Zahlen, Mengen, Abbildungen

Springer-Lehrbuch
Thorsten Pampel
Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
123
Dr. Thorsten Pampel
Universität Bielefeld
Fakultät für Wirtschaftswissenschaften
Universitätsstraße 25
33615 Bielefeld
Germany
[email protected]
ISSN 0937-7433
ISBN 978-3-642-04489-2
e-ISBN 978-3-642-04490-8
DOI 10.1007/978-3-642-04490-8
Springer Heidelberg Dordrecht London New York
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Vorwort
In den Wirtschaftswissenschaften – sowohl in BWL als auch in VWL – wird heutzutage mehr Mathematik verwendet, als viele Studierende erwarten. Bereits in den
ersten Semestern des Bachelorstudiums werden mathematische Methoden genutzt.
Funktionseigenschaften werden untersucht, um Marktgleichgewichte zu bestimmen
oder Entscheidungprobleme zu formulieren und zu lösen. Lineare Gleichungssysteme werden bei der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung oder bei einer InputOutput-Analyse aufgestellt und gelöst. Im weiteren Studienverlauf treten Eigenwerte und Eigenvektoren auf, beispielsweise bei der Analyse zeitlicher Entwicklungen
in Wachstumsmodellen.
Dieses Lehrbuch richtet sich an Studierende der Wirtschaftswissenschaften und
vermittelt das notwendige mathematische Handwerkszeug für das gesamte Studium, auch wenn die entsprechenden Vorlesungen typischerweise am Anfang des
Studiums vorgesehen sind. Für ein erfolgreiches Studium ist es von Anfang an erforderlich, mathematische Techniken zu beherrschen und korrekt anzuwenden. Im
weiteren Studienverlauf – bei Seminar-, Bachelor- oder Masterarbeit – ist es auch
notwendig, selbstständig mathematische Inhalte zu erarbeiten und zu formulieren.
In den ersten Teilen des Buches werden kontinuierlich, aufeinander aufbauend,
die mathematischen Konzepte und Methoden eingeführt. Deren korrekte Verwendung wird an Beispielen verdeutlicht und durch Abbildungen illustriert. Beweise –
oft als Beweisskizze – werden geführt, wenn sie konstruktiv sind, zu weiterführenden Methoden überleiten oder dadurch das Verständnis der Aussagen vertieft wird.
Ansonsten wird für diejenigen, die die Details nachvollziehen wollen, auf entsprechende mathematische Literatur verwiesen. Im abstrakteren letzten Teil werden vermehrt Beweise angegeben, da hierdurch das Verständnis für die Begriffe verbessert
wird.
Die meisten Kapitel werden durch einen Abschnitt mit einer ökonomischen Anwendung ergänzt. Begriffe und Ergebnisse des jeweiligen Kapitels werden hierbei
direkt verwendet.
Dieses Lehrbuch ist anhand meiner Vorlesungsskripten zu den Basisveranstaltungen Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I und II – die ich mehrfach seit
dem Sommersemester 2003 an der Universität Bielefeld gehalten habe – entstanden.
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vi
Vorwort
Ich danke allen Kollegen, Tutoren und Studierenden für Kommentare und Anregungen. Meinen besonderer Dank gilt Claus-Jochen Haake, Mark Hahmeier und
Andreas Szczutkowski für die kontinuierliche Weiterentwicklung und Verbesserung
der vorlesungsbegeleitenden Materialien, wann immer sie die Vorlesungen gehalten
haben. Oliver Claas danke ich für seine intensive Unterstützung bei der Korrektur
des Manuskripts.
Bielefeld, im September 2009
Thorsten Pampel
Inhaltsverzeichnis
Warum benötigen Wirtschaftswissenschaftler Mathematik? . . . . . . . . . . . . .
1
Teil I Mathematische Grundlagen
1
Zahlen, Mengen, Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Die Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Variablen und Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Ungleichungen und Beträge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Anwendung: Das Gütermarktgleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
8
12
15
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21
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2
Mathematische Vorgehensweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Mathematische Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Definition, Satz, Lemma, Korollar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Der mathematische Beweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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35
37
38
Teil II Folgen und Reihen
3
Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Grenzwerte von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Anwendung: Das Solow-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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43
45
48
52
4
Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Anwendung: Diskontierter Nutzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
58
61
vii
viii
Inhaltsverzeichnis
Teil III Differential- und Integralrechnung
5
Eindimensionale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Eigenschaften von reellwertigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Zusammengesetzte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Spezielle Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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65
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6
Grenzwerte und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Definitionen von Grenzwerten und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Zwischenwertsatz und Extremwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Anwendung: Fixpunkte im Solow-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
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Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.1 Die Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.3 Ableitungen höherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Ableitungen und Funktionseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Extrema und Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.6 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
7.7 Anwendung: Gewinnmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
8
Anwendungen der Differentialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.1 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Regel von L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.3 Taylor-Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4 Elastizitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9
Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.1 Das Riemann-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.2 Das unbestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Das bestimmte Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Teil IV Lineare Gleichungssysteme
10
Vektoren im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.1 Addition und Skalarmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.2 Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.3 Das Skalarprodukt und Orthogonalität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.4 Anwendung: Das Haushaltsbudget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
11
Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.1 Matrizenaddition und Skalarmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
11.2 Die Matrixmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
11.3 Spezielle Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.4 Lineare Abbildungen und Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.5 Anwendung: Interne Leistungsverrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Inhaltsverzeichnis
ix
12
Gaußsches Eliminationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
12.1 Homogene Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
12.2 Bestimmung von Bild und Kern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
12.3 Der Matrixrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
12.4 Inhomogene Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
12.5 Die inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
12.6 Anwendung: Input-Output-Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
13
Die Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
13.2 Berechnung der Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
13.3 Cramersche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.4 Bestimmung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
13.5 Definitheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.6 Anwendung: Die Methode der kleinsten Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . 195
Teil V Mehrdimensionale Differentialrechnung
14
Mehrdimensionale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14.1 Mengen und Funktionen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
14.2 Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
14.3 Anwendung: Lösbarkeit des Nutzenmaximierungsproblems . . . . . . . 213
15
Mehrdimensionale Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.1 Partielle Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
15.2 Optimierung ohne Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
15.3 Der Umhüllungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15.4 Partielle Elastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.5 Isoquanten und implizite Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
15.6 Anwendung: Portfolio-Entscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
16
Optimierung unter Nebenbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.1 Die Kuhn-Tucker-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
16.2 Die Lagrange-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
16.3 Anwendung: Nutzenmaximierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
x
Inhaltsverzeichnis
Teil VI Lineare Algebra
17
Vektorräume und lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.1 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
17.2 Der Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
17.3 Beschreibung von Vektorräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
17.4 Darstellung linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
18
Eigenwerte und Normalformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
18.1 Eigenwerte und Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
18.2 Reelle Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
18.3 Komplexe Eigenwerte reeller Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
18.4 Die Jordansche Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
18.5 Symmetrische Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
18.6 Lineare Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
18.7 Anwendung: Konjunkturzyklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Weitere Lehrbücher, Aufgaben- und Formelsammlungen . . . . . . . . . . . . . . 311
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
Warum benötigen Wirtschaftswissenschaftler
Mathematik?
Ziele in den Wirtschaftswissenschaften sind unter anderem:
•
•
•
•
•
•
die Entwicklung ökonomischer Daten darzustellen,
Wechselwirkungen zu erkennen,
beobachtete Phänomene zu erklären,
individuelle Entscheidungen zu beschreiben und zu analysieren,
Auswirkungen von Entscheidungen zu beurteilen und
Prognosen zu erstellen.
Volkswirtschaften und Unternehmen sind sehr komplex und es gibt vielfältige Verflechtungen und Wechselwirkungen zwischen den einzelnen Beteiligten.
Eine mathematische Beschreibung der Entscheidungen und Interaktionen verschiedener Beteiligter ermöglicht oft eine systematische Modellierung und Analyse
einer vereinfachten Darstellung der Realität. Bereits bei der Beschreibung eines
solchen Modells wird Mathematik benutzt:
• Ökonomische Größen werden durch Variablen beschrieben,
• Beobachtungen werden mit ökonometrischen oder statistischen Methoden aufbereitet,
• Wechselwirkungen werden durch Funktionen dargestellt,
• Entscheidungen werden als optimierendes Verhalten modelliert.
Sind alle Modellannahmen zusammengestellt, dann werden verschiedene mathematische Konzepte und Methoden als Analyseinstrument eingesetzt, um Schlussfolgerungen für das Modell abzuleiten. Die Ergebnisse werden abschließend interpretiert.
Da solche Modelle nur Teile der Realität widerspiegeln und oft die Modifikation einzelner Modellannahmen zu unterschiedlichen Ergebnissen führen kann, ist
bei der Interpretation besondere Vorsicht geboten. Wenn aber Einigkeit über die zu
betrachtenden Modellannahmen herrscht, dann ist die Mathematik ein sehr präzises
Analyseinstrument.
Ziel dieses Buches ist es, die mathematischen Begriffsbildungen, Konzepte und
Lösungsmethoden zu vermitteln, die in den Wirtschaftswissenschaften oft verwen-
1
2
Warum benötigen Wirtschaftswissenschaftler Mathematik?
det werden, um Modelle zu analysieren. Folgende Zusammenhänge treten dabei
auf:
1. Die Beschreibung von ökonomischen Zusammenhängen und Wechselwirkungen
erfolgt mit Hilfe von Funktionen.
2. Entscheidungen werden aufgrund optimierenden Verhaltens modelliert (Beispiele sind Nutzenmaximierung von Konsumenten, Gewinnmaximierung oder Kostenminimierung von Firmen).
3. Die Preisbildung wird durch ein Gleichgewichtskonzept beschrieben, bei dem
Gleichgewichtspreise so bestimmt werden, dass Angebot und Nachfrage übereinstimmen. Hierbei werden Gleichungssysteme gelöst.
Daher sind die zentralen Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften die Untersuchung von Funktionen, die Bestimmung von Nullstellen und das Lösen von
Optimierungsproblemen. Diese Themen ziehen sich wie ein roter Faden durch das
Buch.
Die Inhalte von Teil I sind weitgehend eine Zusammenfassung von mathematischen Grundkenntnissen über Zahlen, Mengen und Abbildungen; ergänzt mit einem kurzen Überblick über mathematische Begriffsbildungen und das mathematische Vorgehen bei Beweisen. Für Studierende, die hiermit Schwierigkeiten haben,
könnte die umfangreiche Aufgabensammlung Gerlach, Schelten und Steuer (2004)
hilfreich sein.
Folgen und Reihen in Teil II sind kein typischer Schulstoff, sie ermöglichen es
aber, den Grenzwertbegriff einzuführen. In Anwendungen können zeitliche Entwicklungen als Folgen beschrieben werden.
Der Funktionsbegriff sowie die Differential- und Integralrechnung wird in Teil III
behandelt. Insbesondere werden hier Zusammenhänge zwischen Ableitungen und
Funktionseigenschaften erläutert und Lösungsmethoden für eindimensionale Optimierungsprobleme angegeben.
Zur Behandlung von Fragestellungen mit mehreren Variablen beschäftigen wir
uns in Teil IV zunächst mit linearen Gleichungssystemen und linearen Abbildungen,
bevor in Teil V mehrdimensionale Funktionen untersucht werden. Dabei werden
Lösungskonzepte für die Optimierung mit und ohne Nebenbedingungen erklärt.
Abschließend werden in Teil VI allgemeine Konzepte der Linearen Algebra eingeführt und die Untersuchung von Eigenwerten und Eigenvektoren dargestellt. Diese spielen eine Rolle bei der Untersuchung zeitabhängiger Phänomene und dynamischer Systeme.
Die meisten Kapitel sind durch einen Anwendungsabschnitt ergänzt, in dem gezeigt wird, wie die eingeführten Begriffe und Methoden Anwendung finden.
Teil I
Mathematische Grundlagen
In Kapitel 1 werden grundlegende mathematische Begriffe eingeführt, die bei
wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen relevant sind.
In den ersten Abschnitten werden Zahlen, Mengen und Abbildungen eingeführt und einige wichtige Eigenschaften erläutert. Wichtig für alle Fragestellungen,
bei denen etwas berechnet werden muss, ist das korrekte Umformen von Gleichungen und Ungleichungen sowie das Beherrschen der Rechenregeln für reelle Zahlen und für Brüche. Neben diesen Themen werden das Summenzeichen eingeführt und die binomischen Formeln zusammengestellt und verallgemeinert. Zusätzlich werden Potenzen, Wurzeln und Beträge definiert und hierzu jeweils die
Rechenregeln angegeben.
Um neue Ergebnisse zu erzielen, ist es häufig notwendig, Aussagen präzise zu
formulieren und zu beweisen. Daher werden Kapitel 2 die mathematische Begriffsbildungen und Vorgehensweisen zusammengestellt, die benötigt werden, um mathematische Texte zu verstehen oder selber zu schreiben.
Dabei werden Begriffe zur Aussagenlogik eingeführt und erläutert, wie diese in
mathematischen Texten gelesen und interpretiert werde. Nach einer kurzen Übersicht über Begriffe wie Definition, Satz, Lemma und Korollar werden die wichtigsten Beweistechniken an Beispielen erläutert.
Kapitel 1
Zahlen, Mengen, Abbildungen
In diesem Kapitel werden Zahlen, Mengen und Abbildungen eingeführt und die
verschiedenen Rechenregeln und Schreibweisen erläutert. Insbesondere wird auf
den Umgang mit Gleichungen und Ungleichungen eingegangen.
Bei wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen werden Zahlen benutzt, um
ökonomische Größen zu beschreiben. Mengen fassen Dinge mit bestimmten Eigenschaften zusammen; beispielsweise enthält eine Budgetmenge die möglichen Einkäufe, die mit einem vorhandenen Budget finanzierbar sind. Abbildungen erklären
Zusammenhänge zwischen verschiedenen Größen; beispielsweise wird durch eine
Abbildung einem Einkaufswageninhalt genau der Wert zugeordnet, der an der Kasse
bezahlt werden muss.
Ein zentrales Konzept in den Wirtschaftswissenschaften ist das Marktgleichgewicht. Um Marktgleichgewichte zu bestimmen, werden Angebot und Nachfrage in
einer Gleichung aufgeschrieben. Die Gleichung wird dann durch Äquivalenzumformungen nach einer Variablen – dem Preis – aufgelöst. Ungleichungen treten
beispielsweise bei der Beschreibung von Budgetmengen auf. Zu der Budgetmenge
gehören alle Güterbündel, die bei vorgegebenen Güterpreisen höchstens ein vorgegebenes Budget kosten.
1.1 Die Zahlensysteme
Ökonomische Größen wie Lagerbestände, die Produktion einer Firma, die Anzahl
der Arbeitslosen, das Staatsbudget, Kontostände oder Pro-Kopf-Einkommen werden durch Zahlen beschrieben. Dabei werden unterschiedliche Zahlenarten benutzt,
wie natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale und reelle Zahlen. In diesem Abschnitt werden die Grundrechenarten und die verschiedenen Zahlenarten eingeführt.
Ein schön illustrierter Überblick über die Zahlenarten findet sich in Küstenmacher,
Partoll und Wagner (2003, Kapitel 1).
Die ersten Zahlen, die bereits kleine Kinder durch das Zählen entdecken, sind
die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, . . . Die Menge der natürlichen Zahlen wird
T. Pampel, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Springer-Lehrbuch,
c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2010
DOI 10.1007/978-3-642-04490-8_1, 5
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1 Zahlen, Mengen, Abbildungen
bezeichnet als N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}, wobei die historisch sehr spät entdeckte Zahl
0 hinzugenommen wird.
Natürliche Zahlen beschreiben beispielsweise den Lagerbestand eines Supermarktes an Milchflaschen oder die Anzahl der Arbeitslosen einer Volkswirtschaft.
Für das Rechnen mit Zahlen stehen die vier Grundrechenarten zur Verfügung:
Rechenart
Symbol
Beschreibung
Ergebnis
Addition
+
Summand + Summand
=
Summe
Multiplikation
·
Faktor · Faktor
=
Produkt
Subtraktion
−
Minuend − Subtrahend
=
Differenz
Dividend : Divisor
=
Quotient
Division
: oder /
Die Summe und das Produkt natürlicher Zahlen sind wieder eine natürliche
Zahl. Dagegen ist die Differenz keine natürliche Zahl, wenn der Subtrahend (die
zweite Zahl) größer ist als der Minuend (die erste Zahl). Aus diesem Grund wird
das Zahlensystem um die negativen Zahlen erweitert und es ergibt sich die Menge
der ganzen Zahlen
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die Subtraktion wird beispielsweise zur Beschreibung einer Auszahlung von einem Konto oder von Lagerabgängen benutzt. Ist die Auszahlung von einem Konto
größer als der Kontostand, so wird das Ergebnis – eine negative Zahl – als Schulden
interpretiert. Ein weiteres Beispiel, bei dem ganze Zahlen auftreten, ist die Überschussnachfrage. Sie ist positiv, wenn die Nachfrage größer als das Angebot ist und
negativ, wenn das Angebot größer als die Nachfrage ist.
Um Pro-Kopf-Größen anzugeben oder einen bestimmten Anlagebetrag gleichmäßig auf mehrere Anleger aufzuteilen, wird die Division benutzt. Es ist allerdings
unmöglich, beispielsweise 500 Aktien gleichmäßig auf drei Anleger zu verteilen.
Aus diesem Grund wird das Zahlensystem um die Brüche erweitert. Ein Bruch
x = 500
3 ist dann genau die Zahl, mit der 3 multipliziert werden muss, damit das
Ergebnis 500 ist, d. h. 500
3 ist genau die Zahl, die 3 · x = 500 löst. Allgemeiner lässt
sich jeder Bruch schreiben als ab , wobei der Zähler a und der Nenner b jeweils
ganze Zahlen sind und b niemals null sein darf. Die Menge aller Brüche wird als die
Menge der rationalen Zahlen Q bezeichnet und kann folgendermaßen dargestellt
werden:
a Q=
a, b ∈ Z, b = 0 .
b
Ebenso wie die Multiplikation eine Abkürzung für mehrfaches Addieren der gleichen Zahl ist, sind die Potenzen eine Abkürzung für n-faches Multiplizieren mit der
gleichen Zahl und es wird definiert (mit dem Symbol1 „:=“)
1
Das Symbol := bzw. =: bedeutet, dass der Ausdruck auf der Seite mit dem Doppelpunkt durch
den anderen Ausdruck definiert wird.
1.1 Die Zahlensysteme
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qn := q · q · . . . · q ,
n Faktoren
wobei n eine natürliche Zahl ist. Dabei heißt q die Basis und n der Exponent. Wird
beispielsweise 1 Euro zu 3 Prozent2 angelegt, so ist der Kapitalstand nach einem
103 5
Jahr 103
Euro. Um umgekehrt den Zinssatz zu
100 Euro und nach fünf Jahren 100
bestimmen, der notwendig ist, um nach n Jahren einen Kapitalstand K zu erreichen,
muss eine Zahl x bestimmt werden, die xn = K erfüllt. Diese Frage tritt auf, wenn zu
einer Anlage der effektive Jahreszins bestimmt werden soll. Es stellt sich heraus,
dass es nicht immer eine rationale Zahl gibt, die dieses Problem löst. Beispielsweise
gibt es keine rationale Zahl, deren Quadrat 2 ist, d. h. die x2 = 2 löst.
5
Um diese Fragestellung zu behandeln und Zahlen wie 103
einfacher darzu100
stellen, werden die reellen Zahlen eingeführt. Das sind Zahlen, die sich als Dezimalzahl schreiben lassen, wobei Dezimalzahlen von der Form m.a1 a2 a3 . . . sind, m
eine ganze Zahl ist und a1 , a2 , a3 , . . . Ziffern 0, 1, 2, . . . , 9 sind. Die Menge der reel 5
len Zahlen wird mit R bezeichnet. Beispielsweise ist 103
= 1.1592740743 und
100
hat somit bereits zehn Nachkommastellen.
Die positive Lösung von x2 = 2 wird als
√
„Wurzel von 2“, kurz 2, bezeichnet. Sie ist keine rationale Zahl, lässt sich
√ aber
als Dezimalzahl mit unendlich vielen Nachkommastellen darstellen. Dass 2 eine
reelle, aber nicht rationale Zahl ist, wird auf Seite 39 als Beispiel für einen indirekten Beweis gezeigt. Umgekehrt ist aber jede rationale Zahl auch eine reelle Zahl
und lässt sich als endliche oder periodische Dezimalzahl schreiben. Das erkennt
man bei der schriftlichen Division, bei der irgendwann der Rest 0 ist oder sich ein
Restwert wiederholt.
Anmerkung 1.1. Damit xn = K auch für negative K und gerade n immer eine Lösung hat, muss das Zahlensystem erneut erweitert werden. Dies geschieht, indem
eine imaginäre Zahl i als Lösung von i2 = −1 definiert wird. Alle Zahlen der Form
a + i · b mit reellen Zahlen a und b ergeben die komplexen Zahlen. Die komplexen
Zahlen C werden erst später in Abschnitt 17.1 ausführlich betrachtet.
Zum Abschluss dieses Abschnitts wird noch die Prozentrechnung anhand der
Mehrwertsteuer von 19 Prozent behandelt. Um die Mehrwertsteuer für einen Einkauf, der brutto (ohne Steuer) 150e kostet, zu bestimmen, wird 150 mit 19%, also
19
3
100 = 0.19 (19 Hundertstel) multipliziert .
Die Mehrwertsteuer ist 0.19 · 150 = 28.50 Euro. Der Nettopreis (Preis inklusive Mehrwertsteuer) wird bestimmt, indem 150 + 0.19 · 150 = 1.19 · 150 = 178.50
berechnet wird. Soll umgekehrt aus 178.50e Nettopreis der Bruttopreis bestimmt
1
· 178.50 = 150.
werden, so muss durch 1.19 geteilt werden, d. h. 1.19
Erhalten Sie auf das Produkt 18% Rabatt auf den Bruttopreis, so müssen Sie
150 − 0.18 · 150 = 150 − 27 = 123 Euro bezahlen, also den Preis mit 1 − 0.18 = 0.82
2
Prozent heißt „pro Einhundert“. Damit sind 3 Prozent (3%) gerade 3 Hundertstel und es gilt
3
3% = 100
= 0.03. Da neben den Zinsen auch das Kapital erhalten bleibt, ist der Kapitalstand nach
einem Jahr das 1.03-fache des Kapitaleinsatzes.
3 Einheiten, hier e, werden bei den Rechnungen im Allgemeinen nicht mit angegeben.
8
1 Zahlen, Mengen, Abbildungen
multiplizieren. Interessant ist die Frage, was Sie bezahlen müssen, wenn Sie 18%
Rabatt auf den Nettopreis erhalten, also noch die Mehrwertsteuer von 19% berücksichtigen müssen. Das Ergebnis ist (150 · 1.19) · 0.82 = 146.37 Euro und damit weniger als 150e. Ein Fazit ist, dass für Sie 18% Rabatt besser sind, als die Mehrwertsteuer erstattet zu bekommen (damit wird manchmal Werbung gemacht).
1.2 Mengen
In vielen Fällen werden Dinge zu Mengen zusammengefasst, beispielsweise „alle
Firmen mit weniger als 10 Mitarbeitern“, „alle Rentner“, „alle Aktiengesellschaften, die im DAX vertreten sind“ oder „alle reellen Zahlen zwischen 1 und 5“. In
diesem Abschnitt werden die wichtigsten Symbole und Begriffe der Mengenlehre4
eingeführt.
Definition 1.1. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten
wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu
einem Ganzen. Die Objekte einer Menge A heißen Elemente von A. Als Kurzschreibweise dafür, dass ein Objekt x ein Element einer Menge A ist, wird
x ∈ A geschrieben. Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge
und wird mit 0/ oder { } bezeichnet.
Dabei bedeutet „bestimmte wohlunterschiedene Objekte“, dass jedes Element
genau einmal in einer Menge auftritt und feststellbar ist, ob ein Objekt ein Element
einer Menge ist oder nicht.
Die Fibonacci-Zahlen5 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . . bilden beispielsweise keine Menge, da die 1 doppelt auftritt. Die Menge, die aus den Fibonacci-Zahlen gebildet wird,
ist {0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}.
Mengen enthalten aber nicht immer nur Zahlen, beispielsweise könnten für Statistiken die „Menge aller Firmen“, die „Menge aller Firmen mit höchstens 10 Mitarbeitern“ oder die „Menge aller Handwerksbetriebe“ interessant sein. Bezeichnet
A die „Menge aller Firmen“, so lässt sich die „Menge aller Firmen mit höchstens 10
Mitarbeitern“ schreiben als
{ x ∈ A | x hat höchstens 10 Mitarbeiter }.
Diese Menge ist ein Teil der Menge aller Firmen. Ebenso ist jeder Handwerksbetrieb
eine Firma. Damit ist auch die Menge der Handwerksbetriebe ein Teil der Menge
der Firmen. Solche Mengen werden als Teilmengen bezeichnet.
4 Die Begriffsbildung folgt der „naiven“ Mengenlehre, wie sie von Georg Cantor (1845–1918)
entwickelt wurde, siehe Cantor (1895). Es gibt auch eine (formalere) „axiomatische“ Mengenlehre.
5 Die Fibonacci-Zahlen werden gebildet, indem mit 0 und 1 gestartet wird und dann jede weitere
Zahl die Summe der beiden Vorgänger ist.
1.2 Mengen
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Definition 1.2. Eine Menge B heißt Teilmenge von A, geschrieben B ⊂ A,
wenn jedes Element von B auch ein Element von A ist, d. h. wenn aus x ∈ B
auch x ∈ A folgt.
• Zwei Mengen A und B sind gleich, geschrieben als A = B, wenn A ⊂ B und
B ⊂ A ist, d. h. wenn aus x ∈ B auch x ∈ A folgt und umgekehrt.
• Eine Teilmenge B ⊂ A heißt echte Teilmenge von A, auch geschrieben als
B A, wenn A Elemente enthält, die nicht Elemente von B sind.
• Enthält B ein Element x, das nicht in A ist, dann schreibt man x ∈
/ A und
B ⊂ A.
• Die Teilmenge aller Elemente einer Menge A mit einer Eigenschaft E wird
beschrieben als {x ∈ A | x hat die Eigenschaft E}.
Anmerkung 1.2. Eine Menge ist immer auch eine Teilmenge von sich selbst, d. h.
A ⊂ A. In der Literatur wird als Symbol für eine Teilmenge manchmal auch ⊆ benutzt. Das Symbol ⊂ steht dann für eine echte Teilmenge.
Die „Menge aller Handwerksbetriebe mit höchstens 10 Mitarbeitern“ enthält alle
Firmen, die einerseits Handwerksbetriebe sind, andererseits höchstens 10 Mitarbeiter haben. Aus diesem Grund wird die Menge als Durchschnitt der „Menge aller
Firmen mit höchstens 10 Mitarbeitern“ und der „Menge aller Handwerksbetriebe“
bezeichnet.
Definition 1.3. Für zwei Mengen A und B definieren wir folgende Mengen:
Vereinigung:
Durchschnitt:
Differenz:
A ∪ B := {x | x ∈ A oder x ∈ B (oder beides)}
A ∩ B := {x | x ∈ A und x ∈ B}
A \ B := {x | x ∈ A und x ∈
/ B}
Gilt A ∩ B = 0,
/ so heißen A und B disjunkt .
Beispiel 1.1. Betrachte folgende Mengen:
•
•
•
•
•
A ist die „Menge aller Firmen“
B ist die „Menge aller Firmen mit höchstens 10 Mitarbeitern“
C ist die „Menge aller Firmen mit 10 bis 100 Mitarbeitern“
D ist die „Menge aller Firmen mit höchstens 5 Mitarbeitern“
E ist die „Menge aller Handwerksbetriebe“
Dann gelten folgende Zusammenhänge: B ⊂ A, C ⊂ A, D ⊂ A, E ⊂ A, D ⊂ B, D B,
B ⊂ D, E ⊂ D, D ⊂ E. Ferner gilt:
10
1 Zahlen, Mengen, Abbildungen
B ∩C = {x ∈ A | Firma x hat genau 10 Mitarbeiter}
B ∪C = {x ∈ A | Firma x hat bis zu 100 Mitarbeiter}
B \C = {x ∈ A | Firma x hat weniger als 10 Mitarbeiter}
C \ B = {x ∈ A | Firma x hat 11 bis 100 Mitarbeiter}
D ∩C = 0/
D∩B = D
D∪B = B
E ∩ D = {x ∈ A | x ist ein Handwerksbetrieb mit höchstens 5 Mitarbeitern}
A
C
B
D
x
E
B \C
C
B
C\B
D
D∩E
B ∩C
E
Abb. 1.1 Illustration der Mengen A, B, C, D und E sowie von B ∩C, D ∩ E, B \C und C \ B. Da C
und D sich nicht überschneiden, ist C ∩ D = 0.
/ Der Punkt x stellt einen Handwerksbetrieb (x ∈ E)
dar mit 10 Mitarbeitern (x ∈ B ∩C)
In Abschnitt 1.1 sind folgende Zahlenmengen6 eingeführt worden:
Um die Mengen Q und R im Sinne der Mengendefinition korrekt zu beschreiben, müssen Brüche wie 23 und −4
−6 und Dezimalzahlen wie 3.239999 . . . und 3.240000 . . . miteinander „identifiziert“ werden, damit keine Zahl mehrfach in der jeweiligen Menge auftritt. Mathematisch formal
geschieht dies durch die Bildung sogenannter Äquivalenzklassen.
Die Menge der reellen Zahlen lässt sich mit Hilfe von Reihen, die in Kapitel 4 behandelt werden,
präziser darstellen. Es gilt
i ∞
1
R = m + ∑ ai
m ∈ Z, ai ∈ {0, 1, . . . , 9} ,
10 i=1
6
wobei beispielsweise 3(0.1)3 = 0.003 ist und somit durch ai (0.1)i die i-te Nachkommastelle ai
angegeben wird.