −z 2 )
Sei z ∈ R. Dann gilt:
“⇐“
x = ey > 0 ≥ −z 2
Vorausgesetzt ist: ∀z ∈ R ∶ x > −z 2 (∗)
(z.z. ∃y ∈ R ∶ x = ey )
Wendet man die Voraussetzung auf z = 0 an, so folgt: x > −02 = 0
Setze nun y = ln(x) (beachte: Wegen x > 0 ist ln(x) definiert.)
Dann gilt:
38
ey = eln(x) = x
Aufgabe 11.3.
Setzen Sie die folgenden Teile zu einem Beweis der jeweils angegebenen Aussage zusammen oder entwickeln Sie einen eigenen Beweis dazu (Jeder Schritt des Beweises
muss nachvollziehbar sein.)
(a) Behauptung: ∀x, y ∈ R ∶ (−4x + 15y < 3y ⇔ x > 3y)
Beweisteile für Beweis 1:
Seien x, y ∈ R.
−4x + 15y < 3y
x > 3y
−15y
∶(−4)
⇔
⇔
Seien x, y ∈ R.
“⇒“
−4x > −12y
Beweisteile für Beweis 2:
Setze voraus: −4x + 15y < 3y
−4x + 15y
3y
=
(z.z. −4x + 15y < 3y)
3y
1
4
−12y + 15y
=
“⇐“
x
=
1
4
−4 ⋅ (3y) + 15y
1
4
⋅ 4x
Setze voraus: x > 3y
1
4
⋅ 12y
=
=
(z.z. x > 3y)
⋅ (15y − 3y)
⋅ (15y − (−4x + 15y))
=
Vor.
Vor.
<
<
(b) Behauptung: ∀a, b ∈ N ∶ (a ∣ b ⇔ a ∣ (4a + b))
Beweisteile:
Seien a, b ∈ N.
“⇒“
“⇐“
Nach Definition von ∣ folgt:
Nach Definition von ∣ folgt aus der Voraussetzung:
Nach Definition von ∣ folgt:
Nach Definition von ∣ folgt aus der Voraussetzung:
Setze voraus: a ∣ b
(z.z. a ∣ b)
(wähle solch ein x)
Setze voraus: a ∣ (4a + b)
(wähle solch ein x)
∃x ∈ N ∶ x ⋅ a = b
b
Setze nun y = 4 + x.
∃x ∈ N ∶ x ⋅ a = 4a + b
Damit ist gezeigt: ∃y ∈ N ∶ y ⋅ a = b
a∣b
(Def. von y)
(Wahl von x)
(Wahl von x)
=
=
=
=
ya
4a + b
Setze nun y = 4 − x.
a ∣ (4a + b)
Damit ist gezeigt: ∃y ∈ N ∶ y ⋅ a = 4a + b
(Def. von y)
ya
(z.z. a ∣ (4a + b))
4a + xa
=
xa − 4a
=
=
4a + b − 4a
(4 − x)a
39
(4 + x)a