Mathematische Grundlagen - Vortragsfolien zur Höheren Mathematik

Mathematische Grundlagen
Das Handout ist Bestandteil der Vortragsfolien zur Höheren Mathematik; siehe die Hinweise auf der Internetseite
vhm.mathematik.uni-stuttgart.de für Erläuterungen zur Nutzung und zum Copyright.
Grundlagen
1-1
Aussage und Axiom
Unter einer Aussage versteht man einen sprachlichen Ausdruck, dem man
eindeutig einen der beiden Wahrheitswerte w ( wahr“) bzw. f ( falsch“)
”
”
zuordnen kann.
Aussagen werden mit Großbuchstaben bezeichnet,
A:
Beschreibung ,
und können mit logischen Operationen verknüpft werden. Grundlegende
mathematische Aussagen, die nicht aus anderen Aussagen abgeleitet
werden können, nennt man Axiome.
Aussagenlogik
Aussage
1-1
Beispiel:
wahre Aussage
A:
Jede natürliche Zahl ist ein Produkt von Primzahlen
falsche Aussage
B:
Jede Primzahl ist ungerade
(2 ist eine gerade Primzahl)
unbewiesene Vermutung (wahr oder falsch)
C:
Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge
größter bisher bekannte Primzahlzwilling (Stand 19.4.2006):
16869987339975 · 2171960 ± 1
keine Aussage (Feststellung ohne Wahrheitswert)
D:
Aussagenlogik
Freitag der dreizehnte ist ein Unglückstag
Aussage
2-1
Logische Operationen
Logische Aussagen können durch die in der folgenden Tabelle angegebenen
Operationen verknüpft werden.
Bezeichnung
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Antivalenz
Implikation
Äquivalenz
Schreibweise
¬A
A∧B
A∨B
A 6≡ B
A⇒B
B⇐A
A⇔B
Aussagenlogik
(Sprechweise)
(nicht A)
(A und B)
(A oder B)
(entweder A oder B)
(aus A folgt B)
(B folgt aus A)
(A ist äquivalent zu B)
wahr, genau dann wenn
A falsch ist
A und B wahr sind
A oder B wahr ist
A und B verschiedene
Wahrheitswerte haben
A falsch oder B wahr
ist
A und B den gleichen
Wahrheitswert haben
Logische Operationen
1-1
Um in logischen Ausdrücken Klammern zu sparen, wird festgelegt, dass ¬
stärker bindet als ∧ sowie ∨ und diese wiederum stärker als ⇒, ⇔ sowie 6≡.
Bei der Implikation ist zu beachten, dass B nur dann wahr sein muss,
wenn A wahr ist. Aus falschen Voraussetzungen können sowohl richtige,
als auch falsche Schlüsse gezogen werden.
Das Zeichen für die Oder-Verknüpfung ist ein stilisiertes v, das für vel (lat.
oder) steht. Für die Oder-Verknüpfung wird auch das +“-Symbol
”
verwendet und für die Und-Verknüpfung das ·“-Symbol. Verwendet man
”
dann die 0 für den Wert falsch“ und interpretiert jeden anderen Wert als
”
wahr“, können die logischen Verknüpfungen durch Rechnen mit
”
natürlichen Zahlen durchgeführt werden.
Vor allem in Computersprachen werden die aus dem Englischen
stammenden Begriffe NOT (Negation), AND (Konjunktion), OR
(Disjunktion), EXOR oder XOR (exclusive or, Antivalenz) und deren
Negationen NAND (negierte Konjunktion), NOR (negierte Disjunktion)
und NXOR (Äquivalenz) verwendet.
Aussagenlogik
Logische Operationen
1-2
In der folgenden Tabelle sind die Wahrheitswerte der vorgestellten
Verknüpfungen angegeben. Dabei steht w für wahr und f für falsch.
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
Aussagenlogik
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
A 6≡ B
f
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
Logische Operationen
A⇔B
w
f
f
w
1-3
Beispiel:
Darstellung von Aussagen als Schalter
geschlossen ⇔ wahr, geöffnet ⇔ falsch
Und-Verknüpfung (seriell)
Oder-Verknüpfung (parallel)
B
A
B
A
negierte Aussage: Schalter der bei falscher Aussage geschlossen ist
Aussagenlogik
Logische Operationen
2-1
Antivalenz: A 6≡ B bzw. (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
A
B
Äquivalenz: A ⇔ B bzw. (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
A
B
Implikation: A ⇒ B bzw. ¬A ∨ B
B
A
Aussagenlogik
Logische Operationen
2-2
DIN 40900 Symbole für Schaltungen
Konjunktion
Disjunktion
A
Antivalenz
A
&
X
B
B
Negation
A
≥1
1
Implikation
X
B
wahr: 1, falsch: 0,
Aussagenlogik
X
B
Äquivalenz
A
A
=1
X
A
≥1
=1
X
X
B
Negation: Kreis
Logische Operationen
2-3
Umformungsregeln für logische Operationen
Für logische Operationen gelten die folgenden Identitäten.
Assoziativgesetze:
(A ∧ B) ∧ C
(A ∨ B) ∨ C
= A ∧ (B ∧ C )
= A ∨ (B ∨ C )
Kommutativgesetze:
A∧B = B ∧A
A∨B = B ∨A
De Morgansche Regeln:
¬(A ∧ B) = (¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∨ B) = (¬A) ∧ (¬B)
Aussagenlogik
Logische Operationen
3-1
Distributivgesetze:
(A ∧ B) ∨ C
= (A ∨ C ) ∧ (B ∨ C )
(A ∨ B) ∧ C
= (A ∧ C ) ∨ (B ∧ C )
Sonstige:
¬(¬A) = A
A∧A = A
A∨A = A
Alternative Darstellungen:
Implikation:
Äquivalenz:
Antivalenz:
Aussagenlogik
A⇒B
A⇔B
A 6≡ B
=
=
=
¬A ∨ B
=
¬A ⇐ ¬B
(A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
(A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B)
Logische Operationen
3-2
Die alternativen Formulierungen werden oft in Beweisen benutzt.
Ein logischer Ausdruck, der unabhängig vom Wahrheitswert der
auftretenden Aussagen immer wahr bzw. immer falsch ist, wird als
Tautologie bzw. Kontradiktion bezeichnet. Ein solcher Ausdruck kann bei
einer Umformung durch w (oder 1) bzw. f (oder 0) ersetzt werden.
Insbesondere gelten die Identitäten:
A ∨ ¬A = w bzw. A ∧ ¬A = f ,
A ∨ w = w bzw. A ∧ w = A ,
A ∨ f = A bzw. A ∧ f = f .
Aussagenlogik
Logische Operationen
3-3
Beweis:
untersuche alle Möglichkeiten für die Wahrheitswerte der Aussagen
Tabelle für die erste De Morgansche Regel
¬(A ∧ B)
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
A∧B
w
f
f
f
¬A
f
f
w
w
=
¬B
f
w
f
w
(¬A) ∨ (¬B)
¬(A ∧ B), (¬A) ∨ (¬B)
f
w
w
w
analoge Argumentation für andere Regeln
Aussagenlogik
Logische Operationen
4-1
Beispiel:
Umformung der Aussage
|x − 1| > 1 =⇒ (x < 0) ∨ (x > 2)
| {z }
{z
}
|
A
B
De Morgansche Regel =⇒
¬B = ¬(x < 0) ∧ ¬(x > 2) = (x ≥ 0) ∧ (x ≤ 2) = 0 ≤ x ≤ 2
(A ⇒ B)
⇔
(¬B =⇒ ¬A), d.h.
0 ≤ x ≤ 2 =⇒ |x − 1| ≤ 1
=
w
Alternative: benutze Definition der Implikation
(¬A) ∨ B = |x − 1| ≤ 1 ∨ (x < 0) ∨ (x > 2)
ebenfalls = w , da für alle x ∈ R richtig.
Aussagenlogik
Logische Operationen
5-1
Quantoren
Als Abkürzung für die Formulierungen
es gibt . . .“, für alle . . .“
”
”
werden der Existenzquantor ∃ und der Allquantor ∀ verwendet. Diese
Quantoren werden häufig in Verbindung mit Aussagen A(p) benutzt, die
von einem Parameter p aus einer Menge P abhängen.
Schreibweise
∃ p ∈ P : A(p)
∀ p ∈ P : A(p)
Aussagenlogik
Bedeutung
es gibt mindestens ein p aus P, für das A(p) wahr ist
für alle p aus P ist A(p) wahr
Quantoren
1-1
Bei der Negation der beiden Aussagentypen vertauschen sich die
Quantoren:
¬ ∃ p ∈ P : A(p) = ∀ p ∈ P : ¬A(p)
¬ ∀ p ∈ P : A(p) = ∃ p ∈ P : ¬A(p)
Gebräuchlich ist ebenfalls die Schreibweise ∃! für die Formulierung es gibt
”
genau ein . . .“.
Aussagenlogik
Quantoren
1-2
Beispiel:
Konvergenz der Folge a1 , a2 , . . . gegen 0:
∀ ε > 0 ∃ nε ∀ n ∈ N : n > nε =⇒ |an | < ε
Negation durch Negieren der Kernaussage und Ersetzen der Quantoren,
∃↔∀
Ersetzen der Implikation und Anwendung der Morganschen Regel
¬(n > nε =⇒ |an | < ε) = ¬(n ≤ nε ∨ |an | < ε) = n > nε ∧ |an | ≥ ε
negierte Aussage:
∃ ε > 0 ∀ nε ∃ n ∈ N : n > nε ∧ |an | ≥ ε
Vereinfachung: ∃ ε > 0 : |an | ≥ ε für unendlich viele n ∈ N
Aussagenlogik
Quantoren
2-1
Direkter Beweis
Eine Behauptung B kann bewiesen werden, indem sie aus bekannten
wahren Aussagen A hergeleitet oder auf solche zurückgeführt wird:
A =⇒ B .
Die Aussagen A können dabei auch Voraussetzungen beinhalten, die für
die Gültigkeit der Behauptung B notwendig sind.
Aussagenlogik
Direkter Beweis
1-1
Beispiel:
b
Satz des Pythagoras
a
a2 + b 2 = c 2
c
direkter Beweis
Winkelsumme = 180◦
=⇒ Partition des Quadrates
β
Addition der Flächeninhalte =⇒
c
a-b
b
α
c2 =
a
c
Aussagenlogik
b
βα
(b − a)2 + 4 (ab)/2
| {z }
| {z }
kleines Quadrat
2
2
Dreieck
= a +b
Direkter Beweis
2-1
Indirekter Beweis
Um zu zeigen, dass aus Voraussetzungen V eine Behauptung B folgt
(V =⇒ B), kann man die Annahme, dass die Aussage B bei Gültigkeit der
Voraussetzungen V falsch ist, zu einem Widerspruch führen:
V ∧ (¬B) =⇒ F ,
mit einer falschen Aussage F , insbesondere F = ¬V oder F = B.
Speziell gilt
B = (¬B =⇒ F ) = (¬B ⇒ B) ,
falls keine Voraussetzungen getroffen sind.
Aussagenlogik
Indirekter Beweis
1-1
Erläuterung:
(i)
V ∧ (¬B) =⇒ F
⇔
¬(V ∧ (¬B)) ∨ F = (¬V ) ∨ B ∨ F
wahr g.d.w. B wahr, denn ¬V , F falsch
(ii) äquivalente Darstellung von B
¬B =⇒ F
=
B ∨F
wahr g.d.w. B wahr, da F falsch
¬B =⇒ B
Aussagenlogik
=
=
B ∨B
B
Indirekter Beweis
2-1
Beispiel:
√
indirekter Beweis der Irrationalität von 2
nehme an, dass die Behauptung B falsch ist:
¬B :
√
2=
p
q
mit V : p, q ∈ N ∧ ggT(p, q) = 1
mit ggT dem größten gemeinsamen Teiler
Quadrieren und Multiplikation mit q 2
2q 2 = p 2
=⇒
p 2 und p gerade: p = 2r
2
2
q = 2r
=⇒
q gerade
Widerspruch zu ggT(p, q) = 1, d.h.
(¬B) =⇒ ¬V = F ,
also ist B wahr
Aussagenlogik
Indirekter Beweis
3-1
Vollständige Induktion
Aussageformen mit natürlichen Zahlen als Parametern kann man mit
vollständiger Induktion beweisen. Ist A(n) eine von n ∈ N abhängige
Aussage, so sind dazu die folgenden beiden Beweisschritte durchzuführen.
Induktionsanfang: Man zeigt, dass A(1) richtig ist.
Induktionsschluss: Man zeigt, dass aus der Annahme, dass A(n)
richtig ist (Induktionsvoraussetzung), folgt, dass auch A(n + 1) richtig
ist, d.h.
A(n) =⇒ A(n + 1) .
Dann ist gewährleistet, dass A(n) für alle n ∈ N gilt.
Bei einem Induktionsbeweis wird sukzessive das Nächste aus dem
Vorherigen gefolgert. Wird der Induktionsanfang nicht für n0 = 1, sondern
für ein n0 > 1 durchgeführt, so gilt die Aussage nur für alle n ≥ n0 .
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
1-1
Beispiel:
Beweis der Formel für die Summe der Quadratzahlen,
A(n) :
n
X
k=1
1
k 2 = 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1) ,
6
mit vollständiger Induktion
Induktionsanfang (A(1)):
1
X
k=1
Aussagenlogik
k 2 = 12 =
1·2·3
6
Vollständige Induktion
2-1
Induktionsschluss (A(n) =⇒ A(n + 1)):
n+1
X
k2 =
k=1
n
X
k=1
k 2 + (n + 1)2 =
n(n + 1)(2n + 1)
+(n + 1)2
6
|
{z
}
A(n)
=
(n + 1) n(2n + 1) + 6(n + 1)
(n + 1)(n + 2)(2n + 3)
=
6
6
Verwendung der Induktionsvoraussetzung bei der zweiten Gleichheit
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
2-2
Beispiel:
Anzahl der Spiele bei einem Tennis-Turnier (K.O.-System) mit 2n
Teilnehmern
2n − 1
(n = 7 bei einem Grand-Slam)
(i) Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang (n = 1):
2 = 21 Teilnehmer
1 = 21 − 1 Spiele
Induktionsschluss (n → n + 1):
2n+1 Teilnehmer
zwei Gruppen mit je 2n Teilnehmern
Induktionsvoraussetzung
=⇒
[2n − 1] Spiele in jeder Gruppe
zusätzliches letztes Spiel für die Sieger der beiden Gruppen
2 · [2n − 1] + 1 = 2n+1 − 1
Spiele bei 2n+1 Teilnehmern
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
3-1
(ii) einfachere Argumentation ohne vollständige Induktion:
Beim K.O.-System verliert bis auf den Gewinner jeder Teilnehmer genau
einmal; jedes Spiel hat genau einen Verlierer.
ein Spiel weniger als die Teilnehmerzahl
Alternativbeweis auch bei Teilnehmerfeldern beliebiger Größe anwendbar
(z.B. bei Freilosen)
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
3-2
letzte 3 Runden des Wimbledon-Turniers von 1985
g replaements
Gunthardt
4:6, 3:6, 2:6
Jarryd
Jarryd
6:2, 6:7, 3:6, 3:6
Beker
Leonte
6:7, 6:3, 3:6, 4:6
Beker
Beker
6:3, 6:7, 7:6, 6:4
Beker
MEnroe
2:6, 2:6, 4:6
Curren
Curren
6:2, 6:2, 6:1
Curren
Connors
6:1, 7:6, 6:2
Connors
Auna
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
3-3
Beispiel:
falsche Aussage
Alle Mäuse sind grau“
”
Beweis mit vollständiger Induktion
Induktionsschluss (n → n + 1):
n + 1 Mäuse: M1 , . . . , Mn+1
M1 , . . . , Mn und M2 , . . . , Mn+1 jeweils grau nach
Induktionsvoraussetzung
=⇒
n + 1 Mäuse grau
Grund für den Widerspruch: fehlender Induktionsanfang
Aussagenlogik
Vollständige Induktion
4-1
Menge
Eine Menge A besteht aus verschiedenen Elementen a1 , a2 , . . .:
A = {a1 , a2 , . . .} .
Werden die Elemente durch eine Eigenschaft E charakterisiert, so schreibt
man
A = {a : a besitzt die Eigenschaft E } .
Die Reihenfolge der Elemente ist dabei unerheblich.
Mengen
Schreibweise
a∈A
a∈
/A
A⊆B
A 6⊆ B
A⊂B
|A|
∅
Bedeutung
a ist Element von A
a ist nicht Element von A
A ist Teilmenge von B
A ist keine Teilmenge von B
A ist echte Teilmenge von B
Anzahl der Elemente in A
leere Menge
Menge
1-1
Gilt |A| < ∞ bzw. = ∞, so spricht man von einer endlichen bzw.
unendlichen Menge. Mengen heißen gleichmächtig, wenn es eine bijektive
Abbildung zwischen ihren Elementen gibt (|A| = |B| für endliche Mengen).
Die Menge P(A) aller Teilmengen von A wird als Potenzmenge
bezeichnet, d.h.
P(A) = {B : B ⊆ A} .
Dabei gilt ∅ ∈ P(A), A ∈ P(A) und |P(A)| = 2|A| .
Mengen
Menge
1-2
Zahlenmengen
Für folgende Zahlenmengen benutzt man Standardbezeichnungen.
natürliche Zahlen: N = {1, 2, . . .}
ganze Zahlen: Z = {. . . , −1, 0, 1, . . .}
rationale Zahlen: Q = {p/q : p ∈ Z, q ∈ N, ggT(p, q) = 1}
reelle Zahlen: R = {x : x = limn→∞ qn , qn ∈ Q}
komplexe Zahlen: C = {x + iy : x, y ∈ R, i2 = −1}
Gebräuchlich sind ebenfalls die Schreibweisen N0 = N ∪ {0} und
+
−
+
−
R+ = {x ∈ R : x > 0} und dazu entsprechend Z− , Z−
0 , Q , Q0 , Q , Q0
+
−
R0 , R− , R0 .
Mengen
Menge
2-1
Mengenoperationen
Für zwei Mengen A und B sind die folgenden Operationen definiert.
Vereinigung:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B} ,
Durchschnitt:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} ,
Differenz, Komplementärmenge:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈
/ B} ,
symmetrische Differenz:
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Mengen
Menge
3-1
In der Abbildung sind die Mengenoperationen mit Hilfe sogenannter
Venn-Diagramme illustriert.
B
A
A
A∩B
Mengen
A∪B
B
A
B
A
B
B
A
B
A
B
A
A\B
A∆B
Menge
3-2
Ist B ⊂ A, fallen einige der Diagramme zusammen:
A
A
B
A=A∪B
Mengen
A
B
B
B =A∩B
A \ B = A∆B
Menge
3-3
Regeln für Mengenoperationen
Für Mengenoperationen gelten die folgenden Identitäten.
Assoziativgesetze:
(A ∩ B) ∩ C
(A ∪ B) ∪ C
= A ∩ (B ∩ C )
= A ∪ (B ∪ C )
Kommutativgesetze:
A∩B = B ∩A
A∪B = B ∪A
De Morgansche Regeln:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
C \(A ∪ B) = (C \A) ∩ (C \B)
Mengen
Menge
4-1
Distributivgesetze:
(A ∩ B) ∪ C
(A ∪ B) ∩ C
= (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
= (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
Diese Regeln entsprechen den Gesetzen für logische Operationen, wenn
man die Operatoren ∪, ∩ durch ∧, ∨ ersetzt und C \ durch ¬.
Mengen
Menge
4-2
Beweis:
erste De Morgansche Regel:
C \(A ∩ B) = (C \A) ∪ (C \B)
linke Menge
x ∈ C \(A ∩ B) ⇔ x ∈ C ∧ x ∈
/ (A ∩ B)
⇔ x ∈ C ∧ (x ∈
/ A∨x ∈
/ B)
Distributivgesetz für logische Operationen
Darstellung
=⇒
äquivalente
(x ∈ C ∧ x ∈
/ A) ∨ (x ∈ C ∧ x ∈
/ B) ⇔ x ∈ (C \A ∪ C \B)
x in rechter Menge
analoge Argumentation für die anderen Gesetze
Mengen
Menge
5-1
Kartesisches Produkt
Das kartesische Produkt zweier Mengen A und B ist die Menge aller
geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen:
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B} .
Es gilt
(a, b) = (a0 , b 0 ) ⇔ (a = a0 ∧ b = b 0 ) .
d.h. im Gegensatz zu der Gleichheit von Mengen ({a, b} = {b, a}) ist die
Reihenfolge wesentlich.
Für endliche Mengen gilt |A × B| = |A| · |B|.
Entsprechend definiert man das n-fache kartesische Produkt
A1 × · · · × An
als die Menge aller geordneten Tupel (a1 , . . . , an ) mit ai ∈ Ai . Sind die
Mengen gleich, so schreibt man An = A × · · · × A.
Mengen
Kartesisches Produkt
1-1
Relation
Stehen Elemente einer Menge A in Beziehung zu Elementen aus einer
Menge B, so kann dies mit Hilfe einer Relation ausgedrückt werden. Diese
besteht aus geordneten Paaren (a, b) der Elemente, die durch die
Beziehung verknüpft sind. Eine Relation R ist also eine Teilmenge des
kartesischen Produkts von A und B. Man sagt a steht in Relation zu b
und schreibt a R b:
a R b ⇔ (a, b) ∈ R ⊆ A × B .
Mengen
Relation
1-1
Beispiel:
relationale Datenbank, z.B. Zuordnung von Vorlesungen und Studierenden
Mtr.-Nr. Name
1000000
Anton Antonius
Vorlesung
Raum
1000001
Berta Bethel
Höhere Mathematik I
V57.01
1000002
Cornelius Cornell
Knigge für Studierende
V47.02
1000003
Damian Damien
1000004
Egon Ekel
1000005
Frank Frankfurth
Mengen
Relation
2-1
Eigenschaften von Relationen
Eine Relation R auf einer Menge A (R ⊆ A × A) heißt
reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht:
∀a ∈ A : a R a
symmetrisch, wenn die Reihenfolge der Elemente keine Rolle spielt:
a R b =⇒ b R a
antisymmetrisch, wenn aus der Symmetrie die Identität folgt:
a R b ∧ b R a =⇒ a = b
transitiv, wenn aus einer Kette das mittlere Element entfernt werden
kann: a R b ∧ b R c =⇒ a R c
total, wenn je zwei Elemente in mindestens einer Richtung in Relation
stehen: ∀a, b ∈ A : a R b ∨ b R a
Mengen
Relation
3-1
Ist eine Relation reflexiv, symmetrisch und transitiv, so wird sie
Äquivalenzrelation genannt. Es wird dann meist a ∼ b statt a R b oder
(a, b) ∈ R geschrieben. Eine Äquivalenzrelation unterteilt die Menge A in
disjunkte Teilmengen (Äquivalenzklassen), wobei zwei Elemente einer
Teilmenge zueinander in Relation stehen (äquivalent sind), während zwei
Elemente aus unterschiedlichen Teilmengen dies nicht tun.
Ist eine Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so ist sie eine
Halbordnung und man schreibt meist a ≤ b statt a R b oder (a, b) ∈ R. Ist
eine Halbordnung zusätzlich total, heißt sie (totale) Ordnung und A heißt
durch ≤ geordnet.
Mengen
Relation
3-2
Beispiel:
(i) Mengeninklusion ⊆:
Halbordnung in der Potenzmenge P(M) einer Menge M
A⊆A
reflexiv
A⊆B ∧B ⊆A⇒A=B
antisymmetrisch
A⊆B⊆C ⇒A⊆C
transitiv
keine Ordnung, falls |M| > 1:
a, b ∈ M, a 6= b : {a} 6⊆ {b} ∧ {b} 6⊆ {a}
(⊆ nicht total)
Mengen
Relation
4-1
(ii) hat gleich viele Elemente wie“:
”
Äquivalenzrelation in P(M) für eine endliche Menge M
|A| = |A|
reflexiv
|A| = |B| ⇒ |B| = |A|
symmetrisch
|A| = |B| = |C | ⇒ |A| = |C |
transitiv
Mengen
Relation
4-2
Abbildung
Unter einer Abbildung f von einer Menge A in eine Menge B versteht man
eine Vorschrift, die jedem a ∈ A eindeutig ein bestimmtes b = f (a) ∈ B
zuordnet:
f : A −→ B .
Für die Elementzuordnung verwendet man die Schreibweise
a 7→ b = f (a)
und bezeichnet b als das Bild von a, bzw. a als ein Urbild von b.
Ist M ⊆ A, so heißt f (M) = {f (m) : m ∈ M} ⊆ B das Bild von M und
für N ⊆ B heißt f −1 (N) = {a : f (a) ∈ N} ⊆ A das Urbild von N unter
der Abbildung f .
Die Menge f (A) heißt Wertebereich und A Definitionsbereich der
Abbildung f .
Abbildungen
Abbildung
1-1
Eine Abbildung kann man folgendermaßen illustrieren.
A
B
a
a′
b = f (a)
Wie aus dem Bild ersichtlich ist, müssen nicht alle Elemente aus B als Bild
eines Elementes aus A auftreten und ein Element aus B darf auch Bild
mehrerer Elemente aus A sein, d.h. Elemente aus der Bildmenge können
mehrere Urbilder haben. Es muss allerdings für jedes Element aus A ein
eindeutiges Bild geben, das heißt von jedem a muss genau ein Pfeil
ausgehen.
Statt Abbildung verwendet man auch den Begriff Funktion, insbesondere
in der reellen und komplexen Analysis.
Abbildungen
Abbildung
1-2
Eigenschaften von Abbildungen
Eine Abbildung
f : A −→ B
zwischen zwei Mengen A und B heißt
injektiv, falls f (a) 6= f (a0 ) für alle a, a0 ∈ A mit a 6= a0
surjektiv, falls es für jedes b ∈ B ein a ∈ A gibt mit f (a) = b
bijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Diese Begriffe lassen sich anhand von Mengendiagrammen illustrieren:
injektiv
Abbildungen
surjektiv
bijektiv
Abbildung
2-1
Beispiel
Abbildungen zwischen den natürlichen Zahlen
f : N −→ N
(i) Bijektiv:
f (n) = n − (−1)n
vertauscht benachbarte Zahlen
1 7→ 1 − (−1)1 = 1 + 1 = 2
2 7→ 2 − (−1)2 = 2 − 1 = 1
3 7→ 4
4 7→ 3
···
Abbildungen
Abbildung
3-1
(ii) Surjektiv:
n 7→ Anzahl der Dezimalziffern
zu jeder Ziffernzahl f (n) gibt es ein Urbild n.
(iii) Injektiv:
f (n) = n2
für n, n0 ∈ N gilt: n 6= n0 =⇒ n2 6= n02
(iv) Weder surjektiv noch injektiv:
n 7→ nächstgrößere Primzahl
nicht surjektiv, da nur Primzahlen als Bilder auftreten
nicht injektiv, da z.B. f (14) = 17 = f (15)
Abbildungen
Abbildung
3-2
Verknüpfung von Abbildungen
Die Verknüpfung oder Komposition zweier Abbildungen f : A → B und
g : B → C ist durch
a 7→ (g ◦ f )(a) = g (f (a)),
a ∈ A,
definiert und in dem folgendem Diagramm veranschaulicht.
g
f
A
B
C
g◦f
Abbildungen
Verknüpfung von Abbildungen
1-1
Die Verknüpfung ◦ ist assoziativ, d.h.
(h ◦ g ) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
aber nicht kommutativ, denn im Allgemeinen ist f ◦ g 6= g ◦ f .
Abbildungen
Verknüpfung von Abbildungen
1-2
Beispiel
Abbildungen auf der Menge der Teilmengen von R
f (D) = D ∩ [0, 2), g (D) = D ∪ [0, 3), h(D) = D \ [2, 3)
(i) Verknüpfung nicht kommutativ, z.B.
(f ◦ g )([1, 4)) = f ([0, 4)) = [0, 2)
(g ◦ f )([1, 4)) = g ([1, 2)) = [0, 3)
(ii) Verknüpfung assoziativ
(h ◦ g )(D 0 ) = h(D 0 ∪ [0, 3)) = D 0 ∪ [0, 2)
D 0 = f (D) ⇒ (h ◦ g ) ◦ f (D) = (D ∩ [0, 2)) ∪ [0, 2)) = [0, 2)
gleiches Resultat bei anderer Klammerung
(g ◦ f )(D) = g (D ∩ [0, 2)) = [0, 3)
h ◦ (g ◦ f )(D) = [0, 3) \ [2, 3) = [0, 2)
Abbildungen
Verknüpfung von Abbildungen
2-1
Inverse Abbildung
Für eine bijektive Abbildung f : A → B ist durch
b = f (a) ⇔ a = f −1 (b)
die inverse Abbildung f −1 : B → A definiert.
f
A
B
f −1
Insbesondere ist a = f −1 (f (a)), d.h. f −1 ◦ f ist die identische Abbildung.
Abbildungen
Inverse Abbildung
1-1
Fakultät
Das Produkt der ersten n natürlichen Zahlen wird mit
n! = 1 · 2 · · · n
bezeichnet (lies: n Fakultät). Konsistent mit der Definition des leeren
Produktes setzt man 0! = 1.
Die Zahl n! entspricht der Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten n
unterschiedliche Objekte anzuordnen, d.h. der Anzahl der Permutationen
von n Elementen.
Für großes n kann das asymptotische Verhalten von n! mit Hilfe der
Stirlingschen Formel,
√
n! = 2πn (n/e)n (1 + O(1/n)) ,
approximiert werden.
Kombinatorik
Fakultät
1-1
Binomialkoeffizient
Für n, k ∈ N0 mit n ≥ k definiert man den Binomialkoeffizienten
n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)
n
n!
=
.
=
(n − k)!k!
1 · · · (k − 2)(k − 1)k
k
Er gibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer Menge mit n
Elementen an.
Wegen 0! = 1 gilt insbesondere
0
n
n
= 1,
=
=1
0
n
0
und aus der Definition folgt:
Kombinatorik
n
n−k
n
=
.
k
Binomialkoeffizient
1-1
Beispiel
5·4
5
5!
=
= 10
=
3!2!
1·2
2
Auswahl von 2-elementigen Teilmengen aus der Menge {a, b, c, d, e}
{a, b}, {a, c}, {a, d}, {a, e}
{b, a}, {b, c}, {b, d}, {b, e}
···
5 · 4 Teilmengen
Reihenfolge irrelevant
{a, b} = {b, a}, · · ·
Division durch 2
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
2-1
Pascalsches Dreieck
Die Binomialkoeffizienten
n
n!
=
k
(n − k)! k!
lassen sich mit Hilfe der Rekursion
n+1
n
n
=
+
k
k −1
k
in einem Dreiecksschema, dem sogenannten Pascalschen Dreieck,
berechnen.
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
3-1
0
k
1
1
k
1
2
k
1
3
k
4
k
1
1
Kombinatorik
1
2
1
3
3
1
&+.
&+.
&+.
4
6
4
..
.
..
.
..
.
Binomialkoeffizient
1
3-2
Beweis:
zu zeigende Rekursion:
n+1
n
n
=
+
,
k
k −1
k
d.h.
n!
n!
(n + 1)!
=
+
(n + 1 − k)! k!
(n − k + 1)! (k − 1)! (n − k)! k!
Division durch n! und Multiplikation mit (n − k + 1)! k!
n + 1 = k + (n + 1 − k)
Kombinatorik
X
Binomialkoeffizient
4-1
Binomischer Satz
Mit der binomischen Formel lassen sich Potenzen einer Summe von zwei
Variablen berechnen. Für alle n ∈ N0 gilt
n n−1
n
n
n
(a + b) = a +
a b + ··· +
ab n−1 + b n
1
n−1
n X
n n−k k
=
a
b .
k
k=0
Insbesondere ist für n = 2, 3
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2 ,
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab 2 + b 3 .
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
5-1
Beweis:
vollständige Induktion
Induktionsanfang (n = 0):
0 X
0
0
0−k k
a b =
a0 b 0 = 1 = (a + b)0
k
0
k=0
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
6-1
Induktionsschluss (n → n + 1):
Induktionsvoraussetzung
=⇒
n+1
(a + b)
n
= (a + b) (a + b) = (a + b)
n X
n
k=0
k
an−k b k
Indexverschiebung (k ← k − 1) im zweiten Summand
n n+1 X
n n−k+1 k X
n
a
b +
an−k+1 b k
k
k −1
k=0
k=1
n
n
Konvention n+1 = 0 = −1
Summation jeweils von 0 bis
n+1
Rekursion für Binomialkoeffizienten
n
n
n+1
+
=
k
k −1
k
Formel für (a + b)n+1
n+1 X
n+1
Kombinatorik
k=0
k
an+1−k b k
Binomialkoeffizient
6-2
Identitäten für Binomialkoeffizienten
Für Binomialkoeffizienten gelten folgende Identitäten:
n
2
=
n X
n
k=0
n X
k
,
n
0 =
(−1)k , n ≥ 1 ,
k
k=0
k X
n
n−k −1+i
=
, k < n,
k
i
i=0
n−k
X k − 1 + i n
=
, k > 0.
k
k −1
i=0
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
7-1
Beweis:
(i) Erste und zweite Identität:
folgen aus dem Binomischen Lehrsatz,
(a + b)n =
n X
n n−k k
a
b ,
k
k=0
mit a = b = 1 bzw. a = −b = 1
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
8-1
(ii) Dritte und vierte Identität:
wiederholte Anwendung der Rekursionsformel
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k −1
n−1
n−2
n−2
=
+
+
k
k −1
k −2
= ·· ·
n−1
n−2
n−k −1
=
+
+ ··· +
k
k −1
0
k
X
n−k −1+i
=
i
i=0
d.h. die dritte Identität
Substitution (n − k) → k,
Kombinatorik
m
j
=
m
m−j
vierte Identität
Binomialkoeffizient
8-2
Illustration der letzten beiden Identitäten als Summationswege im
Pascalschen Dreieck
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
1
1
3
6
10
4
10
1
5
1
dritte Identität: 1 + 2 + 3 + 4 = 10
vierte Identität: 1 + 3 + 6 = 10
Kombinatorik
Binomialkoeffizient
8-3
Auswahl von Teilmengen
Die folgende Tabelle gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer
Menge mit n verschiedenen Elementen k Elemente auszuwählen, wobei
unterschieden werden muß, ob die Reihenfolge eine Rolle spielt (nicht
sortiert) und Wiederholungen zugelassen sind.
nicht sortiert
ohne Wiederholungen
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
mit Wiederholungen
nk
Kombinatorik
sortiert
n
k
n+k −1
k
Kombinatorik von Mengen
1-1
Beweis:
(i) Auswahl ohne Wiederholungen:
Berücksichtigung der Reihenfolge
n Möglichkeiten für das erste,
(n − 1) Möglichkeiten für das zweite,
...
(n − k + 1) Möglichkeiten für das k-te Element
Gesamtzahl der Möglichkeiten:
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
Ohne Berücsichtigung der Reihenfolge
Division durch die
Anzahl k! der Permutationen von k Elementen, d.h.
n
k
Möglichkeiten
Kombinatorik
Kombinatorik von Mengen
2-1
(ii) Auswahl mit Wiederholungen:
Berücksichtigung der Reihenfolge
n Möglichkeiten für jedes Element, insgesamt
nk
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
Plazierung von n − 1 Markierungen zwischen n + k Punkten
• — • — • — • — • — • — • — •
M
M
M
M
um 1 verminderte Anzahl der Punkte zwischen der (i − 1)-ten und
b Anzahl der Wiederholungen des i-ten Elements
i-ten Markierung −
nach (i)
n+k −1
n−1
mögliche Markierungen
Kombinatorik
Kombinatorik von Mengen
2-2
Beispiel:
Urne mit einer roten, einer grünen und einer blauen Kugel
Anzahl der Möglichkeiten bei zweimaligem Ziehen (n = 3, k = 2)
nicht sortiert
ohne Wiederholungen
(ohne Zurücklegen)
sortiert
n
k
n(n − 1) · · · (n − k + 1)
3
=3
2
n+k −1
k
3·2=6
mit Wiederholungen
(mit Zurücklegen)
nk
32
Kombinatorik
=9
Kombinatorik von Mengen
3+2−1
2
=6
3-1
Beispiel:
deutsches Autokennzeichen:
Kombination von ≤ 3 Buchstaben für den Landkreis oder die Stadt,
≤ 2 weiteren Buchstaben und einer bis zu vierstelligen Zahl
26n mögliche Kombinationen aus n Buchstaben
(26 + 262 + 263 ) · (26 + 262 ) · 9999 = 1.28 · 1011
mögliche Kennzeichen
Kombinatorik
Kombinatorik von Mengen
4-1
Komplexe Zahlen
Um auch Wurzeln aus negativen Zahlen bilden zu können, führt man eine
imaginäre Einheit i als eine der Lösungen von
i2 = −1
ein und bezeichnet
C = {z = x + iy : x, y ∈ R} ,
als Menge der komplexen Zahlen. Dabei werden x und y Real- bzw.
Imaginärteil genannt:
x = Re z, y = Im z ,
insbesondere ist R = {z ∈ C : Im(z) = 0}.
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
1-1
Die komplexen Zahlen bilden einen Körper. Definiert man Addition und
Multiplikation gemäß
z1 + z2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 )
z1 · z2 = x1 x2 − y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 ) ,
so gelten die üblichen Rechenregeln.
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
1-2
Beispiel
(i) Addition:
(2 + 3i) + (4 − 5i) = 6 − 2i
(ii) Multiplikation:
(2 + 3i) · (4 − 5i) = 8 − 10i + 12i − |{z}
15i2
=−15
= 23 + 2i
(i2 = −1)
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
2-1
Komplexe Konjugation
Für eine komplexe Zahl z = x + iy definiert man die konjugiert komplexe
Zahl
z̄ = x − iy .
Geometrisch bedeutet die komplexe Konjugation eine Spiegelung an der
x-Achse: (x, y ) → (x, −y ).
Die komplexe Konjugation ist mit den arithmetischen Operationen
verträglich:
z1 ◦ z2 = z̄1 ◦ z̄2
für ◦ = +, −, ∗, /.
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
3-1
Beispiel
z = 2 − i, w = 1 + 3i
(i) Addition:
z +w
= (2 + i) + (1 − 3i) = 3 − 2i
z +w
= (2 − i) + (1 + 3i) = 3 + 2i
Übereinstimmung
(ii) Multiplikation:
zw
= (2 + i)(1 − 3i) =
(2 + 3) + (1 − 6)i
= 5 − 5i
zw
= (2 − i)(1 + 3i) = (2 + 3) + (−1 + 6)i = 5 + 5i
gleiches Resultat 5 − 5i
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
4-1
Betrag komplexer Zahlen
Der Betrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist als
p
√
|z| = x 2 + y 2 = z z̄
definiert.
Für z ∈ R ist diese Definition konsistent mit der Definition der
Betragsfunktion für reelle Zahlen und besitzt analoge Eigenschaften.
Positivität:
|z| ≥ 0,
|z| = 0 ⇐⇒ z = 0
Multiplikativität:
|z1 z2 | = |z1 | |z2 |,
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |, z2 6= 0
Dreiecksungleichung:
|z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
5-1
Beweis:
(i) Positivität X
(ii) Multiplikativität:
Produkt:
|z1 z2 |2 = |(x1 + iy1 )(x2 + iy2 )|2 = |(x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )|2
= x12 x22 + y12 y22 + x12 y22 + x22 y12
Terme ±2x1 x2 y1 y2 heben sich auf
2
2
|z1 | |z2 | =
(x12
Übereinstimmung mit
+
y12 )(x22
+ y22 )
Quotient:
Anwendung der bewiesenen Identität für das Produkt von Beträgen
|(z1 /z2 )||z2 | = | (z1 /z2 )z2 |
| {z }
⇔
|z1 /z2 | = |z1 |/|z2 |
z1
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
6-1
(iii) Dreiecksungleichung:
Quadrieren der Ungleichungskette und Subtraktion von |z1 |2 + |z2 |2
−2|z1 ||z2 | ≤ z1 z̄2 + z̄1 z2 ≤ 2|z1 ||z2 |
äquivalente Ungleichung
|Re(z1 z̄2 )| ≤ |z1 ||z2 |
bzw.
|x1 x2 + y1 y2 | ≤
q
q
x12 + y12 x22 + y22
erneutes Quadrieren und Subtraktion von x12 x22 , y12 y22
2x1 x2 y1 y2 ≤ x12 y22 + x22 y12
X, da (x1 y2 − x2 y1 )2 ≥ 0
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
6-2
Beispiel:
z = 3 − 4i
Betrag
|z| =
p
32 + 4 2 = 5
binomische Formel
z z̄
= (3 − 4i)(3 + 4i)
= 9 − 16i2 = 9 + 16 = 25
= |z|2
Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen
7-1
Formel von Euler-Moivre
Die Exponentialfunktion mit imaginärem Argument lässt sich mit Hilfe der
trigonometrischen Funktionen ausdrücken:
exp(iϕ) = cos ϕ + i sin ϕ
für ϕ ∈ R. Der Kosinus und der Sinus entsprechen also dem Real- und
Imaginärteil komplexer Zahlen mit Betrag 1 (| exp(iϕ)| = 1).
Invertiert man die obige Formel, so folgt
1 iϕ
e + e−iϕ
2
1 iϕ
=
e − e−iϕ .
2i
cos ϕ = Re eiϕ =
sin ϕ = Im eiϕ
Die Identitäten zwischen exp, cos und sin gehen auf Euler and Moivre
zurück. Sie bilden die Grundlage für die geometrische Interpretation
komplexer Zahlen und spielen in der Fourier-Analysis eine wichtige Rolle.
Komplexe Zahlen
Formel von Euler-Moivre
1-1
Beispiel:
Berechnung trigonometrischer Funktionen für
ϕk = π/2k ,
k = 1, 2, . . .
definiere
xk = Re exp(iϕk ) = cos(ϕk )
| {z }
zk
Andere trigonometrische Funktionen können algebraisch durch die
Kosinus-Funktion ausgedrückt werden:
q
q
1 − xk2
sin ϕk
2
sin ϕk = 1 − xk , tan ϕk =
=
.
cos ϕk
xk
k = 1, 2:
x1 = cos(π/2) = 0,
Komplexe Zahlen
x2 = cos(π/4) =
√
Formel von Euler-Moivre
2/2
2-1
z2 + 1
z2
replaements
z3
=4
=8
Komplexe Zahlen
x2
x3
Formel von Euler-Moivre
2-2
z3 auf der Diagonale des Parallelogramms, normiert
z3 =
z2 + 1
|z2 + 1|
Re (z2 + 1) = x2 + 1, Im (z2 + 1) = Im z2 =
x2 + 1
q
=
x3 = Re z3 = q
(x2 + 1)2 + 1 − x22
Einsetzen von x2 = Re z2 =
√
2/2
1 − x22
√
x3 =
=⇒
x2 + 1
√
=
2
p√
√
2x2 + 2
2
2 + 2/2
allgemeine Rekursion
xk+1 =
cos(π/16) = x4 =
Komplexe Zahlen
p
2xk + 2/2
rq
√
2 + 2 + 2/2,
usw.
Formel von Euler-Moivre
2-3
Gaußsche Zahlenebene
Komplexe Zahlen z = x + iy lassen sich mit den Punkten der Ebene
identifizieren. Der Betrag entspricht dem Abstand vom Ursprung, Realund Imaginärteil sind die Projektionen auf die reelle bzw. imaginäre Achse,
und die konjugiert komplexe Zahl ergibt sich durch Spiegelung an der
reellen Achse.
Im(z)
Im(z)
x
z = reiϕ
z = x + iy
r
y
|z|
ϕ
Re(z)
−ϕ
z = re−iϕ
z = x − iy
Komplexe Zahlen
Re(z)
Gaußsche Zahlenebene
1-1
In Polarkoordinaten erhält man aus der Formel von Euler-Moivre die
Darstellung
z = x + iy = r (cos ϕ + i sin ϕ) = r exp(iϕ)
mit r = |z|. Der Winkel ϕ ist nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt und
wird als Argument von z bezeichnet:
ϕ = arg(z) .
Als Standardbereich (Hauptwert) wird das Intervall (−π, π] vereinbart.
Es gilt
x
Im(z)
= .
tan ϕ =
Re(z)
y
Das Argument arg(z) kann also mit Hilfe der Arcustangens-Funktion aus
dem Quotienten y /x bestimmt werden. Dabei ist der richtige Zweig zu
wählen, d.h. falls Re(z) < 0 muß je nach Vorzeichen von x und y π oder
−π zum Wert der Umkehrfunktion addiert werden.
Komplexe Zahlen
Gaußsche Zahlenebene
1-2
Bezeichnet ϕH = arctan(x/y ) ∈ [−π/2, π/2], (x, y ) 6= (0, 0), den Winkel
des Hauptzweiges von arctan, so ist

x ≥0
 ϕH ,
ϕH + π, x < 0 ∧ y ≥ 0
ϕ = arg z =

ϕH − π, x < 0 ∧ y < 0
Für x = y = 0 ist ϕ beliebig und wird im allgemeinen null gesetzt.
Die Polardarstellung einiger komplexer Zahlen ist in der folgenden Tabelle
angegeben.
√
√
z 1 −1
±i
1ñ i
3 ± i 1 ± 3i
r 1 1
1
2
2
2
ϕ 0 π ±π/2 ±π/4 ±π/6
±π/3
Komplexe Zahlen
Gaußsche Zahlenebene
1-3
Beispiel:
√
(i) Umwandlung von z = 1 + 3i in Polarform:
q
√ 2
√
r = |z| = 12 + 3 = 2, ϕH = arctan( 3) = π/3
wegen x = Re z = 1 ≥ 0 keine Korrektur des Winkels:
ϕ = arg z = ϕH = π/3
und nach Euler-Moivre
z
= 2 exp(i π/3)
= 2 (cos(π/3) + i sin(π/3))
Kontrolle:
cos(π/3) = 1/2,
Komplexe Zahlen
sin(π/3) =
√
3/2
Gaußsche Zahlenebene
X
2-1
(ii) Umwandlung von z = −1 + i in Polarform:
r = |z| =
√
2,
ϕH = arctan(−1) = −π/4
wegen x = Re z = −1 < 0 Korrektur des Winkels:
y = Im z = 1 ≥ 0
=⇒
ϕ = arg z = ϕH + π = −π/4 + π = 3π/4
Formel von Euler-Moivre
z=
√
2 exp(i (3π/4))
(iii) Umwandlung von z = 2 exp(iπ/6) in Standardform:
Formel von Euler-Moivre
z
Komplexe Zahlen
= 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
√
=
3+i
Gaußsche Zahlenebene
2-2
Multiplikation komplexer Zahlen
Das Produkt z1 z2 zweier komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
ist
(x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i = r1 r2 exp(i(ϕ1 + ϕ2 )) .
z1 z2
r2 z1
z1
ϕ2
1
Komplexe Zahlen
r2
Multiplikation komplexer Zahlen
1-1
Geometrisch entspricht die Multiplikation mit einer komplexen Zahl
z = re iϕ einer Streckung um den Faktor r und einer Drehung um den
Winkel ϕ.
Komplexe Zahlen
Multiplikation komplexer Zahlen
1-2
Beispiel:
(i) Produkt von
1+i=
√
2 exp(i π/4),
√
√
3 + 3i = 2 3 exp(i π/3)
Verwendung der Standardform:
√
√
√
(1 + i)( 3 + 3i) = 3 − 3 +
3+3 i
Verwendung der Polarform
√
√
√
2 exp(i π/4) · 2 3 exp(i π/3) = 2 6 exp(i 7π/12)
(ii) Quadrat von
z =3+
√
√
3i = 2 3 exp(i π/6)
√
√
z 2 = 9 + 6 3i − 3 = 6 + 6 3i
= 12 exp(i π/3)
Komplexe Zahlen
Multiplikation komplexer Zahlen
2-1
Division komplexer Zahlen
Der Quotient z1 /z2 zweier komplexer Zahlen
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk )
ist
r1
x1 x2 + y1 y2 x2 y1 − x1 y2
+
i = exp(i(ϕ1 − ϕ2 )) .
2
2
2
2
r2
x2 + y2
x2 + y2
Speziell ist
1
1
1
x
y
= 2 z̄ = exp(−iϕ) = 2 − 2 i .
z
r
r
r
r
Der Kehrwert einer komplexen Zahl läßt sich durch Spiegelung am
Einheitskreis C konstruieren, wie in der Abbildung veranschaulicht ist.
Komplexe Zahlen
Division komplexer Zahlen
1-1
1 v
z
w
z/2
0
1/z
Die komplex konjugierte Zahl w = 1/z̄ ist der Schnittpunkt der
Diagonalen des Vierecks aus den Tangenten an C durch den Punkt z und
den rechtwinklig schneidenden Radii. Die Zahl 1/z erhält man dann durch
Spiegelung an der reellen Achse.
Komplexe Zahlen
Division komplexer Zahlen
1-2
Beweis:
(i) Quotient zweier komplexer Zahlen:
zk = xk + iyk = rk exp(iϕk ),
k = 1, 2
Standardform
z1
z2
=
=
Polarform
Komplexe Zahlen
x1 + iy1
(x1 + iy1 )(x2 − iy2 )
=
x2 + iy2
(x2 + iy2 )(x2 − iy2 )
(x1 x2 + y1 y2 ) + (x2 y1 − x1 y2 )i
x22 + y22
z1
r1 exp(iϕ1 )
r1
=
= exp(iϕ1 − iϕ2 )
z2
r2 exp(iϕ2 )
r2
Division komplexer Zahlen
2-1
(ii) Kehrwert:
1
z
=
=
1
x − iy
=
x + iy
(x + iy )(x − iy )
z̄
z̄
1
= 2 = exp(−iϕ)
2
2
x +y
r
r
(iii) Geometrische Konstruktion mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
|w | |z| = 12
(Quadrat einer Kathete = Produkt von Hypothenuse und entsprechendem
Hypothenusenabschnitt)
korrekter Betrag von w = 1/z̄:
|w̄ | = |w | = 1/|z| = |1/z|
Spiegelung an der reellen Achse
Änderung des Vorzeichen des
Arguments:
arg w̄ = − arg w = − arg z = arg(1/z)
Komplexe Zahlen
Division komplexer Zahlen
2-2
Beispiel:
√
3i) + 2 exp(−iπ/6)
exp(iπ/2)(1 − i)
Summe im Zähler in Standardform:
√
√
√
√
(1 + 3i) + 2
3/2 − i/2 = (1 + 3) + ( 3 − 1)i
(1 +
Produkt im Nenner in Polarform:
√
√
exp(iπ/2) · 2 exp(−iπ/4) = 2 exp(iπ/4) = 1 + i
Quotient, erweitert mit (1 − i)
√
√
√
((1 + 3) + ( 3 − 1)i)(1 − i)
2 3 − 2i
=
= 2 exp(−iπ/6)
(1 + i)(1 − i)
2
bzw. in Standardform
2(cos(π/6) − i sin(π/6)) =
Komplexe Zahlen
√
3−i
Division komplexer Zahlen
3-1
Beispiel:
Spannung und Stromstärke bei linearen Wechselstromnetzwerken
U(t) = U0 e i(ωt+ϕ) ,
I (t) = I0 e i(ωt+ψ)
zeitunabhängiger komplexer Widerstand
Z = U(t)/I (t)
Widerstand R
Spule L
Kondensator C
Z =R
Z = iωL
Z = (iωC )−1
Komplexe Zahlen
Division komplexer Zahlen
4-1
Addition der komplexen Widerstände bei Serienschaltung:
Zgesamt = Z1 + Z2
Addition der Kehrwerte der komplexen Widerstände bei Parallelschaltung:
1
Zgesamt
=
Re Z : Wirkwiderstand,
oder Impedanz
1
1
+
Z1 Z2
⇒
Zgesamt =
Im Z : Blindwiderstand,
Z1 Z2
Z1 + Z2
|Z |: Scheinwiderstand
ωL = 100Ω
(ωC)−1 = 200Ω
Komplexe Zahlen
R = 300Ω
Division komplexer Zahlen
4-2
Gesamtwiderstand
R(iωC )−1
300Ω(−200iΩ)
Zgesamt = iωL +
= 100iΩ +
R + (iωC )−1
300Ω − 200iΩ
1200 − 500i
6i
· 100Ω =
Ω ≈ (92.31 − 38.46i)Ω
=
i−
3 − 2i
13
Wechselspannung von Ueffektiv = 220V
Ieffektiv =
Komplexe Zahlen
Effektivstrom
220V
Ueffektiv
=
= 2.2A
|Z |
100Ω
Division komplexer Zahlen
4-3
Komplexe Einheitswurzeln
Die Gleichung
zn = 1
hat in C genau n Lösungen
zk = wnk ,
wn = exp(2πi/n),
k = 0, . . . , n − 1 ,
die als Einheitswurzeln bezeichnet werden.
Komplexe Zahlen
Einheitswurzeln
1-1
Im z
wn1
wn0 = 1
Re z
wnn−1
Wie in der Abbildung veranschaulicht ist, bilden die Einheitswurzeln ein
dem Einheitskreis einbeschriebenes regelmäßiges n-Eck.
Komplexe Zahlen
Einheitswurzeln
1-2
Beispiel:
(i) Kubische Einheitswurzeln:
zk = exp(2πik/3),
k = 0, 1, 2
Formel von Euler Moivre
z0 = exp(0) = 1
√
z1 = exp(2πi/3) = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = −1/2 + i 3/2
√
z2 = exp(4πi/3) = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = −1/2 − i 3/2
mehrdeutige Wurzel: 3 verschiedene Werte für z 1/3
(ii) Quartische Einheitswurzeln:
1, i, −1, −i
Komplexe Zahlen
Einheitswurzeln
2-1
Beispiel:
Lösen der Gleichung
z 3 + 3z 2 i − 3z + 7i = 0
Raten der Nullstelle z1 = i
Polynomdivision
(z 3 + 3z 2 i − 3z + 7i) / (z − i) = z 2 + 4zi − 7
Lösungsformel für quadratische Gleichungen
Alternative Lösung:
binomische Formel
äquivalente Gleichung
z2,3 = −2i ±
√
3
(z + i)3 = −8i
Darstellung komplexer Einheitswurzeln
(−8i)1/3 = (2i)11/3 = (2i) exp(2πk/3),
k = 0, 1, 2
und
zk = −i + (2i) exp(2πik/3),
Komplexe Zahlen
k = 0, 1, 2
Einheitswurzeln
3-1
Potenzen einer komplexen Zahl
Um Potenzen komplexer Zahlen zu bilden, verwendet man am
geeignetsten die Polarform z = re iϕ . Für m ∈ Z ist
z m = r m e imϕ .
Die gleiche Formel bleibt auch für rationale Exponenten m = p/q ∈ Q
richtig, allerdings ist das Ergebnis aufgrund der Mehrdeutigkeit der q-ten
Einheitswurzel nicht eindeutig. Da die Gleichung w q = 1 die q Lösungen
w = wqk ,
wq = exp (2πi/q) ,
k = 0, . . . , q − 1
besitzt, erhält man entsprechend
r p/q exp (ipϕ/q) wqkp ,
k = 0, . . . , q − 1
als mögliche Werte für z p/q .
Komplexe Zahlen
Potenzen
1-1
Beispiel:
z = (−1 + i)2/3
Polarform: r =
√
√
1 + 1, ϕ = arctan(1/(−1)) + π = 3π/4
2/3 √
3
= 2 exp(πi/2)w32k ,
2 exp(3πi/4)
k = 0, 1, 2
w3 = exp(2πi/3)
mögliche Werte:
z0 =
Komplexe Zahlen
√
3
2i
√
√
3
2( 3/2 − i/2)
√
√
√
3
3
=
2 i exp(8πi/3) = 2 − 3/2 − i/2)
z1 =
z2
√
3
2 i exp(4πi/3) =
Potenzen
2-1
Bestätigung durch Probe:
z13 =
√
3
3
2 i exp(4πi/3) = 2i3 exp(4πi) = −2 i = (−1 + i)2
| {z }
=1
d.h. z1 = (−1 + i)2/3
Probe für z0 und z2 analog
Komplexe Zahlen
Potenzen
2-2
Beispiel:
unendlich viele Lösungen für irrationale oder imaginäre Exponenten
unendlich viele Lösungen auf dem Einheitskreis:
iπ = exp((π/2 + 2πk)i)π
= exp i[π 2 /2 + 2π 2 k] ,
k ∈Z
unendlich viele Lösungen auf einer Halbgeraden:
π i = exp(ln π + 2πki)i = exp(i ln π − 2πk)
= exp(−2πk) exp(i ln π),
k ∈Z
unendlich viele Lösungen auf der positiven reellen Achse:
ii = exp((π/2 + 2πk)i)i
= exp(−π/2 − 2πk),
Komplexe Zahlen
k ∈Z
Potenzen
3-1
Kreis in der Gaußschen Zahlenebene
Die Gleichung
|z − a| = s|z − b|,
s 6= 1 ,
beschreibt einen Kreis C mit Mittelpunkt
w=
1
s2
a
−
b
1 − s2
1 − s2
und Radius
r=
s
|b − a|
|1 − s 2 |
in der Gaußschen Zahlenebene.
Für s = 1 degeneriert der Kreis zu einer Geraden (Radius r = ∞), der
Mittelsenkrechten der Strecke ab. Ist s < 1 so liegt a im Inneren des
Kreises und b außerhalb. Für s > 1 ist es umgekehrt.
Komplexe Zahlen
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
1-1
z
r
w
b
a
Die Parameterform dieses Kreises ist
C : w + re it ,
Komplexe Zahlen
t ∈ [0, 2π) .
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
1-2
Beweis:
(i) Koordinatenform der Kreisgleichung:
setze
z = x + iy , a = a1 + ia2 ,
b = b1 + ib2
Quadrieren der Gleichung |z − a| = s|z − b|
(x − a1 )2 + (y − a2 )2 = s 2 (x − b1 )2 + (y − b2 )2
bzw. nach Umformung
(1 − s 2 )(x 2 + y 2 ) + c1 x + c2 y = d
quadratische Ergänzung
Kreisgleichung
(x − p)2 + (y − q)2 = σr 2
σ > 0 wegen Existenz von Lösungen
Komplexe Zahlen
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
2-1
(ii) Mittelpunkt und Radius:
Einsetzen von z = a + t(b − a)
|t| = s|t − 1|
t1 =
−s
,
1−s
t2 =
s
1+s
Schnittpunkte des Kreises mit der Geraden durch die Punkte a und b
z1 =
z2 =
s
1
a−
b
1−s
1−s
1
s
a+
b
1+s
1+s
Mittelpunkt des Kreises
1
1
s2
w = (z1 + z2 ) =
a
−
b
2
1 − s2
1 − s2
Radius:
1
s
r = |z1 − z2 | =
|b − a|
2
|1 − s 2 |
Komplexe Zahlen
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
2-2
Beispiel:
Kreis
|z| =
1
|z − 3i|
2
(i) Mittelpunkt und Radius gemäß der allgemeinen Formeln:
w
=
r
=
s2
1
1/4
1
a
−
b=
0−
(3i) = −i
2
2
1−s
1−s
1 − 1/4
1 − 1/4
s
1/2
|b − a| =
|3i| = 2
2
|1 − s |
1 − 1/4
(a = 0, b = 3i, s = 1/2)
Komplexe Zahlen
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
3-1
(ii) Bestimmung der Koordinatenform (z = x + iy ):
quadrierte Gleichung
1
x 2 + y 2 = (x 2 + y 2 − 6y + 9)
4
Umformung
x 2 + y 2 + 2y + 1 = 4
⇔ 3x 2 + 3y 2 = −6y + 9
⇔ x 2 + y 2 + 2y = 3
quadratische Ergänzung y 2 + 2y = (y + 1)2 − 1
Standardform
x 2 + (y + 1)2 = 22
Mittelpunkt: (0, −1), Radius: 2
Komplexe Zahlen
Gerade und Kreis in der komplexen Ebene
3-2