Zahlentheorie - Mathematik Museum Tirol

Zahlentheorie
KPH Stams SS 14
Zahlentheorie KPH Stams
1
1.Einführung
1.1. Brainstorming
Was versteht man unter Zahlentheorie?
Zahlentheorie
Die Mathematik ist die Königin der
Wissenschaften, und die Zahlentheorie ist
die Königin der Mathematik.
C.F. Gauß
Elementare Zahlentheorie
Algebraische Zahlentheorie
Analytische Zahlentheorie
Approximation und Transzedenz
Multiplikative Zahlentheorie
Additive Zahlentheorie
Probalistische Zahlentheorie
Algorithmische Zahlentheorie
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1.2.News
• Eulers Erbe
•
Mathematiker feiern Entdeckung in der Zahlentheorie
Die moderne Mathematik, so sollte man meinen, befasst sich längst nur noch mit Fragen, die unendlich weit
entfernt von allem sind, was ein durchschnittlich gebildeter Mensch je verstehen kann. Es mag daher überraschen,
dass in der Fachwelt zurzeit die Lösung eines Problems gefeiert wird, das so einfach klingt, als könnten
Grundschüler damit befasst werden. Es geht um die Frage, auf wie viele Weisen man eine natürliche Zahl als
Summe darstellen ...
•
27.01.2011 Süddeutsche Zeitung | München, Bayern, Deutschland
• Die Eine-Million-Dollar-Frage
•
•
•
Neues Interesse an der Goldbach’schen Vermutung
Wahrscheinlich gibt es einfachere Wege, eine Million Dollar zu verdienen; andererseits sind die Chancen
vermutlich auch nicht schlechter, als die berühmten sechs Richtigen im Lotto zu erwischen: Der britische Verlag
Faber and Faber hat ein Preisgeld von einer Million Dollar für denjenigen ausgelobt, der die Richtigkeit der so
genannten Goldbach’schen Vermutung bestätigt. Der Preis ist Teil einer Werbekampagne für einen Roman über
dieses große Rätsel der Zahlentheorie.
Der Name des preußischen Mathematikers Christian Goldbach ist heute nur noch ein Begriff, weil er 1742 in
einem Brief an seinen Kollegen Leonhard Euler eine Vermutung aufstellte, die in ihrer modernen Formulierung
lautet: Jede gerade Zahl, die größer als 2 ist, lässt sich als Summe von zwei Primzahlen ausdrücken.
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News-Fermat
www.youtube.com/watch?v=7FnXgprKgSE
x^n+y^n=z^n für n>2 in ganzen Zahlen nicht lösbar
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News
• Quanten-Kryptografie geknackt ohne Spuren zu hinterlassen
30. August 2010 12:21 Standard
• Hacker können Quanten-Verschlüsselung mit Laser umgehen
• Forschern ist es gelungen, zwei kommerzielle Systeme für
Quanten-Verschlüsslung unbemerkt zu umgehen
• Sicherheitsexperten von der norwegischen Universität in Trondheim
soll es erstmals gelungen sein, zwei kommerzielle Systeme mit
Quanten-Kryptografie zu knacken, ohne die Alarmglocken
losschrillen zu lassen. Das berichtet Nature. Bislang galt es als
unmöglich, derartig verschlüsselte Kommunikation auszuspionieren,
ohne das System dabei merklich zu stören.
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News
standard.at 15. Februar 2013
• Bisher größte Primzahl und größte Pseudoprimzahl
gefunden
•
•
•
•
Computer rechnete 39 Tage - Primzahl hat 17.425.170 Stellen - gedruckt wären
dies 5.800 Seiten
Florida/Wien - Das Zahlenmonster zu finden hat einiges an Rechnerleistung
verschlungen: Insgesamt 39 Tage brauchte der Computer von Curtis Coopers,
einem Mathematiker von der University of Central Missouri in Warrensburg, ehe
klar war, dass 2 hoch 57.885.161 minus 1 tatsächlich nur durch 1 und sich selbst
teilbar ist.
Damit gibt es seit kurzem eine neue Rekordprimzahl, die genau 17.425.170 Stellen
hat.
Die neue Rekordprimzahl ist außerdem die (benannt nach dem französischen
Mathematiker Marin Mersenne), bei der die Potenz selbst eine Primzahl ist. Geld
gab es übrigens auch: Im Fall des aktuellen Rekordhalters waren dies 3000 Dollar.
Für die Entdeckung der ersten Mersenne-Primzahl mit mehr als zehn Millionen
Stellen wurden 2008 noch 100.000
Dollar bezahlt
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1.3.Die Arithmetik der Alten
Ägypter
Hieroglyphen
Gruppierungssystem
Additionssystem
Dezimalsystem
Zahl 0 ?
(„nichts“)
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Multiplikation
•
•
•
•
•
•
•
Beispiel: 14x27=?
1 27
2 54
4 108
8 216
16 432
(2+4+8)x27 =54+108+216=378
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Warum funktioniert das?
• Brainstorming
• Jede ganze Zahl lässt sich als Summe von
Zweierpotenzen darstellen (Binärsystem)
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Division
•
•
•
•
•
•
•
Beispiel: 114:6
1 6
2 12
4 24
8 48
16 96
Also: 114=6+12+96=6x(1+2+16)
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Problem?
•
•
•
•
•
•
•
Beispiel: 83:16=
1 16
2 32
4 64
8 128
Also (1+4)*16=80 und 3 Rest!
Brüche!
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Brüche
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Beispiel: 83:16=
1 16
2 32
4 64
8 128
½
8
¼
4
1/8
2
1/16
1
• Also:
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Brüche
Der Papyrus-Rhind ist eine altägyptische, auf Papyrus (etwa 1550 v. Chr)
verfasste Abhandlung zu verschiedenen mathematischen Themen, die wir heute
als Arithmetik, Algebra, Geometrie, Trigonometrie und Bruchrechnung
bezeichnen.. datiert.
Besondere Zeichen für wichtige Brüche
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2.Teilbarkeit
• Zahlenmuster (Rechteck)
• Z.B.12
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2.1.Definition, Regeln
Sprechweisen
Schreibweise
Begriffe: komplementärer Teiler, echte Teiler
Beispiele
Teilbarkeitsregeln
Folgerungen
Beweise
5. Für alle a Є N* gilt
6. Gilt d/a und d/b , so gilt auch d/(a+b)
7. Für alle n Є N gilt: Gilt d/a , so gilt auch d/(n*a)
8. Differenzregel
9.
9.Produktregel
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2.2.Teilbarkeitsrelation
• Pfeildiagramm
• Darstellung im Koordinatensystem
• Hasse-Diagramm
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Ordnungsrelation
• geordnete Zahlenpaare in NxN
Transitiv
Reflexiv
Für alle a Є N gilt (a,a) Є R
Identitiv
Symmetrisch ?
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2.3.Teilermengen
• Teilermenge = Menge aller Teiler
Beispiele: T(24)
• Aufzählend T(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}
• Beschreibend
Fragen:
Wie finde ich alle Teiler?
Wieviele Teiler gibt es?
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• T(0)=?
• Satz: Der Teiler a einer natürlichen Zahl n oder
der komplementäre Teiler (n/a) sind kleiner
oder gleich der Wurzel aus n.
• Beweis (indirekt)
• Beispiel T(504)
T(504)={1,2,3,4,6,7,8,9,12,14,18,21,
}
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Teileranzahlfunktion
Für teilerfremde natürliche Zahlen m und n gilt τ (m·n) = τ(m) · τ (n)
n
1 2 3 4 5 6 7
8 9
72
504
Teiler
Primteiler
101^3,103^2
2
d(n)
Die Anzahl der Teiler einer natürlichen Zahl n hängt nicht von der
Größe dieser Zahl ab, sondern von der Häufigkeit der Primteiler.
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3.Primzahlen
• 3.1. Definition
Eine Zahl p Є N* heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt.
T(p)={1,p}
1 ist keine Primzahl
Teileranzahlfunktion d(p)=2
Der kleinste von 1 verschiedene Teiler jeder natürlichen Zahl ist
eine Primzahl.
Eine Zahl n ЄN\{1} heißt zusammengesetzte Zahl, wenn sie keine
Primzahl ist.
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3.2.Eigenschaften



2 ist die einzig gerade Primzahl
Es gibt unendlich viele Primzahlen (Euler):
Beweis: Sind p1, p2, ... , pr die vorgelegten Primzahlen, so bildet man die
neue Zahl n = p1 * p2 * ... * pr + 1. Diese natürliche Zahl n besitzt bis auf die
Reihenfolge eine eindeutige Zerlegung in ihre Primfaktoren. Ist q einer der
Primteiler von n, so kann er nicht unter den vorgelegten Primzahlen vorkommen,
da jede der vorgelegten Primzahlen p1, p2, ... , pr die Zahl n mit Rest 1 teilt und q
als echter Teiler nicht. Somit ist q eine neue Primzahl und wegen diesem
Widerspruch zur Annahme ist die Menge der Primzahlen unendlich.
Gibt es eine Formel?


Primzahlzwillinge
Drillinge
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3.3. Bestimmung von Primzahlen
• Dividieren (0 Rest)
• Sieb des Eratosthenes
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weitere Tests
• AKS-Primzahltest (2000)
• Fermatscher Primzahltest (probalistisch)
Der kleine Fermatsche Satz:
a^p Ξ a(mod p)
wobei a eine ganze Zahl und p eine Primzahl ist
• Glückliche Primzahlen
• http://primzahlen.zeta24.com/de/
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3.3. Hauptsatz der Zahlentheorie
Jede natürliche Zahl n>1 besitzt (bis auf die Reihenfolge der Faktoren
genau eine Primfaktorenzerlegung.
Beweis:
Existenz:
Der kleinste von 1 verschiedene Teiler jeder natürlichen Zahl ist
eine Primzahl.
Eindeutigkeit: Indirekter Beweis
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Primfaktorendarstellung
• Beispiele
•
•
•
•
340
170
85
17
2
2
5
17
• Normierte Primfaktorenzerlegung
r
e1
1
e2
2
er
r
n  p  p  ......  p   pi
ei
i 1
pi  P, ni  N
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*
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Teilermenge
• Anzahl:  ( n) (e1  1)  (e2  1)  ....  (er  1)
• Teilermenge



p

p

.....

p
T(n) = Menge der Zahlen 1 2
r
(0   i  ei ) für i  1,2,...., r
• Beispiele:
14=2*7
T(14)=
1
18
 2
1
3
2
r
2
T(18)={
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Primzahlformeln
2
• p  m  79  m  1601
• Satz: Es existiert kein Polynom, das für alle x
Primzahlwerte annimmt
• Ungelöste Probleme
• Bedeutung: Kryptographie
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Besondere Primzahlen
• Fermat´sche Primzahlen
2k
2 1
• Mersenn´sche (Prim)zahlen
k
2 1
Ist n eine zusammengesetzte Zahl, so ist auch Mn eine zusammengesetzte Zahl.
Die n-te Mersennezahl ist im Binärsystem eine Zahl mit n Einsen
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4.Kongruenzen/Restklassen
Zwei Digitaluhren zeigen nur die Stunden 0 bis
11 an. Man stelle fest, ob sie die gleiche Zeit
anzeigen:
3
15
63h
87h
112
86
97
145
204
56
285
81
a
b
Formel
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4.1. Definition
• Zwei ganze Zahlen a und b heißen kongruent nach
dem Modul m (m N*), wenn es eine ganze Zahl g
gibt , sodass gilt:

a – b = g*m
Man schreibt:
a ≡ b (mod m)
Man spricht: a kongruent b modulo m
a ≡ b (mod m), genau dann, wenn m│(a-b)
(wenn sie bei der Division durch m denselben Rest lassen)
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32
4.2. Rechenregeln
• Additionsregel
a ≡ b (mod m) und c ≡ d (mod m) dann gilt:
a+c ≡ b+d (mod m)
• Subtraktionsregel
• Multiplikationsregel
• Potenzregel
Wenn a ≡ b (mod m), dann an ≡ bn (mod m)
Beweis durch vollständige Induktion
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4.3. Äquivalenzrelation
• Transitiv
a ≡ b (mod m) und b ≡ c (mod m) → a ≡ c (mod m)
• Reflexiv
a ≡ a (mod m)
• Symmetrisch
a ≡ b (mod m) → b ≡ a (mod m)
Dadurch erfolgt eine Klasseneinteilung
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34
4.4.Restklassen
• Die Menge der ganzen Zahlen wird durch die
Kongruenzrelation modulo m in m
verschiedene Restklassen zerlegt:
_
• Definition: Unter der Restklasse a verstehen
wir die Menge aller ganzen Zahlen, die zur Zahl
kongruent sind (bezogen auf den Modul m)
_
a
= {x ϵ Z │ x ≡ a (mod m)}
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4.5. Restklassen-Eigenschaften
• Gruppentafeln Modulo 5
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Körper
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4.6. Prüfziffern
•
•
•
•
•
•
•
•
Neunerprobe nach Adam Ries
Sozialversicherungsnummer
IBAN
EAN
ISBN
Kreditkarten
Reisepass
Prüfbits
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5. ggT und kgV
•
•
•
•
Teilermenge
Vielfachenmenge
Primfaktorenzerlegung
Zusammenhang
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5.1.Definition
Seien n,m ∈ N zwei natürliche Zahlen.
Dann heißt
ggT(n,m) = max{k | k teilt n und k teilt m}
der größte gemeinsame Teiler (ggT) von n und m.
Weiterhin heißt
kgV(n,m) = min{k | n teilt k und m teilt k}
das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von n
und m.
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5.2. Bestimmung PFZ
n = p1r1 ・ p1r2 ・ . . . ・ pkrk
und
m =p1s1 ・ p1s2 ・ . . . ・ pksk
mit Primfaktoren p1, . . . , pk und
Exponenten r1, . . . , rk, s1, . . . , sk ≥ 0 gilt
• ggT(n,m) = pmin(r ,s )・ pmin(r ,s )・ . . . ・pmin(r ,s )
• kgV(n,m) = pmax(r ,s )・ pmax(r ,s )・ . . .・ pmax(r ,s )
1
1
1
2
1
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2
2
k
2
k
k
k
41
Beispiel
n = 525 = 2^0 ・ 3^1 ・ 5^2 ・ 7^1
m = 180 = 2^2 ・ 3^2 ・ 5^1 ・ 7^0
• ggT(525, 180) = 2^0・ 3^1・ 5^1 ・ 7^0 =
15
• kgV(525, 180) = 2^2 ・ 3^2 ・ 5^2 ・ 7^1 =
6300
• n ・m = 525 ・ 180 = 15 ・ 6300 =
ggT(525, 180) ・ kgV(525, 180).
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5.3. Euklidischer Algorithmus
Für n,m ∈ N läßt sich deren ggT mit dem
Verfahren der iterierten
Division (Euklidischer Algorithmus) bestimmen.
• Vorüberlegung: Zu n,m ∈ N, n ≥ m, existieren
eindeutige q, r ∈ N0 mit
n = q ・m+ r, wobei 0 ≤ r < m.
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Beispiel
• Bestimme ggT und kgV von 3054 und 1002
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5.4. Linearkombination
• Satz (B´ezout): Seien m, n ∈ Z und d = ggT(m, n),
dann gibt es Zahlen λ, μ ∈ Z, so dass
d = λm + μn
• Umgekehrter Euklidischer Algorithmus
Also:
6= 21*3054 -64*1002
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6. Diophantische Gleichungen
Definition: Eine diophantische Gleichung ist eine
Gleichung der Form
F(x1,x2,x3,….,xn) = 0
wobei F eine Polynomfunktion
mit ganzzahligen Koeffizienten in mehreren
Variablen in der Grundmenge der ganzen
Zahlen ist.
Zahlentheorie KPH Stams
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6.1. Beispiele
• 3x+5y =21
Lösunge(n): Geometrisch
• x² + y² = z² ( Pythag. Zahlentripel)
• (Fermat´sche Vermutung)
• Hilbert´s 10.Problem: Gibt es ein Verfahren,
das eine beliebige diophantische Gleichung
löst ?
Antwort: Nein
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6.2. Anwendungen
Zahlentheorie KPH Stams
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6.3. Lineare Gleichung in 2 Variablen
Die lineare diophantische Gleichung mit 2 Unbekannten
a*x+b*y= c
besitzt eine Lösung, wenn c durch den ggT(a,b) teilbar ist.
Lösungsalgorithmus:
Lösung der homogenen Gleichung:
Auffinden einer Partikulärlösung (mit dem umgekehrten Euklid Algorithmus)
Superposition mit den Lösungen der homogenen Gleichung sämtliche
anderen Lösungen der inhomogenen Gleichung
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7. Zahlensysteme
7.1. Beispiele
•
•
•
•
Dezimalsystem
Hexagesimalsystem
60er System(Babylonier)
Maya
• Binärsystem
Zahlentheorie KPH Stams
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7.2. g-adische Entwicklung
natürlicher Zahlen
Satz: Sei g >= 2 eine natürliche Zahl. Dann lässt sich jede
natürliche Zahl a eindeutig in der Form
schreiben, wobei a0, . . . , an ϵN, n>= 0, 0 <=ni < g und an <> 0 falls a<> 0.
Hat man für die ganzen Zahlen z mit 0 < z <= g Zeichen (Ziffern)
vereinbart, so schreibt man für a auch die Aneinanderreihung der
betreffenden Zeichen für a0, . . . , a :
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8.Kryptographie
8.1. Wozu
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8.2. Wie
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8.3.Algorithmen
8.3.1. Skytale
(2500 v. Chr.)
8.3.2. Caesar
8.3.3. Enigma (2.Weltkrieg)
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8.3.4. RSA
 Entwickelt von Rivest, Shamir und Adleman (1977)
 Asymmetrisch
 private key und public key
 große Primzahlen (Mersenn´sche)
 Eulersche Phi-Funktion
 Anzahl aller teilerfremden Zahlen
 Erweiterter Euklidischer Algorithmus
 Der kleine Fermatsche Satz
 a^p Ξ a(mod p)
wobei a eine ganze Zahl und p eine Primzahl ist
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55
Euler´sche Phi-Funktion
•
Die eulersche Phi-Funktion (auch eulersche Funktion genannt) ist eine zahlentheoretische
Funktion. Sie gibt für jede natürliche Zahl n an, wie viele zu n teilerfremde positive ganze
Zahlen es gibt, die nicht größer als n sind:
•
Die Phi-Funktion ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, sodass
für teilerfremde Zahlen m und n:
•
Für Primzahlen gilt:
•
Für Potenzen von Primzahlen:
•
Allgemeine Berechnungsformel:
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RSA-Schlüsselkonstrukion
Konstruktion der Schlüssel
Konstruktion des öffentlichen Schlüssels (public key):
1.
2.
3.
4.
5.
Bestimme zwei (sehr große) Primzahlen
Bilde
Bestimme
mit
Wähle eine Zahl
mit
Der öffentliche Schlüssel ist dann
und
Konstruktion des privaten Schlüssels (private key):
1. Bestimme das Inverse zu mod
, also
mod
. Man macht dies
am einfachsten mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus, man berechnet also
.
2. Der private Schlüssel ist dann
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8.3.5. Weiterentwicklung
•
•
•
•
Symmetrische Algorithmen (Handy)
Elektronische Signatur
Zertifikate
Hybridsysteme
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