Kapitel 2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

Kapitel 2
Potenzen, Wurzeln,
Logarithmen
2.1
Pote nzen mit ganzzahligen Expone nten
2.1.1
Potenze n mit natürlichen Exponente n
Ei n P rodukt a · a· . . . ' a aus n gleichen Faktoren (n
Man schreibt abk ürzend:
a· a · .. .. a = an
> 1) nennt man eine Potenz.
(2.1 )
'--0..--'
n Faktoren
(gelesen: a hoch n).
an ist also eine Potenz, a heißt ihre Basis, n heißt ihr Exponent.
versteht man die Zahl a selbst.
Unter a 1
Beispiele:
on=o;
1)
In = ! ;
2)
25
3)
= 1,067 · 1,067·1,067 ·1,067 = 1,2961572
Die meisten Tasche nrechne r besit~en eine Taste zur Berech nung von Potenzen, meist
0d" äh ,lk h b",;,h,,, D;, TM",'olg, '"' """h'""g '0' ,"
m;t
(2X)1=2z
=2-2-2-2-2=32
(1,06 7)~
I"j I, Ii'l, 0
ist: a y"
4,
n~, also in obigem Beis piel: Eingabe 1,067, dann
0
drücken, Ei ngabe
~ d rücke n: 1,296 1572.
W. Purkert, Brückenkurs Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Studienbücher Wirtschaftsmathematik,
DOI 10.1007/978-3-8348-2325-0_2, © Springer Fachmedien Wiesbaden 2014
64
KAPIT EL 2. PO TENZEN, WURZELN, LOGA RI T HMEN
4)
(-2)' = (-2)(-2)(-2)(-2) = 16
5)
(-I)' = (-1)(-1)(-1) = - 1
6)
Ist der Expo nent ge rade, cl.h. hat er d ie Gestalt 2n , so gi lt (_a)2 .. = 0 2" , insbesondere
(_1)2 n = 1.
7)
Ist der Ex ponent ungerade, d. h. hat er die Gestalt 2n + 1, so gilt (-a?"+! = _a 2"+I,
insbesondere (_1)2n+1 = -1. Die Beispiele 4) und 5) waren konkrete Fälle diese r
allgemeinen Regeln.
Bemerkung: Es ist nötig, zwischen _an und (-a )" zu unterscheiden: - 2~ -16, abe r
(_2)4 = 16, ebenso zwischen ab" und (ab)": 3.23 3-8 = 24 , a ber (3·2)3 = 63 = 216.
=
8)
(:1;+ y)3 = (a: + y)(;t: + Y)(2:
9)
(20 - b)" = (20 - 6)(20- 6)(2(1- b)(2a - b)
=
16a 4
_
+ y)
=:1;3
32(13b + 24a 2 />2
_
=
+ 3:1;2 y + 3xy 2 + 11
8a6 3
+ 64
Insbesondere ist zu beachte n, daß (a + b)n etwas völl ig ande res als an + b" ist! Die
G leichsetzung d ieser beiden Ausd rü cke ist ein oft begangener grober Fehler.
A ddieren und subt rahieren kann man Potenzen nu r, wenn sie sowohl in der
Basis als auch im Exponenten übereinstimmen.
Ausdrücke vom T y p a m ± an oder a m ± bm , in denen nur die Basis oder nur
der Exponent übereinstimmen, lassen sich nicht verein fachen , erst recht nicht
Ausdrücke, in denen sowohl Basis als auch Exponent verschieden sind.
Beispiele:
3)
+ 18b 5 +80 3 +26 5 +6b 2 _ 65 = 20a3 _70 4 + 19b5 + 6b 2
m
m
ax _ bx + eyx m + ax" = (a - b + cy)x m + ax"
r 8 + (-T)~ + T3 + (_r)3 TS + r~ + r J _ r J
2rs
4)
7x 3 + 3z 2 + 6z - 1 - (2z 3 -
I)
2)
1 2a3-7a~
=
Z2
+Z -
=
7) = 5zJ
+ 4z 2 + 5:1: + 6
MultipLikation und Division von Potenzen mit gleichen Exponenten:
Nach (2.1) ist
anb" = a·a· . .. · a· b· b· . . . . b .
~~
n Faktoren n Faktoren
Das ergibt unter Berücks ichtigung von Kommutativ- und Assoziativgesetz der
Mull;pl;kal;on (1.2), (1.4),
.
a"b" = ,(ab)(ab) . . . (abl ,abo
n Faktoren
2.1. POTENZEN MIT GANZZAHLIGEN EXPONENTEN
Ia"b" = (ab)" I
65
(2.2)
Nicht ganz exakt, aber suggestiv, drückt man das so aus:
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen
multipliziert und den Exponenten unverändert läßt.
Diese Regel wird auch oft von rechts nach links benutzt:
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert und die
entstehenden Potenzen miteinander mu ltipliziert.
Nach der Regel über die Multiplikation von Brüchen ((1.14), wenn man sie von
a"
rechts nach links liest) ergi bt sich für bn (bei b =F 0):
a"
a · a· ... ·a
a a
a
( a)"
, also
= bb ... b=~ = b
n Faktoren
(2. 3)
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert , indem man die Basen
dividiert u nd den Exponenten unverändert läßt.
Von rechts !lach links gelesen sagt (2.3):
Ein Bruch wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert und die
ents prechenden Potenzen durcheinander dividiert.
Beispiele:
I)
(-2a6)~
= (_2)4 a 464 = 16(1464
Man beachte den Unterschied zu _(2a6 )4
2)
125x 3 y3 = (5xyf'
3)
(q _ 1j3(q + 1)3 = ((q _ l)(q
4)
(_a)~(_a)4
5)
(,")3
x Jl
6z
= 216z3
= (a 2)4
3
+ 1))3 = (q2
=_16a 464 bzw.
_ 1)3
zu _2(a6)4
=_2a 4b4.
66
6)
KAPITEL 2. POTENZEN, W URZELN, LOGA RIT HMEN
(y)'
16
- (2:1:
+ 3y)~
Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis:
Es ist nach (2.1 ):
a"a m = a . a . .... a · a . a .. . . . a =
~~
n Faktoren m Faktoren
a· a · ... · a
n
~
+m
= an.+m, also
Faktoren
Ia"a'" = a,,+m I
(2.4)
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man d ie Exponenten
addiert.
Beispiele:
. J/ . (:z:y4) = 6zy9
2)
6y~
3)
(ln- 2 b:ta 3 /1m+l = za,,+1/1m+2
4)
(qm _I)(qm
5)
+ 1) = q2m _ 1
(:r::" _ y.. -I)(2z 2 + y3) = 2:z:"+2 + zn,; _ 2:t2yn-1
6)
1.1 10 -"(1.1 10 +"
+ 1J2) = 1.120 + u
l2 -
_ ynH
n
Regel (2 .4 ) wird auch sehr oft von rechts nach links benu tzt , etwa in der Form
= an-kak, also z. B. a 12 = (17 a 5, Das braucht man häufig bei der Bildung
des Hauptnenners in der Bruchrechnu ng oder beim Ausklammern.
an
Beispiele:
1)
(:t_2y)IO läßt sich z. B. zerlegen in (X-2y)9(X-2y) oder in (X_2y)8(X_2y)2 oder
in (x - 2yr(x - 2y)3 usw.
2)
7x 4 + 8x 5y
3)
t',+2 _
4)
+ x 6 = x 4(7 + 8xy + x 2)
3t" + 1',-1 = tn - 1(t 3 - 31 + I)
1 -2
.
·
Brue h zusammenzu f assen.
""Tl
- u
+u
- 3 Ist zu emem
ux
ux
u x
2.1. POTENZEN MIT GA NZZAHLIGEN EXPONENTEN
67
Der Hauptnenner ist hier (vg1. die allgemeinen Bemerkun gen über den Hau ptnenner in
1.1.2) u 2 x 3, Es ist Z(U 2 ;1;1) = u 2 ::r 3 , also ist der erste Bruch mit x zu erweitern. Wegen
(u:l: 2 )(ux)
u 2 :.;3 ist der zweite Bruch mit ux 2 zu erweitern, der dritte schließlich ist
wegen u(\.u:: 3 ) == 1.1 2 x 3 mit u zu erweitern . Also:
=
I
2a
1.12:1:2 -
(I
~
+ ux3 =
x_2a uz 2 +au
u2x 3
5)
6)
3:1: 6
-
(x
=
+ x"y2
y)6
:1:4(3:1:2
(z
+ y2)
y)6
7)
Division von Potenzen mit gleicher Basis:
Die Basis a sei
#- O.
Dann ist
~
-----------n Faktoren
a· a· ... · a
a"
=
a' a· . . . · a
m Faktoren
Ist n > m, so kann man m Faktoren a kürzen.
Im Zähler bleiben dann
n - m Faktoren a übrig, cl.h. an-rn, im Nenner bleibt 1 übrig.
a'
a'
Z.B. ist
Es gilt also:
für n
>m\
(2.5)
Ist n = m, so lassen sich alle Faktoren a kürzen, und es verbleibt 1:
fürn=ml
(2.6)
68
KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN
Ist n < m, so bleiben nach dem Kürzen im Nenner m - n Faktoren a übrig, im
Zähler bleibt 1, also
(27)
Beispiele:
7
26'7-4 :::: 263
I)
26
2)
" Q,,-2
:2::::
::::
"
(n >2)
3)
4)
5)
6)
7)
"H
_"_:::: u ,,+I-(n-3j::::
u,,-3
u4
(denn
,.4-- 4
+ 22:2 _
5r +
1
+ 1> n
-
3)
(dennk- 4 < k +l)
,.,1,+1 :::: ,. ,1,+1 - (4-_4) :::: ,.5
%4 _ 3:1:3
n
ist in einzelne Brü che aufwspalten.
Schließlich ergibt sich aus dem Potenzgesetz (2.4) noch eine Regel für das Potenzieren eine r Potenz:
(a,,)m = [Ln. an ~ ... . a n" = an+n+ n+n
m Faktoren
wobei man im Exponenten m Summanden n hat, der Exponent rechts ist also
n · m.
(2. 8)
Eine Potenz wird potenziert, indem man d ie Exponenten mul tipliziert.
Beispiele:
+ y)2)"+1
:::: (l: + y)2n+2
I)
«x
2)
(x 2 yl)s:::: (x 2 )S(yJ)s::::
3)
(_3a2 ?
;r;1 0 yl~
= (_ 3)3(a 2)3 =
_ 27(16
2.1. POTENZEN M1T GA NZZA HLlGEN EXPONENTEN
4)
69
(2UV2)3 (12u5v4)2
23u3v6 . 45u lOuIS
23 . (22)5u13v21
(6U'V)4 : (4u 2 v 3 )S == 64 u 8 v 4 . 12 2 u 10 tJ8 = 34.24. 32 (2 2 )2 u 18v 12
2 5 1J9
213U13V21
= 36 . 2su IS u l2
2.1.2
-
36uS
Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten
Bei den Regeln (2.5)-(2.7) für d ie Division von Potenzen mußten die drei Fälle
n > m, n = mund n < m unterschieden werden, da bisher nach Definition
(2.1) Potenzen nur für natürliche Zahlen als Exponenten erklärt sind . Wenn
a"
wir wünschen, daß d ie Regel (2.5): - = an-rn. ganz allgemei n, cl .h. auch für
an :$ m gelte, so müßten Potenzen mit dem Exponenten 0 und m it negat ivem
a"
Exponenten erklärt werden. Nun ist - = 1 für a t 0, also muß, damit (2.5)
a"
auch für n = m richtig bleibt, a O = 1 gesetzt werden . Wir definieren also über
(2. 1) hinaus:
Ia' = 1
(ü, a " 0
I
(2.9)
Für jede nicht verschwindende Basis ha.t die Potenz mit dem Exponenten 0
den Wert 1.
a'
1
Damit (2.5) etwa für n = 3, m = 6 gelten soll, müßte 6' was ja 3' ist, gleich
a
a
1
a3 - 6 = a- 3 sein. A lso müßte man unter a- 3 gerade den Wert 3' verstehen.
a
Diese Betrachtung führt uns nun zur allgemeinen Defin ition von Potenzen mit
negativen Exponenten (für a #- 0):
(2.10)
Durch (2.1), (2.9) und (2. 10) ist der Potenzbegriff für beliebige ganzzahlige
Exponenten erklärt. Entscheidend dafür, daß diese Erweiterung wi rklich Sin n
macht, ist die folgende Tatsache (sog. Permanenzprinzip):
Die Potenzgesetze (2.2)-(2.5) und (2.8) gelten unverändert auch fü r den erweiterten Potenzbegriff.
KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN
70
Wir werden den Potenzbegriff im Abschnitt 2.2 noch mehr erweitern und auch
dann werden die Potenzgesetze weiter gültig sein; die Wurzelgesetze werden sich
als nichts anderes als eine neue Schreibweise der Potenzgesetze für gebrochene
Zahlen als Exponenten erweisen . Deshalb muß man sich die Potenzgesetze gut
einprägen und versuchen , sie sicher zu beherrschen.
Beispiele:
')
2)
3)
y4)3(x2 _ y4) _3 = (x 2 _ y4)0 = 1
4)
(x 2
_
5)
xl-
"'X1+"'X - 2 ::
xo "" 1
für x 2 f- y4
für x i- 0
6)
7)
Ocr Bruch
x 2y - 3 z 5
~.
u - ~v
soll so umgeformt werden, daß keine Potenzen mit negativem
Exponenten mehr vorkommen.
2
:1:211 - 325
U
Zv
I
=
1
X"l1' z
1 1
u2" ;;
~
X2z~
7
= -,- =
X 2 Z 5U 2V
y3
u2v
Dasselbe Ergebnis erhält man, wenn man den Bruch mit entsprechenden Potenzen mit
positiven Exponenten erweitert:
5:r:- "
+ 3:r:"- 2
8)
Der Bruch
4
ist so um7.Uformen, daß Potenzen mit negativen Exponenten
x n +x "
nicht mehr vorkommen (n ;:: 1 vorausgesetzt). Wir erweitern mit x n und erhalten:
9)
[(,~,
10)
(_2)- 3)2 = (_2) - 6 = 216
11)
a2 b- 4 b- 4 a- 3
Der Doppelbruch --,-' --.- 2 soll so umgeformt werden, daß gar kein Bruch mehr
r'r'
=
[(t'l-r' = t't- , )( - " = t"
c
a- c-
auftritt. Wir beseitigen erst den Doppelbruch und rechnen dann nach den Potenzgesetzen (2 .4) und (2.5):
2.1. POTENZEN M IT GANZZA HLIGEN EX PONENTEN
2.1.3
71
Binomialkoeffizienten, binomischer Le hrsatz
Binomialkoeffizienten:
Das Prod ukt 1· 2 -3· ... ' n der ersten n natürlichen Zahlen wird mit dem Symbol
n! abgekü rzt (gelesen n Fakultät), also
1 · 2 ·3· .. .. n = n!
01 setzt man = I
(2. 11 )
Z.B. ist I! = 1, 2! = I ·2 = 2, 4! = 1 ·2·3·4 = 24. Die Zahl n! wird
mit wachsendem n schnell sehr groß, l Ot ist. bereits 3628800. Wir denken uns
jetzt eine Menge von n Dingen und fragen, auf wieviel verschiedene Arten man
daraus eine Teilmenge von k Dingen auswählen kann. Die Anzahl d ieser Auswahlmöglich keiten wird mit. dem Symbol (~) (gelesen n über k) bezeichnet. Die
Zahlen (~) (n ist fest, k kann 0,1,2, .. . ,n sein) heißen Binomialkoeffizienten.
G)
Z.B. ist
die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, aus einer Menge von
5 Dingen eine Teilmenge von 2 Di ngen auszuwählen . Nehmen wir als die 5
Dinge die Zahlen 1,2,3,4,5, so haben wi r fo lgende Auswahlen von 2 Dingen :
{1,2}; {1,3}; {1,4); {1,5}; {2,3); {2,4}; {2,5}; {3,4}; {3,5}; {4,5}, .1'0 10
Möglichkeiten. Es ist also
G)
= 10.
(~) ist beispielsweise d ie Anzahl der möglichen T ips beim Lotto, den n das Ziehungsgerät wählt aus 49 Kugel n 6 Kugeln a us, und d ie Anzahl der verschiedenen
Möglichkeiten, dies zu tu n, ist (~9). Wollten wir (:9) nach derselben Methode
bestimmen, wie eben G), so hätten wir mehrere Wochen zu t un .
Es gi bt für (~) folgende Berech nungsformel:
(n)
k
n!
~ k!(n - k) !
(2.12)
Diese Formel kann man durch Kürzen noch ein wenig umgestalten, wobei wir
KAPITEL 2. POTENZEN, WURZELN, LOGARI THMEN
72
n! aufspalten: n! = 1·2·3· ... · (n - k)(n - k + 1)· ... · (n - 1)· n. Damit wird:
also
I(n) ~ n(n-l) ...
(n~k+l)1
1·2· . . . · k
k
(2 .13 )
Für konkrete Berech nu ngen merkt man sich nicht die Formel (2. 13), sondern das
in ihr steckende Verfah ren: Zum Beispiel sei (~) zu berech nen . Wir schreiben
einen Bruchstrich und im Nenner die 6 Faktoren ]·2·3·4·5·6. Dann hat auch der
Zähler 6 Faktoren, beginnend bei 49 und dann absteigen d: 49·48·47·46 ·45·44.
(Leider sind das schrecklich viele mögliche Tips, weshalb man so selten einen
Sechser im Lotto gewin nt).
Weit ere Beispiele:
1)
18)::: 18·17·16·15 = 3060
(4
1·2·3-4
2)
101) ::: 101· 100·99 = 166650
( 3
1 ·2·3
3)
') __ 6·5·43
1 . 2 . 3 . 4 __ 15
(4
werden, allgemein , d.h.
( __ 6_·5
I .2 __ ('))
2
Diese ~Sy mmetrie" gilt, wie wir sehen
(~) = (n: k)
Aus (2.12) folgt noch unter Beachtung von O! == 1
1
(~) ~ 1,
(:)
~ 11
(2 .14)
Ferner folgt aus (2 .12) die schon erwähnte Symmetrie: Ersetzt man k du rch
n - k, so ändert sich der Binomialkoeffizient nicht:
1 (:)
~ (n: k)
1
(2 .1 5)
Das leuchtet auch inhaltlich unmittelbar ein, denn stellen wir uns vor, die Auswahl der k Dinge erfolge durch Färben, dann gibt es genausoviele Möglichkeiten,
http://www.springer.com/978-3-8348-1932-1