Lesch-Skript

Heureka
(deutsch: ich
HAB S)!
Nabla
=
Blabla
?
Das
wiederholen
wir in P I !
Scriptum zur P1-Vorlesung
theoretischer Teil
Prof. Dr. Harald Lesch1
Universitäts-Sternwarte München
LMU
geTEX-t von
Johannes Büttner2
1
2
[email protected]
[email protected]
Jetzt brauchen
sie schon
wieder einen
ªBerger !
2
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
1.1 Das Verhältnis Theorie – Experiment . . . . . .
1.2 Der Rand der physikalischen Erkenntnis . . . . .
1.2.1 Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkenntnis
1.4 Das Verhältnis Physik – Mathematik . . . . . . . .
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2 Vektoren
2.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten . . . . .
2.3.2 Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt . . . .
2.3.3 Vektorrechnung im Dreidimensionalen . . . . . . . . . .
2.3.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.5 Determinanten-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.7 Division von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . .
2.4.1 Differentiation einer skalaren Funktion einer Veränderlichen
2.4.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . .
3
Kinematik eines Massenpunktes
3.1 Bahnkurve eines Massenpunktes . . . . . . . .
3.2 Änderung der Geschwindigkeit . . . . . . . . .
3.3 Bogenlänge einer Kurve S . . . . . . . . . . . .
3.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor
3.4.1 Krümmung einer Kurve . . . . . . . . . .
3.4.2 Krümmung und Krümmungsradius . . . .
3.5 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Komponenten und Koordinaten . . . . . .
i
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. 36
ii
4
5
INHALTSVERZEICHNIS
Koordinatensysteme und was dazugeh ört
4.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . .
4.1.2 Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten
4.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . .
4.2.2 Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Linien- Flächen- und Volumenelemente . . . .
4.2.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . .
4.3.2 Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Flächen-, Linien- und Volumenelement . . . .
4.3.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Skalar- und Vektorfelder
5.1 Motivation und Definitionen . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Spezielle Vektorfelder aus der Physik . . . . . . .
5.2.1 Homogenes Vektorfeld . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Kugelsymmetrisches Vektorfeld . . . . . . . .
5.3 Linien- oder Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Konservative Kräfte und Gradienten . . . . . . . .
5.4.1 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Das totale Differential . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Gradient eines skalaren Feldes . . . . . . . .
5.5.2 Rechenregeln für Gradienten . . . . . . . . .
5.5.3 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes
5.5.5 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Zusammenfassung: konservative Kraftfelder . . . .
5.6.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . .
5.7 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern . . . .
5.7.1 Die Divergenz – Quellen und Senken . . . . .
5.7.2 Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . .
5.7.3 Mehr Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . .
5.7.4 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . .
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. 67
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. 74
. 76
. 77
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iii
INHALTSVERZEICHNIS
5.7.5
5.7.6
5.7.7
Spezielle Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Laplace- und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . .
Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächen- und Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . .
5.8.1 Das Oberflächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2 Das Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integralsätze von Gauss und Stokes . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Gausscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
81
Mechanik in bewegten Bezugssystemen
6.1 Inertialsysteme, Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . .
6.1.1 Probleme der Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Beziehungen zwischen Bezugssystemen . . . . . . . . . .
6.1.3 Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Das Foucault-Pendel am Nordpol . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Sanfte mathematische Hinführung . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Scheinkräfte in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Rotation eines (v 0 , y 0 , z 0 ) Koordinatensystems um den
Ursprung des Inertialsystems (x, y, z) . . . . . . . . . . .
6.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.3 Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotierenden Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Beliebig gegeneinander bewegte Systeme . . . . . . . . . . .
6.6.1 Der freie Fall auf der Erde . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.2 Methode der Störungsrechnung . . . . . . . . . . . . . .
6.6.3 Exakte Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.4 Das Foucaultsche Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Gaussche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.2 Exponentialfunktion einer komplexen Zahl . . . . . . . .
6.7.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
100
100
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106
107
107
108
Hydrodynamik
7.1 Ruhende Flüssigkeiten und Gase . . . .
7.1.1 Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen
7.1.2 Der Druck . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Druckkraft . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Druckarbeit . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Schweredruck . . . . . . . . . . .
7.1.6 Kommunizierende Röhren . . . . .
7.1.7 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . .
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5.9
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129
iv
INHALTSVERZEICHNIS
7.2
8
7.1.8 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.9 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.10 Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . .
Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Die Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Laminare Strömungen . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Allgemeines zur Reibung in Flüssigkeiten . . . . . .
7.2.5 Kräfte in Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Laminare Strömung durch ein Rohr . . . . . . . . .
7.2.7 Laminare Strömungen um Kugeln – Stokes-Gesetz
7.2.8 Strömungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.9 Wirbel und Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . .
Relativitätstheorie
8.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Das Michelson-Morley-Experiment . . . . .
8.3 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . .
8.4 Zeitdehnung – Dilatation . . . . . . . . . .
8.5 Die Längenkontraktion . . . . . . . . . . .
8.6 Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit
8.7 Der relativistische Doppler-Effekt . . . . .
8.8 Das Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . .
8.9 Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . .
8.10 Relativistischer Impuls . . . . . . . . . . . . .
8.11 Relativistische Energie . . . . . . . . . . . . .
8.12 Nützliche Gleichungen . . . . . . . . . . . . .
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172
174
174
176
179
180
180
181
Auch die Besteigung des
höchsten Berges beginnt mit
dem ersten Schritt.
Laotse
Kapitel 1
Einleitung
1.1
Das Verhältnis Theorie – Experiment
Experiment
Induktion
←→
Theorie
Deduktion
Experiment 2
neu Groesse/
Ordnung
Experiment 1
Gesetzmaessigkeit
(Induktion)
Gesetzmaessigkeit
(Induktion)
Hypothese
Theorie 1
Thoerie 2
Die naturwissenschaftliche Methodik wurde von Bacon (∼ 1200) und Galilei
(∼ 1560) begründet. Der wissenschaftliche Ablauf ist folgender:
Theorie Hypothese, die widerspruchsfrei eine Klasse von Experimenten erklärt. Der Gültigkeitsbereich entspricht dieser Klasse von Experimenten.
1
2
KAPITEL 1.
EINLEITUNG
Betrachtung anderer Klassen kleiner, grösser, genauer,. . . . Dadurch kann
es nötig werden, die erste Theorie zu erweitern.
Neue Theorie Sie umfasst frühere. Die früheren Theorien sind Spezialfälle
der Neuen.
Eine Theorie ist also nicht “falsch”, sondern nur beschränkt gültig, nämlich
genau solange, wie sie nicht im Gegensatz zur Beobachtung steht. Das Experiment ist also der letzte Prüfstein oder die letzte Instanz.
Beispiel Mechanik:
Die menschliche Erfahrungswelt umfasst folgende Grössen:
- Entfernung
∼ 1M eter
- Masse
∼ 1Kilogramm
M eter
- Geschwindigkeit ∼ 1 Sekunde
Eine Erweiterung in andere Grössenordnungen erfordert neue
Theorien
1. Mikrokosmos mit Grössen um ∼ 10−10 Meter (∼ 1 Å), also
den Grössen im Bereich eines Atoms oder eines Atomkerns
und damit mit Massen, beispielsweise vom Elektron von
∼ 10−30 kg. Die Erweiterung ist die Quantenmechanik, mit
den beiden Hauptaussagen:
– nicht beliebige Teilbarkeit physikalischer Grössen
– Existenz einer charakteristischen Naturkonstante,
(Arbeit × Zeit); dem Wirkungsquantum h̄ ' 10 −34 Jsec
2. Hohe Geschwindigkeiten, mit der Erweiterung durch die
spezielle Relativitätstheorie und der Lichtgeschwindigkeit
als obere feste Grenze für Geschwindigkeiten mit c ' 3 ·
108 m
s.
3. Makrokosmos mit folgenden Grössenordnungen
– Sonnenmasse
1030 kg
– Lichtjahr
' 1016 m
– Gravitationskonstante G ' 6 · 10−11 m3 s−2 kg −1
Die Erweiterung hier ist die allgemeine Relativitätstheorie.
1.2.
1.2
DER RAND DER PHYSIKALISCHEN ERKENNTNIS
3
Der Rand der physikalischen Erkenntnis
Aufgrund von theoretischen Überlegungen kam Max Planck (1906) zu der
Erkenntnis, dass unterhalb der folgenden Grössenordnungen keine Beobachtungen mehr möglich sind.
Planck-Länge
lP =
Gh̄
c3
1
∼ 10−35 m
Planck-Zeit
tP =
Gh̄
c5
1
∼ 5 · 10−44 sec
Planck-Masse
mP =
1
∼ 10−8 kg
2
ch̄
G
2
2
Die Quantengravitation beschreibt die Grenze unseres Wissens.
1.2.1
Vereinheitlichung
Spezielle Rela−
tivitaetstheorie
Gravitationstheorie
Klassische
Mechanik
Quantenmechanik
Supergravitation
Theorie von Allem
Quantenfeldthorie
Die Anschaulichkeit ist eine Frage der Gewöhnung. Eine erweiterte Anschauung ist zu entwickeln.
4
KAPITEL 1.
1.3
EINLEITUNG
Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkenntnis
Die Parabel vom Fischforscher
– Von Sir A. Eddington, The philosophy of science 1939
Ein Fischer wirft Netze aus und prüft den Fang. Daraus leitet er folgende Grundgesetze ab (Theorie):
1. Alle Fische sind grösser als fünf Zentimeter
2. Alle Fische haben Kiemen
Der Kritiker (Metaphysiker) sagt:
“Dass alle Fische grösser als fünf Zentimeter sind ist kein Grundgesetz, sondern durch die Netzgrösse bestimmt.”
Dagegen sagt der Fischer:
“Was ich in meinem Netz nicht fangen kann, ist kein Fisch und damit auch
nicht Objekt meiner Forschung.”
Der Metaphysiker nimmt eine “eigentliche” Wirklichkeit an, über die
er aber keine scharfen Aussagen machen kann.
Der Fischer/Physiker betrachtet Projektionen der Wirklichkeit, über die
er objektive Aussagen machen kann.
– Und er kann natürlich sein Netz verfeinern.
5
1.4. DAS VERHÄLTNIS PHYSIK – MATHEMATIK
Eigentliche Wirklichkeit
?
?
"Stab"
"Fisch"
?
"Elektron"
"Netze"
des Physikers
Naturwissen−
schaftliches
Abbild der
Wirklichkeit
("Projektion")
?
"Objektive"
Wirklichkeit
("Modell")
Mathematische
Strukturen
1.4
Das Verhältnis Physik – Mathematik
• Die Mathematik ist die “Sprache” der Physik:
Sie ist notwendig, eine Theorie mathematisch korrekt formulieren zu
können, also
– möglichst allgemein
– kompakt
– elegant
• Physik ist nicht Mathematik!
Die Mathematik hat eine eigene Fragestellung, die logische Struktur,
deshalb fehlt das Experiment als Teil der Methodik.
6
KAPITEL 1.
EINLEITUNG
• Die Beweisführung ist in der Physik oft weniger streng
Physikalische Objekte verhalten sich meist wohldefiniert; aber eine mathematisch “korrekte” Beweisführung ist im Prinzip möglich und unter
Umständen wichtig.
• Die Physik hat durch neuere, laxere Begriffsbildungen oft mathematische Begriffsbildungen gefördert.
Problem der Physik
Mathematische Methoden müssen bekannt sein und verwendet werden,
bevor sie in einer Mathematik-Vorlesung begründet werden.
Alles sollte so einfach wie
möglich gemacht werden,
aber nicht einfacher.
A. Einstein
Kapitel 2
Vektoren
2.1
Physikalische Beispiele
• Beschreibung eines Massenpunktes (MP) in Raum und Zeit relativ zu
einem Bezugspunkt, auch Kinematik genannt.
~r
Ortsvektor
~r(t)
Bahnkurve
0
Der Ortsvektor gibt die Richtung und den Abstand relativ zu einem
Bezugspunkt an. Die mittlere Geschwindigkeit ist definiert als
~v =
~r2 − ~r1
∆~r
=
t2 − t 1
∆t
Hinweis:
Die Bahnkurve mit der Geschwindigkeit ist ein klassisches
Konzept. Es ist nicht mehr im Mikrokosmos gültig.
7
8
KAPITEL 2. VEKTOREN
Die Anwendung finden Vektoren bei
~a Beschleunigung
p
~ Impuls
~
F Kraft
~ Drehmoment
M
• Hydrodynamik strömender Flüssikeiten.
Fluessigkeit
Rohr
~v (~r, t) Vektorfeld
Die Anwendung:
~ elektrisches Feld
E
~ Magnetische Flussdichte
B
2.2
Vektoralgebra
Skalare
Die Grösse wird nur durch eine Zahl charakterisiert, beispielsweise:
• Masse M
• Ladung Q
• Temperatur T
Vektoren
Viele physikalische Grössen sind aber nicht nur durch eine Zahl, sondern
auch durch ihre Richtung bestimmt: Geschwindigkeit, Kraft, Impuls, Beschleunigung. . . Die Grösse von Vektoren ist durch Betrag und Richtung
gegeben.
Die Darstellung erfolgt durch einen Pfeil:
~a
a
a
Deutsche Konvention
Angelsächsische Nomenklatur
Buchdruck
• Betrag oder Länge von ~a, ist ein Skalar, laut Def. immer positiv.
|~a|
• Die Richtung wird durch den Einheitsvektor, einen Vektor der Länge
Eins angegeben
2.3.
9
VEKTORRECHNUNG
â =
~a
|~a|
• Darstellung
~a = |~a|â
• Gleichheit
~ und B
~ sind gleich (A
~ = B),
~ wenn Betrag |A|
~ = |B|
~
Zwei Vektoren A
und Richtung Â ↑↑ B̂ übereinstimmen. Sie sind ebenfalls gleich, wenn
sie durch Parallelverschiebung ineinander überführbar sind.
Â ↑↑ B̂
Â ↓↑ B̂
parallele Vektoren und
antiparallele Vektoren.
• Bemerkung
Bei einer physikalisch-technischen Grösse gehört zur vollständigen Beschreibung noch die Angabe der Maßeinheit! Das heißt also, daß sich
der Betrag eines physikalischen Vektors aus Betrag mal Maßeinheit
ergibt:
Kraft
2.3
F~1
|F~1 |
ˆ
= 100N · F~1
Vektorrechnung
1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
~ = λ·A
~
B
~
~
|B| = λ · |A|
λ>0
λ<0
λ=0
~ ↑↑ A
~
B
~ ↓↑ A
~
B
~ = ~0
0·A
Nullvektor
Ein Skalar multipliziert mit einem Vektor ergibt also wieder einen
Vektor.
2. Addition von Vektoren
Zwei Kräfte F~1 und F~2 greifen an einem Massenpunkt an. Die resultierende Kraft ist F~R .
~ + (B
~ + C)
~ = (A
~ + B)
~ +C
~
A
Assoziativität
10
KAPITEL 2. VEKTOREN
Parallelogramm
Zwei Vektoren werden also addiert, indem
ein Vektor parallel zu sich selber verschoben wird, bis sein Anfangspunkt in den
Endpunkt des zweiten Vektors fällt.
Es gilt für den Summenvektor:
~ =A
~+B
~
S
~ =B
~ +A
~
S
Kommutativität
Interessant:
Wenn das Vektorpolygon geschlossen ist, dann ist der Summenvektor
der Nullvektor. Physikalisch bedeutet das, dass sich alle Kräfte gegenseitig aufheben; auf den Körper wirkt keine resultierende Kraft.
3. Subtraktion von Vektoren
Die Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Für den Differenz~ =A
~ −B
~ ist der Summenvektor aus A
~ und −B.
~ −B
~ ist
vektor gilt: D
~
der antiparallele Vektor zu B:
!
#"
−
,+
$ & ')$ ( * $
%
.-
~ ist die Summe aus A
~ und dem Gegenvektor von B:
~
D
~ =A
~−B
~ =A
~ + (−B)
~
D
~ −B
~ =D
~
4. Konstruktion der Differenz A
~ wird in der Richtung umgekehrt: −B
~
(a) B
~ wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunkt
(b) −B
~ fällt.
in den Endpunkt von A
~ zum Endpunkt von −B
~ gerichtete
(c) Der vom Anfangspunkt von A
~ =A
~−B
~
Vektor ist D
2.3.
11
VEKTORRECHNUNG
5. Parallelogrammregel
~ = A
~+B
~ Summe
S
~ = A
~−B
~ Differenz
D
Beispiel:
Schwerpunktsvektor für
N Massenpunkte.
• Für N = 2 Massenpunkte gilt:
~ :=
R
m1 r~1 +m2 r~2
m1 +m2
= 12 (r~1 + r~2 ), wenn m1 = m2 !
~ liegt immer auf der Verbindungslinie von m 1 und m2 :
R
~ =
R
1
m1 +m2
(m1 + m2 − m2 )r~1 + m2 r~2 = r~1 +
m2
(r~2 − r~1 )
M
• Für N Körper gilt dann:
~ =
R
N
X
mi r~i
i=1
N
X
=
mi
N
1 X
mi r~i
M i=1
i=1
2.3.1
Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten
y
x
Definition 1 (Koordinatensystem)
Zwei aufeinander senkrecht stehende Einheitsvektoren e~x und e~y ≡
orthonormale Basisvektoren.
12
KAPITEL 2. VEKTOREN
y
Beispiel:
~ im Nullpunkt beginnend läßt sich
Vektor A,
darstellen als:
~ = A~x + A~y
A
x
~
Dabei sind A~x und A~y die Vektorkomponenten von A.
A~x = Ax e~x
A~x ∧ e~x
A~y ∧ e~y
A~y = Ay e~y
)
sind kollinear
~ = A~x + A~y = Ax e~x + Ay e~y
A
Ax
Ay
~ =
A
!
~ = (Ax , Ay )
A
Spaltenvektor
Zeilenvektor
~ auf die entDie Vektorkoordinaten sind positiv, wenn die Projektion von A
sprechende Koordinatenachse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.
Ansonsten sind sie negativ.
Komponentendarstellung spezieller Vektoren
• Ortsvektor
y
x
P(x,y)
y
~r(P ) = xe~x +y e~y =
y
x
x
• Basisvektoren
e~x = 1e~x + 0e~y =
1
0
!
e~y = 0e~x + 1e~y =
0
1
!
x
y
!
2.3.
13
VEKTORRECHNUNG
• Nullvektor
0
0
~0 = 0e~x + 0e~y =
!
Betrag eines Vektors:
y
~ =A=
|A|
q
2
2
A~x + A~y
x
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre Vektorkoordinaten übereinstimmen:
~=B
~ ⇐⇒ Ax = Bx ∧ Ay = By
A
~ = λ Ax
λA
Ay
~ ±B
~ =
A
=
Bx
Ax
±
By
Ay
!
λAx
λAy
=
!
Ax ± B x
Ay ± B y
!
Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt
2.3.2
!
!
Beispiel:
Arbeit einer Kraft beim Verschieben
einer Masse in Richtung des Weges.
MP
W = F~ · ~s
~·B
~ =
A
~ · |B|
~ · cos φ =
|A|
AB cos φ
0≤φ≤180◦
~·A
~ = |A|
~2
A
~ auf B
~ beziehungsweise umgekehrt, das heißt Komponente
Projektion von A
~ in Richtung B.
~ Das Skalarprodukt ist eine skalare Größe (inneres
von A
14
KAPITEL 2. VEKTOREN
~ und B
~ bilden.
Produkt). φ ist stets der kleinere Winkel, den A
Rechengesetze
~·B
~ = B
~ ·A
~
A
Kommutativität
~ · (B
~ + C)
~ = A
~·B
~ +A
~·C
~ Distributivität
A
Achtung!
~ · B)
~ ·C
~ 6= A
~ · (B
~ · C)
~
Die Assoziativität gilt nicht: (A
~
~
~
~
A · B = 0 mit |A| 6= 0 und |B| 6= 0 genau dann, wenn φ = π2 , 32 π, · · ·:
Orthogonalität
~·B
~ =0
A
~ B
~
A⊥
=⇒
Für die Einheitsvektoren bedeutet dies:
e~x · e~y = 0
e~x · e~x = e~x 2 = 1
e~y · e~y = e~y 2 = 1
und ausformuliert für zwei beliebige Vektoren eines orthogonalen Koordinatensystems:
~ ·B
~ = (Ax e~x + Ay e~y ) · (Bx e~x + By e~y )
A
= Ax Bx (e~x · e~x ) + Ax By (e~x · e~y )
+ Ay Bx (e~y · e~x ) + Ay By (e~y · e~y )
= A x Bx + A y By
~ ·B
~ = A x Bx + A y By
A
~ ·B
~ =
A
~ ·B
~ =
A
Ax
By
!
·
!
Bx
By
~ · |B|
~ · cos Φ
|A|
= A x Bx + A y By
= A x Bx + A y By
Winkel zwischen zwei Vektoren
cos φ =
~B
~
A·
~ B|
~
|A|·|
Ax Bx +Ay By
√
A2x +A2y · Bx2 +By2
=√
φ = arccos
~B
~
A·
~ B|
~
|A||
2.3.
15
VEKTORRECHNUNG
~·B
~ >0
A
~·B
~ =0
A
~·B
~ <0
A
2.3.3
=⇒
φ < 90◦
=⇒
φ = 90◦
=⇒
φ > 90◦
Vektorrechnung im Dreidimensionalen
Die Welt ist 3-D!
z
P
y
x
Zerlegung eines Vektors in drei Komponenten:
~ = A~x + A~y + A~z
A
A~x = Ax e~x
A~y = Ay e~y
A~z = Az e~z
~ = Ax e~x + Ay e~y + Az e~z
A


Ax

~=
A
 Ay 
Az
Ortsvektor
Vektorkomponenten
Spaltenvektor


x
−→


~r(P ) =0P = xe~x + y e~y + z e~z =  y 
z


1


e~x =  0 
0


0


e~y =  1 
0

Der Betrag eines Vektors ist dann im Dreidimensionalen:
~ =
|A|
q
A2x + A2y + A2z

0


e~z =  0 
1
16
KAPITEL 2. VEKTOREN
Multiplikation mit einem Skalar




λAx
Ax

 
~ = λ
=
A
λA
 y   λAy 
λAz
Az
Normierung eines Vektors
~
A
~
|A|
e~A =

~
Einheitsvektor in Richtung A





Ax
Bx
Ax ± B x
 
 

~ ±B
~ =
A
 Ay  ±  By  =  Ay ± B y 
Az
Bz
Az ± B z
Skalarprodukt im Dreidimensionalen
Beachte: e~x · e~y = e~x · e~z = e~y · e~z = 0!
Für eine orthonormierte Basis bedeutet das: Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander!
⇒
Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren verschwindet.
Sonst berechnet man das Skalarprodukt wie folgt:
 


Bx
Ax

 
~ ·B
~ =
A
 Ay  ·  By  = A x Bx + A y By + A z Bz
Bz
Az
Richtungswinkel zwischen Vektor und Koordinatenachse
cos α =
Ax
,
~
|A|
cos β =
Ay
,
~
|A|
cos γ =
Az
~
|A|
Zwischen den einzelnen Richtungswinkeln besteht folgender
Zusammenhang:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
~ cos α
Ax = |A|
~ cos β
Ay = |A|
~ cos γ
Az = |A|
2.3.
17
VEKTORRECHNUNG
Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
Der durch die Projektion erhaltene Vektor B~A ist
~ · cos φ
|B~A | = |B|
~ ·B
~ = |A|
~ · |B|
~ · cos φ = |A|
~ · |B~A |
A
~ ~
~ cos φ = A · B
|B~A | = |B|
~
|A|
~ Die Komponente von B
~ in Richtung
B~A hat also die gleiche Richtung wie A.
~ ist dann
von A
~
A
|B~A | ~
B~A = |B~A | · e~A = |B~A | · e~A = |B~A |
=
·A
~
~
|A|
|A|
B~A =
2.3.4
~B
~
A·
~2
|A|
~
·A
Vektorprodukt
~ , Drehimpuls L,
~ Lorentz-Kraft (Kraft auf stromdurchfloßeDrehmoment M
nen Leiter), usw. lassen sich kaum ohne Vektorprodukt darstellen.
~ =A
~×B
~
C
~ = |A|
~ · |B|
~ · sin φ
|C|
0◦ ≤φ≤180◦
~ ist orthogonal zu A
~ und zu B.
~ Das heißt, hier kommt die Rechte-HandC
~ B
~ und C
~ spannen ein rechtshändiges Dreibein auf.
Regel zum Einsatz! A,
18
KAPITEL 2. VEKTOREN
Das Vektorprodukt ist eine vektorielle Größe; es heißt auch äusseres Pro~ und B
~
dukt. Der Betrag des Vektorproduktes entspricht gleich der von A
aufgespannten Fläche und steht senkrecht auf dieser.
Rechenregeln
~ × (B
~ + C)
~
A
~ + B)
~ ×C
~
(A
~×B
~
A
~
~
λ(A × B)
=
=
=
=
~×B
~ +A
~ ×C
~
A
Distributivität
~
~
~
~
A×C +B ×C
dito
~ × A)
~
−(B
Anti-Kommutativität
~ ×B
~ =A
~ × (λB)
~
(λA)
Zu beachten:
~ ×B
~ = ~0 für |A|
~ 6= 0 und |B|
~ 6= 0 gilt, wenn φ = 0, π, 2π, . . .
A
~
~
⇐⇒ A oder B parallel oder antiparallel. Insbesondere ist:
~ ×A
~ = ~0
A
~ × (B
~ × C)
~
~ × B)
~ ×C
~ 6= A
(A
|
{z
}
~
⊥C
{z
|
}
~
⊥A
Das Vektorprodukt ist eine potentielle Falle: Es ist nicht assoziativ!
1. Berechnung eines Vektorproduktes aus Komponenten
~ ×B
~ = (Ax e~x + Ay e~y + Az e~z ) × (Bx e~x + By e~y + Bz e~z )
A
= Ax Bx (e~x × e~x ) +Ax By (e~x × e~y ) +Ax Bz (e~x × e~z )
|
{z
0
}
|
{z
}
e~z
|
{z
−e~y
}
= (Ay Bz − Az By )e~x + (Az Bx − Ax Bz )e~y + (Ax By − Ay Bx )e~z
Definition des Vektorproduktes!






Ax
Bx
Ay Bz − A z By
 
 

~ ×B
~ =
A
 Ay  ×  By  =  Az Bx − A x Bz 
Az
Bz
Ax By − A y Bx
2. Anwendungsbeispiele des Vektorprodukts
• Drehmoment (Moment einer Kraft)
2.3.
19
VEKTORRECHNUNG
0
P
Wir betrachten einen starren
Körper in Form einer Kreisscheibe, der um seine Symmetrieachse
drehbar gelagert ist.
Eine im Punkt P angreifende, in der Scheibenebene liegende Kraft
~ , das als Vektorprodukt aus dem
F~ erzeugt ein Drehmoment M
~
Ortsvektor ~r und der Kraft F :
~ | = |~r × F~ | = |~r| · |F~ | · sin φ
|M
~ liegt in der Drehachse und ist so definiert, daß die drei VekM
~ ist die einer
toren ein Rechtsystem bilden. Die Wirkung von M
Drehung um die Achse.
• Bewegung von Ladungen im Magnetfeld (Lorentz-Kraft)
Bewegt sich ein geladenes Teilchen der Ladung q mit der Geschwindigkeit ~v durch ein homogenes Magnetfeld mit der magne~ so erfährt es die Kraft
tischen Flußdichte B,
~
F~L = q(~v × B)
Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft.
F~L ist sowohl senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens, als
auch senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes gerichtet. Mit der
Ladung q = −e eines Elektrons (e ist Elementarladung) ist F~L :
~
F~L = −e(~v × B)
Spezielle Einschusswinkel:
~ =⇒ F~L = −e (~v × B)
~ = ~0
- ~v ↑↑ B
~
- ~v ⊥ B
| {z }
0
Das Teilchen fliegt also ungehindert entlang des Magnetfeldes, sogenannte Translation.
F~L wirkt als Zentralkraft und
zwingt das Teilchen auf eine Kreisbahn.
20
KAPITEL 2. VEKTOREN
- Für alle Winkel (0◦ < α < 180◦ , α 6= 90◦ ) setzt sich die Bewegung zusammen aus
1.
2.
2.3.5
Translation
Kreisbahn oder Spiralbahn
Determinanten-Schreibweise
Definition 2 (Matrix) Unter einer reellen Matrix vom Typ (m,n) versteht
man ein aus m · n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m
waagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten.
Beispiel:



A=


A11
A21
..
.
Am1
A12 . . . A1n
A22 . . . A2n
..
..
..
.
.
.
. . . . . . Amn
↑



 ← Zeilen


Spalten
Definition 3 (Rang) Der Rang einer Matrix ist m × n.
Die Elemente der Matrix sind Aij .
Eine Besonderheit ist die quadratische Matrix mit m = n.
Spezielle Operationen
• Determinante einer quadratischen (2 × 2) Matrix
Det
A11 A12
A21 A22
!
A
= 11
A21
• Determinante einer (3 × 3)-Matrix
A12
A22
= A11 A22 − A12 A21
A11 A12 A13 A11 A12
A21 A22 A23 A21 A22
A31 A32 A33 A31 A32
↓
= A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A13 A21 A32
−A13 A22 A31 − A11 A23 A32 − A12 A21 A33
2.3.
21
VEKTORRECHNUNG
Und durch Umordnen erhält man:
A11 (A22 A33 −A23 A32 )−A12 (A21 A33 −A23 A31 )+A13 (A21 A32 −A22 A31 )
Dies entspricht der Entwicklung nach Unterdeterminanten und führt
zur nachfolgenden Darstellung des Vektorproduktes.
• Darstellung des Vektorproduktes
e~1 e~2 e~3
A A3
A A3
A A2
~
~
A × B = A1 A2 A3 = 2
· e~1 − 1
· e~2 − 1
· e~3
B2 B3
B1 B3
B1 B2
B1 B2 B3
Merke
Skalarprodukt → parallele Komponenten
Vektorprodukt → senkrechte Komponenten
Bemerkung
1. Das Vektorprodukt ist kein normaler Vektor. Dies wird klar, sobald
sein Verhalten bei Spiegelung am Ursprung betrachtet wird:
Ein normaler Vektor ändert sein
Vorzeichen:
~ = −A
~
A
Das Kreuzprodukt hingegen nicht:
~ × B)
~
~ = (A
C
~×B
~ = (−A)
~ × (−B)
~ =C
~
= A
Das Vektorprodukt ist ein sogenannter Axialvektor.
2. Das Vektorprodukt kann nur im R 3 als Vektor dargestellt werden (genauer als Axialvektor), nicht in anderen Dimensionen.
2.3.6
Spatprodukt
H
22
KAPITEL 2. VEKTOREN
Das Spatprodukt ist ein gemischtes Produkt aus Skalar- und Vektorprodukt:
~ · (B
~ × C)
~ = |A|
~ · |B
~ × C|
~ · cos ϕ
V =A
Dabei ist V das Volumen des aufgespannten Körpers, das sogenannte Parallelepiped oder auch nur Spat. Es ist zyklisch vertauschbar:
~ · (B
~ × C)
~ =B
~ · (C
~ × A)
~ =C
~ · (A
~ × B)
~ = −B
~ · (A
~ × C)
~ = ...
V =A
Ist das Volumen Null, so folgt, dass mindestens zwei Vektoren parallel oder
antiparallel sind.
2.3.7
Division von Vektoren
Es ist nicht sinnvoll eine Division zu definieren, wie der Vergleich zwischen
Sklaren und Vektoren zeigt:
• Skalare
1
= A−1
A
d.h. A−1 AC = C
A·B =1⇒ B =
• Vektoren
~ ·B
~ = 1 ist nicht eindeutig wegen der Nicht-Assoziativität und ausA
serdem auch nicht weiter interessant.
2.4
Differentiation und Integration von Vektoren
In vielen physikalischen Problemen muss die Veränderung von vektoriellen
Größen berechnet werden, deshalb. . .
2.4.
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 23
Differentiation einer skalaren Funktion einer Veränderlichen
2.4.1
y
x
x
Die mittlere Steigung ist:
∆f
m=
∆x
W
. eiterhin ist sie Ableitung oder auch Tangentensteigung, falls sie definiert
ist, d.h. die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist:
df
∆f
=:
= f 0 (x)
∆x→0 ∆x
dx
lim
Die Differenzierbarkeit wird in der Physik meistens
implizit angenommen, man sollte sie jedoch im Auge behalten.
2.4.2
Differentiation eines Vektors nach einem Parameter
~
~
Sei A(t)
ein zeitabhängiger Vektor (i.a. ist A(s),
wobei s der Parameter
ist). Die Ableitung ist in Analogie zur Ableitung von skalaren Funktionen
definiert:
~ = A(t
~ 2 ) − A(t
~ 1)
∆A
~
~
dA
∆A
~˙
=:
=A
∆t→0 ∆t
dt
lim
Ableitung von Produkten
~
~
B(t)
= λ(t) · A(t)
~
∆B
∆t
=
~
(λ + ∆λ)(A + ∆A) − λA
∆t
24
KAPITEL 2. VEKTOREN
=
~
∆B
∆t→0 ∆t
lim
=
~ + ∆λA
~ + ∆λ∆A
~
λ∆A
∆t
lim λ
∆t→0


~
~

∆A
~ ∆λ +  lim ∆λ∆A 
+ lim A

∆t→0
∆t
∆t ∆t→0 | ∆t
{z }
→0
Produktregel
~˙ = λA
~˙ + λ̇A
~
B
d ~ ~
~˙ · B
~ +A
~·B
~˙
(A · B) = A
dt
d ~ ~
~˙ × B
~ +A
~ ×B
~˙
(A × B) = A
dt
Beispiele:
1. Klassische Physik
Die Kraft ist die zeitliche Änderung des Impulses
d~
p
F~ =
dt
Und der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit
p~ = m · ~v
d
F~ = (m~v ) = ṁ~v + m~v˙ = ṁ~v + m~a
dt
~v˙ = ~a ist die Beschleunigung.
Bei zeitlich konstanter Masse ist ṁ = 0 und es ergibt sich:
F~ = m · ~a (Newton)
Später wichtig:
Bei relativistischen Teilchen und natürlich auch bei Raketen ist ṁ 6= 0!
2. Berechnung einer Bogenlänge
y
2R
~r(t) = R
0 ≤ t ≤ 2π
2Pi Rx
Wie lang ist der Bogen?
~r˙ (t) = R
1 − cos t
sin t
t − sin t
1 − cos t
!
!
2.4.
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 25
q
|~r˙ | = R (1 − cos t)2 + sin2 t
s
2
= R 1 − 2 cos t + cos
t {z
+ sin2 }t
|
1
√
= R 2 − 2 cos t
q
= R 2(1 − cos t)
s
= R 2 · 2 sin2
t
2
= 2 · R sin
t
2
Die Integration von 0 bis 2π ergibt dann die Länge des Bogens:
S=
Z2π
0
|~r˙ |dt = 2R
Z2π
sin
0
= 2R −2 cos
t
dt
2
2π
t
2
0
2π
t
2 0
= −4R(cos π − cos 0)
= −4R cos
= −4R(−1 − 1) = 8R
3. Elektron im Magnetfeld
z
y
x
x(t) = R cos(ωt)
y(t) = R sin(ωt)
z(t) = ct
R,ω,c=const.
Insgesamt ergibt sich also für die Bewegung des Elektrons im Magnet-
26
KAPITEL 2. VEKTOREN
feld folgende Bewegungsgleichung:
~r(t) = R cos(ωt)e~x + R sin(ωt)e~y + ct · e~z
Wie lang ist die Bogenlänge eines vollen Umlaufs?
|~r˙ (t)| =
=
q
[−Rω sin(ωt)]2 + [Rω cos(ωt)]2 + c2
s
R2 ω 2 [sin2 (ωt) + cos2 (ωt)] +c2 =
{z
|
}
1
p
R 2 ω 2 + c2
Die Bogenlänge ergibt sich dann durch Integration zwischen 0 und
P = 2π
ω , einer vollen Periode:
2π
S=
Zω
0
2π
|~r˙ |dt =
Zω p
R2 ω 2 + c2 dt
0
2π
=
=
p
R 2 ω 2 + c2
p
R2 ω 2
Zω
dt
0
+
c2
2π
ω
· t|0
√
2π R2 ω 2 + c2
=
ω
Die Natur hat die Gabe, sich nach
vielfältigen Bedingungen äußerer
Einfüsse zu bequemen und doch eine
gewisse errungene Selbstständigkeit
nicht aufzugeben.
Goethe
Kapitel 3
Kinematik eines
Massenpunktes
Wir betrachten die Bewegung von Massenpunkten unter dem Einfluß äusserer Kräfte, die durch die Massenpunktbewegung aber nicht verändert werden. Dies ist die Kinematik.
3.1
Bahnkurve eines Massenpunktes
Mittlere Geschwindigkeit:
$ # %&('
!"
~v =
∆~r
∆t
Momentane Geschwindigkeit in
Richtung der Tangente:
∆~r
d~r
=
= ~r˙
∆t→0 ∆t
dt
~v (t) = lim
Oder allgemeiner formuliert:
~r˙ = ẋ(t)e~x + ẏ(t)e~y
~r˙ = ẋ(t)e~x + ẏ(t)e~y + ż(t)e~z
Ebene Kurve
Raumkurve
Dies sind Tangentenvektoren!
Anmerkung des TEXers: Diese Einheitsvektoren sind zeitunabhängig, denn
27
28
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
~r˙ = ẋ~ex + x~e˙ x + . . .. Jedoch Vorsicht später bei anderen Koordinatensyste|{z}
=0
men, dort können die Einheitsvektoren zwar nicht zeitabhängig sein, wohl
aber ortsabhängig und deshalb ändern sie sich mitunter, nämlich wenn sich
ein Teilchen in einem derartigen Koordinatensystem bewegt.
3.2
Änderung der Geschwindigkeit
Ein Maß für die Änderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung a:
• Mittlere Beschleunigung
~v (t + ∆t) − ~v (t)
∆~v
=
= ~a
∆t
∆t
• Momentane Beschleunigung
∆~v
d~v
d2~r
=
= ~v˙ = ~¨r = 2
∆t→0 ∆t
dt
dt
~a(t) = lim
3.3
Bogenlänge einer Kurve S
y
s
P
"!$#
y(t)
S =
Rt2
|~r˙ |dt =
Rt2
|~r˙ |dt =
t1
S =
t1
x
Rt2
q
x˙2 + y˙2 dt
Rt2
q
x˙2 + y˙2 + z˙2 dt Raumkurve
t1
t1
Ebene Kurve
3.4.
3.4
TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 29
Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor
Bahn−
kurve
Definition 4 (Tangenteneinheitsvektor)
~r˙
T~ =
|~r˙ |
Für die Definition des Hauptnormaleneinheitsvektors ist etwas Vorarbeit
nötig:
dT~ ~ ~ dT~
d
d ~ ~
(T · T ) =
T +T
= (1) = 0
dt
dt
dt
dt
Mit der Kommutativität des Skalarproduktes folgt:
dT~ ~ ~ dT~
dT~
·T +T ·
= 2 T~
dt
dt
dt
!
=0
dT~
˙
= T~ · T~ = 0
⇒ T~ ·
dt
⇒
dT~
˙
= T~
dt
steht senkrecht auf T~
Definition 5 (Hauptnormaleneinheitsvektor)
˙
T~
~
N=
˙
|T~ |
3.4.1
Krümmung einer Kurve
Natürliche Darstellung einer Kurve mit Bogenlänge S als Kurvenparameter:
~r = ~r(s) Ortsvektor
r
~
~
T = T (s) = d~
Tangenteneinheitsvektor
ds
30
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Kurve
Der Tangenteneinheitsvektor ändert
sich im allgemeinen von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt; eine Ausnahme bildet die Gerade. Ihr Tangenteneinheitsvektor besitzt in jedem Punkt die gleiche Richtung.
s
P
Für Geraden gilt also:
dT~
˙
= T~ (s) = 0
ds
~
˙
Bei einer beliebigen Raumkurve ist ddsT = T~ (s) die Änderung des Tangenteneinheitsvektors T~ längs der Kurve in positiver Richtung bei Fortschreiten
um ds:
˙
dT~ = T~ ds
3.4.2
Krümmung und Krümmungsradius
"! # Kurve
% $ &)(+*-,/. 0 $
'
s
134 2
6 5 7:9<;
8
Je grösser dT~ bei festem ds ist, umso stärker weicht die Kurve von einer
Geraden ab, das heißt also, umso stärker ist sie gekrümmt. Dies führt zur
Definition der Krümmung oder auch Kurvenkrümmung:
Definition 6 (Kurvenkrümmung) Sie ist folgendermaßen definiert:
dT
~ ~˙
χ = = T (s)
ds 3.4.
TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 31
Definition 7 (Krümmungsradius)
%=
1
1
= χ
~ (s)
T
~
Der Vektor ddsT weist in Richtung des Haupt~ , seine Länge ist die
normalenvektors N
Krümmung:
dT~
˙
~
= T~ (s) = χN
ds
P
Wichtige Beispiele für Kurven mit konstanter Krümmung:
Gerade
Kreis
Rechtskrümmung:
Linkskrümmung:
x
x
x
x
=
=
<
>
0
const =
0
0
1
r
r: Radius des Kreises
T~ dreht sich im UZS
T~ dreht sich gegen UZS
UZS ist eine Abkürzung für Uhrzeigersinn
Beispiele:
1. Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- und
Normalenkomponenten.
Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Bahnkurve mit einem zeitabhängigen Ortsvektor ~r = ~r(t); das heißt also ~v = ~r˙ und ~a = ~v˙ = ~¨r in
Tangential- und Vektorkomponenten.
~ und ~a = aT T~ + aN N
~.
Gesucht sind ~v = vT T~ + vN N
Der Geschwindigkeitsvektor ~v = ~r˙ liegt bekanntlich in Richtung der
Kurventangente:
~v = v T~ =
q
ẋ2 + ẏ 2 + ż 2
|
{z
=|~v |=v= ds
zeitabhängiger
dt
}
Geschw.-Betrag
T~
32
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
P
Kurve
~v hat nur eine Tangentialkomponente:
vT = v
0
vN = 0
Der Beschleunigungsvektor ergibt sich über die Differentiation von
~v = v T~ nach der Zeit t:
~a =
=
d~v
dt
=
dv ~
dT~
T +v
dt
dt
d ~
(v T )
dt
= v̇ T~ + v
dT~
dt
Ferner ist:
dT~
=
dt
dT~
ds
!
ds ~ ~ v = vN
~
= χN v = χ N
dt
%
Für die Umformung haben wir folgende Zusammenhänge verwendet:
dT~
~
= χN
ds
ds
=v
dt
χ=
1
%
Für die Beschleunigung ergibt sich:
v2 ~
v ~
N = v̇ T~ + N
~a = v̇ T~ + v
%
%
Bahn−
kurve
aT
aN
Also sind die einzelnen Komponenten der Beschleunigung:
= v̇
2
= v%
Tangentialbeschleunigung
Zentripetalbeschleunigung
2. Gleichförmige Kreisbewegung
v̇ = 0
d.h. v = const
⇒ aT = 0
3.5.
33
INTEGRATION VON VEKTOREN
2
Die Normalkomponente aN = vr ist stets auf den Kreismittelpunkt gerichtet und ändert dauernd die Richtung der Geschwindigkeit,
nicht deren Betrag!
y
Mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω
ist v = ωr und die Beschleunigung ergibt
sich:
P
x
~ =
~a = aN N
=
3.5
−(ωr)2
c
r2 ~
v2 ~
r N
2
= − vr
~r
r
2
= − rv2 ~r
= −ω 2~r
Integration von Vektoren
Bisher:
Bahn ~r(t) gegeben → ~v (t),~a(t) durch Differentiation
Jetzt geht’s an das inverse Problem:
~v (t) oder ~a(t) sind gegeben, berechne die Bahn ~r(t) durch Integration
3.5.1
Integrale
Das Integral ist die Fäche unter einer Kurve. Man unterscheidet bestimmte
und unbestimmte Integrale:
• Bestimmtes Integral:
f(x)
I=
Zb
a
a
• Unbestimmtes Integral:
b x
f (x) dx
34
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
y
f(x)
I(x) =
Zx
f (t) dt
a
a
a(t)
t x
Das unbestimmte Integral repräsentiert den Flächeninhalt zwischen der Funktion y = f (t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhängigkeit der
oberen Grenze x.
3.5.2
Stammfunktion
Gegeben sei f (x) =
dF (x)
dx ;
bestimme F (x).
F (x1 ) = F (x0 ) + f (x0 )∆x
F(x)
Für den Grenzwert ∆x → 0
wird dies zu:
F (x) = F (x0 ) +
Zx
f (x0 ) dx0
x0
x
Die Stammfunktion ist F (x), der Anfangswert F (x 0 ). Analog gilt dies für
Vektorfunktionen (hier: ~g (s)):
Rs1
~g (s) ds
I~ =
bestimmtes Integral
s0
Rs
F~ (s) =
~g (s0 ) ds0 + F~ (s0 ) Stammfunktion
s0
Berechnung von Bahnkurven
1. Geschwindigkeit ~v (t) =
d~r
dt
gegeben
~r(t) = ~r(t0 ) +
Zt
v(t0 ) dt0
t0
~r(t0 ) ist ein gegebener Anfangswert zur Zeit t 0
3.5.
35
INTEGRATION VON VEKTOREN
2
d ~r
v
2. Beschleunigung ~a(t) = d~
dt = dt2 gegeben
⇒ zweimaliges Integrieren, das heißt bestimmen der Stammfunktion
~v (t) = ~v (t0 ) +
Zt
a(t0 ) dt0
t0
~r(t) = ~r(t0 ) +
Zt
~v (t0 ) dt0 +
t0
|
Zt Zt0
a(t00 )dt00 dt0
t0 t0
{z
~v (t0 )(t−t0 )
}
{z
|
}
i.a. kompliziert
3. Spezielle Beispiele
• Konstante Geschwindigkeit
~v (t) = const = v~0
⇒ ~r(t) = ~r(t0 ) + v~0 (t − t0 )
Es ergibt sich eine geradlinige Bahn. Die Bewegung heißt “gleichförmige Bewegung”.
• Bewegung mit konstanter Beschleunigung
~a(t) = const = a~0
~v (t) = ~v (t0 ) +~a0 (t − t0 )
| {z }
~v0
~r(t) = ~r(t0 ) +~v0 (t − t0 ) +
| {z }
~r0
Zt
t0
~a0 (t0 − t0 ) dt0
|
~a0 12 (t−t0 )2
{z
~r(t) = ~r0 + ~v0 (t − t0 ) +
~a0
(t − t0 )2
2
}
Vereinfacht ergibt sich also folgende allgemeine Gleichung:
36
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Parabelbahn
(Wurfbahn)
3.5.3
Komponenten und Koordinaten
~ = A1~e1 + A2~e2 + A3~e3
A
Anforderungen an geeignete Koordinatensysteme
1. Orthonormal
Das heißt sie müssen rechtwinklig und normiert sein. Schön zur Darstellung dieser
Eigenschaften ist das Kroneckersymbol:
~ei · ~ej = δij :=
(
1 i=j
0 i=
6 j
2. Rechtshändig
~e1 × ~e2 = ~e3
~e2 × ~e3 = ~e1
~e3 × ~e1 = ~e2
!"
Die Vektoren müssen also zyklisch vertauschbar sein.
Allgemein gibt es zwei Möglichkeiten für Koordinatensysteme:
3.5.
37
INTEGRATION VON VEKTOREN
• Kartesische Koordinaten
{~e1 , ~e2 , ~e3 } = {~ex , ~ey , ~ez }
konstant im R3
• Krummlinige Koordinaten
{~e1 , ~e2 , ~e3 }
ortsabhängig, aber
orthonormal
Komponentendarstellung von Vektoroperationen In orthonormalen
Koordinatensystemen lassen sich Vektoren zerlegen:
~ = A1~e1 + A2~e2 + A3~e3 =
A
3
X
Ai~ei
i=1
Zu beachten:
~ ist darstellungsfrei und Ai ist basisabhängig. Außerdem gilt:
A
~ = A
~ cos αi
~ei · ~ej = δij und Aj = ~ej · A
cos αi heißt Richtungscosinus.
Die folgenden Komponentendarstellungen gelten für jedes orthonormale Koordinatensystem, das heißt auch für krummlinige, wenn Vektoren am gleichen Aufpunkt genommen werden! Sei im weiteren
~=
A
X
~ =
Ai~ei , B
i
X
Bi~ei , . . .
i
~=B
~
A
⇐⇒ Ai = Bi
Gleichheit
~
~
B = λB
⇐⇒ Bi = λAi
Multiplikation mit Skalar
~
~
~
C = A + B ⇐⇒ Ci = Ai + Bi Addition
Skalarprodukt:
~ ·B
~ =
A
X
i
Ai Bi
38
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Beweis zum Skalarprodukt:
X
~·B
~ =
A
=
i
X
i,j
Insbesondere:

! 
X
Ai~ei ·  Bj ~ej 
j
Ai Bj ~ei · ~ej =
| {z }
δij
X
Ai Bi
i
2
X
~
~·A
~=
A2i
A = A
i
Und auch die Länge des Ortsvektors ist:
|~r| :=
q
x2 + y 2 + z 2
Vektorprodukt:
~ =A
~×B
~
C
X
ci~ei =
i
X
j,k
Aj Bk ~ej × ~ek
| {z }
~er
Dabei soll ~er ein rechtshändiges Dreibein aufstellen.
Für Interessierte:
Es existiert eine Darstellung des Vektorproduktes mit dem Levi-CivitaTensor (Anm. des TEX-ers: Im Bronstein steht nix dazu).
ijk =


 1
i, j, k = 1, 2, 3
−1 i, j, k = 1, 3, 2

 0
sonst
und zyklisch vertauschbar
und zyklisch vertauschbar
~ =A
~ ×B
~
C
ci =
X
i,j,k Aj Bk
j,k
Einsteinsche Summenkonvention
Durch die lineare Transformation x = Ax 0 oder auch
x̂1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3
x̂2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3
x̂3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3
wird im Dreidimensionalen eine Koordinatentransformation beschrieben. x j
und x0i sind die Koordinaten ein und desselben Punktes bezogen auf zwei
3.5.
INTEGRATION VON VEKTOREN
39
verschiedene Koordinatensysteme K und K 0 . Anstelle der kompletten Ausdrücke kann man auch
x0i =
3
X
aij xj
j=1
oder auch abkürzend nach Einstein
xi = aij xj
schreiben.
40
KAPITEL 3.
KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES
Man muß den Begriff schon
wesentlich im Kopfe haben,
den man lernen soll.
Novalis
Kapitel 4
Koordinatensysteme und was
dazugehört
Koordinatensysteme können das Rechnen extrem erleichtern. Die ”Welt“
ist eben nicht immer ein Kasten, also ist das kartesische (rechtwinklige)
Koordinatensystem nicht immer optimal.
z
Alternativen sind:
- Polarkoordinaten
- Zylinderkoordinaten
y
- Kugelkoordinaten
x
4.1
Polarkoordinaten
Definition 8 (Polarkoordinaten) Polarkoordinaten sind ein Tupel (r, ϕ),
wobei r die Abstandskoordinate ist. Sie gibt den Abstand des Punktes P vom
Koordinatenursprung an und ϕ ist der Winkel zwischen dem Koordinatenursprung 0 und dem zum Punkt P gerichteten Radiusvektor und der positiven
x-Achse.
41
42KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEH ÖRT
y
P
Polarkoordinaten (r, ϕ)
eines Punktes (x, y)
y
r
x
x
r ist per Definition immer positiv. ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn positiv gezählt und im Uhrzeigersinn negativ. Das Polarkoordinatensystem ist
krummlinig. Die Koordinatenlinien bestehen aus konzentrischen Kreisen um
den Ursprung (ϕ-Linien) und Strahlen, die radial vom Ursprung nach außen
verlaufen (r-Linien). Im Punkt r=0 gibt es eine Singularität, das heißt hier
ist ϕ nicht definiert.
y
const
(r−Linie)
x
4.1.1
Ebenes Polarkoordinatensystem
r const
−Linie
Koordinatentransformation
Kartesisch −→ Polar
x
=
r cos ϕ
y
=
r sin ϕ
Polar −→ Kartesisch
q
r =
x2 + y 2
y
tan ϕ =
x
4.1.2
Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten
Erinnerung an kartesische Koordinaten
4.1.
43
POLARKOORDINATEN
y
~ = Ax~ex + Ay ~ey
A
x
~ex und ~ey sind Einheitsvektoren in Richtung der x- beziehungsweise y-Achse.
Ax und Ay sind die Projektionen des Vektors auf die Einheitsvektoren. Eine
Vereinbarung ist, daß die Vektorkoordinate positiv wird, wenn der Projektionsvektor die gleiche Richtung hat wie der Einheitsvektor, ansonsten negativ.
Wie lauten die Einheitsvektoren ~e r und ~eϕ in Polarkoordinaten?
y
cos
r−Linie
sin
−sin
cos
~er = cos ϕ ~ex + sin ϕ ~ey
r
−Linie
~eϕ = − sin ϕ ~ex +cos ϕ ~ey
x
~er und ~eϕ verändern sich von Punkt zu Punkt. Die Ausnahme ist eine Bewegung längs eines r-Strahles (ϕ = const). Also ganz im Gegensatz zu kartesischen Koordinaten, bei denen ~e x und ~ey stets konstant bleiben.
Eine andere Schreibweise für die Polarkoordinaten ist auch:
~er =
cos ϕ
sin ϕ
!
− sin ϕ
~eϕ =
cos ϕ
!
Sie sind orthogonal, denn
~er · ~eϕ = − cos ϕ sin ϕ + sin ϕ cos ϕ = 0
44KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEH ÖRT
Daraus kann man eine Transformationsmatrix A berechnen:
~er
~eϕ
!
=
|
cos ϕ sin ϕ
− sin ϕ cos ϕ
{z
A
cos ϕ
sin ϕ
Det A = − sin ϕ cos ϕ
!
~ex
~ey
!
~ex
=A
~ey
!
}
= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
Dies bedeutet, daß A orthogonal ist. Die Transformationsmatrix entspricht
einer Drehung der Ebenen des x-y-Koordinatensystems um den Winkel ϕ.
Physikalische Anwendung
Erinnerung an den Ortsvektor ~r(t) = r(t) · ~e r . Das Differential in kartesischen Koordinaten lautet:
~˙ = A˙x~ex + A˙y ~ey + Ȧz ~ez
A
Für die Ableitungen der Einheitsvektoren gilt:
~e˙x = ~e˙y = ~e˙z = 0
Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:
~v (t) = ~r˙ (t) = ṙ~er + r~e˙r
Wie lautet ~e˙r ?
~er = cos ϕ~ex + sin ϕ~ey
~e˙r = −ϕ̇ sin ϕ~ex + ϕ̇ cos ϕ~ey = ϕ̇ (− sin ϕ~ex + cos ϕ~ey ) = ϕ̇~eϕ
|
{z
~eϕ
Also ist die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:
}
~v (t) = ṙ~er + r ϕ̇~eϕ
~e˙ϕ = −ϕ̇ cos ϕ~ex − ϕ̇ sin ϕ~eϕ = −ϕ̇~er
Damit kann man wiederum die Beschleunigung in Polarkoordinaten ausrechnen:
~a(t) = ar~er + aϕ~eϕ = ~v˙ (t)
Dabei ist
- die Zentripetalbeschleunigung
ar = r̈ − r ϕ̇2
4.2.
45
ZYLINDERKOORDINATEN
- die Coriolisbeschleunigung
aϕ = 2ṙ ϕ̇ + r ϕ̈
Beispiel:
Gleichförmige Kreisbewegung mit
r = R = const
ṙ = 0
r̈ = 0
ϕ = ωt
ϕ̇ = ω = const ϕ̈ = 0
⇓
~v = ωR~eϕ T angentialkomponente
~a = −ω 2 R~er N ormalkomponente
4.2
Zylinderkoordinaten
z
Zylinderkoordinaten verwendet man vorzugsweise bei
räumlichen Problemen mit Axial-, Zylinder- oder Rotationssymmetrie. Sie bestehen aus den Polarkoordinaten % und ϕ in der (x-z-Ebene) und der kartesischen
Höhenkoordinate z.
y
Wichtig:
% ≥ 0
0 ≤ ϕ ≤ 2π
−∞ < z < ∞
P
x
z
P(x,y,z)
z
y
x
y
x
P
46KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEH ÖRT
Koordinatentransformation
4.2.1
Kartesische → Zylinder
x
=
y
=
z
=
% · cos ϕ
% · sin ϕ
y
Zylinder → Kartesische
%
=
tan ϕ
=
z
=
q
x2 + y 2
y
x
z
Koordinatenflächen
4.2.2
Sie entstehen, wenn jeweils eine der drei Zylinderkoordinaten festgehalten
werden:
% = const Zylindermantel
ϕ = const Halbebene durch die z-Achse
z = const Parallelebene zur x-y-Achse in der Höhe von z
z
z
z
=const
y
z=const
=const
y
y
x
4.2.3
x
x
Koordinatenlinien
%, z = const Halbgerade senkrecht zur z-Achse (%-Linie % ≥ 0)
ϕ, z = const Kreis um die z-Achse parallel zur x-y-Ebene (ϕ − Linie)
z, ϕ=const Mantellinie des Zylinders (z-Linie)
−Linie
z
−Linie
P
z−Linie
y
x
4.2.
4.2.4
47
ZYLINDERKOORDINATEN
Linien- Flächen- und Volumenelemente
• Linienelement
Das Zylinderelement ist die geradlinige Verbindung zweier differentiell
benachbarter Punkte, die sich in ihren Zylinderkoordinaten der Reihe
nach um d%, dϕ und dz verändern. Seine Länge ist:
ds =
q
(d%)2 + %2 (dϕ)2 + (dz)2
• Flächenelement
z d
dA
dz
d
Das Flächenelement entspricht
einem Rechteck mit den Seiten
%dϕ und dz und besitzt den
Flächeninhalt:
y
dA = %dϕdz
x
• Volumenelement
4.2.5
dV = %d%dϕdz
Useful Stuff
~e 2 = 1 =⇒
d 2
~e = 0 = 2~e ~e˙ =⇒ ~e˙ ⊥ ~e
dt
1. Der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten ist:
~r(t) = %~e% + ϕ~eϕ + z~ez
2. Sowie der Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten:
~v (t) = %̇~e% + %ϕ̇~eϕ + ż~ez
3. Zur Beschleunigung:
~a(t) = a%~e% + aϕ~eϕ + az ~ez
2
a% = %̈ − %ϕ
~˙
aϕ = %ϕ̈ − 2%̇ϕ̇
az = z̈
48KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEH ÖRT
4.3
Kugelkoordinaten
z
Die Kugelkoordinaten r, ϑ und ϕ eines
Raumpunktes P bestehen aus einer Abstandskoordinate r und zwei Winkelkoordinaten ϑ und ϕ.
ϑ ist hierbei der Polabstand.
P
r z
y
x
y
x
4.3.1
Koordinatentransformation
Kartesische → Kugel
x
=
y
=
z
=
r · sin ϑ · cos ϕ
r · sin ϑ · sin ϕ
r · cos ·ϑ
Kugel → Kartesische
r
4.3.2
=
ϑ
=
tan ϕ
=
q
x2 + y 2 + z 2
z
arccos
r
y
x
z
p
2
x + y2 + z 2
= arccos
!
Koordinatenflächen
Sie entstehen, genau wie bei den Zylinderkoordinaten, wenn jeweils eine der
drei Kugelkoordinaten festgehalten werden:
r = const Kugeloberfläche
ϑ = const Mantelfäche eines Kegels (Kegelspitze, Öffnungswinkel )2ϑ
ϕ = const Halbebene durch die z-Achse
z
z
z
r=const
r
y
x
y
x
=const
=const
x
y
4.3.
49
KUGELKOORDINATEN
4.3.3
Koordinatenlinien
Koordinatenlinien entstehen, wieder wie bei den Zylinderkoordinaten, wenn
jeweils zwei der drei Kugelkoordinaten festgehalten werden. Sie sind somit
Schnittkurven zweier Koordinatenflächen:
ϑ, ϕ = const radialer Strahl vom Ursprung (r-Linie)
r, ϑ = const Breitenkreis mit Radius r · sin ϑ (ϕ-Linie)
r, ϕ = const Längenkreis (ϑ-Linie)
z
r−Linie z
y
x
x
Flächen-, Linien- und Volumenelement
• Flächenelement
z
r sin d
d
rd
r
dA
y
x
r sin
d
Flächenelement dA auf der
Kugeloberfläche:
dA = r 2 · sin ϑ dϑdϕ
r sin d
• Linienelement ds
ds =
q
(ds)2 + r 2 (dϑ)2 + r 2 · sin2 ϑ(dϕ)2
• Volumenelement dV
z dr
d
r
dA
dV
y
x
dV
−Linie
y
y
x
4.3.4
z
−Linie
= dA · dr
= r 2 · sin ϑ drdϑdϕ
50KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEH ÖRT
4.3.5
Useful Stuff
~e˙r = ϑ̇~eϑ + ϕ̇ · sin ϑ · ~eϕ
~e˙ϑ = −ϑ̇~er + ϕ̇ · cos ϑ · ~eϕ
~e˙ϕ = −ϕ̇ sin ϑ~er − ϕ̇ · cos ϑ · ~eϑ
~r = r · ~er + ϑ~eϑ + ϕ~eϕ
~v = ṙ~er + r ϑ̇~eϑ + r · sin ϑϕ̇~eϕ
~a = (r̈ − r ϑ̇2 − r ϕ̇2 · sin2 ϑ)~er
+ (r ϑ̈ − 2ṙ ϑ̇ − r ϕ̇2 sin ϑ cos ϑ)~eϑ
+ (r ϕ̈ sin ϑ + 2ṙ ϕ̇ sin ϑ + 2r ϑ̇ϕ̇ cos ϑ)~eϕ
Hinter jeder Ecke lauern ein
paar Richtungen.
Stanislaw Lec
Kapitel 5
Skalar- und Vektorfelder
5.1
Motivation und Definitionen
Physikalische Größen sind im Raum R3 definiert, das heißt also als Funktion
von ~r und eventuell von t. Dies führt uns zum Begriff des Feldes.
5.1.1
Skalarfelder
Definition 9 (Skalarfeld) Ein Skalarfeld ordnet den Punkten eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Skalar zu.
Φ = Φ(P ) = Φ(x, y)
ebenes Skalarfeld
Φ = Φ(P ) = Φ(x, y, z) räumliches Skalarfeld
Beispiele:
Temperatur T (~r, t)
Dichte
%(~r)
Flächen im Raum, auf der das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmt
heißen Niveauflächen:
Φ(x, y, z) = const
5.1.2
Äquipotentialflächen
Vektorfelder
Definition 10 (Vektorfeld) Ein Vektorfeld ordnet den Punkten eines ebenen oder räumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Vektor zu.
51
52
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
• ebenes Vektorfeld:
y
F~ (x, y) = Fx (x, y)~ex
+ Fy (x, y)~ey
=
Fx (x, y)
Fy (x, y)
P
!
y
x
x
• räumliches Vektorfeld:
F~ (x, y, z) =
Fx (x, y, z)~ex + Fy (x, y, z)~ey + Fz (x, y, z)~ez =


Fx (x, y, z)


 Fy (x, y, z) 
Fz (x, y, z)
Beispiele:
- Kraftfelder
- Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit
5.1.3
F~ (~r)
~v (~r, t)
Feldlinien
Das Vektorfeld lässt sich durch Feldlinien sehr anschaulich darstellen. Feldlinien sind Kurven, die in jedem Punkt P durch den dortigen Feldvektor
F~ (P ) tangiert werden.
Definition 11 (Feldlinie)
" ! #$%
P
F~ × ~r˙ = 0
Feldlinie
Der Feldvektor F~ (p) verläuft parallel zum
Tangentenvektor ~r˙ der Feldlinie
/ .-
')& (+* ,
P
oder
F~ × d~r = 0
5.2.
SPEZIELLE VEKTORFELDER AUS DER PHYSIK
53
Beispiel:
y
x
Die Feldlinien des ebenen Vektorfeldes
~ 1 (x, y) = x~ex + y~ey = ~r sind radial
A
nach außen gerichtet, die des Vektorfeldes
~ 2 (x, y) = −x~ex − y~ey = −~r radial nach
A
innen.
5.2
Spezielle Vektorfelder aus der Physik
5.2.1
Homogenes Vektorfeld
Dies ist ein Vektorfeld, dessen Feldvektoren F~ in jedem Punkt die gleiche
Richtung und den gleichen Betrag haben:
−−−→
F~ = const
Beispiel:
~ hat in jedem
Elektrisches Feld in einem geladenen Plattenkondensator. E
Punkt die gleiche Richtung und den gleichen Betrag:
~ ) = 0~ex + E0~ey + 0~ez
E(P
E0 = const
5.2.2
Kugelsymmetrisches Vektorfeld
Zwei Bedingungen müssen für kugelsymmetrische Vektorfelder gelten:
1. Die Feldvektoren zeigen in jedem Punkt des Feldes radial
nach außen oder radial nach innen.
2. Der Betrag des Vektorfeldes hängt nur vom Abstand r vom
Koordinatenursprung ab.
Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld hat die Form:
F~ (P ) = f (r)~er = f (r) |~~rr| =
~er =
~r
|~r|
=
~r
r
f (r)
r
r ~
54
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
~er ist der nach außen gerichtete Einheitsvektor.
Beispiel:
Gravitationsfeld der Erde.
MErde m
~er
F~ (P ) = −G
r2
MErde m ~r
= −G
r2
r
Erde
5.3
Linien- oder Kurvenintegrale
Physikalische Arbeit, die von einer Kraft oder einem Kraftfeld verrichtet
wird.
1. Verschiebung längs einer Geraden durch eine konstante Kraft
W
= F~ · ~s
= F · s · cos ϕ
2. Verschiebung längs einer Geraden durch eine ortsabhängige Kraft.
d
s
s
s+ds
Die Einwirkung der Kraft ist ortsabhängig F~ = F~ (s). Also:
Zerlegung des geradlinigen Wegstückes in kleine Wegelemente; längs
eines Wegelements kann dann die einwirkende Kraft als nahezu konstant betrachtet werden. Für eine infinitesimal kleine Verschiebung um
d~s gilt deshalb:
dW = F~ (s) · d~s = Fs (s)ds
Fs ist die Kraftkomponente in Wegrichtung.
Dies führt zum Arbeitsintegral:
W =
Zs2
s1
dW =
Zs2
s1
F~ (s) · d~s =
Zs2
s1
Fs (s) ds
5.3.
55
LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE
Der allgemeine Fall ist die Verschiebung eines Massenpunktes längs einer
Kurve C mit dem Ortsvektor ~r(t) in einem ebenen Kraftfeld F~ (x, y) von P1
nach P2 . (Zeit: t1 ≤ t ≤ t2 ) – Welche Arbeit wird dabei verrichtet?
P
C
Die Kraft variiert längs von C. Deshalb zerlegt man die Bewegung in Wegelemente d~r:
Fx (x, y)
Fy (x, y)
dW = F~ · d~r =
!
dx
dy
·
!
=
= Fx (x, y) dx + Fy (x, y) dy
W =
R
dW =
R
C
C
R
F~ · d~r = (Fx (x, y) dx + Fy (x, y) dy)
C
mit
d~r
~r˙ =
dt
und
ergibt sich aus dem Kurvenintegral
R
C
Integral:
R
W =
C
=
Rt2
t1
!
ẋ(t)
dt
ẏ(t)
d~r = ~r˙ dt =
F~ · d~r =
Rt2 t1
F~ · d~r ein gewöhnliches
F~ · ~r˙
dt =
[Fx (x, y) · ẋ(t) + Fy (x, y) · ẏ(t)] dt
Definition 12 (Kurven- oder Linienintegral)
Z
C
F~ · d~r =
Zt2 t1
F~ · ~r˙ dt
F~ (x, y) ist Vektorfeld
56
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Diese Definition läßt sich für skalare Funktionen noch umformulieren:
Wenn f (~r) eine skalare Funktion ist und das Wegelement einer Kurve:
ds = |d~s| =
s
dx
du
2
+
dy
du
2
+
dz
du
2
du =
ds
du
du
wobei u ein Parameter ist, so läßt sich das Kurvenintegral auch folgendermaßen formulieren:
R
f (~r) ds =
a
C
Rb
f (~r(u))
a
Rb
r
dx
du
2
ds
f (~r) du
du =
+
dy 2
du
+
dz
du
2
du
Achtung!
Der Weg des Linienintegrals hängt nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt
des Integrationsweges, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungsweg ab.
Anmerkungen:
• Kurvenintegral im Dreidimensionalen:
Z
Fx dx + Fy dy + Fy dz =
Zt2
(Fx ẋ + Fy ẏ + Fz ż) dt
t1
C
• Wird der Integrationsweg C umgekehrt durchlaufen, ändert sich das
Vorzeichen:
Z
Z
~
F d~r = − F~ d~r
−C
C
• Die Schreibweise für das geschlossene Kurvenintegral ist:
I
• Ebenes Problem
Häufig ist der Integrationsweg als explizite Funktionsgleichung gegeben, das heißt in der Form y = f (x). Die Berechnung des Linienintegrals erfolgt dann in zwei Schritten:
1. Schritt:
Löse f (x)
dy = f 0 (x)dx
5.3.
57
LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE
2. Schritt:
Z
F~ · d~r =
C
Zx2
x1
5.3.1
Z
(Fx dx + Fy dy) =
(5.1)
C
Fx (x, f (x)) + Fy (x, f (x)) · f 0 (x)) dx
(5.2)
Beispiele
1. Halbkreisbogen
y
x
• Berechnung in kartesischen Koordinaten

x = R cos u 

0≤u≤π

y = R sin u 
⇒
dx
du
= −R sin u
⇒
dy
du
= R cos u
Aus f (x, y) = 1 =⇒ x2 + y 2 = 1. Also ist:
q
ds
= R2 sin2 u + R2 cos2 u = R
du
Umgeformt nach ds und eingesetzt in die allgemeine Gleichung
ergibt sich dann:
l=
Zπ
ds = R
Zπ
du = πR
0
0
• Berechnung in ebenen Polarkoordinaten
d~r = dr ~er + r dϕ ~eϕ
ds =
r=R
ϕ=u
)
dr
=0
du
l =
s
dr
du
2
+
r2
dϕ
=1
du
Zπ
0
R du = πR
dϕ
du
2
58
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Man sieht also, daß es sich am einfachsten in angepaßten Koordinatensystemen rechnet.
2. Gegebenes Vektorfeld


2x + y 2


F~ (x, y, z) =  x2 yz 
x+z
Aufgabe:
Integration längs der Kurve C, die durch


t


~r(t) =  t2 
t
0≤t≤1
beschrieben wird.
Lösung:
Die Komponenten von ~r(t) sind
y = t2
x=t
z=t
und die Ableitung ~r˙ (t) ist


1


~r˙ =  2t 
1
und ~r(t) eingesezt in F~ (x, y, z) ist


2t + t4


F~ =  t5

2t
sowie
F~ · ~r˙ = 2t6 + t4 + 4t
Damit wird das Integral:
Z C
F~ · ~r˙
dt =
Z1 2t6 + t4 + 4t
0
dt =
87
35
5.3.
59
LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE
3. Gegebenes Integral
y
1
P=(1,1)
Z xy 2 dx + xydy
C
0
Verbindungswege von 0 = (0, 0)
zu P = (1, 1).
1 x
(a) Integrationsweg C1 : y=x, 0 ≤ x ≤ 1
dy
= 1 ⇒ dy = dx
dx
Z 2
xy dx + xy dy
C1
=
Z1 =
Z1 0
x · x2 dx + x · x dx
x3 + x2 dx
0
=
7
1 4 1 3 1
x + x =
4
3 0 12
(b) Integrationsweg C2 : y = x3 , 0 ≤ x ≤ 1
dy
= 3x2 ⇒ dy = 3x2 dx
dx
Z
31
⇒ ... =
56
C2
C3∗
C3∗∗
(c) Integrationsweg C3 =
+
Also ein zusammengesetzter Integrationsweg.
i. C3 mit 0 ≤ y ≤ 1:
x = 0 ⇒ dx = 0 ⇒
ii. C3∗∗ von Q → P , also 0 ≤ x ≤ 1:
y = 1 ⇒ dy = 0 . . . →
Z
=0
Z
... =
C3∗
C3∗∗
1
2
In diesem Beispiel hängt das Linienintegral nicht nur vom Anfangsund Endpunkt, sondern auch vom eingeschlagenen Weg ab. Ergo: Drei
Integrationswege führen in manchen Fällen zu drei Werten.
60
KAPITEL 5.
5.4
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Konservative Kräfte und Gradienten
1. Übergang vom Zeitintegral zum Impuls
Zt
F~ dt =
t0
Zt
t0
d2~r
d~r d~r m 2 dt = m − m = p
~−p
~0
dt
dt t
dt t0
2. Übergang vom Wegintegral zur Energie
Die Energie ist definitionsgemäß:
W =
Z~r1
F~ d~r
~r0
Und die Kraft ist:
d2~r
d~r
F~ = m 2 =⇒ d~r =
dt
dt
dt
Ineinander eingesetzt ergibt dann die kinetische Energie:
W =
Zt1
t0
d2~r d~r
m 2 · dt =
dt dt
Zt1 "
t0
d~r
1
d m
2
dt
2 #
1 = m v12 − v02
2
Das heißt eine Kraft, die stets senkrecht auf der Bahn steht kann keine Arbeit leisten, also auch keine Änderung der kinetischen Energie hervorrufen.
Solche Kräfte können die Richtung der Geschwindigkeit ändern, nicht jedoch
deren Betrag!
Was ist die Physik des Integrals?
I
C
5.4.1
?
F~ · d~r
Partielle Differentiation
Zur Erinnerung:
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
d f (x0 )
= f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
dx
∆x
Wird eine Funktion partiell abgeleitet, so bedeutet dies:
∂f
∂x
=
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∆x→0
∆x
∂f
∂y
=
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y→0
∆y
lim
lim
C
5.4.
KONSERVATIVE KRÄFTE UND GRADIENTEN
61
Die partielle Differentiation wird auf eine gewöhnliche Differentiation, das
heißt auf die Differentiation einer Funktion einer Variablen zurückgeführt.
Alle unabhängigen Variablen, bis auf die Differentiationsvariable (das ist die
Variable, nach der differenziert wird) werden als konstante Größen betrachtet.
Beispiel:
z = f (x, y) = −4x3 y 2 + 3xy 4 − 3x + 2y + 5
5.4.2
∂f
∂x
= −12x2 y 2 + 3y 4 − 3
∂f
∂y
= −8x3 y + 12xy 3 + 2
Produktregel
z = f (x, y) = u(x, y) · v(x, y) = u · v
5.4.3
∂z
∂x
=
∂f
∂u
∂v
=
v+u
∂x
∂x
∂x
∂z
∂y
=
∂f
∂u
∂v
=
v+u
∂y
∂y
∂y
Kettenregel
Hier die Kettenregel für Funktionen mit zwei Parametern.
∧
x = x(u, v)
z = f (x, y)
äußere Funktion
y = y(u, v)
innere Funktion
=⇒ z = f (x(u, v), y(u, v))
∂z
∂u
=
∂z ∂x ∂z ∂y
·
+
·
∂x ∂u ∂y ∂u
∂z
∂v
=
∂z ∂x ∂z ∂y
·
+
·
∂x ∂v
∂y ∂v
Beispiel:
Bei einer Rakete ist die Masse eine Funktion der Zeit, da sich deren Masse durch Verbrauch von Treibstoff verringert. Der Impuls
hat nur eine Komponente und ist deshalb als Skalar darstellbar:
p = mv
62
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Er setzt sich also aus zwei zeitabhängigen Grössen zusammen,
der Masse und der Geschwindigkeit. Die Kettenregel ergibt:
F =
∂p dm ∂p dv
+
∂m dt
∂v dt
= v ṁ + mv̇
dp
dt
=
= v ṁ + ma
Und für ṁ = 0 ergibt sich F = ma.
5.5
Das totale Differential
Hier gibt’s nur die Definition:
z = f (x, y)
∂f
∂f
dz =
dx +
dy
∂x
∂y
Gradient eines skalaren Feldes
5.5.1
Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer differenzierbaren Funktion
Φ(x, y, z) ermöglichen Aussagen über die Änderungen des Funktionswertes
Φ, wenn man von einem Punkt P aus in Richtung der betreffenden Koordinatenachsen fortschreitet.
Definition 13 (Gradient) Der Gradient ist folgendermaßen definiert:
grad Φ =
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
Der Gradient eines Skalars ist ein Vektor.
Der Gradient eines Skalarfeldes steht in jedem Punkt P senkrecht auf der
durch P verlaufenden Niveaulinie.
Beweis:
Das totale Differential ist:
grad
dΦ =
P
Niveaulinie
=const
∂Φ
∂Φ
dx +
dy = gradΦ · d~r
∂x
∂y
auf Niveaulinien gilt:
dΦ = 0
0
⇒
⇒
grad Φ · d~r = 0
Der Gradient eines Skalarfeldes ist
stets senkrecht zu den Niveaulinien dieses Feldes.
5.5.
63
DAS TOTALE DIFFERENTIAL
Der Gradient zeigt immer in Richtung des größten Zuwachses von Φ(x, y).
Für räumliche Felder gilt eine entsprechende Definition, hier gibt es nur
noch eine “Abkürzung”, den Nabla-Operator (Anm.: Dieses Ding scheint
studienbegleitend zu sein!).
Definition 14 (Nabla-Operator)
~ =
∇







∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z







~ = ∂Φ ~ex + ∂Φ ~ey + ∂Φ ~ez
grad Φ = ∇Φ
∂x
∂y
∂z
Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld steht also immer
senkrecht auf Φ und zeigt in Richtung des stärksten Zuwachses von Φ
Der Gradient steht immer senkrecht auf den Niveaulinien.
Beispiel: Berechnung der Niveaulinien und des Gradienten des
ebenen Skalarfeldes
Φ(x, y) = x2 + y 2
Die Niveaulinien sind konstant:
Φ = const = C
y
Niveaulinie
Was bildlich bedeutet: Die
Niveaulinien sind konzentrische Kreise um den Koordinatenursprung
mit den Radi√
en r = C
x2 + y 2 = const = C
~ = 2x~ex + 2y~ey = 2
∇Φ
x
C>0
x
y
!
= 2~r
Der Gradient ist radial nach außen gerichtet und steht senkrecht
auf den Niveaulinien.
64
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
grad =2
y
x
Niveaulinie
(Kreis)
5.5.2
Rechenregeln für Gradienten
Im weiteren sind Φ und Ψ skalare Felder, C eine Konstante.
~
∇C
= ~0
~
~ ·Φ
∇(C
· Φ) = C ∇
~
~ + ∇Ψ
~
∇(Φ
+ Ψ) = ∇Φ
~
~
∇(Φ
+ C) = ∇Φ
~
~ + Ψ∇Φ
~
∇(Φ
· Ψ) = Φ∇Ψ
5.5.3
Richtungsableitung
Gesucht:
Änderung des Funktionswertes einer skalaren Funktion Φ, wenn man vom
Punkt P aus in eine bestimmte Richtung fortschreitet. ~a ist der Richtungsvektor, definitionsgemäß in Fortschreiterichtung.
~a
Niveaulinie
=const
~ea
P
Tangente in P
Richtungsvektor
def.: Fortschreiterichtung
~a
=
|~a|
Definition 15 (Richtungsableitung)
∂Φ
~ · ~ea = 1 ∇Φ
~ · ~a
= ∇Φ
∂~a
|~a|
Die Richtungsableitung ist ein Skalar!
5.5.
5.5.4
65
DAS TOTALE DIFFERENTIAL
Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes
Was sind die Bedingungen, unter denen der Wert eines Kurvenintegrals nur
vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg der beiden Punkte abhängt?
Ein Kurvenintegral
Z
F~ d~r =
C
Z
(Fx (x, y)dx + Fy (x, y)dy)
C
ist wegunabhängig, wenn
F~ · d~r = Fx dx + Fy dy
das totale Differential dΦ einer ortsabhängigen Funktion Φ(P ) = Φ(x, y)
darstellt:
∂Φ
∂Φ
dx +
dy
dΦ = Fx dx + Fy dy =
∂x
∂y
Dann gilt nämlich:
Z
F~ d~r =
C
Z
(Fx dx + Fy dy)
C
=
Z C
ZP2
dΦ =
∂Φ
∂Φ
dx +
dy
∂x
∂y
Φ(P )|PP21
P1
= Φ(P2 ) − Φ(P1 )
= Φ(x2 , y2 ) − Φ(x1 , y1 )
hängt nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 ab!
Definition 16 (Konservatives Vektorfeld) Ein Vektorfeld F~ heißt konservativ oder ein Potentialfeld, wenn das Kurvenintegral
Z
F~ d~r
C
nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungsweg C der beiden Punkte abhängt.
Woran kann man aber erkennen, ob ein vorgegebenes, ebenes Vektorfeld
F~ (x, y) mit den skalaren Komponenten F x (x, y) und Fy (x, y) konservativ
66
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
ist oder nicht? – Falls F~ (x, y) konservativ ist, das heißt ein Potentialfeld ist
und Φ(x, y) die zugehörige Potentialfunktion, so gilt jedenfalls
Fx =
∂Φ
∂x
∧
Fy =
∂Φ
∂y
oder auch
~
F~ (x, y) = ∇Φ
was der Darstellung eines Vektorfeldes als Gradient eines Potentials entspricht. Noch mal zur Verdeutlichung:
Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals bedeutet, daß das Vektorfeld als Gradient einer Potentialfunktion darstellbar ist.
Definition 17 (Satz von Schwarz) Partielle Ableitungen höherer Ordnung
werden nach dem Satz von Schwarz gebildet:
∂ ∂f
∂x ∂x
=
∂2f
∂x2
∂ ∂f
∂y ∂x
=
∂2f
∂2f
=
∂x∂y
∂y∂x
Mit dem Satz von Schwarz gilt dann
∂2Φ
∂2Φ
=
∂x∂y
∂y∂x
und somit
∂Fy
∂Fx
=
∂y
∂x
Diese Bedingung ist notwendig und Rhinreichend für die Wegunabhängigkeit eines Kurvenintegrals vom Typ F~ · d~r.Für ein räumliches Vektorfeld
C
ergeben sich analoge Beziehungen:
∂Fx
∂Fy
∂Fx
∂Fz
=
=
∂y
∂x
∂z
∂x
∂Fy
∂Fz
=
∂z
∂y
Die Rotation
5.5.5
Im Falle der Wegunabhängigkeit verschwindet das Kurvenintegral längs einer geschloßenen Kurve, denn
I
F~ d~r =
Z
F~ d~r +
Z
F~ d~r −
C1
−
F~ d~r
Z
−C2
F~ d~r = 0
C2
C1
=
Z
5.6.
ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER
5.6
67
Zusammenfassung: konservative Kraftfelder
R
1. Das Kurvenintegral
C
F~ · d~r längs einer Kurve C die zwei beliebige
Punkte P1 und P2 verbindet ist unabhängig vom eingeschlagenen Verbindungsweg.
2.
I
F~ · d~r = 0
3.
~
F~ = ∇Φ
4.
∂Fy
∂Fx
=
∂y
∂x
∂Fz
∂Fx
=
∂z
∂x
oder auch
∂Fz
∂Fy
=
∂z
∂y
~ × F~ = ~0
∇
Letzteres ist ein kleiner Vorgriff.
5. Totales Differential
5.6.1
F~ · d~r = dΦ
Physikalische Beispiele
Für konservative Kraftfelder gilt bekanntermaßen :
I
F~ d~s = 0
Und das bedeutet für die Energie:
Epot (~r) = u (~r, ~r0 ) = −
Z~r
~r0
F~ · d~s =
Z~r0
~r
F~ · d~s
sie ist nur abhängig vom Bezugspunkt ~r0 und dem Endpunkt ~r. Bei einem
Wechsel des Bezugspunktes passiert folgendes:
u
~r, ~r00
=
−
Z~r0
F~ d~s
r~0 0
|
{z
}
−
Z~r
~r0
F~ · d~s = u (~r, ~r0 ) + const
u(~r0 ,r~0 0 )=const
Will heißen: Die potentielle Energie ist bis auf eine Konstante definiert.
=⇒ ~r0 kann man bequem wählen.
68
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
1. Zentralkraftfeld F~ = f (r)~er
W =
Z
F~ · d~s =
Zr1
f (r)dr
r0
=⇒Wegunabhängigkeit. Zentralkraftfelder sind immer konservativ.
2. Gravitation
Das Gravitationspotential ist:
GmM
F~ = −
~er
r2
Somit ist das Linienintegral:
u (~r, ~r0 ) = u(r, r0 ) = −(−GmM )
Zr
r0
dr 0
r 02
1 r
= −GmM r r0
↑
r0 = 0 nicht möglich
bequem r0 = ∞
Man sollte folgendes Integral kennen (Anm.: Vermutlich steht’s auch
im “Bronstein”):
Z
1
dx
=−
n
x
(n − 1)xn−1
Und damit wird u (~r, ~r0 ) zu:
u (r, ∞) = ugrav (r) = −
U
GmM
r
r
~
F~ = −∇u
Konservativ!
(a) Potential auf der Erdoberfläche
Man nimmt an, die Kraft außerhalb der Erde wäre so, als
ob die Gesamtmasse im Mittelpunkt der Erde vereinigt
werde. Der Bezugspunkt ist
die Erdoberfläche.
z<<R
R=6000km
5.6.
69
ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER
GmM z+R
u(z + R, R) = −
= −GmM
r R
1
1
−
z +R R
(b) Entwicklung
1
1 1
=
z+R
R1+
z
R
1
=
R
z
1− +
R
z
R
2
− ...
1
= 1 + x + x 2 + x3 + . . . + x n
1−x
!
≈
z
1
−
R R2
−1<x<1
Also ist
u(z + R, R) = −GmM
1
z
1
− 2−
R R
R
=m
GM
z
r2
Man kann nun einen Vergleich mit der nahe der Erde gültigen Formel
der konstanten Schwerebeschleunigung g ziehen:
F~
u(z, z0 = 0) = −
Zz
0
= −mg~ez
GM
F~ d~s = m 2 z
r
Der Zusammenhang besteht also in der Konstante:
U(z)
g=
GM
R2
Dies ist ein lineares Potential!
z
3. Federkraft oder harmonische Kraft
70
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Beide sind Zentralkräfte mit der Federkonstanten k in der Form:
F~ = −k~r = −kr~er
u(r, r0 ) = k
Zr
r0
k
k r
= r2
r dr = r 02 2
2
r0 =0
0
0
Das “Oszillatorpotential” wird später
beim harmonischen Oszillator wichtig.
u(r)
r
4. Rechnerisches Beispiel
Gegeben ist ein ebenes Vektorfeld
F~ (x, z) = 3x2 y~ex + x3~ey
(a) Beweis der Konservativität
∂Fy
∂x
∂Fx
∂y
=
∂Fx
∂y
= 3x2
∂Fy
∂x
= 3x2
(b) Linienintegral
Z
C
ist wegunabhängig
F~ · d~r =
ZP2 P1
3x2 y dx + x3 dy
5.6.
ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER
71
(c) Bestimmung der Potentialfunktion
~
F~ = ∇Φ
∂Φ
= Fx = 3x2 y
∂x
Z
∂Φ
= Fy = x3
∂y
Z
Z
∂Φ
Φ=
dx = 3x2 y dx = 3y x2 dx = x3 y + K(y)
∂x
Durch die folgende partielle Differentiation erhält man eine genauere Vorstellung von der Art der Integrationskonstanten K(y)
(abhängig von y!):
∂Φ
= x3 + K 0 (y) = x3 ⇒ K 0 (y) = 0
∂y
⇒ K(y) = K0
⇒ Φ(x, y) = x3 y + K0
(d) Integrationsweg P1 = (x1 , y1 ) nach P2 = (x2 , y2 )
Z 2
3
3x y dx + x dy
C
=
ZP2
dΦ
P1
=
2
Φ(x, y)|xx21 ,y
,y1
=
x3 y + K 0 5. Energieerhaltung
x2 ,y2
x1 ,y1
= x32 y2 − x31 y1
(a) Im Eindimensionalen
F (x) = mẍ
d
dt
mẍẋ = F (x) ẋ
m 2
d
ẋ
= − U (x)
2
dt
mit
U (x) = −
Zx
(*)
F (x0 )dx0
U(x) ist Stammfunktion der Kraft und bis auf eine Konstante bestimmt. Die Gleichung (*) liefert bei Integration eine Konstante.
Dies ist die Energie E!
m 2
ẋ + U (x)
E =T +U =
2
72
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Für konservative Kräfte ist E konstant
d
dE
= 0 = (T + U ) = 0
dt
dt
Das heißt es geht nichts verloren!
(b) Im Dreidimensionalen
m~¨r~r˙ = F~ · ~r˙
d
dt
m˙
~r
2
= F~ · ~r˙
Die Dimension von F~ · ~r˙ ist die einer Leistung also
[Joule] = kg
Joule
sec
= W att
m2
sec2
d
u (~r) eine reine Ortsfunktion
Im Eindimensionalen war F~ ·~r = − dt
und u (~r) ein Potential.
(c) Energie eines Massenpunktes
E=
m ˙2
~r + u (~r)
2
Zerlegung von F~ · ~r in
- konservativen Anteil
∼
d
u (~r)
dt
- dissipativen (nicht konservativen) Anteil, also beispielsweise
Wärme, Strahlung, . . .
d
dt
m ˙2
~r + u (~r) = F~dissipativ · ~r˙
|
2
{z
}
dissipat.Leistung
Definition 18 (Energiesatz (vollst ändig)) Die zeitliche Änderung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Kräfte.
6. Drehimpuls und Drehmoment
Definition 19 (Drehimpuls) Der Drehimpuls ist
~ = ~r × p~
L
5.6.
ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER
MP
73
~ ist ein axialer Vektor, er definiert eine AchL
se durch den Drehpunkt, die Drehachse; sie
steht senkrecht auf der von ~r und p
~ aufgespannten Ebene.
Definition 20 (Drehmoment) Das Drehmoment ist definiert als
~ = ~r × F~
D
~
dL
~
=D
dt
denn:
~
dL
dt
d
(~r × m~v )
=
dt
d~r
m · d~v
=
× m~v + ~r ×
dt
dt
d~
p
= ~v × m~v + ~r ×
= ~r × F~
dt
~ =
D
~ = ~r × F~ = L
~˙ = ~0 ist, folgt daraus
weil ~v × m~v = ~0 ist, und speziell D
~ = const ⇐⇒ Drehimpulserhaltung.
L
~r × F~ ist aber nur dann Null (ausser für ~r = ~0, F~ = ~0), wenn ~r
und F~ in gleicher oder entgegengesetzter Richtung liegen, das heißt
bei Zentralkraftfeldern.
In Zentralkraftfeldern gilt die Drehimpulserhaltung:
~ = const
L
~ =L
~˙ = ~0
D
Damit haben wir die drei grundlegenden Erhaltungssätze kennengelernt:
• Energieerhaltung
• Impulserhaltung
• Drehimpulserhaltung
74
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
5.7
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern
5.7.1
Die Divergenz – Quellen und Senken
Beispiel:
Strömende Flüssigkeit mit dem Geschwindigkeitsfeld:
~v = vx~ex + vy ~ey + vz ~ez
Die Geschwindigkeitskomponenten sind also ortsabhängig, das
heißt eine Funktion von x,y und z:
vx = vx (x, y, z)
vy = vy (x, y, z)
vz = vz (x, y, z)
In der Strömung liege ein kleiner Quader, mit den achsenparallelen Kanten ∆x, ∆y und ∆z. Die Quaderflächen seien vollkommen
durchlässig.
z
Eintrittsflaeche
y
x
!#"%$&(')
Austrittsflaeche
Strömung in y-Richtung.
Annahme: vy ändert sich kaum entlang ∆y.
Die Flüssigkeitsmenge (Volumen), die in der sehr kleinen Zeit ∆t
durch die Quaderflächen ein- oder austreten sind gegeben durch:
Eintrittsmenge
vy (x, y, z) · ∆t ·∆x∆z
Austrittsmenge
|
{z
∆s
}
vy (x, y + ∆y, z)∆t∆x∆z
Austrittsmenge - Eintrittsmenge
[vy (x, y + ∆y, z) − vy (x, y, z)] ∆x∆z∆t
5.7.
DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN
75
Pro Zeiteinheit ergibt dies den Überschuss
[vy (x, y + ∆y, z) − vy (x, y, z)] ∆x∆z
mit dem Quadervolumen ∆V = ∆x∆y∆z
[vy (x, y + ∆y, z) − vy (x, y, z)]
∆x∆y∆z
∆y
=⇒ Volumengewinn an Flüssigkeit pro Volumen und Zeit
vy (x, y + ∆y, z) − vy (x, y, z)
∆y
Entsprechendes gilt für vx und vz .
Dies sind Differenzenquotienten!
Ergo gilt mit ∆x → 0, ∆y → 0 und ∆z → 0:
Volumengewinn an Flüssigkeit
∂vx
∂x
+
∂vy
∂y
~ · ~v =
∇
+
∂vx
∂x
∂vz
∂z
+
= div ~v
∂vy
∂y
+
∂vz
∂z
Die Divergenz ist ein Skalar!
Im Volumenelement dV wird pro Zeit die Flüssigkeitsmenge
~ · ~v dV
div ~v · dV = ∇
erzeugt oder vernichtet.
div ~v > 0
div ~v < 0
div ~v = 0
Abfluß überwiegt
Zufluß überwiegt
Zufluß=Abfluß
Quelle
Senke
Quellenfrei
Der Begriff Divergenz stammt aus der Hydrodynamik und bedeutet “Auseinanderströmen einer Flüssigkeit”. Die Feldlinien “entspringen” den Quellen
und “enden” in den Senken.
geschlossene Feldlinien ⇐⇒ Quellenfreiheit
Rechenregeln für Divergenzen
76
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
~ und B
~ sind Vektorfelder,
A
Φ ist ein Skalarfeld
~a ist ein konstanter Vektor und
C ist eine Konstante
~ · ~a = 0 (∗)
∇
~
~ + Φ∇
~ ·A
~
~ · ΦA
~
·A
∇
= ∇Φ
~ · CA
~
∇
~+B
~
~ · A
∇
~ · A
~ + ~a
∇
~ ·A
~
= C∇
~ ·A
~
= ∇
~ ·A
~+∇
~ ·B
~
= ∇
(*) Die Divergenz eines konstanten Vektors ist Null.
5.7.2
Rotation eines Vektorfeldes
Definition 21 (Rotation) Ist F~ ein Vektorfeld, so ist seine Rotation:
rot F~
oder auch
~ × F~
rot F~ = ∇
∂Fz
∂Fy
~ex
=
−
∂y
∂z
∂Fx ∂Fz
−
+
~ey
∂z
∂x
∂Fy
∂Fx
+
−
~ez
∂x
∂y
=








=









−
∂Fy
∂z
∂Fx
∂z
−
∂Fz
∂x
∂Fy
∂x
−
∂Fx
∂y
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂Fz
∂y
Fx
 
 
 
 ×  Fy
 
 
Fz















1. Für ebene Vektorfelder ist:
F~
= Fx~ex + Fy ~ey
∂Fy
∂Fx
~
~
∇ × F (x, y) =
~ez
−
∂x
∂y
2. Rotation ⇐⇒ Wirbelfeld
5.7.
DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN
~ × F~ = ~0
3. Wirbelfrei heißt ∇
4. Bedingung für konservative Kraftfelder F~ ist:
~ × F~ = ~0
∇


Kugelsymmetrie 
Zylindersymmetrie
⇐⇒ wirbelfrei


homogene Vektorfelder
5. Rotation des Ortsvektors verschwindet:
~ × ~r = ~0
∇
Rechenregeln für Rotation
~ und B
~ sind Vektorfelder,
A
Φ ist ein Skalarfeld
~a ist ein konstanter Vektor und
C ist eine Konstante
~ × ~a = ~0
∇
~ × ΦA
~
~ ×A
~ +Φ ∇
~ ×A
~
∇
= ∇Φ
~ × CA
~
∇
~ × A
~+B
~
∇
~ × A
~ + ~a
∇
5.7.3
~ ×A
~
= C∇
~ ×A
~
= ∇
Mehr Rechenregeln
Es sind wieder:
~ und B
~ Vektorfelder,
A
Φ und Ψ Skalarfelder
~a ein konstanter Vektor und
~ ×A
~+∇
~ ×B
~
= ∇
77
78
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
C eine Konstante
~·B
~ ×C
~ =A
~ ~ ~
~ ~
~
~
~ ~
~ ~ ~
~
~ ~
A
×B · C = B · C ×A = B × C ·A = C · A × B = C × A · B
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
~
A× B×C = C ×B ×A= A·C B− A·B C
~ ×A
~ +C
~× A
~ ×B
~ = ~0
~× B
~ ×C
~ +B
~× C
A
~ ×B
~ · C
~ ×D
~ = A
~·C
~ B
~ ·D
~ − A
~·D
~ B
~ ·C
~
A
~
~ ×B
~ ·C
~ D
~− A
~×B
~ ·D
~ C
~ ×D
~ = A
~ ×B
~ × C
A
~ (ΦΨ) = ∇
~ (ΨΦ) = Ψ∇Φ
~ + Φ∇Ψ
~
∇
~ · ΦA
~ = Φ∇
~ ·A
~ +A
~ · ∇Φ
~
∇
~ × ΦA
~ = Φ∇
~ ×A
~ + ∇Φ
~ ×A
~
∇
~ · A
~×B
~ =B
~ ·∇
~ ×A
~ −A
~·∇
~ ×B
~
∇
~
~·∇
~ B
~− A
~ ·∇
~ A
~ ·A
~ + B
~ ·B
~ −B
~ ∇
~×B
~ =A
~ ∇
~ × A
∇
~
~·∇
~ B
~B
~ ·A
~− A
~ ×B
~ = ∇
~× ∇
A
~
~ ·∇
~ A
~+ B
~·∇
~ B
~ ×A
~ + A
~ ×B
~ +B
~× ∇
~ ·B
~ =A
~× ∇
~ A
∇
~ 2Ψ = ∇
~ · ∇Ψ
~
∇
2
~ ·A
~ −∇
~ ×∇
~ ×A
~
~ A
~=∇
~ ∇
∇
~ × ∇Ψ
~ = ~0
∇
~
~
~=0
∇·∇×A
Diese Rechenregeln sollte man kennen, nicht auswendig lernen!
5.7.4
Anwendungsbeispiel
Eine dünne, homogene Scheibe rotiere mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω
~ = ω0~ez um die Symmetrieachse der Scheibe. Sie wird im Weiteren als
flächenhafter Körper der Dicke Null angenommen.
z
rotierende Scheibe
P
y
x
Ein Teilchen auf der Scheibe mit dem Ortsvektor ~r hat den Geschwindigkeitsvektor:






0
x
−ω0 y

 
 

~v = ω
~ × ~r =  0  ×  y  =  ω0 x 
ω0
0
0
5.7.
DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN
79
Anmerkung des TEXers: Der Zusammenhang ω
~ × ~r ist rein mathematisch
konstruiert.
Dieses ebene Geschwindigkeitsfeld ist ein Wirbelfeld, da die Rotation von ~v
nicht verschwindet:
~ × ~v ∇
z
=
∂vx
∂
∂
∂vy
−
=
(ω0 x) −
(−ω0 y) = 2ω0 6= 0
∂vx
∂x
∂x
∂y
~ × ~v = 0~ex + 0~ey + 2ω0~ez = 2~ω 6= 0
∇
Die Feldlinien sind konzentrische Kreise sie lassen sich aus ~v × d~r = ~0 berechnen:







−ω0 y
dx

 

~v × d~r =  ω0 x  ×  dy 
0
0

−y
dx

 

= ω0  x  ×  dy 
0
0




0
0

 

= ω0 
0
= 0 
−y dy − x dx
0
Somit gilt:
−y dy − x dx = 0
Über eine Trennung der Variablen erhält man den Radius:
Z
y dy = −
Z
x dx
1
1 2
y = − x2 + C
2
2
x2 + y 2 = 2C = R2
y
=⇒
x
√
Radius ist 2C = R. Dies bedeutet
die Feldlinien√sind konzentrische Kreise mit
Radien R = C und C > 0.
80
5.7.5
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Spezielle Vektorfelder
~ F~ = 0) heißt quellenfrei.
Ein Vektorfeld F~ dessen Divergenz verschwindet (∇·
~ ×E
~ ist stets quellenfrei; ergo
Ein Wirbel F~ = ∇
~ ×E
~ =0
~ · F~ = ∇
~ · ∇
∇
~ ist in komponentenweiser Darstellung:
E
~ = Ex~ex + Ey ~ey + Ez ~ez
E
~ × E:
~
Damit ist ∇
∂Ez
∂Ey
−
~ex
∂y
∂z
∂Ex ∂Ez
~ey
+
−
∂z
∂x
∂Ey
∂Ex
+
~ez
−
∂x
∂y
~ ×E
~ =
∇
~ · ∇
~ ×E
~ :
Und letztendlich ∇
~ ×E
~
~ · ∇
∇
=
+
∂ ∂Ez
∂Ey
∂
−
+
∂x ∂y
∂z
∂y
∂ ∂Ey
∂Ex
−
∂z ∂x
∂y
=
∂ 2 Ez
∂ 2 Ey
−
∂y∂x ∂z∂x
!
+
∂ 2 Ey
∂ 2 Ex
−
∂z∂x ∂z∂y
!
=
∂ 2 Ex ∂ 2 Ex
−
∂z∂y
∂y∂z
=
∂ 2 Ez
∂ 2 Ez
−
∂y∂x ∂x∂y
∂Ex ∂Ez
−
∂z
∂x
+
∂ 2 Ex
∂ 2 Ez
−
∂y∂z
∂y∂x
!
!
+
∂ 2 Ey
∂ 2 Ey
−
∂z∂x ∂x∂z
!
!
=0
Die Reihenfolge der Ableitungen läßt sich ja nach dem Satz von Schwarz
beliebig wählen; deshalb verschwinden letztendlich alle Komponenten.
Umgekehrt lässt sich zeigen, daß ein quellenfreies Vektorfeld stets als Rota~ × E.
~
tion eines Vektorfeldes, Vektorpotential genannt, darstellbar ist: F~ = ∇
~ ×E
~ =0
~ · F~ = ∇
~ · ∇
∇
5.7.
DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN
81
Das Vektorpotential ist also immer bis auf den Gradienten einer skalaren
Funktion Φ eindeutig bestimmt, denn
~ × ∇Φ
~
∇
= ~0
Ein wirbelfreies Feld
~ × F~ = ~0
∇
lässt sich stets als Gradient
eines skalaren Feldes Φ darstellen:
~
F~ = ∇Φ
⇒
~ × F~ = ~0
∇
Zentralfelder, homogene Felder und
axialsymmetrische Felder sind wirbelfrei
⇐⇒ konservativ
5.7.6
Laplace- und Poisson-Gleichung
Für ein quellen- und zugleich wirbelfreies Vektorfeld müssen die folgenden
Gleichungen erfüllt sein:
~ · F~ = 0
∇
∧
~ × F~ = ~0
∇
Ein solches Vektorfeld ist wegen der Wirbelfreiheit als Gradient eines skalaren Feldes Φ darstellbar:
~
F~ = ∇Φ
~ · F~ = 0:
Mit ∇
~ · ∇Φ
~
∇
= 0
=
~
∇Φ
=
~ · ∇Φ
~
∇
=
∂Φ
∂Φ
∂Φ
~ex +
~ey +
~ez
∂x
∂y
∂z
∂ ∂Φ
∂ ∂Φ
∂ ∂Φ
+
+
=
∂x ∂x
∂y ∂y
∂z ∂z
∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
Der letzte Term ist eine sogenannte partielle Differentialgleichung 2.Ordnung. Diese hängt eng mit dem Laplace-Operator zusammen.
Definition 22 (Laplace-Operator)
∆=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
82
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Laplace-Gleichung
∆Φ = 0
Die Laplace-Gleichung ist ein Sonderfall der allgemeinen Poisson-Gleichung:
∆Φ = f (x, y, z)
5.7.7
Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensysteme
1. Polarkoordinaten
• Gradient (Skalarfeld)
∂Φ
1 ∂Φ
~
∇Φ(r,
ϕ) =
~er +
~eϕ
∂r
r ∂ϕ
• Divergenz (Vektorfeld)
~ · F~ (r, ϕ) = 1 ∂ (r · Fr ) + 1 ∂Fϕ
∇
r ∂r
r ∂ϕ
• Rotation (Vektorfeld)
~ × F~ (r, ϕ)
∇
hat nur Komponente in z-Richtung:
h
~ × F~ (r, ϕ)
∇
i
z
=
1 ∂Fr
1 ∂
(r · Fϕ ) −
r ∂r
r ∂ϕ
• Laplace-Operator
∆Φ(r, ϕ) =
1 ∂2Φ
∂ 2 Φ 1 ∂Φ
+
+
∂r 2
r ∂r
r 2 ∂ϕ2
2. Zylinderkoordinaten
• Skalarfeld
Φ = Φ(%, Ψ, z)
• Vektorfeld
F~ = F~ (%, Ψ, z) = F% (%, Ψ, z)~e% +
FΨ (%, Ψ, z)~eΨ +
Fz (%, Ψ, z)~ez
• Gradient
~
∇Φ(%,
Ψ, z) =
∂Φ
1 ∂Φ
∂Φ
~e% +
~eΨ +
~ez
∂%
% ∂Ψ
∂z
5.7.
83
DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN
• Divergenz
1 ∂FΨ ∂Fz
1 ∂
(% · F% ) +
+
% ∂%
% ∂Ψ
∂z
~ · F~ (%, Ψ, z) =
∇
• Rotation
~ × F~ (%, Ψ, z) =
∇
∂FΨ
1 ∂Fz
−
~e% +
% ∂Ψ
∂z
+
1
%
• Laplace-Operator
∆Φ =
∂F%
∂
(% · FΨ ) −
∂%
∂Ψ
∂Φ
1 ∂
%·
% ∂%
∂%
+
∂F% ∂Fz
−
~eΨ
∂z
∂%
~ez
1 ∂2Φ ∂2Φ
+
%2 ∂Ψ2
∂z 2
• Anmerkungen
Ein zylindersymmetrisches Vektorfeld vom Typ F~ = f (%)~e% ist
stets wirbelfrei, aber nur in Sonderfällen auch quellenfrei, somit
gilt für % 6= 0:
~ × F~ = ~0
∇
• Sonderfälle
1
%
f (%) ∼
~ · F~ 6= 0
und ∇
oder
f (%) =
const
%
~ · F~ = 0 !
dann ist nämlich ∇
3. Kugelkoordinaten
• Skalarfeld
Φ = Φ(r, ϑ, Ψ)
• Vektorfeld
F~
= F~ (r, ϑ, Ψ)
= Fr (r, ϑ, Ψ)~er + Fϑ (r, ϑ, Ψ)~eϑ + FΨ (r, ϑ, Ψ)~eΨ
• Gradient
~
∇Φ
=
∂Φ
1 ∂Φ
1 ∂Φ
~er +
~eϑ +
~eΨ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂Ψ
• Divergenz
~ · F~ (r, ϑ, Ψ) =
∇
+
1 ∂ 2
r
·
F
r
r 2 ∂r
∂
∂FΨ
1
(sin ϑFϑ ) +
r sin ϑ ∂ϑ
∂Ψ
84
KAPITEL 5.
• Rotation
SKALAR- UND VEKTORFELDER
~ × F~ (r, ϑ, Ψ) =
∇
1
r sin ϑ
+
1 ∂
1 ∂Fr
−
(r · FΨ ) ~eϑ
r sin ϑ ∂Ψ
r ∂r
+
1 ∂
1 ∂Fr
~eΨ
(r · Fϑ ) −
r ∂r
r ∂ϑ
1 ∂
∂Φ
+
sin ϑ
sin ϑ ∂ϑ
∂ϑ
∂Fϑ
∂
(sin ϑFΨ ) −
∂ϑ
∂Ψ
~er
• Laplace-Operator
∆Φ =
"
1 ∂
∂Φ
r2
2
r ∂r
∂r
1 ∂2Φ
+
sin2 ϑ ∂Ψ2
#
• Anmerkungen
Der in Kugelkoordinaten ausgedrückte Laplace-Operator enthält
auch partielle Ableitungen 1.Ordnung, ganz im Gegensatz zum
kartesischen Fall.
∂Φ
∂
r2
∂r
∂r
= 2r
∂
∂Φ
sin ϑ
∂ϑ
∂ϑ
= cos ϑ
∂2Φ
∂Φ
+ r2 2
∂r
∂r
∂Φ
∂2Φ
+ sin ϑ 2
∂ϑ
∂ϑ
Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld, also ein Zentralfeld vom Typ
F~ = f (r)~er ist stets wirbelfrei, aber nur in Sonderfällen auch
quellenfrei. Somit gilt für r > 0:
~ × F~ = ~0
∇
~ · F~ 6= 0
und ∇
Sonderfälle
Ist der Betrag des Zentralkraftfeldes umgekehrt proportional zum
Quadrat des Abstandes r, gilt also:
f (r) ∼
1
r2
oder f (r) =
const
r2
so ist das Zentralfeld zusätzlich auch quellenfrei, das heißt
~ · F~ = 0
∇
wie bei Gravitationsfeldern oder dem elektrischen Feld einer Ladung.
5.8.
85
OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
5.8
Oberflächen- und Volumenintegrale
5.8.1
Das Oberflächenintegral
Physikalisches Beispiel:
Flüssigkeitsströmung mit konstanter Geschwindigkeit ~v durch ein vollkommen durchlässiges Flächenelement ∆A senkrecht zur Strömungsrichtung.
Welche Flüssigkeitsmenge fließt pro Zeit durch die Fläche?
Lösung:
Ein Flüssigkeitsteilchen der Geschwindigkeit v = |~v | legt in der Zeit ∆t den
Weg ∆s = v · ∆t zurück.
Das Volumen ist ∆V = ∆A · ∆s = ∆A · v∆t. In der Zeit ∆t strömt die
Menge ∆V
∆t = v · ∆A durch ∆A. Dies ist der Flüssigkeitsfluß durch ∆A.
~ ein:
Jetzt führt man das vektorielle Flächenelement ∆A
~ steht senkrecht auf dem Flächenelement ∆A
1. Der Vektor ∆A
~ entspricht der Fläche von ∆A:
2. Der Betrag von ∆A
~
∆A = ∆A
86
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
~ der Flächennormalen (≡ Einheitsvekoder anders ausgedrückt, mit N
tor in Strömungsrichtung):
~ = ∆A · N
~
∆A
=⇒
∆V
∆t
= v · ∆A
~ = ~v · N
~ ∆A
= ~v · ∆A
Eine schräge Strömung ~v = ~vT + ~vN zerlegt man für die Berechnung
in die Tangential- und Normalenkomponenten ~v T und ~vN :
~vN
~
= ~v · N
∆V
~ ∆A = ~v · ∆A
~
= ~vN ∆A = ~v · N
∆t
Sonderfall (Luftwiderstand):
~ senkrecht zu ~v
∆A ist parallel zu ~v ; dann ist N
~
~v · N
∆V
=⇒
∆t
= 0
=
~ · ∆A = 0
~v · N
Allgemeiner Fall:
Gegeben ist ein ortsabhängiges Geschwindigkeitsfeld ~v (x, y, z); wie groß ist
der Fluss durch eine beliebige Fläche A? – Zerlegung der Fläche in Flächenelemente dA. Dann ist der Flüssigkeitsfluss:
~ = ~v · N
~ dA
~v · dA
der Gesamtfluss ist dann
ZZ
~=
~v dA
(A)
ZZ (A)
~ dA
~v · N
Zusammenfassung Oberflächenintegral
Allgemeines Vektorfeld
Orientiertes Flächenelement
Flächennormale
Oberfläche A
F~ = F~ (x, y, z)
~ (|dA|
~ = dA)
dA
~
~ = dAN
~)
N
(dA
RR
RR ~
~
~ dA
F · dA =
F~ · N
(A)
(A)
Anmerkungen
~ festgelegt.
1. Die Orientierung der Fläche wird durch N
5.8.
87
OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
2. Bei geschlossenen Flächen, wie beispielsweise der Oberfläche einer Ku~ nach aussen.
gel, zeigt N
~ · F~
3. Das Oberflächeintegral wird mit der Normalenkomponente F N = N
gebildet.
4. Andere Begriffe für das Oberflächenintegral sind
• Flussintegral
• Flächenintegral
5. Schreibweise für geschlossenes Flächenintegral
So, hatte ich bereits beim Kurvenintegral ’nen Problem, so weiß diesmal auch mein LATEX-Buch nix mehr.
Das Zeichen soll ausschauen wie
H
ein geschlossenes Kurvenintegral ( ) mit zwei Integralen, oder einem
Kringel über zwei Integralzeichen, oder. . . ach keine Ahnung, fragt euren Prof oder schaut im Original-Script nach.
Anmerkung des Korrektors: Werde es in Zukunft durch ein o als Index
markieren
6. Die Gesamtheit der Flächennormalen ist:
~ =N
~ ·N
~ =1
F~ · N
und
ZZ
dA = A
Flächeninhalt
Berechnung eines Flächenintegrals
1
z
Ebene
x+2y+2z=2
y
1
2
x
Wie groß ist der Fluss des Vektorfeldes F~ durch die im ersten Oktanten gelegene Fläche
der Ebene x + 2y + 2z = 2.


6z


F~ =  −3y 
3
Insgesamt vier Schritte:
1. Wahl der geeigneten Koordinaten
Hier empfehlen sich natürlich kartesische Koordinaten. Die Ebene x +
2y + 2z = 2 wird als Niveaufläche eines skalaren Feldes Φ aufgefasst:
Φ(x, y, z) = x + 2y + 2z
88
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Ergo ist


1

~ =
∇Φ
 2 
2
~:
überall senkrecht auf der Ebene. Durch Normierung erhalten wir N




1
1
~
1 
∇Φ
1


~
N=
=√
 2 =  2 
3
~ 12 + 2 2 + 2 2
∇Φ
2
2
~
2. Bestimme F~ · N




6z
1
 1

~ =
F~ · N
 −3y  ·  2  = 2(z − y + 1)
3
3
2
=⇒ Löse die Gleichung der Ebene nach z auf:
1
(2 − x − 2y)
2
z=
~ eingesetzt
in F~ · N
~
F~ · N
= 2(z − y + 1)
1
(2 − x − 2y) − y + 1
= 2
2
= −x − 4y + 4
Normalerweise ist ein Flächenelement dA∗ = dxdy aber hier gilt ja
~ = dAN
~ und deshalb ist
dA
~ · ~ez = dA N
~ · ~ez = dxdy
dA∗ = dA
~ · ~ez =
N
 


0
1
1   
 2 · 0 
3
1
2
2
3
= dydx
oder
dA = dydx
3
2
Dies ist das Flächelement dA in kartesischen Koordinaten in der Ebene
z=0, in der die Fläche A∗ liegt. Die Gleichung der Ebene lautet
dA ·
x + 2y = 2
oder
1
y =− x+1
2
3. Aus der Gleichung der Ebene ergeben sich als Integrationsgrenzen
y=0
bis
x=0
bis
1
y =− x+1
2
x=2
5.8.
89
OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
4. Berechnung des Oberflächenintegrals
ZZ (A)
ZZ
~ dA =
F~ · N
(A)
3
2
=
(−x − 4y + 4)dxdy
Z2
x=0
3
2
− 12 x+1
Z
y=0
(−x − 4y + 4)dxdy
innere Integration, also nach y:
− 12 x+1
Z
y=0
h
(−x − 4y + 4)dy = −xy − 2y 2 + 4y
i− 1 x+1
2
0
=x+2
äussere Integration, also nach x:
Z2
x=0
1
(x + 2)dx = x2 + 2x
2
2
= 2+4 = 6
0
Und das gesamte Integral ist dann also:
ZZ ~ dA = 3 · 6 = 9
F~ · N
2
(A)
Anmerkungen
1. Der Fluß eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes durch die Oberfläche eines Zylinders
F~ = f (%)~e%
2. durch die geschlossene Oberfläche A eines (Koaxial-)Zylinders
ZZ o
~ dA = f (R) · 2πRH
F~ N
mit Zylinderradius R, Zylinderhöhe H und der Symmetrieachse z.
3. Kugelsymmetrie
F~
ZZ o
= f (r)~er
~ dA = f (R) · 4πR2
F~ · N
mit dem Kugelradius R und dem Kugelmittelpunkt als Koordinatenursprung.
90
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Weiteres Beispiel
Gegeben ist eine Strömung mit
• Dichte % (~r)
• Geschwindigkeit v (~r)
• Zeitintervall ∆t
Wie groß ist die in der Zeit ∆t durch die Fläche ∆f strömende Masse?
∆m = %(v∆t)∆f cos α
∆F~ = ∆f · ~n
Der Fluß ist definiert als
Masse
Zeiteinheit
∆m
= %v∆f cos α
∆t
= %~v · ∆f~ = ~ · ∆f~
= ∆Φ =
Die Flußdichte ist definiert als
Definition 23 (Flußdichte)
~ (~r) = % (~r) · ~v (~r)
und damit ist der Gesamtfluß durch die Fläche:
Φ=
5.8.2
ZZ
~ · df~
Das Volumenintegral
Zusammenhang zwischen:
Gesamtvolumen V
m
Volumenelement ∆Vi
Volumen V
Ist eine skalare Funktion f (~r) und das Volumen V gegeben, dann ist:
Z
V
das Volumenintegral.
f (~r) dV = lim
∆Vi →0
X
i
f (~ri ) ∆Vi
5.8.
91
OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
Spezifizierung des Volumenelementes dV = d 3 r
kartesisch
zylinder
kugel
dV = dxdydz
dV = %d%dϕdz
dV = r 2 sin ϑdrdϑdϕ
Beispiel
Berechnung des Gravitationspotentials einer Kugel der homogenen Dichte
%.
1. Hohlkugel mit Radius r und der Dicke der Kugelschale dr.
m
R
d
dr
dH
r
Der Abstand d ergibt sich aus dem Cosinussatz.
p
d =
R2 + r 2 − 2rR cos ϑ ≥ 0
Uhohl (R) = −
Z
G
Kugelschale
dM = %dV
mdM
d
= %r 2 sin ϑdrdϑdϕ
2
UHohl (R) = −Gm%r dr
Zπ
0
|
sin ϑdϑ
√
2
R + r 2 − 2rR cos ϑ
1
R
−1
{z
dt
R2 +r 2 −2rRt
√
Substitution: t = cos ϑ und dt = − sin ϑdϑ:
2
UHohl (R) = −Gm%r dr · 2π
·
Z2π
0
} | {z }
2π
+1
2 p 2
R + r 2 − 2rRt
−2rR
−1
|
{z
dϕ
}
92
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
= −
R>r

1 

±(R − r) − (R + r)
{z
}
rR |
>0


= 



2
UHohl = −4πGm%r dr
(1)
(2)
2
R
r<R
2
r
r>R
1
R


1
r
R<r
H
= − GmM
R
r<R
(1)
H
− GmM
r
r>R
(2)
=
Das Potential verhält sich so, als ob MH im Ursprung vereinigt wäre.
Das Potential ist konstant für r = const.
=⇒ aussen verhält sich das Potential so, als ob die gesamte Masse im Zentrum vereinigt wäre.
r
r
R
R
const
~ Hohl (R) = − dUHohl ~er =
F~ = −∇U
dR
(
H
− GmM
R2
0
r<R
r>R
Wichtige Schlußfolgerung:
=⇒
im Inneren existiert kein Kraftfeld, da sich die Beträge
gegeneinander aufheben.
2. Vollkugel
Im Gegensatz zur Hohlkugel, muß hier noch über die Kugelschalen
aufsummiert (sprich: integriert) werden. Das Integral über dem Radius
a schafft also den Übergang zwischen den beiden Kugeln
→
UHohl (R, r)
UV oll =
Za
dUV oll (r)
dUV oll (r)
0
= −4πGm%
Za
0
r 2 dr





1
R
1
r


 r<R

 r>R
5.8.
93
OBERFLÄCHEN- UND VOLUMENINTEGRALE
MV =
4π 3
3 a %
↓
R>a
=
R<a

3
v

−4πGM % R1 a3 = −G mM

R












ZR
Za


1
1

2

−4πGm%
r dr + r 2 dr



R
r


0
R


|
{z
}



R2
1 2
1
2
2
2
3
=
+ 2 (a −R )= 6 (3a −R )
GmMv
2a3
R 2 − a2

GmMv

 − R2
dUV oll
=
F (R) = −

dR

R>a
v
− GmM
a3 R R < a
R>a
R<a
a
r
r
Potential außerhalb
wie Punktmasse
R
a
R
Kugel
Innerhalb quadratisch (Kraft linear)
94
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
5.9
Integralsätze von Gauss und Stokes
5.9.1
Gausscher Integralsatz
1. Beispiel
Modell einer Flüssigkeitsströmung mit dem Geschwindigkeitsfeld ~v =
~v (x, y, z).
Quader
Flaechen−
element dA
Volumen−
element dV
Strömung durch ein Quadervolumen V . Pro Zeiteinheit fließt durch
ein Flächenelement dA der Quaderoberfläche die Flüssigkeitsmenge
~ dA = ~v · dA
~
~v · N
Der Gesamtfluß pro Zeit durch die geschloßene Hülle A, die Oberfläche
des Quaders ist durch das geschlossene Oberflächenintegral gegeben:
Z Z o,(A)
~ dA =
~v · N
Z Z
~
~v dA
o,(A)
Nun: Flüssigkeitsmenge, die im Volumenelement dV im Inneren des
Quaders erzeugt oder vernichtet wird:
~ · ~v dV
∇
und im gesamten Quader:
ZZZ
(V )
=⇒
~ · ~v dV
∇
Diese Menge muß aber bei einer Flüssigkeit mit konstanter
Dichte in der Zeiteinheit durch die Quaderoberfläche A
hindurchfließen.
5.9.
95
INTEGRALSÄTZE VON GAUSS UND STOKES
Wir formulieren deshalb:
Die in der Zeiteinheit im Volumen V erzeugte oder vernichtete
Flüssig
RRR
RR
~
~ dA
keitsmenge
∇ · ~v dV muß gleich dem Gesamtfluß
~v · N
o
durch die Quaderoberfläche entsprechen.
2. Definition 24 (Satz von Gauss im Raum)
Z Z
~=
F~ dA
(V )
o,(A)
~:
F
A:
V:
ZZZ
~ · F~ dV
∇
stetig differenzierbares Vektorfeld
Geschloßene Fläche
von A eingeschloßenes Volumen
3. Anmerkungen
Mit Hilfe des Satz von Gauss lässt sich ein Volumenintegral über die
Divergenz eines Vektorfeldes in ein Oberflächenintegral umwandeln
~ · F~ = 0) ist der Geund umgekehrt. Bei einem quellenfreien Feld ( ∇
samtfluß durch die Oberfläche gleich Null.
4. weitere Beispiele
(a) Gegeben ist das Feld:


x3


~
F =  −y 
z
Berechnung des Fluß durch die Oberfläche eines Zylinders mit
Radius R = 2 und der Höhe H = 5. Nach dem Satz von Gauss
gilt:
Z Z
o,(A)
ZZ Z
~ dA =
F~ · N
(V )
~ · F~
∇
~ · F~ dV
∇
=
ZZ Z
(V )
~ · F~ dV
∇
∂
∂
∂ 3
x +
(−y) +
(z) = 3x2 − 1 + 1 = 3x2
∂x
∂y
∂z
= 3·
ZZ Z
x2 dV
(V )
Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten war: dV = %dzd%dϕ
und die Formeln zur Umwandlung von kartesische in Zylinderkoordinaten waren:
x = % cos ϕ
y = % sin ϕ
z = z
96
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Und die Integrationsgrenzen sind:
z = 0 bis z = 5
(Höhe)
% = 0 bis % = 2
(Radius)
ϕ = 0 bis ϕ = 2π
ZZ Z
(V )
~ · F~ dV
∇
= 3
ZZ Z
x2 dV
(V )
= 3
Z2π Z2 Z5
(% cos ϕ)2 %dzdϕd%
Z2π Z2 Z5
%3 cos2 ϕdzdϕd%
ϕ=0 %=0 z=0
= 3
ϕ=0 %=0 z=0
= 3
Z2π
= 3
2
cos ϕdϕ
Z2
3
% d%
ϕ sin(2ϕ)
+
2
4
dz
0
0
0
Z5
2π 0
·
2
· z|50
Z Z
1 4
%
4
0
= 3·π·4·5
= 60π =
ZZ Z
(V )
~ · F~ dV =
∇
o,(A)
~ dA
F~ · N
(b) Wie groß ist der Fluß durch ein kugelsymmetrisches Vektorfeld
F~ = k~r durch die Oberfläche A einer konzentrische Kugel vom
Radius R (k = const)?
ZZ o
~ dA =
F~ · N
ZZZ
~ · F~ dV = k
∇
~ · ~r:
Aus ~r = r~er folgt eingesetzt in ∇
~ · ~r = ∇
~ · (r~er )
∇
=
1 δ 2
(r · r)
r 2 δr
=
1 2
3r = 3
r2
ZZZ
~ · ~rdV
∇
5.9.
97
INTEGRALSÄTZE VON GAUSS UND STOKES
ZZ o
~ dA = k
F~ · N
=⇒
ZZZ
ZZZ
~ · F~ dV = k3
∇
|
{z
dV
}
VKugel = 4π
R3
3
ZZ o
~ dA = 3kV = 4πkR3
F~ · N
Definition 25 (Satz von Gauss in der Ebene)
I ~ ds =
F~ N
C
dA:
C:
~:
N
ds:
ZZ
~ · F~ dA
∇
Flächenstück einer Ebene
Geschlossene Randkurve
nach außen gerichtete Flächennormale
Linienelement der Randkurve C
5. Anmerkung
Zusammenhang zwischen Kurven- und Doppelintegral:
H
RR
5.9.2
~ ds:
F~ N
Flüssigkeitsmenge, die durch die geschlossene Randkurve C
pro Zeit in die Fläche ein- oder austritt
~ · F~ dA:
∇
Flüssigkeitsmenge, die in der Fläche A “erzeugt”
oder “vernichtet” wird
Integralsatz von Stokes
Das Kurven- oder Linienintegral eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes
F~ längs einer einfach geschlossenen Kurve C ist gleich dem Oberflächenintegral der Rotation von F~ über eine beliebige Fläche die durch C berandet
wird.
I
Z Z
o,A
F~ d~r =
C
~ × F~ dA =
∇
Z Z
|
A
~ × F~ dA
∇
{z
W irbelf luss
Z Z Z
V
}
~ · (∇
~ × F~ )) dV = 0
(∇
|
{z
=0
}
98
KAPITEL 5.
SKALAR- UND VEKTORFELDER
Fortschritt bedeutet, daß
wir immer mehr wissen
und immer weniger davon
haben.
Josef Meinrad
Kapitel 6
Mechanik in bewegten
Bezugssystemen
z
y
0
x
y’
x’
z’
0’
Beschreibung der Bahn eines Massenpunktes in verschiedenen Bezugssystemen 0 und 00 . Es muß gelten:
• Die Physik ist unabhängig vom Bezugssystem
• Die Bewegungsgleichungen hängen vom Bezugssystem ab!
In diesem Kapitel geht es also um die Beschreibung der Beziehung der Bewegung in verschiedenen, meist zueinander bewegten Bezugssystemen. Oft ist
99
100
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
es außerdem besser angepaßte Bezugssysteme zu verwenden, beispielsweise:
- in Erdoberfläche verankert (Labor)
- fahrender Zug, Fahrstuhl, . . .
6.1
Inertialsysteme, Galilei-Transformationen
Was wissen wir?
– Wir wissen, dass die Newton-Axiome die Bewegung eines mechanischen
Systems vollständig beschreiben. Gilt das für alle Bezugssysteme?
– Wir werden sehen: Nein!
Die Newtonschen Axiome
6.1.1
1.
Trägheitsgesetz
F~ = ~0 =⇒ ~v = const
2.
Bewegungsgesetz
p~˙ = F~
3.
Actio=Reactio
F~12 = −F~21
Probleme der Interpretation
1. Newtonsches Axiom:
Ist es ein Spezialfall des 2. Newtonschen Axioms?
Was heißt eigentlich kräftefrei?
Gibt es eine Abhängigkeit vom Bezugssystem? (Karussell, . . . )
2. Newtonsches Axiom:
Kraft und Masse sind nicht definiert.
=⇒ Die Definitionen und Axiome sind nicht klar getrennt.
Lösung:
Umdrehen der Argumentation!
1. Newtonsches Axiom: Es existieren Bezugssysteme, in denen das Trägheitsgesetz gilt. Solche Bezugsysteme heißen Inertialsysteme.
6.1.
INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN
101
2. Newtonsches Axiom: In einem Inertialsystem gilt das Bewegungsgesetz in der Newtonschen Form:
d~
p
= F~
dt
p~˙ = F~
wobei F~ die physikalische Kraft ist (nicht geändert).
Bemerkungen
• Inertialsysteme sind nicht eindeutig!
• Wie werden Inertialsysteme gefunden?
• Ein Inertialsystem definiert physikalische Kräfte!
In Nicht-Inertialsystemen können die Bewegungsgleichungen anders aussehen und tun es auch! Was ist also ein ”gutes“ Inertialsystem?
Ein gutes Inertialsystem ist unbeschleunigt und rotiert nicht!
Ist die Erde also ein Inertialsystem?
Nein, denn sie rotiert.
Ja, wenn der Einfluß der Rotation sehr klein wäre
Ein Inertialsystem ist unbeschleunigt. Aber für viele Zwecke ist die Erde
eine ziemlich gute Näherung für ein Inertialsystem. Aber wie groß ist die
Beschleunigung eigentlich?
1. Beschleunigung eines Labors auf der Erde durch die Erdrotation. Abschätzung
für einen Massenpunkt am Äquator – die Zentripetalbeschleunigung
ist:
v2
= ω 2 RErde
a=
RErde
mit ω = 0, 7 · 10−4 sec−1 und RErde ≈ 6400 km:
a ≈ 0, 031
m
sec2
−→
klein
2. Rotation des Fixsternhimmels oder Erddrehung um die Sonne
ω =
2π
= 2 · 10−7 sec−1
1 Jahr
R = 1011 m
a = ω 2 R ≈ 4 · 10−3
m
sec2
−→
kleiner
102
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
3. Drehung der Sonne um das Zentrum der Milchstraße
m
aSonne ∼ 3 · 10−10
−→
sehr klein
sec2
Inertialsysteme gibt es eigentlich gar nicht! Das Dilemma ist, daß es keine
Kräftefreiheit gibt, wenn sich alles dreht. Wir erwarten jedoch, daß Fixsterne
in guter Näherung ein unbeschleunigtes Koordinatensystem definieren.
– Warum können wir das erwarten?
– Weil Sterne sehr weit (∼ 1LJ ∼ 1016 m) voneinander entfernt sind und die
Schwerkraft proportional zu R −2 ist.
6.1.2
Beziehungen zwischen Bezugssystemen
Zueinander fest orientierte Bezugssysteme.
1. Translation ohne zeitliche Änderung. Ein Bezugssystem bewegt
~
sich relativ zum anderen mit einem konstanten Abstand d.
z’
BS’
z
x’
BS
y’
x
y
dd~
=0
dt
Für die Translationsbewegung r~0 (t) eines Punktes im Bezugssystem 0 0
bedeutet dies, ausgedrückt im Bezugssystem 0:
d~ = const
=⇒
r~0 (t) = ~r(t) − d~
dr~0 (t)
dr~0 (t)
dd~
=
−
dt
dt
dt
|{z}
=0
Damit erhalten wir die Zusammenhänge:
v~0 (t) = ~v (t)
a~0 (t) = ~a(t)
6.1.
103
INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN
2. Feste Drehung des Bezugssystems, ohne zeitliche Änderung
~r(t) = r~0 (t), aber komplett verschieden. Hilfreich ist hier die Drehoder Transformationsmatrix.
rj
= Rij rj0
vj
=
z
z’
x’
=
drj
dt 
X




dRij
| dt
{z }
=0,da
x
=
y
X
rj0
fest
Rij vj0

drj0 

+ Rij

dt
|{z}

vj0
j
y’
=⇒
~v = v~0
~a = a~0
Wichtig ist dabei, daß die Drehung fest ist, das heißt also R ij = const
beziehungsweise die Drehung ist zeitlich unabhängig.
3. Gleichförmig bewegte Systeme
Diese entsprechen im Wesentlichen der Translation mit d~ = ~ut.
z’
y’
z
x’
y
x
r~0 (t) = ~r(t) − ~ut
~u = const
d~r
dr 0 (t)
=
− ~u
dt
dt
v~0 = ~v − ~u
104
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
dv~0
d~v
d~u
=
−
dt
dt |{z}
dt
=⇒
a~0 = ~a
=0
=⇒ m~a = ma~0
=⇒ F~ = F~ 0
Das heißt also, in zwei gleichförmig zueinander bewegten Bezugssystemen herrschen die gleichen Kräfte.
Ergo:
• Falls ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist, so ist auch das Bezugssystem 2 eines.
• Es existieren unendlich viele Inertialsysteme.
• Inertialsysteme sind physikalisch äquivalent, das heißt also ununterscheidbar.
Transformation zwischen Inertialsystemen durch die speziellen Galilei-Transformationen:
r~0 = ~r − ~ut
t0 = t
Die Zeit soll dabei durch eine synchrone Uhr gemessen werden. (Frage am
Rande: Stimmt das denn immer?) Insgesamt ist die allgemeine Galilei-Transformation eine Kombination aus fester Translation und Drehung.
6.1.3
Kräfte
1. Direkter Kontakt, durch Druck, Stoss, Zug, . . .
sogenannte Nahwirkungskräfte
2. Kräfte ohne direkten Kontakt, es existieren also keinen direkten Wechselwirkungspartner
(a) Entstehung durch Bezugssystemwechsel
→ Trägheitskräfte oder Scheinkräfte (sie existieren natürlich trotzdem!), am Beispiel der Insassen eines bremsenden Autos: Es existieren (idealerweise, kein Unfall, . . . ) keine Nahwirkungskräfte.
Die Beschleunigungskräfte verschwinden beim Übergang in ein
System, das sich geradlinig-gleichförmig weiterbewegt.
Die Insassen tun das, was das Trägheitsgesetz verlangt.
6.1.
INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN
105
(b) Echte Fernkräfte, diese sind durch keine Änderung des Bezugssystems zu beseitigen. Ein Beispiel wäre die Gravitation.
Zentrifugalkraft
F~Zentr. = mω 2~r
Sie ist eine Scheinkraft und wirkt zum Beispiel bei einer Kurvenfahrt auf
die Insassen und das Auto selbst.
Für Beobachter im Inertialsystem bewegen sie sich einfach geradlinig-gleichförmig weiter und müssen dabei allerdings mit Teilen des seinerseits ungleichförmig bewegten Fahrzeugs kollidieren.
Der Fahrer lenkt dieser Kraft hoffentlich entgegen.
Kraft in rotierendem System
Die dort auftretende Kraft heißt Coriolis-Kraft:
~ Fc = m2ω |~v |
~ac = 2~v × ω
~ ⇒| ~ac |= 2vω sin α
Sie ist senkrecht zur Richtung der Drehachse und senkrecht zur Geschwindigkeit gerichtet.
Drehscheibe
In der Mitte einer sich mit ω = const drehenden Scheibe befindet sich ein
Beobachter. Er schießt eine Kugel mit der Geschwindigkeit v = at. Diese
Kugel ist nach dem Abschuss mit der Scheibe durch keinerlei Kräfte mehr
verbunden, sondern fliegt frei durch den Raum.
1. ruhendes System
r=vt
Für einen Beobachter außerhalb der Scheibe bewegt sich die Kugel also geradlinig mit
der konstanten Geschwindigkeit v nach außen. Nach der Zeit t = vr ist sie im Abstand
r angekommen.
In dieser Zeit hat sich die Scheibe um den Winkel α = ωt weitergedreht!
2. Mitrotierendes System
106
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
A
B
Weil sich die Scheibe in dieser Zeit (siehe
oben) um den Winkel α = ωt weitergedreht
hat, stellt der Beobachter auf der Scheibe
fest, daß sich die Kugel nicht über dem Punkt
A seiner Scheibe befindet, wie er vielleicht erwartet hätte, sondern über dem Punkt B.
Die Kugel ist um y = rα nach rechts abgelenkt worden, senkrecht zur
erwarteten Flugrichtung! :
z = rα = vtωt
=⇒
y = vωt2
Der Beobachter auf der Scheibe muß diese Ablenkung auf eine Beschleunigung zurückführen, die senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt.
Der Bewegungsablauf y ∼ t2 lässt auf eine konstante Beschleunigung
a schließen, denn diese führt auf y = 21 at2 .
Ein Vergleich liefert die Coriolisbeschleunigung:
a = 2ωv
Und daraus lässt sich leicht die Corioliskraft berechnen:
FC = ma = 2mωv
Diese Kraft spürt der Beobachter auch, wenn er sich selbst oder Teile
von sich mit v bewegen. Steht ~v nicht senkrecht zur Drehachse sondern
bildet mit ihr den Winkel α so ist die Coriolisbeschleunigung:
| ~a |= 2 | ~v × ω
~ |= 2vω sin α
6.2
Foucaultsches Pendel
Das Foucaultsche Pendel ist ein historischer Versuch; er ist eine Demonstration für die Erdrotation und damit ein Beweis, daß die Erde kein Inertialsystem ist. Dieser Versuch wurde zum erstenmal 1851 in Paris durchgeführt.
Eine Masse von 28kg war an einem 70m langem Draht befestigt und konnte
frei schwingen. Die Schwingungsdauer betrug 17 Sekunden.
Nach mehreren Schwingungen zeigte sich, daß sich die Schwingungsebene
von oben gesehen in einer Stunde um 11 Grad im Uhrzeigersinn drehte.
Zur Messung war auf dem Fußboden, direkt unterhalb der Aufhängung im
Pantheon in Paris ein kreisförmiges Geländer aufgebaut, welches mit Sand
bestreut war. Ein Nagel an der Unterseite des Pendels hinterlies bei jeder
Schwingung eine Spur im Sand.
Zurück zum Problem: Warum rotiert also die Schwingungsebene des Pendels?
6.3.
6.3
107
DAS FOUCAULT-PENDEL AM NORDPOL
Das Foucault-Pendel am Nordpol
Wir stellen uns das Foucaultsche Pendel am Nordpol vor. Die Schwingungsebene bleibt im Inertialsystem fest, während die Erde unter dem Pendel in
24 Stunden eine Umdrehung ausführt.
Die Erde dreht sich, von einem Beobachter über dem Nordpol (vom Polarstern) aus gesehen, gegen den Uhrzeigersinn. Deshalb scheint für einen
Beobachter auf einer Leiter am Nordpol die Schwingungsebene im Uhrzeigersinn relativ zu ihm zu rotieren.
Die Situation wird schwieriger, sobald wir den Nordpol verlassen und dabei
die Zeit für einen vollen Umlauf der Pendelebene länger wird.
Pendel
Nordpol
N
R cos
h
S
R
geographische
Breite
Aequator
Rotationsachse
R
Suedpol
6.4
Sanfte mathematische Hinführung
Wir betrachten die Relativgeschwindigkeit des nördlichsten (N) und südlichsten (S) Punktes des Foucaultschen Sandringes mit dem Radius r. Da der
Südpunkt weiter von der Drehachse entfernt ist, bewegt er sich schneller
durch den Raum (v = ωr) als der Nordpunkt. (Winkelgeschwindigkeit ω,
Erdradius R). Das Zentrum des Kreises bewegt sich mit
vZ = ω · R cos ϕ
108
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Der nördliche Punkt bewegt sich mit
vN = ωR cos ϕ − ωr sin ϕ
und der südliche Punkt mit
vS = ωR cos ϕ + ωr sin ϕ
Damit ist die Differenz der Zentrumsgeschwindigkeit zu den beiden anderen
Geschwindigkeiten
∆v = ωr sin ϕ
Die Zeit für eine volle Umdrehung ist
T0 =
Umfang
2πr
24h
=
=
Geschwindigkeit
ωr sin ϕ
sin ϕ
Für die beiden “Extrempunkte” ergeben sich dann:
Pol ϕ = 90◦ T0 = 24h
Äquator ϕ = 0◦ T0 = ∞
Beachte
∆v = ωr sin ϕ
aCor ∼
6.5
∆v
∆t
∼
ωr
∆t
sin ϕ
Scheinkräfte in rotierenden Systemen
Die “Waschbrettversion” des Faucaultschen Pendels – hart aber herzlich.
6.5.1
Rotation eines (v 0 , y 0 , z 0 ) Koordinatensystems um den Ursprung des Inertialsystems (x, y, z)
Beide Koordinatenursprünge sollen zusammenfallen.
Das Inertialsystem soll das Laborsystem sein, die Kennzeichnung soll deshalb im weiteren mit dem Index L erfolgen. Das rotierende System bekommt
im weiteren den Index B.
6.5.
SCHEINKRÄFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN
109
z
z’
y’
y
x
x’
~
Der Vektor A(t)
= A0x e~0 x + A0y e~0 y + A0z e~0 z soll sich im gestrichenen System
zeitlich ändern. Für einen in diesem System ruhenden Beobachter gilt
~ dA0y 0
dA0x ~0
dA
dA0z ~0
ex+
e~ y +
ez
=
dt B
dt
dt
dt
~ ebenfalls zeitabhängig. Hier ändern sich aber
Im Inertialsystem (x, y, z) ist A
auch aufgrund der Rotation des gestrichenen Systems auch die Einheitsvektoren ~ex , ~ey , ~ez mit der Zeit. Ergo
~ ~ dA
de~0 x
de~0 y
de~0 z
dA
+ A0y
+ A0z
=
+ A0x
dt L
dt B
dt
dt
dt
Allgemein gilt:
˙
e~0 x · e~0 x = e~0 x ·
de~0 x
dt
=0
Die Ableitung eines Einheitsvektors
steht immer senkrecht auf dem Vektor selbst!
Deshalb lässt sich die Ableitung eines Einheitsvektors als Linearkombination
der beiden anderen darstellen.
˙
e~0 x = a1 e~0 y + a2 e~0 z
˙
e~0 y = a3 e~0 x + a4 e~0 z
˙
e~0 z = a5 e~0 x + a6 e~0 y
Von diesen sechs Koeffizienten sind nur drei linear unabhängig.
110
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Beweis:
˙
˙
Differenziere e~0 x · e~0 y = 0 =⇒ e~0 x e~0 y = −e~0 y e~0 x
˙
˙
Multiplikation von e~0 x = a1 e~0 y + a2 e~0 z mit e~0 y und e~0 y = a3 e~0 x +
a4 e~0 z mit e~0 x . Daraus ergibt sich
˙
e~0 y · e~0 x = a1
und
˙
e~0 x · e~0 y = a3
=⇒ a3 = −a1
Analog erhält man: a6 = −a4 und a5 = −a2
~ ~ dA
dA
=⇒
+ A0x a1 e~0 y + a2 e~0 z
=
dt L
dt B
+ A0y −a1 e~0 x + a4 e~0 z
+ A0z −a2 e~0 x − a4 e~0 y
~ dA
=
+ e~0 x −a1 A0y − a2 A0z
dt B
+ e~0 y a1 A0x − a4 A0z
+ e~0 z −a2 A0 + a4 A0
x

y

a4

~ =
Mit C
 a2  folgt:
a1
~ ~ dA
dA
~ ×A
~
=
+C
dt L
dt B
~ – Betrachten wir den Spezialfall
Welche physikalische Bedeutung hat C?
~ dA
= ~0
dt B
~ im bewegten System verschwindas heißt, daß die Ableitung des Vektors A
~
det. A bewegt sich (rotiert) mit dem bewegten System mit.
6.5.
SCHEINKRÄFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN
111
z
d
ϕ ist der Winkel zwischen der Rota~ ist
tionsachse (hier: z-Achse) und A
die Komponente parallel zur Winkelgeschwindigkeit ω
~ . Letztere wird
durch die Rotation nicht geändert.
y’
y
x
x’
~ im Laborsystem:
Änderungen von A
dA = ωdtA sin ϕ
dA = ωA sin ϕ
dt L
~ dA
~
= ω
~ ×A
dt L
~ dt stimmt mit dA
~ überein. C
~ muss mit ω
~ , mit
Die Richtung von ω
~ ×A
der das System B rotiert identisch sein. Und allgemein:
~ dA
=
dt L
Operator D̂ =
D̂L =
∂ ∂t L
∂
∂t
∧ D̂B =
wird dann zu:
~ dA
~
~ ×A
+ω
dt B
~ dA
=
dt L
∂ ∂t B
~ dA
~
~ ×A
+ω
dt B
~ = D̂B A
~ +ω
~
D̂L A
~ ×A
~ würde man von einer Operatorgleichung sprechen:
Ohne A
D̂L = D̂B + ω
~×
6.5.2
Beispiele
1.
d~ω =
dt L
d~ω dt L
=
d~ω +ω
~ ×ω
~
dt B | {z }
d~ω dt =0
B
112
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Diese beiden Ableitungen sind offensichtlich für alle Vektoren gleich,
die senkrecht zur Rotationsebene stehen, da dann das Kreuzprodukt
verschwindet.
2.
d~r =
dt L
d~r +ω
~ × ~r
dt B
D̂L~r = D̂B ~r + ω
~ × ~r
Dabei ist:
ω
~ × ~r
Rotationsgeschwindigkeit
d~r dt B
6.5.3
d~r dt B
scheinbare Geschwindigkeit
+ω
~ × ~r
wahre Geschwindigkeit
Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotierenden
Koordinatensystemen
2
d ~r
F~ = m~¨r = m 2
dt
gilt nur in Inertialsystemen. Der Betrag der reinen Rotation ist:
d ˙
~r¨L =
~r
= D̂L D̂L~r
L
dt
= D̂B + ω
~ × D̂B ~r + ω
~ × ~r
2
= D̂B
~r + D̂B (~ω × ~r) + ω
~ × D̂B ~r + ω
~ × (~ω × ~r)
2
= D̂B
~r + D̂B ω
~ × ~r + 2~ω × D̂B ~r + ω
~ × (~
ω × ~r)
Ersetzen wir den Operator durch Differentialquotienten:
Dabei ist:
d2~r d~ω d~r d2~r =
+
×
~
r
+
2~
ω
×
+ω
~ × (~ω × ~r)
dt2 L
dt2 B
dt B
dt B
d~ω × ~r
dt B
d~r 2~ω ×
dt B
ω
~ × (~ω × ~r)
Lineare Beschleunigung
Coriolisbeschleunigung
Zentripetalbeschleunigung
6.6.
113
BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME
Durch Multiplikation mit der Masse m folgt die Kraft F~ :
d~r d2~r d~ω + m~ω × (~
ω × ~r) = F~
m 2 + m × ~r + 2m~ω ×
dt B
dt B
dt B
Die Grundgleichung der Mechanik in rotierenden Koordinatensystemen lautet dann, wenn man den Index B weglässt:
m
d2~r
d~ω
= F~ − m
× ~r − 2m~ω × ~v − m~ω × (~ω × ~r)
2
dt
dt
Die zusätzlichen Terme auf der rechten Seite sind Scheinkräfte dynamischer
Art, doch eigentlich vom Beschleunigungsterm stammend. Für Experimente
auf der Erde kann man diese Zusatzterme oft vernachlässigen, da
ωErde =
6.6
2π
2π
=
≈ 7 · 10−5 s−1
T
24h
Beliebig gegeneinander bewegte Systeme
Diese bedeutet zunächst, daß die Ursprünge der beiden Koordinatensysteme
nicht mehr zusammenfallen! Im Allgemeinen setzt sich die Bewegung eines
Koordinatensystems aus der Rotation des Systems und der Translation des
Ursprungs zusammen.
z’
y’
z
r’
z’
y
x
~ der Ursprung des gestrichenen Systems, so ist der Ortsvektor im unSei R
gestrichenen System
~ + r~0
~r = R
114
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
~˙ + r~˙0 . Im Inertialsystem gilt aber nach wie vor:
es gilt ~r˙ = R
d2~r m 2 = F~ = F~
L
dt L
einsetzen von ~r und anschließendes Differenzieren liefert:
~ d2 r~0 d2 R
m 2 + m 2 = F~
dt L
dt L
Der Übergang zum beschleunigten System erfolgt wie vorher, nur tritt hier
¨~
noch ein Zusatzglied mR
auf
6.6.1
d2 r~0 ¨~ ˙ × ~r − 2m~ω × ~v | − m~ω × (~ω × ~r)
~ − mR
−
m
ω
~
=
F
B
B
dt2 B
L
Der freie Fall auf der Erde
z
z’
y’
x’
y
x
Auf der Erde gilt die bereits abgeleitete Grundgleichung der Mechanik, wenn
wir die Rotation um die Sonne vernachlässigen: sonst betrachten wir ein
Koordinatensystem im Erdzentrum als Inertialsystem:
d2 r~0 ¨~ ˙ × r~0 − 2m~ω × r~˙0 − m~ω × ω
~0
~ − mR
~
×
r
=
F
−
m
ω
~
B
dt2 B
B
L
6.6.
BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME
115
Die Winkelgeschwindigkeit ω
~ der Erde um ihre Achse kann als zeitlich konstant angesehen werden; deshalb ist m ω
~˙ ×~r = ~0 die Bewegung des Aufpunk~ also die Bewegung des Koordinatenursprungs des (x 0 , y 0 , z 0 ) Systems,
tes R,
muß noch auf das bewegte System umgerechnet werden:
¨~ ¨~ ˙ × R
~
~ + 2~ω × R
~˙ + ω
~
×
ω
~
×
R
+
ω
~
=
R
R
L
B
B
B
~ vom bewegten System aus eine zeitunabhängige Größe ist und ω
Da R
~ konstant ist, lautet die Gleichung schließlich
¨~ ~
=
ω
~
×
ω
~
×
R
R
L
Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die ein sich auf der Erdoberfläche bewegender Körper aufgrund der Erdrotation erfährt. Für die Kraftgleichung
ergibt sich:
¨
~ − 2m~ω × r~˙0 − m~ω × ω
mr~0 = F~ − m~ω × ω
~ ×R
~ × r~0
Beim freien Fall auf der Erde treten demnach im Gegensatz zum Inertialsystem Scheinkräfte auf, die den Körper in x0 - und y 0 -Richtung ablenken. Die
Kraft F~ ist im Inertialsystem, wenn nur die Schwerkraft wirkt:
M m ~r
Mm
F~ = −G 2
= −G 3 ~r
r |~r|
r
Ergo:
Mm
¨
~ − 2m~ω × r~0 − m~ω × ω
mr~0 = −G 3 ~r − m~ω × ω
~ ×R
~ × r~0
r
Wir führen nun den experimentell bestimmten Wert für die Gravitationsbe~ durch Einsetzen des
schleunigung ~g ein und nähern in −G MRm
r mit ~r ' R
3 ~
~ + r~0 :
Radius ~r = R
M ~
~
~g = −G 3 R
−ω
~× ω
~ ×R
R
Die Zentrifugalkraft verringert die Wirkung der Schwerkraft!
Damit erhalten wir für die Kräfte folgende Gleichung:
¨
˙
mr~0 = m~g − 2m~ω × r~0 − m~ω × ω
~ × r~0
~ Der letzte Term ist von der
In der Nähe der Erdoberfläche ist r~0 R.
1
2
Ordnung ω und kann wegen |ω| sec vernachlässigt werden:
¨
˙
r~0 = ~g − ω
~ × r~0
116
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
beziehungsweise
¨
˙
r~0 = −g e~0 z − 2 ω
~ × r~0
Zur Lösung dieser Vektorgleichung zerlegt man sie in ihre Komponenten:
Aus der Zeichnung folgt die Beziehung für ~ex , ~ey , ~ez des Inertialsystems mit
e~0 x , e~0 y , e~0 z
~ez = − sin λe~0 x + 0e~0 y + cos λe~0 z
wegen ω
~ = ω~ez erhält man
ω
~
˙
ω
~ × r~0
=
−ω sin λe~0 x + ω cos λe~0 z
und =
−ω ẏ 0 cos λ e~0 x + z˙0 ω sin λ + ẋ cos λω e~0 y − ω ẏ 0 sin λ e~0 z
Die Vektorgleichung r¨0 = −g e~0 z − 2 (~ω × ~r) lautet damit in Komponentengleichungen:
ẍ0 = 2ẏ 0 ω cos λ
ÿ 0 = −2ω z˙0 sin λ + ẋ0 cos λ
z¨0 = −g + 2ω y˙0 sin λ
Die Striche werden jetzt weggelassen.
Wir erhalten drei gekoppelte Differentialgleichungen mit ω
~ als Kopplungsparameter. Für ω = 0 ergibt sich der freie Fall im Inertialsystem:
Verschiedenen Lösungsverfahren:
1. Störungsrechnung
2. Sukzessive Approximation (erst in der T1-Vorlesung)
3. Exakte Lösung
Wir versuchen 1. und 3.
6.6.2
Methode der Störungsrechnung
Man betreibt Störungsrechnung im Prinzip um die Stabilität eines Systems
zu überprüfen. Die Frage heisst: Wie wirken sich kleine Störungen auf einen
Zustand aus? Werden die Störungen gedämpft, oder wachsen sie an?
Im ersten Fall wäre das System stabil, im zweiten instabil. Beim Foucaultschen Pendel weiß man schon die Antwort: das System wird durch die Erddrehung nicht instabil, das heißt die Amplitude des Pendelausschlags wächst
nicht durch die Erddrehung an. Hier wird Störungsrechnung verwendet um
den Einfluss einer bekannten kleinen Störung, die durch die Erddrehung
verursachte Zentrifugalkraft, auf ein System unter dem Einfluss einer sehr
6.6.
BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME
117
viel stärkeren Kraft, der Erdgravitation berechnet. Es ist also noch nicht
die Stabilitätsanalyse, sondern eine Analyse der zusätzlichen Effekte durch
kleine Störungen. Zunächst integrieren:
ẋ = 2ωy cos λ + c1
ẏ = −2ω(x cos λ + z sin λ) + c2
ż = −gt + 2ωy sin λ + c3
Beim freien Fall auf der Erde wird der Körper aus der Höhe h zur Zeit t = 0
losgelassen; damit ergeben sich folgende Anfangsbedingungen:
z(0) = h
ż(0) = 0
y(0) = 0
ẏ(0) = 0
x(0) = 0
ẋ(0) = 0
Daraus ergeben sich dann folgende Integrationskonstanten:
c1 = 0
c2 = 2ωh sin λ
c3 = 0
ẋ = 2ωy cos λ
ẏ = −2ω(x cos λ + (z − h) sin λ)
ż = −gt + 2ωy sin λ
Die Glieder proportional zu ω sind klein gegen gt =⇒ ż(t) = −gt. Sie bilden
die Störung.
Die Abweichung y vom bewegten System ist eine Funktion von ω und t.
Ergo tritt in erster Näherung das Glied y1 (ω, t) ∼ ω auf.
Achtung!
Wir setzen y1 (ω, t) ∼ ω in ẋ ein und erhalten:
ẋ = 2ωy1 (ω, t) cos λ ∼ ω 2
=⇒
ẋ(t) = 0
Denn die Glieder ∼ ω 2 werden vernachlässigt.
Die Integration von ż(t) = −gt liefert mit den Anfangsbedingungen:
z(t) = − 2g t2 + h
Die Integration von ẋ(t) = 0 mit den Anfangsbedingungen liefert:
x(t) = 0
118
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Wegen x(t) = 0 fällt in der Differentialgleichung für ẏ(t) das Glied 2ωx cos λ
heraus und es bleibt
ẏ = −2ω(z − h) sin λ
einsetzen von z = − g2 t2 + h:
1
ẏ = −2ω h − gt2 − h sin λ
2
= ωgt2 sin λ
Mit der Anfangsbedingung y(t = 0) = 0
y=
ωg sin λ 3
t
3
Die Lösung des Differentialgleichungssystems in der Näherung ω N = 0 mit
N ≤ 2 (konsistent bis zu den linearen Gliedern) ist dann:
x(t) = 0
ωg sin λ 3
y(t) =
t
3
g
z(t) = h − t2
2
Die Fallzeit T ergibt sich aus z(t = T ) = 0:
2h
g
y(t = T ) = y(h)
T2 =
=
ω sin λ2h
3g
s
2h
·g
g
=
2ωh sin λ
3
s
2h
g
Letzteres ist die Ortsablenkung als Funktion der Fallhöhe.
6.6.3
Exakte Lösung
ẍ = 2ẏω cos λ
ÿ = −2ω (ż sin λ + ẋ cos λ)
z̈ = −g + 2ω ẏ sin λ
Integrieren mit den schon in der Störungsrechnung verwendeten Anfangsbedingungen liefert:
ẋ = 2ωy cos λ
ẏ = 2ω(z sin λ + x cos λ) + 2ωh sin λ
ż = −gt + 2ωy sin λ
6.6.
BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME
Durch Einsetzen von ẋ und ż in ÿ erhält man
ÿ + 4ω 2 y = 2ωy sin λ = ct
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung 2.Ordnung. :-o
Die allgemeine Lösung ist
- die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung, das heißt
ÿ + 4ω 2 y = 0
ÿ = −4ω 2 y
y = A sin 2ωt + B cos 2ωt
- und eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
ÿ + 4ω 2 y = ct
c
y =
t
4ω 2
c
=⇒ y =
t + A sin 2ωt + B cos 2ωt
4ω 2
Aus den Anfangsbedingungen zur Zeit t=0
x=y=0
ẋ = ẏ = ż = 0
z=h
folgt B=0 (y=0):
−
c
= 2ωA
4ω 2
c
A = − 3
8ω
y =
=
(ẏ = 0)
c
c
t − 3 sin 2ωt
2
4ω 8ω
sin 2ωt
c
t−
4ω 2
2ω
c = 2ωg sin λ
y =
g sin λ
sin 2ωt
t−
2ω
2ω
Einsetzen in ẋ = 2ωy cos λ liefert:
sin 2ωt
ẋ = g sin λ cos λ t −
2ω
aus den Anfangsbedingungen folgt:
x = g sin λ cos λ
t2 1 − cos 2ωt
−
2
4ω 2
!
119
120
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
In ż = −gt + 2ωy sin λ wird y eingesetzt:
sin 2ωt
g sin λ
ż = gt + 2ω sin λ
t−
2ω
2ω
ż = −gt − g sin2 λ t −
sin 2ωt
2ω
Mit den Anfangsbedingungen integriert liefert dies:
t2 1 − cos 2ωt
−
2
4ω 2
g
z = h − t2 + g sin2 λ
2
!
Und hier sind die exakten Lösungen noch einmal zusammengefasst:
x = g sin λ cos λ
y =
t2 1 − cos 2ωt
−
2
4ω 2
sin 2ωt
g sin λ
t−
2ω
2ω
!
g
z = h − t2 + g sin2 λ
2
t2 1 − cos 2ωt
−
2
4ω 2
!
Es ergibt sich für die Entwicklung in ωt bei
t2 1 − cos 2ωt
−
2
4ω 2
=
t2
cos 2ωt
1
−
−
2
2
4ω
4ω 2
=
(ωt)3
1 − sin ωt = 1 − 2 ωt −
3!
mit
(∗) cos 2ωt
"
2
"
#2
#
'
ω 4 t4
1−2 ω t −2
6
'
1 − 2ω 2 t2 −
(∗)
1
t2
1
2ω 2 t2
4ω 4 t4
−
− 2−
−
2
2
2
4ω
4ω
4ω
6 · 4ω 2
!
2 2
4ω 4 t4
6
f olgt
'
x
"
=
t2 2 2
ω t
6
=
gt2
sin λ cos λ ω 2 t2
6
#
6.6.
BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME
121
Entsprechend:
gt2
sin λωt
3
!
cos2 λ
gt2
1−
z = h−
(ωt)2
2
3
y =
Berücksichtigt man nur Glieder erster Ordnung in ωt, so ist (ωt) 2 = 0 und
wir erhalten:
x(t) = 0
ωt3
sin λ
3
g
z(t) = h − t2
2
y(t) = g
Dies ist identisch mit den Ergebnissen der Störungsrechnung!
Die nichtentwickelten Lösungen für x, y und z sind jedoch exakt!
Die Ostablenkung einer fallenden Masse erscheint zunächst paradox, weil
sich die Erde doch nach Osten dreht, aber man muß bedenken:
Die Masse hat in der Höhe h zur Zeit t = 0 im Inertialsystem aufgrund
der Erdrotation eine größere Geschwindigkeitskomponente ostwärts, als ein
Beobachter auf der Erdoberfläche. Diese “überschüssige” Geschwindigkeit
gen Osten lässt den Stein nach Osten fallen und nicht senkrecht nach unten.
R
h
Turm der
Hoehe h
Projektion der
Meridiane
6.6.4
Das Foucaultsche Pendel
Eine einigermaßen vollständige theoretische Beschreibung des Foucaultschen
Pendels enthält einige wichtige neue mathematische Konzepte wie nichtlineare Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, die wir als Handwerkszeug
angeben. Vollständig wird dieses Problem in T1 (Theoretische Mechanik)
behandelt.
122
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
z
Sueden
Osten
y
x
Es gilt F~ = T~ + m~g (T~ ist unbekannte Zugkraft), sowie die Grundgleichung
für bewegte Bezugssysteme:
d~ω
× ~r − 2m~ω × ~v − m~ω × (~ω × ~r)
m~¨r = F~ − m
dt
Wegen
d~
ω
dt
= 0, sowie ω 2 ' 0
m~¨r = T~ + m~g − 2m~ω × ~v
Dabei führt 2m~ω × ~v , die Corioliskraft zu einer Drehung der Schwingungsebene.
T~ = T~ · e~0 x e~0 x + T~ · e~0 y e~0 y + T~ · e~0 z e~0 z
x
Tx
=−
T
l
ω
~ × ~v =
e~0 x
−ω sin λ
ẋ
Tz
l−z
=−
T
l
Ty
y
=−
T
l
e~0 z
e~0 y
0 ω cos λ
ẏ
ż
= − cos λẏ e~0 x + ω (cos λẋ + sin λż) e~0 y − ω sin λẏ e~0 z
mit m~g = −mg e~0 z und allem eingesetzt ergibt sich ein gekoppeltes System
von Differentialgleichungen:
x
mẍ = − T + 2mω cos λẏ
l
y
mÿ = − T − 2mω (cos λẋ + sin λż)
l
l−z
mz̈ =
T − mg + 2mω sin λẏ
l
Zur Eliminierung von T machen wir folgende Näherung:
Der Pendelfaden soll sehr lang sein, das Pendel soll aber nur mit
einer kleinen Amplitude schwingen.
6.7.
123
KOMPLEXE ZAHLEN
=⇒
x
1
l
y
1
l
z
1
l
Der Massenpunkt bewegt sich in der x-y-Ebene, deshalb gilt:
l−z
=1
l
und
mz̈ = 0
=⇒ T = mg − 2mω sin λẏ
Wir setzen ein in ẍ und ÿ und teilen durch die Masse m:
g
2ω sin λ
ẍ = − x +
xẏ + 2ω cos λẏ
l
l
2ω sin λ
g
y ẏ + 2ω cos λẋ
ÿ = − y +
l
l
Dies ist ein System nichtlinearer Differentialgleichungen. Nichtlinear heißen
sie deshalb, weil die Glieder xẏ und y ẏ auftreten. Da die Produkte der kleinen Zahlen ω, x, ẏ, beziehungsweise ω, y, ẏ gegenüber den anderen Termen
verschwindend klein sind haben wir
g
x + 2ω cos λẏ
l
g
ÿ = y + 2ω cos λẋ
l
ẍ =
Diese linearen, gekoppelten Differentialgleichungen
beschreiben die Schwingungen eines Pendels unter
Einfluß der Corioliskraft in guter Näherung.
Zur Lösung brauchen wir komplexe Zahlen.
6.7
Komplexe Zahlen
Definition 26 (Imaginäre Zahlen) Die Zahl i ist die Einheit der imaginären Zahlen; sie hat die Eigenschaft:
i2 = −1
i entspricht dabei der 1 bei den reellen Zahlen.
Das Quadrat positiver wie negativer reeller Zahlen ist immer eine positive
reelle Zahl:
32 = (−3)2 = 9
124
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist daher positiv oder negativ. Im Vergleich dazu liefert das Quadrat der imaginären Zahl eine negative Zahl.
Die allgemeine Form einer imaginären Zahl ist:
z = y·i
√ √
5(−1) = 5 −1
√
√
√
Aus i2 = −1 folgt i = −1 =⇒ −5 = 5·i Die Wurzel aus einer negativen
Zahl ist eine imaginäre Zahl! Es gilt mit i2 = −1
√
q
−5 =
i3 = i2 · i = −i
i4 = i 2 · i 2 = 1
Definition 27 (Komplexe Zahl)
z = x + iy
x heißt Realteil von z: Re(z)
y heißt Imaginärteil von z: Im(z)
Der Imaginärteil ist reell!
Eine imaginäre Zahl entsteht durch das Produkt iy.
Definition 28 (Komplex konjugierte Zahl)
z ∗ = x − iy
Eine komplexe Zahl ist nur dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleichzeitig Null sind.
Rechenregeln
Addition z1 + z2 = (x1 + iy1 ) + (x2 + iy2 )
= (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 )
Subtraktion z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 )
Multiplikation
Division
z 1 z2
z1
z2
= x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
x1 + iy1
x1 + iy1 x2 − iy2
=
x2 + iy2
x2 + iy2 x2 − iy2
x1 x2 y1 y2 + i(y1 x2 − x1 y2 )
=
x22 + y22
Erweiterung mit komplex konjugierter
=
des Nenners, dann Ausmultiplizieren
6.7.
125
KOMPLEXE ZAHLEN
6.7.1
Gaussche Zahlenebene
Im(z) y
P(z)=(x,y)
Zu jeder komplexen Zahl z
gibt es genau einen Punkt
P (z) in der Gausschen Zahlenebene.
y
Re(z)
x
x
y
P(z)
r
Wir können den Punkt P (z)
auch durch seinen Abstand r
vom Ursprung und durch den
Winkel α festlegen.
y
x
∧
x = r cos α
y = r sin α
⇓
z = r(cos α + i sin α)
z ∗ = r(cos α − i sin α)
Es gilt
r 2 = x2 + y 2
=⇒
r=
q
x2 + y 2
r heißt der Betrag der komplexen Zahl z: |z| = r. Weiterhin gilt:
tan α =
cot α =
y
x
x
y
α = arctan
tan
1/2
1
y
x
3/2
2
α heißt das Argument der komplexen Zahl, läuft von 0 bis 2π und dessen Vorzeichen bestimmt den Quadranten. Aber Achtung:
Die Tangensfunktion ist periodisch
mit der Periode π, deshalb liefert sie
zwei Werte für 0 ≤ α ≤ 2π!
126
6.7.2
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Exponentialfunktion einer komplexen Zahl
Eulersche Formel:
Ansatz:
z = reiα = r(cos α + i sin α)
=⇒ eiα = (cos α + i sin α)
Beweis: Taylorentwicklung von ex
x2 x3 x4 x5
+
+
+
+ ···
2!
3!
4!
5!
α3 α4
α5
α2
−i
+
+i
± ···
1 + iα −
2!
3!
4!
5!
α2 α4
1−
+
± ···
2!
4!
α5
α3
+i
± ···
iα − i
3!
5!
α2
α3 α4
α5
1 + iα −
−i
+
+i
± ···
2!
3!
4!
5!
ex = 1 + x +
eiα =
cos α =
i sin α =
=⇒ cos α + i sin α =
Die Euler Formel ist also:
eiα = cos α + i sin α
Wichtige spezielle Fälle:
e−iα = cos α − i sin α
cos α =
1
2
sin α =
1
2i
eiα + e−iα
eiα − e−iα
Und ganz allgemein:
reiα = rei(α+2kπ)
k = ±1, ±2, ±3, . . .
Zurück zur Lösung der Differentialgleichung:
g
ẍ = − x + 2ω cos λẏ
l
g
ÿ = − y + 2ω cos λẋ
l
Wir definieren zunächst zwei Abkürzungen:
k2 =
g
l
∧
ω cos λ = α
6.7.
127
KOMPLEXE ZAHLEN
Die Multiplikation von ÿ mit i =
√
−1 ergibt:
ẍ = −k 2 x − 2αi2 ẏ
iÿ = −k 2 iy − 2αiẋ
ẍ + iÿ = −k 2 (x + iy) − 2αi(ẋ + iẏ)
Und wir führen die nächste Abkürzung ein: u = x + iy
ü = −k 2 u − 2αiu̇
ü + 2αiu̇ + k 2 u = 0
oder
Diese Gleichung wird durch den sich bei allen Schwingungsvorgängen bewährten Ansatz Ceγt gelöst. γ wird durch Einsetzen der Ableitungen bestimmt:
Cγ 2 eγt + 2αiCγeγt + k 2 Ceγt = 0
oder
γ 2 + 2iαγ + k 2 = 0
Die beiden Lösungen sind
s
γ1,2 = −iα ± ik 1 +
Da α2 = ω 2 cos2 λ ist, und weiterhin
ω2
k2
=
ω2
k2
α2
k2
klein gegen 1:
TP2 endel
2
TErde
1
=⇒ γ1,2 = −iα ± ik
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ü + 2αiu̇ + k 2 u = 0 ist:
u = Aeγ1 t + Beγ2 t
A und B sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt, sie sind selbstverständlich komplex, so daß man die Gleichung auch schreiben kann als
u = (A1 + iA2 ) e−i(α−k)t + (B1 + iB2 ) e−i(α+k)t
Bemühen wir noch die Euler-Formel, so kommt dabei folgendes heraus:
x + iy = (A1 + iA2 ) (cos[α − k]t − i sin[α − k]t)
+ (B1 + iB2 ) (cos[α + k]t − i sin[α + k]t)
128
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Nach Trennung von Real- und Imaginärteil folgt daraus
x = A1 cos(α − k)t + A2 sin(α − k)t
+B1 cos(α + k)t + B2 sin(α + k)t
y = A1 sin(α − k)t + A2 cos(α − k)t
+B1 sin(α + k)t + B2 cos(α + k)t
mit den Anfangsbedingungen
x0 = 0
x˙0 = 0
y0 = L
y˙0 = 0
Das heißt, das Pendel wird um die Strecke L nach Osten ausgelenkt und
bei t = 0 losgelassen. Mit x0 = 0 folgt B1 = −A2 . Die sich damit aus y
ergebende Differenz ergibt, durch Einsetzen von x˙0 = 0:
B2 = A 2
(k − α)
k+α
und da α k =⇒ B2 = A2 . Ergo:
x = A1 cos(α − k)t + A2 sin(α − k)t
− A1 cos(α − k)t + A2 sin(α + k)t
y = A1 sin(α − k)t + A2 cos(α − k)t
+ A1 sin(α − k)t + A2 cos(α + k)t
Unter Berücksichtigung von y0 = L und y˙0 = 0 folgt aus y˙0 = 0
−A1 (α − k) + A1 (α + k) = 0
=⇒
sowie aus y0 = L
2A2 = L
=⇒
A2 =
A1 = 0
L
2
so daß sich insgesamt ergibt:
x =
L
L
sin(α − k)t + sin(α + k)t
2
2
y =
L
L
cos(α − k)t + cos(α + k)t
2
2
Unter Berücksichtigung des folgenden Zusammenhangs
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y
cos(x ± y) = cos x cos y ± sin x sin y
6.7.
129
KOMPLEXE ZAHLEN
folgt dann
x = L sin αt cos kt
y = L cos αt cos kt
oder, formuliert als Vektorgleichung
~r = L cos kt (sin(αt)~ex + cos(αt)~ey )
6.7.3
Diskussion
z
y
x
Der erste Faktor beschreibt die Bewegung
eines Pendels, das mit der Amq
g
plitude L und der Frequenz k = l schwingt.
Der zweite Faktor ist ein Einheitsvektor ~n, der mit der Frequenz α = ω cos λ
rotiert und die Drehung der Schwingungsebene beschreibt.
~r = L cos kt~n(t)
~n(t) = sin αt~ex + cos αt~ey
Für die Nordhalbkugel ist
und nach kurzer Zeit
cos λ > 0
cos αt > 0
sin αt > 0
=⇒ Schwingungsebene dreht sich im Uhrzeigersinn
Und für die Südhalbkugel cos λ <
=⇒ Drehung gegen die Uhr.
Insgesamt ergeben sich Rosettenbahnen!
0
130
KAPITEL 6.
MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN
Pantra rhei
Alles fließt
Heraklit
Kapitel 7
Hydrodynamik
7.1
Ruhende Flüssigkeiten und Gase
Hydrostatik und Aerostatik Die Einzelteile eines makroskopischen Körpers
sind gegeneinander verschiebbar; man unterscheidet:
• Formveränderungen ohne Volumenänderung wie beispielsweise Scherungen, Biegungen, Drillungen,. . .
• Formveränderungen mit Volumenänderung wie Kompressionen, Dilatationen,. . .
Feste Körper wehren sich gegen beide Arten der Formveränderung; sie
kehren sobald die Beanspruchung aufhört wieder in ihren ursprünglichen
Zustand zurück. Man sagt sie seien Form- und Volumenbeständig. Erst wenn
die Beanspruchung bestimmte Grenzen überschreitet beginnt das plastische
Fließen, daß schlußendlich zum Bruch führt.
Flüssigkeiten
Form:
haben ein bestimmtes Volumen – aber keine bestimmte
- nur eine Volumenänderung erfordert Kräfte
- es herrscht Volumenelastizität; dies bedeutet:
Bei Entlastung nach einer Kompression stellt sich das Anfangsvolumen
wieder ein.
131
132
KAPITEL 7.
Gase
HYDRODYNAMIK
erfüllen jeden verfügbaren Raum, das bedeutet:
- keine Formelastizität
- viel kompressibler als flüssige oder feste Körper
Festkörper und Flüssigkeiten zählen zu den kondensierten Körpern, sowie
Flüssigkeiten und Gase zu den fluiden Körpern. Dazwischen befinden sich
die amorphen Stoffe, welche weder richtig fest noch flüssig sind wie beispielsweise Teer oder auch Glas. Eine quantitative Erklärung der einzelnen
Phänomene erfolgt später in der Festkörper- und Atomphysik.
Flüssigkeitsmoleküle sind nicht an Gleichgewichtslagen gebunden, sie sind
gegeneinander seitlich verschiebbar aber nicht ganz frei, denn Reibungskräfte
behindern die Bewegung. Die Dichten in Flüssigkeiten und festen Stoffen
sind nicht allzu verschieden. Im Gegensatz dazu stehen die Gase (nicht
zu grosser Dichte): In ihnen können die Kräfte zwischen den Molekülen
vernachlässigt werden, ausser im Moment des Zusammenstoßes zweier Moleküle.
=⇒ Gasmoleküle bewegen sich völlig ungeordnet
Bei “normalen” Drücken und Temperaturen haben Gase Dichten, die 10 3 mal
kleiner sind als die kondensierter Materie.
7.1.1
Gestalt von Flüssigkeitsoberflächen
Flüssigkeitsteilchen verschieben sich leicht tangential zur Oberfläche, sobald
entsprechende Kräfte wirken. Ein Gleichgewicht kann nur bestehen, wenn
die Oberfläche überall senkrecht zu den Kräften steht. Im homogenen Schwerefeld ist die Oberfläche horizontal. Kommt jedoch ein Zentrifugalfeld hinzu,
so wird die Oberfläche ein Rotationsparaboloid, dessen Achse mit der Drehachse zusammenfällt.
y
x
mg
x
Man kann den Neigungswinkel α als Funktion des Abstandes x beschreiben:
tan α =
mω 2 x
ω2 x
=
mg
g
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
133
Andererseits gilt auch
dy
= tan α
dx
Dies ist die Steigung der Geraden, oder anders ausgedrückt die Neigung der
Oberfläche gegen die Waagrechte. Beide Gleichungen lassen sich über den
Tangens gleichsetzen:
dy
dx
=
ω2 x
g
über eine Trennung der Variablen ergibt sich
Z
dy =
y =
=
ω2
xdx
g
Z
ω2
xdx
g
1 ω2 2
x +C
2 g
Z
Für x = 0 soll gelten y = 0, woraus sich C = 0 ergibt
y=
1 ω2 2
x
2 g
Der Druck
7.1.2
F
A
Greift an einer Fläche A die Kraft F flächenhaft
und senkrecht an, so heißt das Verhältniss von
Kraft zu Fläche Druck :
p
p=
F
A
Die Einheit des Drucks ist
[p] = 1N m−2
= 1Pascal
= 10−5 bar
Ein bar ist der normale Atmosphärendruck und 1 ATM entspricht 1013
mbar.
Anmerkungen
134
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
• Der Druck ist kein Vektor!
Soweit man von der Abhängigkeit des Drucks vom Gewicht der Flüssigkeit absehen kann gilt der Satz von der allseitigen Gleichheit des
Druckes (Isotrophie).
• An jeder Stelle der Wand und im Inneren der Flüssigkeit ist der Druck
der Gleiche.
• Bei ruhenden Flüssigkeiten ist die Kraft senkrecht zur Wand.
Ein Anwendungsbeispiel ist die hydraulische Presse:
p=
Auf den kleinen Stempel wirkt die bekannte Kraft F; außerdem ist weiterhin die
Fläche des kleinen und großen Stempels
bekannt. Somit ist der Druck:
F1
A1
p
p
Beide Druckkammern stehen in Verbindung; somit gilt:
A2
F2
=
F1
A1
Und aufgelöst:
F2 = pA2 = F1
7.1.3
A2
A1
Druckkraft
Auf das Volumen dV = dxdydz innerhalb einer Flüssigkeit möge von der
linken Seite, oder dem linken Flächenelement dydz her der Druck p wirken.
Eine Druckänderung in x-Richtung bewirkt einen entsprechenden Druck p+
∂p
∂x dx auf die Gegenfläche.
z
y
x
dz
p
dy
dx
Die Kraft in x-Richtung ist
Fx = pdydz − p +
∂p
∂p
dx dydz = − dV
∂x
∂x
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
135
Dies ergibt zusammengefasst für alle drei Seiten des Quaders
~ · dV
F~Druck = −∇p
~ = ~0 folgt damit F~Druck = ~0. Der Druck ist konstant im ganzen
Aus ∇p
Volumen, auf jedes Flächenelement dA der umgebenden Wände wirkt in
einer ruhenden Flüssigkeit derselbe Druck.
7.1.4
Druckarbeit
Eine hydraulische Presse spart zwar Kraft, aber keine Arbeit!
Wir verdeutlichen uns diesen Zusammenhang: Schieben wir den Kolben um
dx1 vor, ohne daß die Kraft F1 wesentlich geändert werden müsste, so ist
die geleistete Arbeit am Kolben 1:
dW = F1 dx1 = pA1 dx1 = pdV
mit dem Fluidvolumen dV = dx1 A1 , das verschoben wurde. Am Kolben
2 wird die gleiche Arbeit geleistet, denn der Eintritt dieses Volumens dV
verschiebt den grösseren Kolben nur um
dx2 =
dV
A2
Allgemein erfordert eine Volumenabnahme −dV unter einem fast konstanten
Druck p die Arbeit
dW = −pdV
7.1.5
Schweredruck
Eine Flüssigkeitssäule mit der Höhe h und dem Querschnitt A hat das Gewicht F = g%hA und übt daher den Druck
p=
F
= g%h
A
aus. Der Bodendruck ist dabei unabhängig von der Form des Gefässes (vergleiche: Hydrostatisches Paradoxon).
7.1.6
Kommunizierende Röhren
Zwei Flüssigkeiten mit den Dichten %1 und %2 stehen in den Schenkeln eines
U-Rohres. An jedem Rohrquerschnitt (zum Beispiel ganz unten), muss der
Druck p = %gh beiderseits gleich sein, damit ein Gleichgewicht herrscht.
Bei %1 = %2 ist das der Fall, wenn beide Schenkel gleich hoch gefüllt sind –
unabhängig von Form und Querschnitt!
136
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Bei verschiedenen Dichten verhalten sich die Höhen umgekehrt wie diese,
beispielsweise Wasser und Quecksilber:
%Hg
h H2 O
=
= 13, 6
hHg
% H2 O
Zu beachten:
H2 O kriecht an Hg vorbei, weil Hg die Wand nicht benetzt.
7.1.7
Auftrieb
Ein Zylinder oder Prisma, ganz in eine Flüssigkeit der Dichte % getaucht,
erfährt auf seine Grundfläche eine Kraft
F2 = g%h2 A
und auf die obere Deckfläche wirkt die Kraft
F1 = %gh1 A
Die Differenz
FA = F 2 − F 1
A
A
= g% (h2 − h1 ) A = g%V
die den Körper nach oben schiebt, der
Auftrieb, ist also gerade das Gewicht
der verdrängten Flüssigkeit. Die Kräfte
auf die Seitenflächen heben sich auf –
auch bei beliebigen Formen.
Anmerkung:
Eigentlich greift der Auftrieb über die Oberfläche verteilt an, man kann
aber auch eine Einzelkraft einführen, die im Schwerpunkt der verdrängten
Flüssigkeit angreift. (“Gleichgewichtsbetrachtung”)
7.1.8
Schwimmen
Ein Körper vom Gewicht FG , homogen oder nicht, erfahre ganz eingetaucht
den Auftrieb FA .
Bei
FA = F G
F A < FG
FA > F G
schwebt er im indifferenten Gleichgewicht,
sinkt er
schwimmt er (Ein Teil ragt über die Oberfläche.)
7.1. RUHENDE FLÜSSIGKEITEN UND GASE
7.1.9
137
Druck
Bei einem nicht zu dichten oder zu kalten Gas sind Druck und Volumen
umgekehrt proportional zueinander:
V ∼ p−1
V ∼ %−1
∧
Aus beiden Bedingungen lässt sich das Gesetz von Boyle-Mariotte herleiten:
p
%
= const
Der Atmosphärendruck ist gleich dem Luftdruck und dieser wiederum ist
überall 1atm oder 1,013bar. Dieser Druck kommt wie der Schweredruck in
einer Flüssigkeit zustande, als Quotient von Gewicht und Fläche der gesamten Erdatmosphäre.
Wäre die Luft überall so dicht wie in Meereshöhe, dann könnte die Atmosphäre nur bis zur Höhe
1, 013 mN2
p
' 8km
=
H=
kg
%g
9, 81kg sm2 1, 29 m
3
reichen; dann würde aber der “Mount Everest” bereits ins Leere ragen. Bei
einem Kilometer Anstieg würde der Druck immer um 127mbar abnehmen,
während % konstant bliebe.
Bei konstanter Temperatur muss aber nach Boyle-Mariotte die Dichte proportional zum Druck mit der Höhe abnehmen. Ergo:
p = g%h
gilt nur in einer dünnen Schicht der Dicke dh; beim Anstieg um dh ändert
sich der Druck um
dp = −g%dh
(zwei Variable % und p)
mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich
p
%
=⇒
dp
dh
=
p0
%0
= −g %p00 p
Dabei sind p0 und %0 die jeweiligen Werte auf Meereshöhe.
Die Ableitung der Funktion p(h) ist bis auf den Faktor −g %p00 gleich der
Funktion selbst. Es handelt sich also um eine Exponential-Funktion:
p(h) = p0 e
−g
%0 h
p0
138
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
mit der Skalenhöhe
H=
p0
g = 8005m (bei 0◦ C)
%0
h
p(h) = p0 e− H
barometrische
Höhenformel
Bei einem Anstieg von acht Kilometern nehmen also Druck und Dichte nicht
auf Null ab wie bei der “homogenen Atmosphäre”, sondern um den Faktor
e−1 = 0, 386. Eine scharfe obere Grenze der Atmosphäre gibt es nicht.
7.1.10
Oberflächenspannung
- Tropfen auf fettiger Unterlage −→ nimmt Kugelform an
- Wasserläufer überm See
- Enten, die im eiskalten Wasser nicht frieren
Dann zeigt sich, dass eine Flüssigkeit eine Art Haut hat, deren Spannung in
sehr kleinem Maßstab der Schwerkraft entgegenwirkt.
Jede gespannte Haut hat minimale Energie, wenn ihre Fläche minimal wird
Oberflächenenergie ∼ Oberfläche
WOb
=
σA
σ: spezifische Oberflächenspannung
Bei gegebenem Volumen hat eine Kugel die kleinste Oberfläche, deshalb sind
Tröpfchen eben kugelig.
Die Beine der Wasserläufer oder Enten sind gut eingefettet, das heißt nicht
benetzbar (Waschpulver senkt die Oberflächenspannung =⇒ macht fettige
Flächen benetzbar!).
Die Oberflächenenergie ist Teil der Anziehungsenergie zwischen den Flüssigkeitsmolekülen. Befindet sich ein Molekül tief in der Flüssigkeit, so ist die auf
es wirkende Gesamtkraft Null. Die Reichweite der Oberflächenspannung beträgt 10−9 m. Befinden sich Moleküle an der Oberfläche, so sind die Kräfte
einseitig; es bleibt eine resultierende Kraft zur Flüssigkeit hin. Um sie zu
überwinden und das Molekül ganz an die Oberfläche zu bringen braucht
man Energie.
Betrachten wir einmal nur die Molekularkräfte zwischen Nachbarn, so halten
ein Molekül
• 12 Bindungen im Innern der Flüssigkeit
• 9 Bindungen an der Oberfläche
7.2.
139
STRÖMUNGEN
Daraus folgt, daß die Oberflächenenergie pro Molekülquerschnitt ∼ 14 der
Energie ist, die nötig ist das Molekül ganz aus der Flüssigkeit zu befreien,
das heißt 14 Verdampfungsenergie.
Bügelversuch
Die Oberflächenenergie bewirkt durch die Seifenhaut eine Kraft auf den
Bügel der Seitenlänge b. Sie ziehe den Bügel um δs aufwärts.
=⇒ Die Oberflächenenergie steigt um 2bδs. (Der Bügel hat zwei Seiten, deshalb der Faktor zwei.)
∆W
=⇒
F
= F · ∆s
= 2bσ
An jedem Rand einer Oberfläche zieht also eine Kraft nach innen, die gleich
σ mal der Randlänge ist.
σ ist sehr empfindlich gegen winzige Verunreinigungen.
7.2
Strömungen
Bisher haben wir Flüssigkeiten betrachtet, die als Ganzes ruhen; die Behandlung der dort auftretenden Phänomene ist Aufgabe der Hydrostatik;
eine thermische Bewegung der Moleküle ist vernachlässigbar.
Eine vollständige Behandlung der makroskopischen Bewegung von Flüssigkeiten und Gasen erfordert die Kenntnis aller Kräfte, die auf ein Volumenelement ∆V mit der Masse ∆m = ∆V · % wirken.
Druckkräfte
~
∼ ∇p
Schwerkraft
∼ ∆m~g
(vertikale Strömung)
∼ UStrom (r)
(Geschwindigkeitsprofil)
Reibungskräfte
Ist im allgemeinen alles Newton oder was?
F~ = ∆m~¨r = F~p + F~g + F~R = %∆V
7.2.1
Grundbegriffe
kontinuierliches Geschwindigkeitsfeld ~u (~r, t)
stationäre Strömung ~u (~r)
Es ist zeitlich konstant, aber nicht räumlich!
Begriffskiste Demtröder Seite 222
Stromlinie, Stromfäden, Stromröhre, . . .
d~v
dt
140
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Ideale Flüssigkeit
Keine Reibung und keine Dissipation. Beispiele:
• ”trockenes Wasser“
• Luftumströmte Tragflächen
• viele astronomische Strömungen, . . .
zähe Flüssigkeit
Starke Reibung. Beispiele:
• Dissipation
• Honig, . . .
reale Flüssigkeit
Sie ist idealzäh.
laminare Strömungen
Die Stromfäden sind geschichtet, nicht gerührt!
turbulente Strömungen
Verrührt, verwirbelt, . . .
Der Newton der Hydrodynamik heisst Euler!
Euler-Gleichung ≡ F~ = m~a|Flüssigkeit
d~v
F~ = m~a = m
dt
Dies ist eine lineare Differentialgleichung nach Newton.
Geschwindigkeiten in Flüssigkeiten sind lokal und global. Im Intervall dt legt
ein Flüssigkeitsvolumen mit der Geschwindigkeit ~u (~r, t) den Weg d~r = ~udt
zurück. Es kommt vom Ort ~r zum Ort ~r + ~udt.
Aber Achtung: ~u kann sich von Ort zu Ort und von Zeit zu Zeit ändern.
~u + d~u = ~u (~r + ~udt, t + dt)
dux
dt
=
∂ux ∂ux dx ∂ux dy ∂ux dz
+
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Oder kürzer:
d~
u
dt
=
∂~
u
∂t
~ ~u
+ ~u · ∇
Durch das Nabla erhalten wir einen Zusammenhang ∼ u 2 dies bedeutet
Nichtlinearität und bereitet stets Probleme. Der Term setzt sich aus zwei
Summanden zusammen, denen folgende Bedeutung zukommt:
7.2.
141
STRÖMUNGEN
Dies ist die Konvektionsbeschleunigung; sie tritt auch bei
stationären Strömungen auf.
6= ~0
für nichtstationäre Strömungen
~ ~u
~u · ∇
∂~
u
∂t
Damit ergibt sich die
Euler-Gleichung
d~
u
dt
=
∂~
u
∂t
~ ~u =
+ ~u · ∇
1~
~g
−
% ∇p
↑
↑
SchwerDruckkraft
kraft
Sie ist eine Bewegungsgleichung und gilt für ideale Flüssigkeiten, das heißt
sie müssen reibungsfrei sein. Für die Massenerhaltung (rein=raus) ist die
Kontinuitätsgleichung zuständig; das Volumen V enthält zur Zeit t die Masse
M=
Z
%dV
V olumenintegral
V
Die zeitliche Änderung der Masse ist beim Ausströmen
∂M
∂t
= −
∂
∂t
= −
Z
V
Z
%dV
V
∂%
dV
∂t
Die zeitliche Änderung der Masse beim Ausströmen lässt sich auch durch ein
Oberflächenintegral berechnen. Pro Zeiteinheit strömt aus einer Oberfläche
S die Masse
− ∂M
∂t =
d~s
~=%~
u
R
S
R
%~u · d~s = ~ · d~s
S
Oberf laechenelement
Stromdichte
Na und jetzt? Da war doch was?! – Genau: Gauss (Oberflächenintegral −→
Volumenintegral)
−
∂M
=
∂t
I
S
%~ud~s =
Z
V
~ · (%~u) dV
∇
↑
Divergenz
142
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Gleichsetzen und umformen liefert:
Z V
∂% ~
+ ∇ · (%~u) dV
∂t
= 0
Da das für alle Volumina gelten muss
Kontinuitätsgleichung
−→ Massenerhaltung
∂%
∂t
~ · (%~u) = 0
+∇
Gilt für Gase und Flüssigkeiten
Für inkompressible Fluide gilt weiterhin
∂%
=0
∂t
bzw.
% = const
Damit ergibt sich die Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeiten:
~ · ~u = 0
∇
Sie gilt für u < Schallgeschwindigkeit; denn für u > Schallgeschwindigkeit,
wie sie beispielsweise bei Überschallflugzeugen auftreten, bilden sich Schockwellen: Das Gas wird komprimiert und der Überschallknall entsteht.
Die Bernoulli-Gleichung
7.2.2
Die Energieerhaltung in idealen Flüssigkeiten wird von der Bernoulli-Gleichung
beschrieben.
∆V1 = A1 ∆x1
∧
∆V2 = A2 ∆x2
7.2.
143
STRÖMUNGEN
Eine Flüssigkeit ströme durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt.
=⇒ Die Strömungsgeschwindigkeit muss aufgrund der Kontinuitätsgleichung größer werden.
Ergo: Die Flüssigkeit wird dort beschleunigt.
=⇒ Die kinetische Energie steigt, woraus wiederum eine
Druckabnahme folgt.
Beweis:
Die Arbeit um das Flüssigkeitsvolumen ∆V1 = A1 ∆x1 durch die
Fläche A1 um ∆x1 gegen den Druck p1 zu bewegen ist
∆W1 = ∆V1 · p1
Und analog im engen Teil
∆W2 = ∆V2 · p2
Durch diese Arbeit wird die potentielle Energie geändert:
1
1
Ekin = ∆mu2 = %u2 ∆V
2
2
Für ideale (sprich: reibungsfreie) Flüssigkeiten gilt
Ekin + Epot = const
1
1
p1 ∆V1 + %u21 ∆V1 = p2 ∆V2 + %u22 ∆V2
2
2
Für inkompressible Flüssigkeiten ist % = const, deshalb ist ∆V 1 =
∆V2 = ∆V und damit ergibt sich
1
1
p1 + %u21 = p2 + %u22
2
2
Für reibungsfreie, inkompressible Flüssigkeiten gilt also
Bernoulli-Gleichung
p + 21 %u2 = p0 = const
p0 ist der Gesamtdruck an der Stelle mit u = 0. Man unterscheidet:
- Staudruck oder dynamischen Druck
% 2
2 u = p0 − p
- statischen Druck
p = p0 − 2% u2
Praktische Anwendung
144
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
• Zerstäuber
• Wasserstrahlpumpen
• Gebäudezerstörung durch einen Sturm:
>
F~A = ∆p · A
• Aerodynamik oder aerodynamischer Auftrieb
Die Luft umströmt eine Tragfläche. Bei einer unsymmetrischen Profilform strömt die Luft oben schneller um die Tragfläche als unten. Mit
der Gesamtfläche A ergibt sich als Auftriebskraft:
F '
1 2
%L u1 − u22 A
2
Sie wirkt nach oben auf die Fläche. – Im Prinzip!
Luft ist nämlich keine ideale oder inkompressible Flüssigkeit.
=⇒ Reibungskräfte, Wirbel, . . .
7.2.3
Laminare Strömungen
Wenn es stark reibt, wird es laminar:
wenn F~R
Reibung
>
∼
>
∼
F~B
Beschleunigung
Die Reibung kann Haftreibung, Gleitreibung, . . . sein. Hier ist es die innere
Reibung, also die Reibung zwischen den Geschwindigkeitslamellen.
7.2.
145
STRÖMUNGEN
Erklärung:
Wir bewegen eine Platte der Fläche A in einer Flüssigkeit. Zweifelsohne
besteht Haftreibung zwischen der Flüssigkeit und der Oberfläche. Dadurch
werden Flüssigkeitsschichten x = x0 ± dx von der Platte mitgenommen. Es
erfolgt ein Impulsübertrag auf Nachbarschichten
∼ %uz (x) · dV
Wir bekommen den Geschwindigkeitsgradienten
du
∼
dx
und damit die Kraft
du ~
F = ηA dx
x
D
Sie ist in z-Richtung aufzuwenden, um eine konstante Geschwindigkeit u 0
der Platte zu erreichen.
Reibungskraft
du
F~R = −F~ = −ηA dx
η ist die dynamische Zähigkeit oder Viskosität, ihre Einheit ist
[η] =
Ns
m2
= Pas
η|H2 O ∼ 1
η|Glycerin ∼ 1480
Die Schichtdicke, innerhalb der die Flüssigkeit noch durch die Bewegung der
Platte mitgenommen wird heißt Grenzschicht.
Wie dicht ist die Grenzschicht?
Um die Platte um ihre eigene Länge L zu verschieben, muss gegen die Reibungskraft F~R die Arbeit
WR
du u0
= −FR · L = ηAL ' ηAL
dx
D
weil bei einem linearen Geschwindigkeitsgefälle gilt
u0
du
∼
dx
D
146
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Achtung: Wichtige Methode!
Ersetze
d
dt
−→
1
τ
d
dx
−→
1
L
~ und ∆
Dadurch ergibt sich für ∇
~ ∼ 1
∇
L
∧
∆∼
1
L2
τ und L sind sogenannte charakteristische Längen.
Wieder zurück zur Grenzschichtdicke . . .
Durch die Mitbewegung einer Flüssigkeitsschicht der Masse dm = %Adx
gewinnt diese die kinetische Energie
|x|
dm 2
u mit u = u0 1 −
2
D
Ekin
1
=
2
Z
%
u dm =
2
2
ZD
0
2u20 1 −
|x|
Adx
D
Der Faktor zwei entsteht dadurch, daß ja auf beiden Seiten der Platte
Flüssigkeit ist und daher die Kraft zweimal auftritt. E kin ist also
1
Ekin = A%Du20
3
wegen der umgewandelten Wärme muss
Ekin < WR = −ηFR
D <
D '
7.2.4
q
3ηL
%u0
√1
u0
Allgemeines zur Reibung in Flüssigkeiten
!
dx
x
7.2.
147
STRÖMUNGEN
In einer Flüssigkeit mit einer Strömung sei uz (x) die Geschwindigkeit in
z-Richtung mit dem Gradienten in x-Richtung. Die Lamellen schieben sich
übereinander. Wir entwickeln die Geschwindigkeit in einer Taylor-Reihe:
∂uz
dx + . . .
∂x
Die Entwicklung wird nach dem linearen Glied abgebrochen. Die Flüssigkeitsschicht erfährt zwischen x = x0 und x = x0 + dx die Reibungskraft dF~R
z
pro Flächenelement dA = dydz. Für ∂u
∂x > 0 wird die Fläche an x = x0
gebremst (Grenze zur langsameren Schicht) und an x = x 0 + dx beschleunigt (Grenze zur schnelleren Schicht). Die Netto-Tangentialkraft auf beide
Flächen ist
uz (x0 + dx) = uz (x0 ) +
∂FR = dFR (x0 + dx) − dFR (x0 )
∂FR
+dx
"
∂uz ∂uz = ηdydz
−
∂x x=x0 +dx
∂x x=x0
Mit der Taylorentwicklung ergibt sich
=⇒ ∂FR = ηdxdydz
∂ 2 uz
∂x2
∂ 2 uz
∂x2
Summa summarum für alle Raumrichtungen
∂FR = ηdV
dFR = ηdV
"
|
∂ 2 uz
∂ 2 uz
∂ 2 uz
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
#
{z
}
Laplace−Operator
dFR = η∆uz dV
∆·uz
Für beliebige Strömungen ~u mit dem endlichen Volumen V:
R
F~R = η ∆~udV
V
7.2.5
Kräfte in Flüssigkeiten
Bisher kennen wir folgende Kräfte in Flüssigkeiten:
Schwerkraft:
dF~G = %~g dV
Druckkraft:
~
dF~p = −∇pdV
Reibungskraft:
dF~R = η∆~udV
#
148
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Fassen wir alle in einer Gleichung zusammen, erweitern wir also die EulerGleichung um die Reibungskraft, so erhalten wir die
Navier-Stokes-Gleichung
%
∂
∂t
+
↑
zeitliche
Änderung
mit
~ ~u =
~u · ∇
7.2.6
~
~u · ∇
~ + %~g + η∆~u
~u = −∇p
↑
räumliche
Änderung
1~ 2
2 ∇u
↑
Änderung
von ~u
Kräfte
−
~ × ~u
~u × ∇
↑
Änderung
der Richtung
Laminare Strömung durch ein Rohr
Von entscheidender Bedeutung in vielen Bereichen sind Strömungen durch
ein zylindrisches Rohr, beispielsweise
• Wasserleitungen
• Pipelines
• Blutgefässe
• Extragalaktische Jets
• stellare Jets
..
.
Das Prinzip
Triebkraft
der
Strömung
↓
Druckdifferenz
~
∼ −∇p
>
Reibungskraft
∼ η∆~u
Die folgende Funktion sei eine Strömung mit dem Druckgradienten in negativer z-Richtung und der z-Geschwindigkeit als Funktion von x
1 ∂p
d2 u
=−
2
dx
η ∂z
Die Lösung der obigen Gleichung erfolgt durch zweimaliges Integrieren:
7.2.
149
STRÖMUNGEN
1. Integration
1 ∂p
du
=−
x + C1
dx
η ∂z
C1 ist die erste Integrationskonstante; für sie muß gelten:
C1 =
du dx x=0
Ihre physikalische Bedeutung ist die Steigung des Geschwindigkeitsprofiles bei x = 0, also wenn unsere Gleichung ein Geschwindigkeitsparaboloid beschreibt, so bedeutet x = 0 exakt die Spitze vorne.
Anmerkung: p hängt nicht von x ab.
2. Integration
x2 dp
+ C1 x + C 2
2η dz
C2 ergibt sich wieder aus den Randbedingungen.
u(x) = −
Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte. . . :
Wir möchten die Strömung zwischen zwei parallelen Platten mit dem Abstand d berechnen. Also sind
x = −d
∧
x = +d
Die Symmetrie fordert an der Stelle x = 0, dass
du
dx
= 0 ist. Daraus folgt:
C1 = 0
Außerdem soll die Flüssigkeit an den Wänden haften. Daraus ergibt sich
dann die zweite Randbedingung:
u(x = +d) = 0
∧
=⇒ C2 =
u(x = −d) = 0
d2 dp
2η dz
Und damit lautet unsere Gleichung dann
u(x) =
u(0)
−d
1 dp 2
d − x2
2η dz
Ihr Scheitel liegt bei x = 0, das heißt in der
Mitte zwischen den parallelen Wänden.
d x
0
Dies ist aber lediglich die Strömung zwischen zwei parallelen Platten. Widmen wir uns einmal der Strömung durch ein Rohr und betrachten wir die
Druckdifferenz p1 − p2 zwischen z = 0 und z = L eines Kreiszylinders mit
Radius R.
150
KAPITEL 7.
R
HYDRODYNAMIK
z=L
z=0
Die Zylindersymmetrie fordert, daß u nur von der Entfernung r von der
Zylinderachse abhängt. Die Reibungskraft auf die Zylinderoberflächen ist
gleich der Nettodruckkraft auf die Stirnflächen:
η2πrL
du
dr
= −πr 2 (p1 − p2 )
du
dr
=
r p2 − p 1
2 ηL
Die Randbedingung ist wieder: u(R) = 0
Z
du =
ZR
r p2 − p 1
dr
2 ηL
ZR
r p2 − p 1
dr + C
2 ηL
r
u(r) =
r
Die Randbedingung C ist
C=
p1 − p 2 2
R
4ηL
Man erhält sie, indem man über die vorige Gleichung nochmals integriert,
die Randbedingung u(0) = 0 einsetzt und ausrechnet. Insgesamt ergibt sich
dann für die Gleichung:
u(r) =
p1 − p 2 2
R − r2
4ηL
Dies ist die Gleichung eines Rotationsellipsoids und beschreibt die laminare
Strömung in einem zylindrischen Rohr.
7.2.
151
STRÖMUNGEN
Die gesamte Flüssigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine Fläche z =
const des Hohlzylinders mit Radien zwischen r und r + dr fließt ist
dV
2πrdr R2 − r 2
= 2πrdru =
(p1 − p2 )
dr
4ηL
Durch den gesamten Rohrquerschnitt fließt dann während der Zeit t das
Flüssigkeitsvolumen
V =t·
ZR
2πrdru =
0
πR4 (p1 − p2 )
t
2 · 4ηL
Beachte:
p1 − p 2
∂p
=
L
∂z
beschreibt ein lineares Druckgefälle entlang des Rohres (siehe auch 6.2.3
Wichtige Methode).
Die Flüssigkeitsstromstärke I =
V
t
führt zum
Hagen-Poiseuille-Gesetz
4 ∂p
I = πR
8η ∂z
Das heißt I ∼ R4 und bedeutet, daß die kleinste Veränderung des Rohrquerschnittes die Stromstärke dramatisch ändert.
- Blutzirkulation
- Rohrströmungen
..
.
152
7.2.7
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Laminare Strömungen um Kugeln – Stokes-Gesetz
schematisches
Geschwindigkeitsprofil
um
eine Kugel, die
von einer viskosen
Flüssigkeit
umströmt wird
r
Zieht man eine Kugel vom Radius r mit der Geschwindigkeit v durch eine
Flüssigkeit, so haften die unmittelbar benachbarten Flüssigkeitsschichten
an der Kugel. In einiger Entfernung herrscht die Strömungsgeschwindigkeit
null. Diese Entfernung ist von der Größe r. Ergo
u
∂u
∼
∂z
r
Auf der Oberfläche der Kugel greift also eine bremsende Kraft an:
2
FR ' −η du
dz 4πr ' 4πηur
Mit dieser Kraft muss man ziehen, um die Geschwindigkeit v zu erzeugen.
Die genauere und sehr aufwendige Rechnung liefert das
Stokes-Gesetz
FR = −6πηru
Neben dem Stokeschen Gesetz existiert aber noch ein weiteres, das der
Newtonschen Reibung; hier ist ein kleiner Vergleich:
FR ∼ v
Stokes
Laminare
Strömungen
Wichtig: Viskosität
aber
FR ∼ v 2
Newton
Turbulente
Strömungen
Luftwiderstand∗
*Luftwiderstand für ungünstig geformte Körper,
hohe Geschwindigkeiten wie bei Geschossen,. . .
Herleitung der Newtonschen Reibung:
Will ein Körper mit der Geschwindigkeit v durch ein Medium der Dichte %
7.2.
153
STRÖMUNGEN
dringen, so muß er es erst zur Seite drängen. Dazu muß er das Medium auf
die Geschwindigkeit vM beschleunigen, die ungefähr gleich seiner Geschwindigkeit v ist. In der Zeit dt, muß dies für eine Säule der Länge vdt und dem
Querschnitt S geschehen. Dabei ist S ∼ Querschnitt des bewegten Körpers.
Volumen der Säule
Masse der Säule
R
vdt
mM = %Svdt
Um diese Masse auf die Geschwindigkeit v ' v M zu bringen, muß ihr
die Energie 12 mM v 2 = 12 %Sv 3 dt zugeführt werden; natürlich auf Kosten des
Körpers. Das bedeutet also
1
%Sv 3
2
ist die zuzuführende Leistung. Da
Leistung = Kraft · Geschwindigkeit
muß die Kraft beziehungsweise die Reibungskraft
FR = 12 %Sv 2
sein, wobei S der sogenannte effektive Querschnitt ist. Und damit ist die
Grenzschichtdicke aus Kapitel 7.2.3.
S
F ∼η v'S
D
s
v 3 η%
L
und für S ∼ L2 erhalten wir die
Prandtl-Reibung
FP randtl =
q
FRStokes · FRN ewton
Denn für Schiffe und Flüssigkeiten ist
7.2.8
Strömungstypen


 Stokes zu klein

 Newton zu groß
Unser Ansatzpunkt ist die Navier-Stokes-Gleichung (zur Erinnerung: Kräftegleichgewicht):
%
∂~u
~ ~u = −∇p
~ + η∆~u + . . .
+ % ~u · ∇
∂t
154
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
Führen wir die zwei Vektoren
∂~u
∂t
~ ~u
= ~u · ∇
~a1 =
~a2
ein, so lautet sie dann
~ + η∆~u
% (~a1 + ~a2 ) = −∇p
Wir kennen drei Strömungstypen:
1. Ideale Strömung
Keine Reibung → meistens in Ordnung
2. Laminare Strömung
Anteil ~a2 der Beschleunigung ist zu vernachlässigen – aber die Reibungskräfte sind entscheidend.
3. Turbulente Strömungen
Selbst wenn die Strömung stationär ist (~a1 = 0), ist ~a2 von größerem
Einfluß als die Reibungskräfte. (~a1 = 0 =⇒ ∂u
∂r = 0)
Turbulenz ist sehr schwierig!
Kriterien für verschiedene Strömungstypen
Welcher Strömungstyp (zur Auswahl stehen: ideal, laminar, sowie turbulent)
gilt unter
• gegebenen Abmessungen l von Gefäss oder umströmtem Körper
• gegebener Strömungsgeschwindigkeit u
• gegebener Dichte %
• gegebener Viskosität η
Wir betrachten nun stationäre Strömungen mit ~a1 = ~0, was auch heißt, daß
u
~
die Strömungsgeschwindigkeit nicht von t abhängt: ∂~
∂t = 0.
Dagegen kann die Geschwindigkeit
an verschiedenen Stellen verschieden sein!
~a2 ist umso grösser, je schneller sich die Geschwindigkeit räumlich ändert,
je grösser also ihr Gradient ist. Wir bekommen nun drei unterschiedliche
Längen:
7.2.
155
STRÖMUNGEN
l1 Strecke, auf der eine wesentliche Geschwindigkeitsänderung erfolgt
t∼
l1
u
in dieser Zeit ändert sich u um
a2 :=
u2
u
'
t
l1
l2 Länge auf der sich der Druck ändert
~ ∼ p
∇p
l2
l3 Länge auf der sich die Reibungskraft ändert
η∆u ∼
ηu
l32
l1 , l2 , l3 können je nach Geometrie sehr verschieden sein. Für stationäre
Strömungen gelten die Navier-Stokes-Gleichungen:
~ + η∆~u
%~a2 = −∇p
Setzen wir nun die obigen Ergebnisse für ~a2 , p und ~u ein, so erhalten wir
2
% ul1 ≈
p
l2
+ η lu2
3
Wir können nun drei Fälle unterscheiden:
1. keine Reibung
p
%u2
ηu
'
l2
l1
l32
wenn
1
p ' %u2
2
Dies bedeutet es herrscht eine ideale Strömung, ohne nennenswerte
Wirbel.
l2 ' l 1
=⇒
2. Trägheitskraft ∼ ~a2 zu vernachlässigen
%u2
l1
p
l2
' η lu2
3
~ = η∆~u
=⇒ ∇p
Laminare Strömung
156
KAPITEL 7.
3. Der Fall
HYDRODYNAMIK
%u2
u
p
'η 2
l2
l1
l3
ist von geringerer Bedeutung.
Der Übergang von Fall 1 zu Fall 2 erfolgt bei
p
ηu
%u2
'
'
2
l2
l1
l3
und
pl1
%ul32
'1
und
'1
ηl1
%u2 l2
Das sind Bedingungen für Druckverhältnisse von l1 und l2 ; beide beherrschen
die hydrodynamische Ähnlichkeitstheorie. – Ein verkleinertes Modell (zum
Beispiel im Windkanal) liefert nur dann physikalisch richtige Resultate, wenn
die Zahlen
pl1
%ul32
sowie
ηl1
%u2 l2
den gleichen Wert haben wie in Wirklichkeit. Da eine geometrische Ähnlichkeit garantiert ist kann man l “kürzen” und nur die Übereinstimmung
von
p
%ul
und
2
%u
η
fordern. Letzteres ist die
Reynoldszahl
Re = %ul
η
Eine Strömung ist laminar für
%ul32
2ηl1
sehr klein
und turbulent für
%ul32
sehr groß
2ηl1
da l3 6= l1 erfolgt ein Umschlag von laminar zu turbulent bei
Re =
%ul
1
η
l ist hier die makroskopische Abmessung des um- beziehungsweise durchströmten Körpers. Man findet
Re|kritisch ' 103
Beim Umschlag von laminar zu turbulent wächst der Strömungswiderstand
erheblich an
7.2.
157
STRÖMUNGEN
Wirbel
Laminar
Turbulent
Laminar:
Turbulent:
7.2.9
FR ∼ u · η
F R ∼ u2 · %
(Stokes)
(Newton)
Wirbel und Zirkulation
Umströmung eines kreisförmigen Hindernisses
• Kleine Strömungsgeschwindigkeit u =⇒ Laminare Strömung
• Geschwindigkeit u > ukritisch =⇒
Turbulente Strömung
↓
Wirbel
Wirbel? – Sie bestehen aus einem starr rotierenden Wirbelkern
~uW irbel = ω
~ × ~r
∼
außerhalb des Wirbelkerns nimmt ~rW irbel ∼ ~r ab.
~r
158
KAPITEL 7.
HYDRODYNAMIK
y
Zirkulations
stroemung
x
Wirbelkern
Wirbelvektor
Wirbelstärke
Zirkulation
Z:
~ = 1∇
~ × ~u
Ω
2
Z=
H
~ud~s
Erhaltungsgröße in reibungfreien, also idealen
Flüssigkeiten
Wirbel verändern den Charakter der Reibung
Stokes
∼ ηv
laminar
−→
Newton
∼ %v 2
turbulent
Wirbel
m
Reibung steigt
Diese ist aber formabhängig! 1
Wie entstehen aber
– Wirbel entstehen durch Ränder und Kanten;
Wirbel?
~
dort ist nämlich ~u · ∇ ~u am stärksten, es herrschen starke Tangentialkräfte
(Scherkräfte) zwischen den Flüssigkeitsteilchen.
−→ Grenzschicht am umstömten Körper mit kleinen Unebenheiten
oder Fluktuationen
1
zum cw -Wert siehe Demtröder Seite 240-241
7.2.
159
STRÖMUNGEN
Verstärkung des Geschwindigkeitsgradienten
Betrachtung des Druckprofils an umstömter Kugel:
S1 Staupunkt
p ist maximal
u=0
S2
u=0
Zwischen S1 und S2 strömen die Flüssigkeitsteilchen zunächst schneller und
werden bis S2 wieder abgebremst.
• Laminare Strömung mit u < ukritisch
U
160
KAPITEL 7.
• Turbulente Strömung mit u > ukritisch
U
HYDRODYNAMIK
Wird ein Zylinder mit u0 angeströmt und rotiert dieser mit der Winkelgeschwindigkeit ω, so strömt die Flüssigkeit an seiner Oberseite mit
u0 = u0 + ωr
und unten mit
u00 = u0 − ωr
In Kombination mit Bernoulli folgt daraus, daß der statische Druck an der
Unterseite überwiegt, nämlich um
1 p = % u02 − u002 ' 2%ωru0
2
falls ωr u0 . Die Querkraft ist
F ' %ωrlu0
oder vektoriell
F~ ∼ %r 2 l~u × ω
~
mit
Z=
I
~ud~s = 2πru(r)
= 2πωr02
Kutta-Schukowski-Formel
F ∼
= %u0 lZ
Letztere macht Flugzeuge fliegen.
Ich weiß, daß Sie glauben, Sie
verstünden, was sie denken, was ich
gesagt habe; aber ich bin mir nicht
sicher, ob Sie begreifen, daß das, was
Sie gehört haben, nicht das ist, was
ich meine.
Richard Nixon
Kapitel 8
Relativitätstheorie
Zur Einstimmung empfiehlt es sich nochmals die Bezugssysteme und Galileitransformationen zu Gemüte zu führen.
8.1
Historisches
Im 19.Jahrhundert schien alles klar zu sein:
Bewegungen
von
Atomen/Molekülen



























Newton Axiome −→ Gravitationsgesetz
↓
Planeten + Himmelskörper
Maxwell-Gleichungen
↓
Elektrodynamik
Newtonsches Relativitätsprinzip
a) Raum und Zeit sind absolut
b) Alle relativ zu einem Inertialsystem gleichförmig
bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsysteme
und im Rahmen der Newtonschen Mechanik gleichwertig!
161
162
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
An diesem Prinzip wurde nicht gerüttelt, bis die Untersuchung elektromagnetischer Wellen die Vermutung nährte, es liesse sich ein absolutes Bezugssystem finden.
8.2
Das Michelson-Morley-Experiment
Wellen brauchen ein Trägermedium wie
• Luft
• Wasser
• Festkörper
Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt von den Eigenschaften des Trägermediums ab (Schallgeschwindigkeit in Luft hängt von der Temperatur ab!).
Bei mechanischen Wellen ist es erlaubt, das jeweilige Medium als ruhend
anzusehen.
Wie sind die Verhältnisse bei Lichtwellen?
–Optische Interferenz- und Beugungsversuche lieferten die Theorie, daß Licht
eine Welle sei. Ergo gibt es ein Medium, das die Lichtwellen, oder allgemeiner die elektromagnetischen Wellen trägt. Das Medium der Wahl sollte der
Äther sein, ein materieller Stoff mit besonderen Eigenschaften:
• kleine Dichte
Denn es sollte keine Reibung auf die Planeten bei ihrer Bewegung um
die Sonne wirken.
• grosse Starrheit
Wegen der hohen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes.
• Ruhend
Der Äther sollte also als ruhendes System angesehen werden können, auf das
sich alle Bewegungen sämtlicher Körper und Erscheinungen beziehen lassen
sollten! Er sollte ein absolutes Bezugssystem sein. Dies steht im Widerspruch
zum Newtonschen Relativitätsprinzip.
Nach der Maxwellschen Theorie der Elektrodynamik ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht und elektromagnetischen Wellen im Vakuum durch
c=
ε0
µ0
√ 1
ε 0 µ0
= 3 · 108 m
s
Dielektrizitätskonstante
Permeabilitätskonstante
gegeben. Die Maxwellsche Gleichung sagt nichts darüber aus, in welchem
Bezugsystem die Lichtgeschwindigkeit diesen Wert annimmt. Man erwartet
8.2.
163
DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT
jedoch, daß c die Lichtgeschwindigkeit auf den Äther bezogen ist.
Wenn sich die Erde also relativ zum ruhenden Äther bewegt (– Das tut sie,
denn sie kreist um die Sonne und der Äther sollte der Theorie nach ruhen.),
so erwartete man, dass eine Messung ein grösseres oder kleineres Ergebniss
als c liefert, je nach Richtung relativ zum Lichtstrahl. 1881 beginnt dann Albert Michelson mit der Messung der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde
und damit auch der Geschwindigkeit der Erde relativ zum Äther.Die gängigen Methoden waren jedoch zur Messung ungeeignet. – Aber warum??
Wir betrachten einmal folgende Situation:
Lichtquelle
c−v
v
c+v
l
Die Lichtquelle und der Spiegel bewegen sich mit der Geschwindigkeit v in
gleicher Richtung durch den Äther. Dann sollte sich das Licht mit c − v auf
den Spiegel zu und mit c + v von ihm wegbewegen. Die gesamte Laufzeit
wäre daher
l
2l 1
l
+
=
t1 =
c−v c+v
c 1 − v22
c
t1 unterscheidet sich daher von der
Laufzeit 2lc ,
h
die man erwartet, wenn die
2
i−1
Erde im Äther ruht nur durch den Faktor 1 − vc2
, der für v c sehr
v
v
nahe an 1 liegt. Für kleine Werte von c (will heißen: c 1) kann man mit
Hilfe der Binomialentwicklung noch vereinfachen:
(1 + x)n = 1 + nx + n(n − 1)
x2
+ . . . ≈ 1 + nx für x 1
2
2
Setzt man für n = −1 und x = − vc2 ein, so folgt:
2l
t1 ≈
c
v2
1+ 2
c
!
m
Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist ∼ 3 · 10 4 sec
v
c
v2
=⇒ 2
c
=⇒
' 10−4
≈ 10−8
164
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
Der Effekt der Erdbewegung ist sehr sehr klein und daher schwer, sehr schwer
zu messen!
Die Lösung:
Differenzmessung mit einem Interferometer, dem Michelson-Morley-Interferometer: Licht fällt auf einen Strahlteiler (sprich: halbdurchlässiger Spiegel); es pflanzt sich dabei parallel zur Erdbewegung fort. Ein Teil des Lichtes
geht in dieser Richtung durch den Strahlteiler hindurch, ein anderer wird
mit 90◦ reflektiert.
beweglicher
Spiegel
fester
Spiegel
2
diffuse Licht−
quelle
1
A
Strahl−
teiler
Auge
1. Betrachten wir den durchgelassenen Teil
Die Strecke AS1 , vom Strahlteiler A zum Spiegel S1 und zurück; der
Lichtstrahl benötigt die Zeit
2l
t1 '
c
v2
1+ 2
c
!
mit l = l1 .
2. Betrachtung des reflektierten Strahls
Dieser trifft den Spiegel S2 mit der Geschwindigkeit ~u senkrecht zur
Geschwindigkeit ~v der Erde. Relativ zum Äther jedoch bewegt er sich
mit der Geschwindigkeit ~c. – Warum?
8.2.
165
DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT
Das Interferometer bewegt
sich relativ zum Äther mit ~v
nach rechts, der Lichtstrahl
mit ~u nach oben. Die Geschwindigkeit im Bezugssystems des Strahls im Äther ist
~c und die Geschwindigkeit relativ zur Erde daher ~u = ~c −~v .
Spiegel
=⇒
nach der klassischen Theorie ist der Betrag
der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde
u = c2 − v 2
1
~u = ~c − ~v
2
=c 1−
|~u| =
=⇒ Laufzeit:
2l2
2l2
=
t2 = √
2
2
c
c −v
p
v2
c2
1
2
c2 − v 2
v2
1− 2
c
!− 1
2
2
mit n = − 21 und x = − vc2 eingesetzt und binomialentwickelt:
2l2
t2 '
c
1 v2
1+
2 c2
!
Wenn l1 = l2 = l, dann ist die Differenz der Zeiten:
∆t = t1 − t2 ≈
l v2
c c2
Diese Laufzeitdifferenz müsste man nun durch Interferenz zwischen den beiden Lichtstrahlen messen können. – Warum?
Weil die Laufzeit ∆t einer Differenz in der Anzahl der Wellenlängen entspricht, die auf die Strecken AS1 A und AS2 A passen:
∆N =
T
ν
λ
Periodendauero
Frequenz
Wellenlänge
∆t
c∆t
= ν∆t =
T
λ
des Lichts
c =ν ·λ
für elektromagnetische Wellen
166
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
Diese Interferenz ist unmöglich messbar; Michelson hatte deshalb eine andere Idee: die Messung der Änderung des Interferenzmusters.
Sei ∆N definiert als die Zahl der Interferenzstreifen, wie zum Beispiel Maxima, die am Auge des Beobachters vorbeilaufen, wenn ∆t makroskopisch
herbeigeführt würde. – Wie macht man das?
Man dreht die Apparatur um 90◦ ; dadurch ändert sich nicht der Abstand der
Spiegel, denn die kleinste Veränderung der Spiegelabstände ändert das Interferenzmuster. Nimmt man die Existenz eines Äthers an, so erhält man nach
einer Drehung um 90◦ eine neue Laufzeitdifferenz (vertausche die Indices 1
und 2), die gerade ∆t beträgt. Beobachtet man während einer langsamen
Drehung das Interferenzmuster kontinuierlich, so müsste es sich genau um
die Zahl
2l v 2
2c∆t
=
·
∆N =
λ
λ c2
von Interferenzmaxima verschieben!
1881 Erster Versuch von Michelson
l = 1, 2m
Für
v2
c2
λ = 590nm
= 10−8 ergibt sich ein Erwartungswert von
∆N = 0, 04 Streifen
Es wurde nichts beobachtet! – Warum nicht?
Die Erde ruhte im Äther, deshalb: Messung sechs Monate später (Bewegung gegen Äther)
Aber: Erneut keine Beobachtung! – Was ist da falsch?
Ruht die Erde im Äther?
Ist was mit dem Äther faul?
1887 Neuer Versuch von Michelson und Morley
l = 11m
∆N = 20 − 40
Nichts geschah – Was ist da los?
1905 Einstein veröffentlicht die “Elektrodynamik bewegter Körper” oder
auch spezielle Relativitätstheorie.
Sie enthält im wesentlichen zwei Postulate:
8.3.
DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
167
1.
Es gibt kein physikalisch bevorzugtes Inertialsystem. – Die Naturgesetze nehmen in allen Inertialsystemen dieselbe Form an.
2.
Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in jedem beliebigen Inertialsystem unabhängig vom Bewegungszustand der Lichtquelle.
alternative Formulierung für 2.:
2.
Jeder Beobachter misst für die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum
denselben Wert!
Das erste Postulat stellt eine Erweiterung des Newtonschen Relativitätsprinzips dar, gilt also nicht nur für die Mechanik. Das zweite Postulat widerspricht unserer alltäglichen Vorstellung von Relativgeschwindigkeiten.
Wenn sich ein Auto mit 50 km
h von einem Beobachter wegbewegt und ein
zweites Auto mit 80 km
in
dieselbe
Richtung fährt, dann ist die Relativgeh
km
schwindigkeit der beiden Autos 30 h .
Trotzdem messen Beobachter in beiden Autos für einen Lichtstrahl, der sich
in ihrer Richtung ausbreitet, dieselbe Geschwindigkeit wie es die Einsteinschen Postulate fordern. Unsere Vorstellung, daß wir Geschwindigkeiten einfach addieren können ist offenbar nur solange gültig, wie die betrachtete
Geschwindigkeit klein ist gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c.
8.3
Die Lorentz-Transformation
Die Einstein-Postulate haben wichtige Konsequenzen für die Messung von
Zeit- und Längenintervallen, sowie von Relativgeschwindigkeiten. Wir vergleichen im folgenden Zeit- und Ortsmessungen von Ereignissen, wie zum
Beispiel Lichtblitzen, die von verschiedenen sich relativ zueinander bewegenden Beobachtern vorgenommen werden. Dazu verwenden wir zwei Bezugssysteme S und S 0 , mit den kartesischen Koordinaten x, y, z und x 0 , y 0 , z 0 ,
sowie den Ursprüngen 0 und 00 .
S 0 bewege sich mit der Geschwindigkeit v in positiver Richtung der x-Achse
des Bezugssystems S. Auf dem Weg ist ein dichtes Netz von Beobachtern
installiert, die mit identischen Uhren und Maßstäben ausgestattet sind um
möglichst genaue Messungen zu erzielen. Diese sind lokale Beobachter!
Wir benutzen die Einstein-Postulate, um eine allgemeine Beziehung zwischen den Koordinaten x, y, z und dem Zeitpunkt t eines Ereignisses gemessen im Bezugssystem S und den Koordinaten x 0 , y 0 , z 0 , sowie dem Zeitpunkt
t0 , gemessen in S 0 herzuleiten. Desweiteren vereinfachen wir, indem wir annehmen, daß zu den Zeiten t = t0 = die Ursprünge 0 = 00 zusammenfallen.
168
KAPITEL 8.
y
RELATIVITÄTSTHEORIE
S
0
x
y’
v
S’
z
0’
x’
z’
Die nichtrelativistische oder klassische Beziehung, die unter diesen Voraussetzungen unmittelbar aus dem Newtonschen Relativitätsprinzip folgt, ist
die sogenannte Galilei-Transformation (Kapitel 6.1.2):
x = x0 + vt0 y = y 0
z = z0
t = t0
und die inverse Transformation lautet
x0 = x − vt y 0 = y
z0 = z
t0 = t
Diese Transformationen geben die experimentelle Beobachtung richtig wieder, solange v c und führen auf die gewöhnliche klassische Additionsvorschrift für Geschwindigkeiten. Besitzt ein Teilchen die Geschwindigkeit
dx
dt
im System S, dann ist seine Geschwindigkeit in S 0
ux =
u0x =
dx0
dt0
=
dx0
dt
=
dx
dt
− v = ux − v
u0x = ux − v
Durch nochmaliges Differenzieren erhält man die Beschleunigung des Teilchens in beiden Bezugssystemen
ax =
dux
dt
=
du0x
dt0
= a0x
8.3.
169
DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
Die Galilei-Transformation steht jedoch im offensichtlichen Widerspruch zu
den Einsteinschen Postulaten der speziellen Relativitätstheorie:
Bewege sich ein Lichtstrahl in S entlang der x-Achse. Nach den
Galilei-Transformationen gilt in S 0 :
u0x = c − v
laut Einstein ist aber c = const und daher
u0x = c
Wir benötigen daher andere Transformationsgesetze. Nehmen wir also an,
daß die relativistische Transformationsformel für x bis auf einen Faktor γ auf
der rechten Seite der Gleichung x = x 0 + vt entspricht, so ist die (“richtige”)
Gleichung dann von der Form
x = γ (x0 + vt0 )
γ kann von c und von v abhängen, nicht jedoch von den Koordinaten! Die
inverse Transformation wäre also
x0 = γ(x − vt)
Betrachten wir nun einmal einen Lichtstrahl, der im Ursprung von S zur Zeit
t = 0 startet. Da für t = t0 = 0 die Ursprünge von S und S 0 zusammenfallen
startet der Lichtstrahl auch in S 0 zum Zeitpunkt t0 = 0. Nach den EinsteinPostulaten muß gelten
x = ct in S
x0 = ct0 in S 0
Wir setzen ein und erhalten
x = ct
= γ ct0 + vt0
= γ(c + v)t0
sowie
x0 = ct0
= γ(ct − vt)
= γ(c − v)t
Nach t0 oder t aufgelöst ergibt
γ2 =
=⇒ γ =
v2
1− 2
c
1
q
1−
v2
c2
!−1
170
KAPITEL 8.
Beachte:
RELATIVITÄTSTHEORIE
γ ist immer grösser als 1
γ ' 1 für v c
Die relativistischen Transformationsformeln sind also
x = γ x0 + vt0
x0 = γ(x − vt)
γ=q
1
2
1− v2
c
Wird die Zeit vielleicht auch transformiert?
Ersetze in x0 = γ(x − vt) x durch γ (x0 + vt0 ), so ergibt sich
x0 = γ γ x0 + vt0 − vt
Letzteres wird nach t aufgelöst, wodurch sich dann die vollständigen relativistischen Transformationsgleichungen ergeben
Lorentz-Transformation
x = γ (x0 + vt0 )
y = y0
t = γ t0 +
0
z = z0
vx
c2
inverse Transformation
x0
= γ(x − vt)
y’=y
t0 = γ t −
vx
c2
z=z’
Die Lorentz-Transformation erfüllt die Einsteinschen Postulate! Sie stellt die
Beziehung zwischen den Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z und t eines Ereignisses in einem Bezugssystem S und den Orts- und Zeitkoordinaten x 0 , y 0 , z 0
und t0 desselben Ereignisses in einem anderen Bezugssystem S 0 , das sich mit
der Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt her.
Anwendungen:
• Zeitdehnung
• Längenkontraktion
• Uhrensynchronisation und Gleichzeitigkeit
• Doppler-Effekt
• Zwillingsparadoxon
• Geschwindigkeitstransformation
• Impuls
• Masse-Energie Äquivalenz
8.4.
8.4
171
ZEITDEHNUNG – DILATATION
Zeitdehnung – Dilatation
Aus der Lorentz-Transformation folgt die Dehnung der Zeit – die Zeitdilatation. Messung von zwei Ereignissen in zwei verschiedenen Inertialsystemen
im ersten System: Ereignisse am selben Ort
im zweiten System: an verschiedenen Orten
Das Zeitintervall für zwei Ereignisse, die man am selben Ort betrachtet, ist
immer kleiner als das Zeitintervall für dieselben Ereignisse, die in einem anderen Inertialsystem an verschiedenen Orten stattfinden.
Lassen wir also einmal zwei Ereignisse zu den Zeitpunkten t 01 und t02 im Bezugssystem S 0 am Ort x00 stattfinden. Mit Hilfe der Lorentz-Transformation
finden wir für die Zeiten t1 und t2 in S
t1 = γ t01 +
vx00
vx00
0
und
t
=
γ
t
+
2
2
c2
c2
=⇒ t2 − t1 = γ t02 − t01
Die Zeit zwischen Ereignissen, die in einem Bezugssystem am selben Ort
stattfinden heisst Eigenzeit:
∆tE = t02 − t01
(gemessen in S 0 )
Das Zeitintervall ∆t = t2 − t1 ist um den Faktor γ grösser als die Eigenzeit.
Diese Dehnung des Zeitintervalls ∆t im Vergleich zur Eigenzeit ∆t E heißt
Zeitdilatation
∆t = γ∆tE
Beispiele:
1. Zwei Ereignisse finden in S 0 am selben Punkt x00 zu den Zeiten t01 und
t02 statt. S 0 bewege sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit v.
Wie groß ist die räumliche Distanz der Ereignisse in S?
x1 = γ (x00 + vt00 )
x2 = γ (x00 + vt02 )
)
x2 − x1 = γv (t02 − t01 )
= v(t2 − t1 )
Die räumliche Distanz der beiden Ereignisse in S entspricht also der
Entfernung, die ein Punkt in S 0 , beispielsweise x00 im Zeitintervall zwischen den Ereignissen in S zurücklegt.
2. Astronauten in einem mit v = 0, 6c von der Erde fortfliegenden Raumschiff teilen ihrer Bodenstation mit, daß sie ein Nickerchen einlegen und
sich nach einer Stunde wieder melden werden.
Wie lange schlafen die beiden im Bezugssystem der Erde?
172
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
Eigenzeit der Astronauten: 1 Stunde
Im Bezugssystem der Erde legen die Astronauten eine beachtliche Distanz zurück. Das Zeitintervall im Bezugssystem Erde ist daher länger,
und zwar um γ. Mit v = 0, 6c ergibt sich::
1−
v2
c2
=⇒ γ = q
1
= 1 − (0, 6)2 = 0, 64
2
1− v2
c
−
√1
0,64
=
1
0,8
= 1, 25
Das Nickerchen dauert im Bezugssystem der Erde also 1,25 Stunden.
8.5
Die Längenkontraktion
Eng mit der Zeitdilatation verwandt ist die Längenkontraktion:
Die Länge eines Objektes gemessen im Ruhesystem heisst Ruhelänge lR . In
jedem Bezugssystem S, in dem sich das Objekt bewegt, ist die dort gemessene Länge kürzer als die Ruhelänge.
Beweis:
In S 0 ruhe ein Stab der Länge
lR = x02 − x01
in S ist die Länge des Stabes
l = x 2 − x1
Dabei ist
x2 : Position des einen Endes zu einer Zeit t 2
x1 : Position des anderen Endes zu derselben Zeit t 1 = t2
x02 = γ(x2 − vt2 )
x01 = γ(x1 − vt1 )
t2 = t1 =⇒ x02 − x01
= γ(x2 − x1 )
x2 − x 1
= γ1 (x02 − x01 ) = γ1 lR
Lorentz-Kontraktion
L = LR γ1
Beispiel: Myonen-Zerfall
Myonen entstehen, wenn kosmische Strahlung auf die Atmosphäre trifft. Die
dabei entstehenden Myonen zerfallen nach dem Zerfallsgesetz
N (t) = N0 e(− τ )
t
8.5.
173
DIE LÄNGENKONTRAKTION
N0 :
N (t):
τ:
Ursprüngliche Zahl von Myonen bei t = 0
Anzahl der Myonen zum Zeitpunkt t
Mittlere Lebensdauer ∼ 2 · 10−6 sec
Da Myonen beim Zerfall von Pionen in einer Höhe von mehreren tausend
Metern entstehen, sollten nur wenige die Höhe des Meeresspiegels erreichen.
vM yon ' 0, 998c
=⇒
in 2µs
l ' 600m
Im Bezugssystem der Erde erhöht sich die Lebensdauer des Myons jedoch
um γ
γ(v = 0, 998c) = 15
Zerf all
=⇒ tM
= γ · 2µs ≈ 30µs
yon
Zerf all
=⇒ v · tM
= 9000m
yon
Das heißt also, aus 9000m im Bezugssystem der Erde werden 600m im Bezugssystem des Myons.
Test:
Angenommen wir beobachten in 9000m Höhe 108 Myonen. Wieviele Myonen
werden wir in Meereshöhe im selben Zeitintervall erwarten?
• Nichtrelativistisch
Ein Myon benötigt für die 9000m die Zeit
9000m
' 30µs
0, 998 · c
– das 15-fache der Lebensdauer. Eingesetzt ins Zerfallsgesetz
N0 = 108
N=
108 e−15
= 30, 6
t = 15 · τ
Von den ursprünglich 100 Millionen Myonen sollten nur 31 den Meeresspiegel erreichen, also nicht zerfallen!
• Relativistisch
Die Strecke ist nur 600m lang, die Dauer 2µs = 1τ .
=⇒ N = 108 e−1 = 3, 68 · 107
Diese Zahl wird auch von den Experimenten bestätigt.
174
KAPITEL 8.
8.6
RELATIVITÄTSTHEORIE
Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit
Definition 29 (Eigenzeit) Die Eigenzeit ist das Zeitintervall zwischen zwei
Ereignissen die in einem Bezugssystem am selben Ort stattfinden.
Die Eigenzeit kann daher nur mit einer einzigen
Uhr gemessen werden!
In einem anderen Bezugssystem, das sich relativ zum ersten bewegt, finden
diese Ereignisse an verschiedenen Orten statt. Der Zeitpunkt des Ereignisses
muss also mit verschiedenen Uhren gemessen werden. Das Zeitintervall ergibt sich dann durch Subtrahieren der Zeitpunkte. Dazu müssen die Uhren
jedoch synchronisiert sein.
Zwei Uhren, die an einem Bezugssystem synchronisiert sind,
gehen in keinem relativ zum ersten bewegten Bezugssystem synchron.
=⇒
zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleichzeitig
stattfinden sind in einem relativ zum ersten bewegten Bezugssystem nicht gleichzeitig.
In einem Bezugssystem sind zwei Ereignisse gleichzeitig, wenn die von
den Ereignissen ausgesendeten Lichtsignale einen Beobachter, der sich
in der Mitte zwischen den Ereignissen befindet, zur selben Zeit
erreichen.
Werden zwei Uhren in ihrem Ruhesystem synchronisiert, so sind sie in keinem anderen Bezugssystem synchron. In dem Bezugssystem, in dem die
Uhren sich bewegen, geht die führende Uhr um
∆ts = lR
v
c2
vor, zeigt also eine spätere Zeit an, wobei lR der Ruheabstand der Uhren
ist.
8.7
Der relativistische Doppler-Effekt
Betrachten wir einmal eine Quelle, die sich mit der Geschwindigkeit v =
const in Richtung eines Beobachters bewegt.
Ab jetzt wird im Ruhesystem des Beobachters gerechnet!
8.7.
175
DER RELATIVISTISCHE DOPPLER-EFFEKT
Die Quelle emittiere N elektromagnetische Wellenberge in einem vom Beobachter gemessenen Zeitintervall ∆t B . Während der erste Wellenberg in dieser
Zeit eine Entfernung c · ∆tB zurücklegt, bewegt sich die Quelle um v · ∆t B
auf den Beobachter zu. Die Wellenlänge der vom Beobachter empfangenen
Welle ist
λ0 = c·∆tBN−v∆tB
und die vom Beobachter gemessene Frequenz ist
ν0 =
c
λ0
=
c
N
(c−v) ∆tB
=
1
N
1− vc ∆tB
Ist die Frequenz der Welle im Ruhesystem der Quelle gleich ν 0 , so emittiert
sie N = ν0 ∆tQ Wellenberge im Intervall ∆tQ der Eigenzeit, da im Bezugssystem der Quelle die Wellen immer am selben Ort emittiert werden. Es gilt:
∆tB = γ∆tQ
=⇒ ν 0 =
1
1−
v
c
N
ν0 ∆tQ 1
=
∆tB
∆tB 1 −
v
c
=
ν0 1
γ 1−
v
c
Die Quelle bewegt sich also auf den Beobachter zu −→ Blauverschiebung
oder für v c : ν0 = γν 0 , oder
0
ν =
q
1−
1−
v2
c2
v
c
ν0 =
s
1 + vc
ν0
1 − vc
und für eine sich vom Beobachter wegbewegende Quelle ergibt sich
0
ν =
q
1−
1+
v2
c2
v
c
ν0 =
s
1 − vc
ν0
1 + vc
Beispiel:
Eine Linie der Balmer-Serie von Wasserstoff hat eine Wellenlänge λ0 =
656nm. Im Licht einer entfernten Galaxie wird die Wellenlänge dieser Linie
zu λ0 = 1458nm gemessen. Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sich
die Galaxie von der Erde wegbewegt?
ν0 =
r
c
λ0
1− vc
1+ vc
ν0 =
=
ν0
ν0
=
c
λ0
λ0
λ0
Anmerkung:
Die Rotverschiebung ist eine Verschiebung hin zu längeren Wellenlängen.
176
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
mit β = vc :
1+β
1−β
λ02
=
λ20
=
1458nm
656nm
2
= 4, 94
1 + β = 4, 94 − 4, 94β
4, 94 − 1
v
= 0, 663 =
4, 94 + 1
c
β =
v = 0, 663c
8.8
Das Zwillingsparadoxon
Homer und Odysseus seien eineiige Zwillinge. Odysseus reise mit hoher Geschwindigkeit zu einem Planeten weit jenseits des Sonnensystems und kehre
schließlich zur Erde zurück, während Homer auf der Erde bleibt.
Welcher Zwilling ist nun nach Odysseus’ Rückkehr älter? – Oder sind sie
beide gleich alt?
Paradoxon
Nach der Reise ist Odysseus jünger als Homer!
Wie kommt denn das? – Die Rolle der Zwillinge ist asymmetrisch.
y
y’
fortflieg Odysseus
Planet
X
v
S’
x’
y’’
zurueck Odysseus
v
Erde
S’’
x’’
S
x
Der Planet X und der auf der Erde verbleibende Homer sollen im Bezugssystem S in einem Abstand lP voneinander ruhen (wir vernachlässigen die
8.8.
177
DAS ZWILLINGSPARADOXON
Erdbewegung).
S 0 und S 00 bewegen sich mit der Geschwindigkeit v auf den Planeten zu,
beziehungsweise vom Planeten fort. Odysseus beschleunigt rasch bis zur Geschwindigkeit v, ruht dann in S 0 , bis er den Planeten erreicht, an dem er
anhält und für einen kurzen Moment in S ruht.
Dann beschleunigt er rasch auf v in Richtung Erde, ruht in S 00 bis er die
Erde erreicht und wieder anhält. Die Beschleunigungszeiten seien klein im
Vergleich zu den Ruhezeiten. Wir benutzen
lP
= 8LJ
v = 0, 8c
1
γ = q
1−
v2
c2
=
5
3
Wir analysieren von Homer’s Sicht aus.
Nach Homer’s Uhr ruht Odysseus jeweils für einen Zeitraum lvP = 10Jahre
in S 0 beziehungsweise in S 00 . Homer ist deshalb um 20 Jahre gealtert.
Das Zeitintervall im Bezugssystem S 0 , in dem Odysseus ruht, ist kürzer, da
es ein Eigenzeitintervall ist. Er braucht nach seiner Uhr für die Strecke von
der Erde zum Planeten
10a
∆t
=
= 6a
∆t0 =
γ
5/3
benötigt er dieselbe Zeit für den Rückweg, also insgesamt zwölf Jahre!
Odysseus ist nach seiner Rückkehr acht Jahre
jünger als Homer!
Aus Odysseus’ Sicht ist die Distanz zwischen Erde und Planet kontrahiert
und beträgt nun
lP
8LJ
l0 =
=
= 4, 8LJ
γ
5/3
mit v = 0, 8c braucht er nur sechs Jahre für jeden Weg.
Das Problem liegt darin, aus Odysseus’ Sicht zu verstehen, warum sein Zwillingsbruder in seiner Abwesenheit um 20 Jahre gealtert ist.
Wenn wir annehmen, dass Odysseus die ganze Zeit ruht und Homer sich
bewegt, sollte Homer’s Uhr langsamer gehen und nur 6a
γ = 3, 6a für eine
Strecke messen. Warum sollte also Homer nicht nur 7, 2a altern? – Dies ist
das Paradoxon.
Lösung:
Odysseus bleibt nicht immer in einem Inertialsystem.
Was passiert bei seinen Beschleunigungen?
=⇒ Allgemeine
Relativitäts
Theorie
178
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
Versuch einer Erklärung:
Die Kommunikation erfolge über Signale. Die Vereinbarung ist, daß pro Jahr
ein Signal gesendet wird.
Aber:
Die von jedem Zwilling an seinem Ort gemessene Frequenz der
hereinkommenden Signale wird wegen der Doppler-Verschiebung
nicht ein Signal pro Jahr sein.
Mit
v
c
∼ 0, 8, das heißt
0
ν =
v2
c2
q
' 0, 64 folgt, falls sich die Zwillinge entfernen
1−
1+
v2
c2
v
c
ν0 =
√
1
1 − 0, 64
ν0 = ν0
1 + 0, 8
3
Und damit ist ν 0 = 3ν0 , falls sie sich einander nähern.
Aus Odysseus’ Sicht:
Während der sechs Jahre, die er von der Erde zum Planeten braucht
(die Distanz ist für ihn ja kontrahiert), misst er eine Frequenz von 31
Signal pro Jahr, er empfängt also zwei Signale auf dem Hinweg.
Nach seiner Umkehr erhält er drei Signale pro Jahr, also 18 Signale
auf dem Rückweg.
Odysseus erwartet also, dass Homer um 20 Jahre gealtert ist,
während für ihn selbst erst 12 Jahre vergangen sind.
Aus Homer’s Sicht:
Er misst eine Frequenz von 13 Signalen pro Jahr nicht nur während
der zehn Jahre, die Odysseus benötigt, um zum Planeten zu kommen,
sondern auch noch während der Zeit, die das letzte von Odysseus auf
dem Hinweg ausgesandte Signal braucht, um die Erde zu erreichen.
Homer kann nicht wissen, dass Odysseus umgekehrt ist,
bevor er Signale mit erhöhter Frequenz empfängt.
Da der Planet 8LJ entfernt ist, erhält er also weitere acht Jahre lang
Signale mit 31 Signal pro Jahr, das heißt während der ersten 18 Jahre insgesamt sechs Signale. In den verbleibenden zwei Jahren bis zu
Odysseus Rückkehr empfängt Homer drei Signale pro Jahr – zusammen also sechs Signale.
Homer erwartet demnach, daß Odysseus
um zwölf Jahre gealtert ist.
Hier wird die Asymmetrie in der Rolle der Zwillinge deutlich:
Beide Zwillinge kommen zu dem Ergebnis, daß der Zwilling, der beschleunigt
wurde, nach seiner Rückkehr jünger ist als der auf der Erde gebliebene.
179
8.9. GESCHWINDIGKEITSTRANSFORMATION
8.9
Geschwindigkeitstransformation
Differenzieren wir einmal die Gleichung der Lorentz-Transformation (zur
Erinnerung: Die Transformation für Geschwindigkeiten beim Übergang von
einem zu einem anderen Bezugssystem). Sei also
u0x =
dx0
dt0
die Geschwindigkeit eines Teilchens in S 0 . S 0 bewegt sich relativ zu S mit
0
der Geschwindigkeit v. u0x = dx
dt0 in S ist dann
dx = γ dx0 + vdt0
vdx0
0
dt = γ dt +
c
ux =
dx
u0 + v
= x vu0
dt
1 + c2x
u0x =
ux − v
x
1 − vu
c2
Entsprechende Transformationen gelten für uy und uz :
uy =
uz =
u0y
γ 1+
vu0x
c2
vu0x
c2
u0z
γ 1+
Beispiel: Zwei Flugzeuge fliegen aufeinander zu. Flugzeug 1 hat
eine Geschwindigkeit von v = 0, 8c uns Flugzeug 2 fliegt relativ
zu Flugzeug 1 mit 0, 8c.
vu0x
c2
=
=⇒ u0x =
0, 8 · 0, 8 · c2
= 0, 64
c2
0, 8c + 0, 8c
= 0, 98c
1 + 0, 64
Dies überrascht, denn das klassische Ergebnis wäre 0, 8c+0, 8c =
1, 6c!
Die Lichtgeschwindigkeit c ist für massenbehaftete Teilchen eine nicht
erreichbare Grenzgeschwindigkeit.
Masselose Teilchen wie Photonen bewegen sich immer mit c.
180
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE
Relativistischer Impuls
8.10
Was ist aber mit der Impulserhaltung? Schließlich ändert sich die Masse des
Teilchens.
– Sie gilt weiterhin: Für uc −→ 0 muss p
~ −→ m~u gehen. Gesucht ist also der
relativistische Impuls und dieser ist
p~ = mr · ~u
mr
m0
p~ = γm0 ~u
m~u
p~ = q
1 − vc22
relativistische Masse
Ruhemasse
Dabei ist
mr = q
8.11
m0
1−
v2
c2
Relativistische Energie
Aus der klassischen Mechanik ist die resultierende Kraft F res , die auf einen
Massenpunkt einwirkt gleich der zeitlichen Änderung seines Impulses, vorausgesetzt, die Kraft wird nicht durch eine Gegenkraft kompensiert. Außerdem ist die Arbeit gleich der Änderung der kinetischen Energie des Massenpunktes. Eine analoge Definition gilt in der Relativitätstheorie; wir behandeln jedoch hier nur den eindimensionalen Fall:
Zu
Ekin =
=
Fres ds
u=0
Zu
0
Zu
=
dp
· ds
dt
udp =
0
0
mit u =
ds
dt .
Weiterhin ergibt sich mit

Ekin =
Zu
0
m0 u
d q
m0 1 −
1−
u2
c2
Zu
u2
c2
!


m0 u
ud  q
 = m0
1−
u2
c2


u2
1− 2
c

udu = m0 c2  q
!− 3
2
1
1−
u2
c2
du

− 1
181
8.12. NÜTZLICHE GLEICHUNGEN
Daher ist
m0 c2
Ekin = q
− m 0 c2
u2
1 − c2
Letzteres heißt die Ruheenergie ist
E0 = m 0 c2
Die relativistische Gesamtenergie ist
E = Ekin + m0 c2
Bedeutung:
Bei der Beschleunigung investierte Arbeit wird nicht nur in der Geschwindigkeitserhöhung, sondern auch im Massenzuwachs deutlich. Für u −→ c
wird mr −→ ∞.
8.12
Nützliche Gleichungen
pc2 =
u
c
=
m0 c2 u
q
1−
pc
E
u2
c2
= Eu
E 2 = p 2 c2 + m0 c2
2
E ≈ pc für E >> m0 c2
182
KAPITEL 8.
RELATIVITÄTSTHEORIE