5.4 Verteilungsfunktion

5.4 Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion gibt an welche Wahrscheinlichkeit sich bis zu einem bestimmten Wert x der Zufallsvarialben X kumuliert („angehäuft“, „angesammelt“) hat.
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist,
dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x ist:
F(x) = P(X  x).
Bei diskreten Zufallsvariablen erhält man sie durch Aufsummieren von
Wahrscheinlichkeiten, bei stetigen Zufallsvariablen durch Integration.
Abbildung: Form der Verteilungsfunktion bei diskreten und stetigen Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
diskrete Zufallsvariable
stetige Zufallsvariable
"Treppenfunktion"
monoton steigende Funktion
24
 Verteilungsfunktion bei diskreten Zufallsvariablen
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist ihre Verteilungsfunktion F(x) durch




f
(
x
)

P
X

x

p
 j  
 j
j
x j x
x

x
x
j
j x


gegeben. Die Summation erstreckt sich über alle Ausprägungen xj, die kleiner
oder gleich x sind.
(5.9) F( x )  P(X  x ) 
Anmerkung: Die Definition (5.9) setzt nicht voraus, dass die xj aufsteigend sortiert
sind. Im Folgenden unterstellen wir aber der Übersichtlichkeit halber immer die
Sortierung x1 < x2 < …< xm .
25
0
Bei einer endlichen Zufallsvariable X mit m

denkbaren Ausprägungen x1, x2, …, xm lässt
p1
sich die Verteilungsfunktion formal

p1  p 2
folgendermaßen darstellen:
Fx   
p1  p 2  p3


1

Graphische Darstellung: Treppenfunktion
Erläuterung
An den „Sprungstellen“, also bei
den Werten xj, kennzeichnet man
durch einen leeren Kreis und
einen gefüllten Kreis, dass die
Funktion F dort immer den
oberen Wert annimmt („für xj ≤ x
…“). Der leere Kreis gehört nicht
mehr zum Graphen der Funktion
(„für … x < xj“).
An jeder Sprungstelle xj nimmt
die Verteilungsfunktion F(x) um
die Wahrscheinlichkeit pj zu.
x  x1
für
für x1  x  x 2
für x 2  x  x 3
für x 3  x  x 4
für x m  x (bzw . x  x m )
Treppenfunktion (Beispiel: m = 3)
Fx 
p1  p 2  p3  1
p1  p 2
p1
x1
x2
x3
x26
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer diskreten Zufallsvariable X
Wir betrachten kumulierte Wahrscheinlichkeiten im Hinblick auf eine konkrete
Zahl a:
Wahrscheinlichkeit für…
Formaler Ausdruck
PX  a   Fa 
höchstens a
weniger als a
PX  a   Fa   P(X  a )
mindestens a
PX  a   1  Fa   P(X  a )
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
mehr als a
Beispiel 5.8:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im Beispiel 5.5 des Produktionsprozesses, bei dem
zwei Teile entnommen werden (X: Anzahl der defekten Teile), ist gegeben durch
1  p 2

2p1  p 
f x    2
p
0
für x  0
für x  1
für x  2
sonst
27
Für die Verteilungsfunktion ergibt sich daraus wegen (5.9) für ausgewählte x-Werte
z.B.
F(-1)  P(X  -1)  0
F(0)  P(X  0)  P(X  0)  (1 - p) 2
F(0,2)  P(X  0,2)  P(X  0)  (1 - p) 2
F(1)  P(X  1)  P(X  0)  P(X  1)  (1 - p) 2  2p(1 - p)  1 - 2p  p 2  2p - 2p 2  1 - p 2
F(2)  P(X  2)  P(X  0)  P(X  1)  P(X  2)  1 - p 2  p 2  1
Die Verteilungsfunktion lässt sich damit kompakt schreiben als
0
1  p 2
Fx   PX  x   
2
1  p
1
für x  0
für 0  x  1
für 1  x  2
für x  2
Sie hat Sprungstellen bei den Werten x=0, x=1 und x=2. Die Höhe der Sprünge
addiert sich insgesamt zu 1.
28
 Verteilungsfunktion bei stetigen Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion F(x) entspricht bei einer stetigen Zufallsvariable X
der Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(u), die sich bis zum Wert x kumuliert
hat. Man erhält sie durch Integration:
(5.10)
Fx  
x
 f u  du
.

Die Variable u „vertritt“ hierbei das x als Integrationsvariable, da wir x als
obere Integralgrenze benötigen.
Mit der Verteilungsfunktion F(x) lassen sich ebenso wie mit der Dichtefunktion
f(x) Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist dabei –
anders als bei den diskreten – unerheblich, ob die Intervallgrenze zum Intervall
gezählt wird oder nicht, weil Punktwahrscheinlichkeiten gleich null sind.
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Zufallsvariable X
Wahrscheinlichkeit für…
Formaler Ausdruck
höchstens a
PX  a   Fa 
weniger als a
PX  a   Fa 
mindestens a
mehr als a
 F(a )  P(X  a )  F(a )  0
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
PX  a   1  PX  a   1  Fa 
29
Wahrscheinlichkeiten für geschlossene und offene Intervalle bei einer
stetigen Zufallsvariable X
(5.11)
Pa  X  b  Pa  X  b   Pa  X  b   Pa  X  b  Fb  Fa 
Abbildung: Intervallwahrscheinlichkeiten
f x 
f x 
PX  b 
x
b
Fb 
PX  b 
 1  Fb 
x
f x 
zusammen:
F(a)
F(b)
F(b)
Pa  X  b 
a
b
x
30
Beispiel 5.9:
Wir betrachten die in Beispiel 5.7 verwendete Dichtefunktion.
a) Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvarialbe X?
für x  0
0
.

f x    12 x für 0  x  2
0
für x  2

1. Schritt: Bildung der Integrale in den relevanten Bereichen:
x < 0:
0 ≤ x ≤ 2:
x
x


x
0
x


0
 f u  du   0 du  0
 f u  du   0 du  

x
1
1
1
1
1
u du  u 2   x 2   02  x 2
2
4 0 4
4
4
0
2 < x:
x
0
2


0
 f u  du   0 du  
2
x
1
1
1
u du   0 du  0  u 2  0   22  1
2
4 0
4
2

für x  0
2. Schritt: Ausweisen der Verteilungsfunkton
0
 1 2
Fx    x für 0  x  2
4
1
für x  2

31
Graphische Darstelllung der Dichte- und Verteilungsfunktion:
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
f(x)
-1
F(x)
1
1
1/2
1/2
0
1
2
x
-1
0
1
2
x
32
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte annimmt,
die kleiner oder gleich 1,6 sind?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
1,6
PX  1,6   f x  dx  0 

1,6

f(x)
1
x
2
dx
0
1
1,6
0,64
1
1
1
 x 2  1,62   02
4 0
4
4
 0,64
1/2
-1
0
2
1
x
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
1
PX  1,6  F1,6  1,62
4
1
  2,56  0,64
4
1
F(1,6) =0,64
1/2
-1
0
1
2
x
33
Der Punkt x=1,6 heißt 64%-Quantil / 0,64-Quantil der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
c) Welchen Wert nimmt die Wahrscheinlichkeit für 0,6< X<1,2 an?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
1, 2
P0,6  X  1,2    f x  dx 
0, 6
1, 2
1x
2
0, 6

f(x)
dx
1
1, 2
1
 x2
4 0, 6
1
1
 1,22   0,62
4
4
 0,270
0,27
1/2
-1
0
x
2
1
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
P0,6  X  1,2  F1,2  F0,6
1
1
 1,22   0,62
4
4
 0,36  0,09
 0,270
1
F(1,2) =0,36
0,36-0,09=0,27
F(0,6) =0,09
-1
0
1
2
x
34
d) Schließlich fragen wir noch nach der Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 1,3 ist.
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)

PX  1,3   f x  dx 
1,3
2

1x
2
f(x)
dx  0
1,3
1
0,577
2
1
1
1
 x 2   22  1,32
4 1,3 4
4
 0,577
1/2
-1
0
1
x
2
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
F(x)
PX  1,3  1  F1,3
1
 1  1,32  1  0,423
4
 0,577
1
1-0,423
=0,577
F(1,3) =0,423
-1
0
1
2
x
35
5.5 Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariable sind Maßzahlen (Kenngrößen,
Parameter), mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable
genauer beschrieben werden kann.
Übersicht: Wichtige Maßzahlen einer Zufallsvariable
Maßzahlen einer Zufallsvariablen
Erwartungswert
Erwartungswert
μ: „im Mittel
erwarteter Wert“ einer
Durchschnittswert
aus einer VielZufallsvariable
(Lagemaß)
zahl von Zufallsexperimenten
Varianz
Varianz σ2: „im Mittel
erwarteter Wert“
Durchschnittliche
quadratische
der quadratischen
Abweichung
einer
Abweichung
Erwartungswert
Zufallsvariable
von vom
μ (Streuungsmaß)
36
● Erwartungswert einer Zufallsvariable
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariable X gewichtet alle denkbaren
Ausprägungen von X mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und liefert so
den „im Mittel erwarteten Wert“ von X.
Praktisch lässt er sich als Durchschnittswert bei einer sehr großen Anzahl
von Wiederholungen des Zufallsvorgangs interpretieren.
Der Erwartungswert von X wird auch mit dem griechischen Buchstaben µ (my,
gesprochen: „mü“, englisch: mu oder mju) bezeichnet.
Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen:
  EX    x j  p j   x j  f x j 
m
(5.12)
j1
m
(bei m möglichen Ausprägungen)
j1
Der Erwartungswert muss dabei nicht immer eine der denkbaren Ausprägungen
sein, er kann auch zwischen zwei Ausprägungen liegen.
Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen:

(5.13)
  EX    x  f x  dx

37
Beispiel 5.10:
Bei einem Würfelwurf gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbeträge werden in Euro gemessen.
Von welchem Erwartungswert des Gewinns können Sie ausgehen, wenn Sie an
diesem Glücksspiel teilnehmen?
 16 für x  24
1
 6 für x  16
 16 für x  8
Mit Hilfe der Angaben in der Wahrscheinlich
f x    16 für x  5
keitsfunktion der diskreten Zufallsvariable X,
 1 für x  15
6
 16 für x  25
0 sonst ,

lässt sich der Erwartungswert unter Verwendung von
6
(5.12) bestimmen:
  EX    x j  p j
j1
1
1
1
1
1
1
  24     16     8   5   15   25 
6
6
6
6
6
6
3
1
  .
6
2
Sie müssen also im Mittel mit einem Verlust pro Spiel von ½ Euro rechnen.
38
Beispiel 5.11:
Wir betrachten die bereits bekannte Dichtefunktion
0
für x  0

f x    12 x für 0  x  2
0
für x  2

Wie groß ist sein Erwartungswert der Zufallsvariable X?
Da die Zufallsvariable X stetig ist, ziehen wir zur Berechnung des Erwartungswerts die Formel (5.13) heran. Wir integrieren hier über das Intervall zwischen 0
und 2, da die Dichte nur in diesem Bereich ungleich 0 ist:

0

2
2
  EX    x  f x  dx   0 dx   x  x dx   0 dx   12  x 2 dx


2
 0

 0
1
2
0
0
2
1
8
4
  x3   0  .
6
6
3
0
39
●
Erwartungswert einer Lineartransformation
In verschiedenen Anwendungen wird von einer Lineartransformation Gebrauch
gemacht, indem X um einen konstanten Betrag a und einen multiplikativen Faktor
b verändert wird:
(5.20)
Y  a  bX
(Formeln 5.20 bis 5.22 und 5.S vor 5.14 eingeschoben)
Man erhält den neuen Erwartungswert E(Y), indem man die Lineartransformation
(5.20) in gleicher Form auf den ursprünglichen Erwartungswert E(X) anwendet:
(5.21)
EY   Ea  b  X   a  b  EX 
Beweis von (5.21):
Wir beschränken uns hier darauf, (5.21) für den Fall einer stetigen Zufallsvariable
zu beweisen. Es gilt
E(Y) 






 a  b  x   f x  dx   a  f x  dx   b  x  f x  dx
a
Wegen




 f x  dx  b   x  f x  dx.




 f x  dx  1 und  x  f x  dx  EX 
folgt
EY   a  b  EX .
40
Wie sich gezeigt hat, lässt sich der neue Erwartungswert durch eine lineare
Transformation,
E(Y) = E(a+b·X) = a + b·E(X),
aus dem ursprünglichen Erwartungswert E(X) erhalten. Aufgrund der in dieser
Gleichung wiedergegebenen Transformationseigenschaften bezeichnet man
den Erwartungswert auch als linearen Operator.
Folgerung:
Speziell folgt aus (5.21), dass der Erwartungswert einer Konstanten gleich der
Konstanten ist:
(5.22)
E(a) = a
Weitere wichtige Rechenregel (ohne Beweis):
Für die Summe zweier Zufallsvariablen X und Y gilt
(5.S)
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
und damit auch E(X + Y + Z) = E(X) + E(Y + Z) = E(X) + E(Y) + E(Z)
41
Beispiel 5.12:
In Bespiel 5.10 hatten wir die Zufallsvariable Gewinn (in €) bei einem Würfelwurf betrachtet. Der Spieler gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augenzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbeträge werden in Euro gemessen.
Angenommen, der Glücksspieler möchte seinen Gewinn, der in Euro ausgezahlt
wird, in Dollar [$] umtauschen. Für einen Euro erhält er 1,30 Dollar. Zusätzlich fallen
Umtauschgebühren unabhängig von der Höhe des Gewinns von 2 Dollar an. Alle
Gewinne werden also um 2 Dollar vermindert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn in
Dollar?
Die Formel für die Lineartransformation lautet:
$
Yin $  2 $  1,30  Xin € .
€
Wir berechnen den erwarteten Dollar-Gewinn durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Einzelgewinne,
b) Anwendung der Lineartransformation (5.21) auf den Erwartungswert des Gewinns in Euro.
42
Ad a) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus den Einzelgewinnen
Gewinne in Dollar:
y1 = -2 + 1,30·(-x1=24) = -33,20;
y3 = -2 + 1,30·(x3=-8) = -12,40;
y5 = -2 + 1,30·(x5=15) = 17,50;
y2 = -2 + 1,30·(x2=-16) = -22,80;
y4 = -2 + 1,30·(x4=5) = 4,50;
y6 = -2 + 1,30·(x6=25) = 30,5;
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gewinne (in $):
für y  33,20
für y  22,80
für y  12,40
für y  4,50
f y  
für y  17,50
für y  30,50
0 sonst

 16
1
6
 16
1
6
1
6
 16
Erwarteter Dollar-Gewinn:
6
EY    y j  p j
j1
1
1
  33,20     22,80  
6
6
1
1
  12,40    4,50 
6
6
1
1
 17,50   30,50 
6
6
 2,65 $ .
43
Ad b) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus dem erwartetem Euro-Gewinn
Erwartungswert in Euro (aus Beispiel 5.10):
1
EX    € 
2
Erwartungswert in Dollar (mit Lineartransformation 5.21):
EY   a  b  EX 
 2  1,30   0,5
 2,65 $
44
● Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariable
Die Varianz und die Standardabweichung einer Zufallsvariable X sind
Streuungsmaße, die angeben, wie stark die Ausprägungen von X um ihren
Erwartungswert streuen.
Die Varianz V(X) gibt den Erwartungswert der quadrierten Abweichung der XAusprägungen von E(X) an, also die “im Mittel erwartete quadrierte Abweichung”
der X-Ausprägungen von E(X) (praktisch: durchschnittliche quadrierte
Abweichung bei vielen Wiederholungen). Sie wird auch durch das Symbol ²
(sigma-Quadrat) gekennzeichnet.
Varianz bei diskreten Zufallsvariablen (bei m möglichen Ausprägungen):

 

2
(5.14)   V(X)  E [X  E(X) ]  E [X  ]   [ x j  ]  p j   [ x j  ]  f x j 
2
2
2
Varianz bei stetigen Zufallsvariablen:

 

m
j1
2
m
j1

(5.15)   V(X)  E [X  E(X) ]  E [X  ]   [ x  ]2  f x  dx
2
2
2

Die Standardabweichung  (sigma) gibt als Wurzel aus der Varianz an, wie
stark die Werte der Zufallsvariable X “im erwarteten Mittel” von ihrem Erwartungswert E(X) abweichen. (Vorteil gegenüber ²:  wird in der gleichen Einheit
gemessen wie X.)
Standardabweichung:
(5.16)
  V(X)  2
45
Beispiel 5.13:
Wie groß sind Varianz und Standardabweichung beim einmaligen Werfen mit
einem fairen Würfel? Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
 16 für x  1,2,...,6
f (x)  
0 sonst
ergibt sich der Erwartungswert
6
1
1
1
1
1
1
  EX    x j  p j  1   2   3   4   5   6 
6
6
6
6
6
6
j1
1
1
  1  2  3  4  5  6   21  3,5 .
6
6
Für die Varianz erhält man mit (5.14)
   x j    2  p j
2
6
j1
1
1
1
1
1
1
 1  3,52   2  3,52   3  3,52   4  3,52   5  3,52   6  3,52 
6
6
6
6
6
6
1
1
  6,25  2,25  0,25  0,25  2,25  6,25  17,5  2,917.
6
6
Die Würfelwürfe weichen damit im erwarteten Mittel um
  2 
17,5
 1,708
6
vom Erwartungswert 3,5 ab.
46
Beispiel 5.14:
Für die Dichtefunktion,
für x  0
0

f x    12 x für 0  x  2
0
für x  2

hatten wir bereits den Erwartungswert von 4/3 in Beispiel 5.11 bestimmt. Damit
lassen sich Varianz
2

0
2

4
1


2
2
   x     f x  dx   0 dx    x     x dx   0 dx
3 2


 0 
2



0
0
2
 x3 4 2 8 
16  1
 2 8
   x   x     x dx      x   x  dx
3
9 2
3
9 
0
0 2
2
2
x4 4 3 4 2 
32 16
2
    x   x   2    0  0  0   0,222
9
9 9
9
8 9
0
und Standardabweichung
2
 0,471
9
berechnen. Die Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann, weichen also im
47
erwarteten Mittel um 0,471 vom Erwartungswert ab.

●
Varianzverschiebungssatz
Zur Varianzermittlung gibt es eine vereinfachte Berechnungsformel, den Varianzverschiebungssatz. Hier werden nur der Erwartungswert der quadrierten Zufallsvariable sowie der einfache Erwartungswert benötigt:
 
2  E X 2  EX  2
(5.17)
diskreter Fall
 
stetiger Fall
2
2
2
(5.18) E X   x j  p j   x j  f x j 
m
m
j1
j1
(5.19)
 

E X   x 2  f x  dx
2

Beweis von (5.17):
Nach (5.14) und (5.15) ist die Varianz von X durch
2 = E( [X – E(X)]2 )
gegeben. Für die Herleitung benötigen wir die Regeln (5.21) und (5.S):

 E X

2  E X  EX 2  E X  EX  X  EX  
2
 2  X  EX   EX 
mit (5.21)
2

 E(X )  E  2  EX   X

 
(Folie 18)
 Konstante

mit (5.S)
2
E(X 2 )  2  EX   EX   EX   E(X 2 )  EX 

(Folie 17)

2
E X  2
2



  E EX  2 





 Konstante 
48
Beispiel 5.15:
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einmaligen Würfelwurf ermitteln wir zunächst den Erwartungswert von X2:
   x 2j  p j
EX
2
6
j1
1
1
1
1
1
1
 12   22   32   42   52   62 
6
6
6
6
6
6
1
91
  1  4  9  16  25  36    15,167 .
6
6
Mit dem Varianzverschiebungssatz (5.17) erhält man das mit der originären Varianzformel (5.14) berechnete Ergebnis:
 
2  E X 2  EX  2  15,167  3,52  15,167  12,25  2,917.
49
Beispiel 5.16:
Bei der Dichtefunktion
für x  0
0
 1
f x    2 x für 0  x  2

für x  2
0
nimmt der Erwartungswert von X2 den Wert

 
2
2
2
1
E X 2   x 2  f x  dx  0   x 2  1 x dx  0   1  x 3 dx   x 4
2
2
8
0

0
0

16
0 2
8
an. Unter Verwendung des bereits ermittelten Erwartungswerts von X, 4/3, erhält
man denselben Wert für die Varianz der Zufallsvariable X:
2
 
 EX
2
2
 4  18 16 2
2
 EX   2        0,222.
3
9
9
9
50
Varianz einer Lineartransformation
Im Falle einer linearen Transformation der Zufallsvariable X werden bei der
Varianzbildung multiplikative Konstanten quadriert. Die Varianz ändert sich dagegen
nicht, wenn zu der Zufallsvariable eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, dass
die Varianz einer Konstanten stets gleich 0 ist.
●
Man erhält damit die neue Varianz V(Y) aus der ursprünglichen Varianz V(X) aus
V (Y )  V a  bX   b 2  V (X ).
(5.23)
Beweis von (5.23):
Die Varianz ist definiert als quadrierte Abweichung der Zufallsvariable von ihrem
Erwartungswert:
V(Y)  E Y  EY  2  E a  b  X   Ea  b  X  2

 
 Ea  b  X  Ea  b  X  .

2
Mit (5.21) (Folie 17),
EY   E(a  b  X)  a  b  EX ,
erhält man

 
V(Y)  E a  b  X  a  b  EX  2  E b  X  b  EX  2

und daraus schließlich (die geschweiften Klammern sind hier keine Mengenklammern)

 



V(Y)  E b X  EX  2  E b 2 X  EX  2  b 2  E X  EX  2  b 2  V(X).
51
Beispiel 5.17:
Wie hoch ist die Varianz des Spielergewinns aus Beispiel 5.12 in Dollar? Wir
berechnen die Lösung wiederum auf zwei Wegen: Durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Einzelgewinne,
b) Anwendung der Transformation (5.23) auf die Varianz des Gewinns in Euro.
Ad a) Berechnung der Varianz (in $) aus den Einzelgewinnen
Unter Verwendung der in Beispiel 5.16 ermittelten Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y)
der Gewinne in Dollar,
 16
1
6
1
6

f y    16
1
6
1
6
0

für y  33,20
für y  22,80
für y  12,40
für y  4,50
,
für y  17,50
für y  30,50
sonst
52
und dem dort berechneten Erwartungswert der Gewinne in Dollar,
EY   2,65 $ ,
erhält man die Varianz der Gewinne in Dollar
6


6

2
V(Y)   y j  E(Y)  p j   y j  (2,65)  p j
j1
2
j1
  33,2   2,65 2 1 6   22,8   2,65 2 1 6
  12,4   2,65 2 1 6  4,5   2,65 2 1 6
 17,5   2,65 2 1 6  30,5   2,65 2 1 6
 155,550  67,670  15,844  8,520  67,670  183,154
 
 498,408 $2 .
53
Ad b) Berechnung der Varianz in Dollar aus der Varianz in Euro
In Anwendungen ist die alte Varianz in der Regel bekannt. In unserem Fall ist sie
unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Gewinne in Euro,
 16
1
6
1
6

f x    16
1
6
1
6
0

für x  24
für x  16
für x  8
für x  5
,
für x  15
für x  25
sonst
und dem Erwartungswert der Gewinne in Euro,
EX   0,5 € ,
zu erst noch berechnen:
54
6

V(X)   x j  E(X)
j1

2
6

 p j   x j  (0,5)
j1
2  pj
  24   0,5 1 6   16   0,5 1 6
2
2
  8   0,5 1 6  5   0,5 1 6
2
2
 15   0,5 1 6  25   0,5 1 6
2
2
 92,042  40,042  9,375  5,042  40,042  108,375
 294,917.
Mit Hilfe der Transformationsformel (5.23) erhalten wir für die Varianz der Gewinne
in Dollar den Wert
VY   b 2  VX 
 1,32  294,917
 
 498,410 $2 ,
der bis auf eine Rundungsungenauigkeit mit dem in Teil a) errechneten Wert übereinstimmt.
55