Zustandsänderungen - Prof. Dr.
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Thermodynamik __________________________________________________________________________________________________________ Thermodynamik Prof. Dr.-Ing. Peter Hakenesch [email protected] www.lrz-muenchen.de/~hakenesch __________________________________________________________________________________________________________ Thermodynamik _________________________________________________________________________________________________________ 1 Einleitung 2 Grundbegriffe 3 Systembeschreibung 4 Zustandsgleichungen 5 Kinetische Gastheorie 6 Der erste Hauptsatz der Thermodynamik 7 Kalorische Zustandsgleichungen 8 Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik 9 Zustandsänderungen 10 Reversible Kreisprozesse 11 Kreisprozesse thermischer Maschinen 12 Kälteanlagen _________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ 9 Zustandsänderungen Aufgrund ihrer Relevanz bei technischen Anwendungen, sollen im Folgenden einige Sonderformen von Zustandsänderungen betrachtet werden 9.1 Wärme und Arbeit bei reversiblen Zustandsänderungen idealer Gase 9.1.1 Isochore Zustandsänderung Annahme Dichte ρ bzw. spezifisches Volumen v bleiben bei der Zustandsänderung (1) nach (2) konstant, d.h. ρ = const., bzw. dρ = 0 ⇒ oder v = const., bzw. dv = 0 Zustandsgleichung für ideale Gase p ⋅ v = R ⋅ T vereinfacht sich zu p 2 p1 = T2 T1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 2 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Isochore Zustandsänderung Keine Volumenänderungsarbeit wegen dV = 0, d.h. Wv12 = 0 Reversible Prozesse: Keine Dissipationsarbeit WD, d.h. WD = 0 ⇒ Isochore Zustandsänderung wird durch den Wärmetransfer Q12 bedingt ⇒ Änderung der inneren Energie U Q12 = U 2 − U 1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 3 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.1: Aufheizung einer Pressluftflasche Eine Pressluftflasche, in der sich 1.84 kg Luft bei einem Druck von p1 = 1.74 bar und einer Temperatur von T1 = 10°C befinden, heizt sich durch Sonneneinstrahlung auf 98 °C auf Gesucht - Zugeführte Wärmemenge Q12 - Druck p2 - Volumen der Flasche V - Änderung der inneren Energie U2 - U1 Der über den Temperaturbereich 10°C bis 98°C gemittelte Wert für die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck cp beträgt cp = 1007.6 J/(kg⋅K) _________________________________________________________________________________________________________ Folie 4 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ 9.1.2 Isobare Zustandsänderung Vereinfachung der idealen Gasgleichung für isobare Änderungen (d.h. p = const.) V2 T2 = V1 T1 (Gay-Lussac) Volumenänderungsarbeit WV,12 während der Zustandsänderung (1) → (2) V2 Wv12 = − p ⋅ dV = − p ⋅ (V2 − V1 ) ∫ V1 Eingesetzt in den ersten Hauptsatz ergibt sich für eine isobare Zustandsänderung die zu- oder abgeführte Wärme Q12 für p1 = p2 = p Q12 = U 2 − U1 + p ⋅ (V2 − V1 ) = U 2 + p ⋅ V2 − (U1 + p ⋅ V2 ) = H 2 − H1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 5 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Isobare Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm Isobare Zustandsänderung im p,V-Diagramm: Waagerechte Linie Fläche unter dieser Linie entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 6 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.2: Isobare Expansion Luft expandiert bei konstantem Druck p1 = 2.74 bar infolge von Wärmezufuhr vom Volumen V1 = 3.74 m³ und der Temperatur T1 = 13°C auf V2 = 8.81 m³. Die Gaskonstante der Luft beträgt R = 287.1 J/kgK Gesucht sind - die Masse m der Luft, - die Temperatur T2, - die zugeführte Wärmemenge Q12, - die Volumenänderungsarbeit WV12, _________________________________________________________________________________________________________ Folie 7 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ 9.1.3 Isotherme Zustandsänderung Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase liefert mit der Bedingung T = const. p2 V1 = p1 V2 (Boyle-Mariotte) Wegen T1 = T2 = T liefert der erste Hauptsatz mit U2 - U1 = 0 für den reversiblen Prozeß Q12 + WV 12 = 0 Die Volumenänderungsarbeit WV12 ⎛V ⎞ WV 12 = − p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 8 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Isotherme Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm Isotherme Zustandsänderung erscheint im p,V-Diagramm immer als Hyperbel Fläche unter der Hyperbel entspricht der Volumenänderungsarbeit WV12 − Kompression: WV12 > 0 − Expansion: WV12 < 0 Kompression Expansion _________________________________________________________________________________________________________ Folie 9 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.3: Isotherme Kompression von Luft Luft soll bei einer konstanten Temperatur von T1 = 25°C vom Volumen V1 = 0.83 m³ und dem Anfangsdruck p1 = 3.02 bar auf das Endvolumen V2 = 0.42 m³ isotherm komprimiert werden. Gesucht sind - die Masse m der Luft, - der Druck p2, - die Volumenänderungsarbeit WV12, - die abgeführte Wärmemenge Q12, - die Änderung der inneren Energie U2 - U1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 10 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ 9.1.4 Adiabate Zustandsänderung Kennzeichen adiabater Systeme Grenzen sind wärmeundurchlässig ⇒ Energie kann nur in Form von mechanischer Arbeit mit der Umgebung ausgetauscht werden ⇒ Generell ist bei adiabaten Systemen für die Wärme immer Q12 = 0 zu setzen Zusätzlich gilt für reversible, d.h. verlustfreie Prozesse Es wird keine Dissipationsarbeit geleistet, also WD12 = 0 ⇒ Erster Hauptsatz vereinfacht sich somit zu 2 U 2 − U 1 = − ∫ p ⋅ dV = WV12 1 Gesucht: Erforderliche Funktion des Drucks p in Abhängigkeit vom Volumen V, d.h. p = p(V ) _________________________________________________________________________________________________________ Folie 11 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Adiabate Zustandsänderung - Definition reversible Adiabate = Isentrope = Zustandsänderungen mit konstanter Entropie Verknüpfung von Druck und Volumen über das Verhältnis der spezifischen Wärmen cp und cv ⇒ Isentropenexponent κ κ= cp cv Isentropengleichung p 2 ⋅ V2κ = p1 ⋅ V1κ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 12 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Adiabate Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit Kombination der Isentropengleichung mit der Gasgleichung p ⋅ V = m ⋅ R ⋅ T WV12 = − p1 ⋅ V1κ ⋅ V2 dV ∫Vκ V1 ⇒ WV12 κ −1 ⎤ p1 ⋅ V1 ⎡⎛ V1 ⎞ = ⋅ ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ κ − 1 ⎢⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ WV12 κ −1 ⎡ ⎤ p ⋅ V ⎢⎛ p ⎞ κ ⎥ = 1 1 ⋅ ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ κ − 1 ⎝ p1 ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ WV12 p ⋅V = 1 1 κ −1 bzw. bzw. ⎡⎛ T2 ⎞ ⎤ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎣⎝ T1 ⎠ ⎦ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 13 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Adiabate Zustandsänderung - Darstellung im p,V - Diagramm Kompression Expansion _________________________________________________________________________________________________________ Folie 14 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.4: Adiabate Kompression von Luft Es ist eine adiabate Kompression von Luft mit κLuft = 1.4 zu berechnen: Anfangsbedingungen T1 = 25°C V1 = 0.83 m³ p1 = 3.02 bar Endbedingungen V2 = 0.42 m³ gesucht sind - Druck p2, - Temperatur T2, - Volumenänderungsarbeit WV12, - abgeführte Wärmemenge Q12, - Änderung der inneren Energie U2 - U1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 15 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ 9.1.5 Polytrope Zustandsänderung Polytropen im p,V-Diagramm _________________________________________________________________________________________________________ Folie 16 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Polytrope Zustandsänderung Beschreibung der Kurvenschar durch Potenzfunktion p ⋅ V n = C = const. Polytropengleichung (gr. polytrope = die Vielgestaltige) Exponent n = Polytropenexponent Alle bisher behandelten Zustandsänderungen lassen sich aus der Polytropengleichung ableiten: Isochore Zustandsänderung (V = const.): n → ∞ Isobare Zustandsänderung (p = const.): n=0 Isotherme Zustandsänderung (T = const.):n = 1 Reversibel adiabate = isentrope Zustandsänderung (S = const.): n = κ = c p cv _________________________________________________________________________________________________________ Folie 17 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Polytrope Zustandsänderung - Polytropenexponent Isentrope (n = κ) und isotherme (n = 1) Zustandsänderung stellen Grenzfälle dar, die sich technisch nicht bzw. kaum realisieren lassen Reale Kompressions- und Expansionsvorgänge verlaufen im Bereich zwischen Adiabate und Isotherme, d.h. 1 < n < κ Bestimmung von von n aus Anfangs- und Endzustand über Polytropengleichung p1 ⋅ V1 = p2 ⋅ V2 n n ⇒ ⎛p ⎞ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ p n= ⎝ 1 ⎠ ⎛V ⎞ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V2 ⎠ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 18 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Polytrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit WV,12 bei n ≠ 1: n−1 ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ p1 ⋅ V1 V1 WV12 = ⋅ ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ n − 1 ⎢⎜⎝ V2 ⎟⎠ ⎥⎦ ⎣ bzw. WV12 n −1 ⎤ ⎡ p1 ⋅ V1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n = ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎥ n − 1 ⎢⎝ p1 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ bzw. WV12 = p1 ⋅ V1 n −1 ⎡T ⎤ ⋅ ⎢ 2 − 1⎥ ⎣ T1 ⎦ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 19 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Polytrope Zustandsänderung - Übertragene Wärme Q12 bei n ≠ 1: Q12 = n − κ p1 ⋅ V1 ⋅ κ −1 n −1 ⎡T ⎤ ⋅ ⎢ 2 − 1⎥ ⎣ T1 ⎦ bzw. n −1 ⎤ n − κ p1 ⋅ V1 ⎡⎛ V1 ⎞ ⋅ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ Q12 = κ − 1 n − 1 ⎢⎝ V2 ⎠ ⎥⎦ ⎣ bzw. n −1 ⎡ ⎤ n − κ p1 ⋅ V1 ⎢⎛ p 2 ⎞ n Q12 = ⋅ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎥ κ − 1 n − 1 ⎢⎝ p1 ⎠ ⎢⎣ ⎥⎦ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 20 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9-5 Zustandsänderungen Skizieren Sie vier besondere Zustandsänderungen für ideale Gase und geben Sie dazugehörigen Zustandsgleichungen an _______________________________________________________________________________ Ü 9-6 Isotherme Zustandsänderung Welcher Zusammenhang besteht bei einer isothermen Zustandsänderung zwischen zu- bzw. abgeführter Wärme und technischer Arbeit? _______________________________________________________________________________ Ü 9-7 Isentrope Zustandsänderung Wie verhalten sich bei isentroper Zustandsänderung Druck und Temperatur? _________________________________________________________________________________________________________ Folie 21 von 76 Thermodynamik Zustandsänderungen _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9-8 Isentrope Expansion In einer Preßluftflasche mit V = 40 l befindet sich Luft unter p1 = 15 MPa bei Umgebungstemperatur von T = 20°C. Nach dem Öffnen des Ventils sinkt der Druck in der Flasche rasch auf p2 = 7.5 MPa ab, anschließend wird das Ventil wieder geschlossen. Während dem Ausströmvorgang fand kein Wärmeaustausch zwischen Flascheninhalt und Umgebung statt. Nach dem Schließen erhöht sich der Druck in der Flasche, da sich die Temperatur der verbleibenden Luft wieder der Umgebungstemperatur angleicht. a) Welche Temperatur T2 stellt sich direkt nach dem Ausströmen aus der Flasche ein? b) Welche Gasmasse strömt aus der Flasche? c) Welcher Druck stellt sich nach dem Temperaturausgleich mit der Umgebung ein? d) Welche Gasmasse würde aus der Flasche strömen, wenn der Ausströmvorgang langsam bei konstanter Temperatur T∞ = 20°C auf p2 = 7.5 MPa erfolgen würde? _________________________________________________________________________________________________________ Folie 22 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.2 T,s-Diagramm idealer Gase 9.2.1 Isochore Zustandsänderung idealer Gase ⎛T ⎞ s(T , v ) = cv ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s(T1 , v1 ) ⎝ T1 ⎠ Spezifische Entropie bei dv = 0 : Wegen ⎛ ∂T ⎞ T = cv ⋅ ⎜ ⎟ s ∂ ⎠v ⎝ bildet spezifische Wärmekapazität cv Tangente an die Isochore Abstand zweier Isochoren ⎛v s(T , v 2 ) − s(T , v1 ) = R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎝ v1 ⎞ ⎟⎟ ⎠ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 23 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase Isochoren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen ⇒ Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isochore ergibt gleiche Differenz der inneren Energie u2 - u1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 24 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isochore Zustandsänderung idealer Gase Fläche unter der Kurve 1-2 repräsentiert nicht nur die Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Arbeit wD,12 sondern entspricht auch der Änderung der inneren Energie u2 - u1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 25 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.2.2 Isobare Zustandsänderung idealer Gase Spezifische Entropie bei dp = 0 : ⎛T ⎞ s(T , p ) = c p ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ + s(T1 , p1 ) ⎝ T1 ⎠ Wegen ⎛ ∂T ⎞ T =cp ⋅⎜ ⎟ ∂ s ⎠p ⎝ bildet die spezifische Wärmekapazität cp eine Tangente an die Isobare Abstand zweier Isobaren ⎛p ⎞ s(T , p 2 ) − s(T , p1 ) = − R ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ _________________________________________________________________________________________________________ Folie 26 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase Isobaren bilden Kurvenschar, die sich durch Verschiebung entlang der Entropieachse ineinander überführen lassen ⇒ Temperaturdifferenz T2 - T1 für jede Isobare ergibt gleiche Differenz der Enthalpie h2 - h1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 27 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isobare Zustandsänderung idealer Gase Volumenänderungsarbeit bei ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz wV12 = u 2 − u1 − (h2 − h1 ) _________________________________________________________________________________________________________ Folie 28 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.2.3 Isotherme Zustandsänderung idealer Gase Ideale Gasen: Innere Energie ist eine reine Temperaturfunktion du = cv ⋅ dT = 0 ⇒ Isothermen bilden im T,s-Diagramm eine Schar abszissenparalleler Geraden Zusätzlich: Isothermen sind sie identisch mit den Kurven konstanter Enthalpie (Isenthalpen) dh = c p ⋅ dT = 0 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 29 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isotherme Zustandsänderung idealer Gase Reversible Prozesse: Fläche unter der Isotherme entspricht der über die Systemgrenze transportierten Wärme q12 Irreversiblen Prozesse Fläche unter der Isotherme entspricht der Summe aus übertragener Wärme q12 und dissipierter Energie wD,12 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 30 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.2.4 Isentrope Zustandsänderung idealer Gase Senkrechte Linie T,s-Diagramm, ds = 0 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 31 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase Isentrope Zustandsänderung - Volumenänderungsarbeit wv12 = u 2 − u1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 32 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm - Isentrope Zustandsänderung idealer Gase Isentrope Zustandsänderung - Spezifische Strömungsarbeit y12 = h2 − h1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 33 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramm idealer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.2.5 Polytrope Zustandsänderung Volumenänderungsarbeit Innere Energie Wärme + Dissipation Volumenänderungsarbeit Strömungsarbeit u1-u2 q12+wD,12 -wV,12 a-b-1-d-a Enthalpie b-c-2-1-b Wärme + Dissipation a-c-2-1-d-a Strömungsarbeit h2-h1 a-b-1-d-a q12+wD,12 b-c-2-1-b -y12 a-c-2-1-d-a _________________________________________________________________________________________________________ Folie 34 von 76 Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen _________________________________________________________________________________________________________ 9.3 Wärme- und Arbeit in Entropiediagrammen 9.3.1 Adiabate Systeme Kennzeichen adiabater Systeme - Kein Austausch von Energie in Form von Wärme mit der Umgebung, d.h. q12 = 0 - Fläche unter der Kurve der Zustandsänderung entspricht der Dissipationsenergie wD - Bei adiabat-reversiblen Zustandsänderungen (=isentrop) verschwindet diese Fläche, da keine Dissipationsarbeit geleistet wird ⇒ Kurve der Zustandsänderung wird zur senkrechten Linie Vereinfachung für Strömungsmaschinen Hohe Strömungsgeschwindigkeit ⇒ übertragene Wärme von dem Arbeitsmedium (Gas, Dampf) an das System kann vernachlässigt werden ⇒ Kolben- und Turbomaschinen können näherungsweise als adiabate Systeme betrachtet werden _________________________________________________________________________________________________________ Folie 35 von 76 Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen _________________________________________________________________________________________________________ Geschlossene Systeme Adiabate Expansion und adiabate Kompression in einem geschlossenen System Kompression von p1 auf p2 ⇒ Innere Energie = Volumenänderungsarbeit wV,12 und dissipierte Arbeit wD,12 2 2 ∫ ∫ 1 23 1 1 23 1 u 2 − u1 = wV ,12 + w D ,12 = p ⋅ dv + T ⋅ ds wV ,12 wD ,12 Irreversible adiabate Kompression ⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 > 0 (dem System wird Arbeit zugeführt) wV ,12 = u 2 − u1 − wD ,12 Irreversible adiabate Expansion ⇒ Spezifische Volumenänderungsarbeit wV,12 < 0 (dem System wird Arbeit entzogen) − wV ,12 = −( u 2 − u1 ) + wD ,12 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 36 von 76 Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen _________________________________________________________________________________________________________ Spezifische innerer Energie, Volumenänderungsarbeit und Dissipationsarbeit Geschlossenes adiabates System Expansion Innere Energie Dissipationsenergie Volumenänderungsarbeit Kompression u1-u2 a-b-1-d-a u2-u1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isochore wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate -wV,12 a-c-2-1-d-a wV,12 a-b-1-2-d-a _________________________________________________________________________________________________________ Folie 37 von 76 Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen _________________________________________________________________________________________________________ Offene Systeme Vereinfachungen des ersten Hauptsatzes für stationäre Fließprozesse, d.h. - keine Änderung der kinetischen Energie - keine Änderung der potentiellen Energie ( ) 1 2 q{ ⋅ c 2 − c12 + g ⋅ (z 2 − z1 ) 12 + wt ,12 = h2 − h1 + 14243 2 4243 1 =0 =0 =0 kinetische Energie adiabat ⇒ potentiell e Energie wt ,12 = h2 − h1 Definition für die spezifische Strömungsarbeit y12 , (Arbeit am bewegten Fluidelement) 2 ∫ y12 = v ⋅ dp 1 ⇒ Technische Arbeit wt,12 = Summe aus Strömungsarbeit y12 und dissipierter Arbeit wD,12 wt ,12 = y12 + wD ,12 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 38 von 76 Thermodynamik Wärme und Arbeit in Entropiediagrammen _________________________________________________________________________________________________________ Spezifische Enthalpie, dissipierte Arbeit und Strömungsarbeit Offenes adiabates System Expansion Enthalpie Dissipationsenergie Strömungsarbeit Kompression h1-h2 a-b-1-d-a h2-h1 a-c-2-d-a Fläche unter der Isobare wD,12 b-c-2-1-b wD,12 b-c-2-1-b Fläche unter der Adiabate -y12 a-c-2-1-d-a y12 a-b-1-2-d-a _________________________________________________________________________________________________________ Folie 39 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.3.2 Wärme und Arbeit bei reversiblen und irreversiblen Prozessen Reversible Prozesse Keine Dissipationsarbeit wD, d.h. Änderung der spezifische Entropie s ist der zu- bzw. abgeführten Wärme dq proportional und die absolute Temperatur T stellt den Proportionalitätsfaktor dar 2 dq = T ⋅ ds bzw. ∫ q12 = T ⋅ ds 1 Irreversible Prozesse Spezifische Entropie s ist proportional der Summe der spezifischen Wärme q und der spezifischen dissipierten Arbeit wD 2 dq + dw D = T ⋅ ds bzw. ∫ q12 + wD12 = T ⋅ ds 1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 40 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ Verlauf der Temperatur T(s) als Funktion der Entropie s bei reversibler Prozeßführung von (1) → (2) Wärmezufuhr zum System Wärmeabfuhr aus dem System Bei Zustandsänderungen werden nur Entropiedifferenzen betrachtet ⇒ Nullpunkt der Entropie kann willkürlich festgelegt werden _________________________________________________________________________________________________________ Folie 41 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ Nullpunkte für Entropiewerte, z.B. in Dampftafeln von Wasser, sind in der Regel auf den Trippelpunkt bezogen Tatsächlicher Nullpunkt der Entropie liegt beim absoluten Nullpunkt, d.h. bei T = 0 K. Dritter Hauptsatzes der Thermodynamik Die Entropie eines jeden reinen Stoffes nimmt im absoluten Nullpunkt der Temperatur den Wert Null an (Nernst'sches Wärmetheorem). _________________________________________________________________________________________________________ Folie 42 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ Irreversible Prozesse Fläche unter der Zustandskurve setzt sich aus zwei Anteilen zusammen - übertrage Wärme q12 - dissipierte Arbeit wD12 dq + dw dwD dq12 + dw12 wD12 Wärme und Dissipation bei irreversiblen Prozessen, a) nicht-adiabat, b) adiabat _________________________________________________________________________________________________________ Folie 43 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ Irreversible Prozesse ⇒ Verlauf der Zustandskurve nur bei Wärmezufuhr eindeutig, da beide Anteile positiv ⇒ Entropiezuwachs infolge Wärmezufuhr, Zustandsänderung verläuft von links nach rechts Wärmeentzug ⇒ Richtung der Zustandsänderung hängt von dem Verhältnis der abgeführten Wärme q12 zu der dissipierten Energie wD ab wD > q12 ⇒ Zustandsänderung verläuft trotz Wärmeentzug von links nach rechts, d.h. Entropie nimmt zu wD < q12 ⇒ Zustandskurve verläuft von rechts nach links, d.h. Entropie wird verringert _________________________________________________________________________________________________________ Folie 44 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ 9.4 T,s-Diagramm realer Gase Beispiel: T,s-Diagramm für Wasserdampf Flüssige Phase, links neben der Siedelinie ⇒ Isobaren liegen relativ dicht nebeneinander und sind fast nicht voneinander zu unterscheiden Naßdampfgebiet, begrenzt durch Siedelinie (x = 0) und der Taulinie (x = 1) ⇒ Isobaren fallen mit den Isothermen zusammen und bilden eine horizontale Geradenschar ⇒ Isovaporen = Kurven gleichen Dampfgehalts Gasphase, Gebiet des trockenen überhitzten Dampfes ⇒ Isothermen und Isobaren verlaufen getrennt _________________________________________________________________________________________________________ Folie 45 von 76 Thermodynamik T,s-Diagramme realer Gase _________________________________________________________________________________________________________ T,s-Diagramm für Wasserdampf _________________________________________________________________________________________________________ Folie 46 von 76 Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ 9.5 Mollier-Diagramm (h,s-Diagramm) T,s-Diagramm - Temperatur-Entropie-Diagramm - Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Flächen dargestellt h,s-Diagramm oder Mollier-Diagramm - Enthalpie-Entropie-Diagramm geht auf den Physiker H. Mollier (1863-1935) zurück - Wärme, Arbeit, innere Energie und Enthalpie werden durch Strecken dargestellt _________________________________________________________________________________________________________ Folie 47 von 76 Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Bsp. h,s-Diagramm: Zustandsänderungen für ein stationär durchströmtes System 1-2: Adiabate (q12 = 0) Verdichtung von p1 auf p2, Enthalpiedifferenz entspricht der zugeführten technischen Arbeit wt12 wt12 = h2 − h1 2-3: Isobare reversible Wärmezufuhr auf p = p2, es wird keine technische Arbeit geleistet (wt12 = 0) q 23 = h3 − h2 3-4: Fluid expandiert adiabat von p3 auf p4. Enthalpiedifferenz entspricht der abgegebenen technischen Arbeit wt34. wt34 = h4 − h3 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 48 von 76 Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Ideale Gase h,s-Diagramm ergibt sich direkt aus dem T,s-Diagramm durch Multiplikation der Temperatur T mit der spezifischen Wärmekapazität cp h = cp ⋅T +C Bei Zustandsänderungen sind lediglich Enthalpiedifferenzen h2 − h1 von Interesse ⇒ Unbestimmte Konstante C ist ohne praktische Bedeutung, ⇒ Konstante C kann vernachlässigt werden _________________________________________________________________________________________________________ Folie 49 von 76 Thermodynamik Mollier-Diagramm (h,s-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Reale Gase - Isenthalpen (h = const.) und Isentropen (s = const.) sind Scharen horizontaler bzw. vertikaler Geraden - Isothermen (T = const.) fallen im Naßdampfgebiet mit den Isobaren (p = const.) zusammen - Steigung der Isothermen nimmt im Gebiet der Gasphase stetig ab und verlaufen mit wachsender Entropie zunehmend waagerecht. In diesem Bereich nähert sich das Verhalten des Wasserdampfes dem Verhalten des idealen Gases; Isotherme und Isenthalpe fallen zusammen. h,s-Diagramms für Wasserdampf _________________________________________________________________________________________________________ Folie 50 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ 9.6 Feuchte Luft (h,x-Diagramme) 9.6.1 Relative Feuchte Wasser kann in Luft in allen drei Aggregatsformen enthalten sein, Phasenänderungen möglich Feuchte Luft Gemisch aus Luft und Wasser in der Dampfphase Luftdruck p ergibt sich als Summe der Partialdrücke der Luft pL und des Wasserdampfes pD p = pL + pD Aufnahmevermögen der Luft Partialdruck des Wasserdampfs pD muß kleiner sein als der Sättigungsdruck pDS, pD < pDS (T ) _________________________________________________________________________________________________________ Folie 51 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Relative Feuchte ϕ Beschreibt das Verhältnis von Partialdruck pD zu Sättigungsdruck pDS, welches dem Dichteverhältnis des Wasserdampfes in ungesättigter zu gesättigter Luft entspricht ϕ= pD ρ D = p DS ρ DS Anwendung Korrektur der spezifischen Gaskonstanten von trockener Luft RL Rf = 1− ϕ ⋅ p DS ⎛ p R ⎞ ⋅ ⎜⎜1 − t ⎟⎟ ⎝ RD ⎠ = 287.05 ϕ ⋅ p DS 1 − 0.378 ⋅ p mit RL = 287.05 [J/kg⋅K] trockener Luft RD = 461.51 [J/kg⋅K] Wasserdampf _________________________________________________________________________________________________________ Folie 52 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Magnus-Formel Nährungsformel zur Bestimmung des Sättigungsdampfdrucks pDS (-30°C < T < +70°C) p DS = 611.213 ⋅ e 17.5043⋅T 241.2 +T [Pa ] Genauere Werte liefern die Dampftafeln von Wasser, z.B. Tab. 14.4 oder Tab. 14.5 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 53 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ 9.6.2 Feuchtegrad und Sättigungsgrad Feuchtegrad x oder die absolute Feuchte beschreibt das Massenverhältnis von Wasserdampf und Luft x= m D RL ⋅ p D pD = = 0.622 ⋅ m L RD ⋅ p L p − pD Maximaler Feuchtegrad wird bei dem Sättigungsdampfdruck pDS erreicht, d.h. p D = p DS x S = 0.622 ⋅ p DS p − p DS _________________________________________________________________________________________________________ Folie 54 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Zustandsformen in Abhängigkeit vom Feuchtegrad x - Ungesättigte Luft: x < xS (überhitzter Dampf) - Gesättigte Luft: (Sattdampf) x = xS (Naßdampf = Nebel) - Übersättigte Luft: x > xS Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C) ⇒ Bildung eines Gemischs aus Sattdampf und Eis (Eisnebel) Sättigungsgrad ψ beschreibt das Verhältnis von Feuchtegrad der Luft x zum Feuchtgrad der gesättigten Luft xS ψ= x xS bzw. ψ= p − p DS p D p − p DS ⋅ =ϕ ⋅ p DS p − p D p − pD _________________________________________________________________________________________________________ Folie 55 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ 9.6.3 Zustandsgrößen feuchter Luft Enthalpie Enthalpie feuchter Luft bestimmt sich analog zur Berechnung der Enthalpie von Dämpfen ungesättigte feuchte Luft h = hL + x ⋅ hD gesättigte feuchte Luft h = hL + x S ⋅ hD Übersättigte feuchte Luft im Nebelgebiet h = hL + x S ⋅ hD + ( x − x S ) ⋅ hF mit hF spezifische Enthalpie des flüssigen Wassers _________________________________________________________________________________________________________ Folie 56 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Für Temperaturen unterhalb des Trippelpunktes von Wasser (T = 0.01°C), im Eisnebelgebiet gilt h = hL + x S ⋅ hD + ( x − x S ) ⋅ hE hE = spez. Enthalpie von Eis Allgemein Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft h′ = c pL ⋅ T + (x D ⋅ c pD + x F ⋅ c pF + x E ⋅ c pE ) ⋅ T + 123 1444442444443 Luft Wasser in der entsprechenden Phase x D ⋅ ΔhV 1 424 3 Verdampfungsenthalpie + x D ⋅ ΔhS 1 424 3 Schmelzenthalpie Mit h0 = 0 bei T = 0°C , d.h. Prozesse unter 0°C werden durch negative Enthalpien beschrieben ⇒ h′ − h0 = c pL ⋅ (T − T0 ) + (x D ⋅ c pD + x F ⋅ c pF + x E ⋅ c pE ) ⋅ (T − T0 ) + 14243 1444444 424444444 3 Luft Wasser in der entsprechenden Phase x D ⋅ ΔhV 1 424 3 Verdampfungsenthalpie + x D ⋅ ΔhS 1 424 3 Schmelzenthalpie _________________________________________________________________________________________________________ Folie 57 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Spezifische Enthalpie h’ der feuchten Luft Mit c pL =1.004 [kJ kg ⋅ K ] spez. Wärmekapazität von Luft bei p = const. (-30°C bis +50°C) c pD =1.86 [kJ kg ⋅ K ] spez. Wärmekapazität von Wasserdampf bei p = const. c pF = 4.19 [kJ kg ⋅ K ] spez. Wärmekapazität von flüssigem Wasser bei p = const. c pE = 2.07 [kJ kg ⋅ K ] spez. Wärmekapazität von Eis p = const. ΔhV = 2500 [kJ kg ] Verdampfungsenthalpie von Wasser ΔhS = − 333.4 [kJ kg ] Schmelzenthalpie von Eis folgt für die spez. Enthalpie h’ mit T [°C] h′ = (1.004 + 1.86 ⋅ x D + 4.19 ⋅ x F + 2.07 ⋅ x E ) ⋅ T + 2500 ⋅ x D − 333.4 ⋅ x D _________________________________________________________________________________________________________ Folie 58 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Dichte und spezifisches Volumen feuchter Luft Zustandsgleichung für feuchte Luft ⎛R m ⎞ p ⋅ V = p L ⋅ V + p D ⋅ V = (m L ⋅ RL + m D ⋅ RD ) ⋅ T = m L ⋅ RD ⋅ ⎜⎜ L + D ⎟⎟ ⋅ T ⎝ RD mL ⎠ ⇒ V = m L ⋅ (0.622 + x ) ⋅ RD ⋅ T p Spezifisches Volumen v= V V V = = m L + m D m L + x ⋅ m L m L ⋅ (1 + x ) ρ= m L + m D m L + x ⋅ m L m L ⋅ (1 + x ) = = V V V 0.622 + x RD ⋅ T ⋅ 1+ x p ⇒ v= ⇒ ρ= Dichte 1+ x p ⋅ 0.622 + x R D ⋅ T _________________________________________________________________________________________________________ Folie 59 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Dichte und spezifisches Volumen übersättigter feuchte Luft Spezifisches Volumen v= 0.622 + x S R D ⋅ T ⋅ 1+ x p Dichte ρ= 1+ x p ⋅ 0.622 + x S RD ⋅ T _________________________________________________________________________________________________________ Folie 60 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ 9.6.4 Feuchte Luft in Diagrammform (Mollier, 1923) Voraussetzung: Konstanter Druck der feuchten Luft, Druckänderung ⇒ Verschiebung der Kurven _________________________________________________________________________________________________________ Folie 61 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Konstruktionsprinzip des h,x-Diagramms für feuchte Luft _________________________________________________________________________________________________________ Folie 62 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Trocknung feuchter Luft - Reduzierung der absoluten Feuchte x (1) - (2): Abkühlung bei x = x DS + x F = const. Sättigungslinie wird in das Nebelgebiet unterschritten (2) - (3): Entnahme des flüssigen Wassers bei konstanter Temperatur Im Punkt (3) gilt x = x DS , ϕ =1 (3) – (4): Erwärmung der feuchten Luft auf die Ausgangstemperatur T1 Im Punkt (4) gilt x4 < x1 , ϕ 4 < ϕ1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 63 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur Anwendung Klimaanlagen, Zuführen von Außenluft zur Raumluft m1, h1’, T1, x1 m3, h3’, T3, x3 m2, h2’, T2, x2 Mischung von zwei Luftmassen _________________________________________________________________________________________________________ Folie 64 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur Massebilanz der Luft m L 3 = m L1 + m L 2 Massebilanz des Wassers mW 3 = mW 1 + mW 2 & W m& L folgt für die Enthalpiebilanz mit x = mW m L bzw. x& = m ′ ′ ′ m& L 3 ⋅ h3 = m& L1 ⋅ h1 + m& L 2 ⋅ h2 ′ m& L 2 h 1 + ′ & ′ & ′ & ′ & ⋅ + ⋅ m h m h m h m h ⋅ + ⋅ m& L1 ′ L2 L2 2 2 h3 = L1 1 = L1 1 = m& m& L 3 m& L1 + m& L 2 1 + L2 m& L1 _________________________________________________________________________________________________________ Folie 65 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Mischung von Luft unterschiedlicher Feuchte und Temperatur ′ ′ m& L 2 h1 − h3 x1 − x3 = = m& L1 h ′ − h ′ x3 − x 2 3 2 Proportionalität zwischen den spezifischen Enthalpien und den absoluten Feuchten ⇒ Mischvorgang verläuft im h,x-Diagramm auf einer Geraden parallel zwischen den Ausgangsmasseströmen _________________________________________________________________________________________________________ Folie 66 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Nebelbildung Trifft eine Luftmasse vom Zustand (a) auf eine Luftmasse vom Zustand (b), so wird sich ein Endzustand einstellen, der auf einer Geraden zwischen den beiden Punkten liegt; in diesem Fall im ungesättigten Gebiet ⇒ Nebelbildung ist ausgeschlossen Trifft jedoch die kalte, ungesättigt Luftmasse vom Zustand (c) auf die wärmere Luftmasse vom Zustand (a), so stellt sich ein Endzustand ein, der je nach Masseanteilen die Sattdampflinie unterschreiten kann ⇒ Nebelbildung ist möglich _________________________________________________________________________________________________________ Folie 67 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.9 Wasser-Naßdampf In einem geschlossenen Behälter mit V = 1 m³ befindet sich Wasser-Naßdampf mit einem Dampfanteil von 60% bei einem Druck von p = 5 MPa. Zu berechnen sind a) das spezifische Volumen v des Naßdampfes b) Masse m des Naßdampfes und des flüssigen Wassers mW c) Spezifische Enthalpie h des Naßdampfes _________________________________________________________________________________________________________ Folie 68 von 76 Thermodynamik Feuchte Luft (h,x-Diagramme) _________________________________________________________________________________________________________ Ü 9.10 Klimaanlage In einem Raum beträgt die Lufttemperatur T = 20°C und die relative Feuchte ϕ = 80%. Durch Kühlung der Luft bei konstanter absoluter Feuchte x sinkt die spez. Enthalpie um Δh = 20 [kJ/kg trockene Luft], ein Teil des Wassers kondensiert und wird abgeschieden. Anschließend wird die Luft wieder auf T = 20°C erwärmt. a) Wieviel Wasser wurde bei welcher Temperatur entfernt? b) Wieviel Energie ist erforderlich, um die Luft wieder auf T = 20°C zu erwärmen? c) Auf welchen Wert wird die absolute Feuchte x reduziert? d) Welchen Wert nimmt die relative Feuchte ϕ an? _________________________________________________________________________________________________________ Folie 69 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ 9.7 Zusammenfassung der Zustandsänderungen Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop Bedingung 1. Hauptsatz dV = 0 dp = 0 dT = 0 dQ = 0 ΔV = 0 Δp = 0 ΔT = 0 ΔQ = 0 dQ = dU dQ = dU + dW dQ = dW 0 = dU + dW 0 = dU + dW Q = ΔU Q = ΔU + W Q=W 0 = ΔU + W 0 = ΔU + W __________________________________________________________________________________________________________ Folie 70 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ Zustandsänderung isochor Beziehungen zwischen p1 T1 = p T2 p, T, V 2 p = const . T isobar isotherm adiabatisch T1 V1 = T2 V2 p1 V2 = p 2 V1 p1 ⎛ V2 ⎞ =⎜ ⎟ p 2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠ κ p ⋅ V = const . V = const . p ⋅ V κ = const . T κ −1 T1 ⎛ V2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ T2 ⎝ V1 ⎠ polytrop p1 ⎛ V2 ⎞ =⎜ ⎟ p 2 ⎜⎝ V1 ⎟⎠ n p ⋅ V n = const . T1 ⎛ V2 ⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ T2 ⎝ V1 ⎠ n −1 T ⋅ V κ −1 = const . T ⋅ V n −1 = const . κ −1 p1 ⎞ κ ⎟ T1 ⎛ =⎜ T2 ⎜⎝ p 2 ⎟⎠ Tκ p κ −1 = const . n −1 p1 ⎞ n ⎟ T1 ⎛ =⎜ T2 ⎜⎝ p 2 ⎟⎠ Tn p n −1 = const . __________________________________________________________________________________________________________ Folie 71 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch Wärmeenergie dQ = cv⋅m⋅dT dQ = cp⋅m⋅dT Q = cv⋅m⋅(T2 - T1) Q = cp⋅m⋅(T2 - T1) dQ = dW Q =W dQ = 0 polytrop dQ = Q=0 cv ⋅ m ⋅ n −κ ⋅ dT n −1 Q= cv ⋅ m ⋅ n −κ ⋅ (T1 − T2 ) n −1 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 72 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ Zustands- isochor isobar isotherm dW = 0 dW = p⋅dV dW = p ⋅ dV W=0 W = p ⋅ (V2 − V1 ) adiabatisch polytrop änderung Arbeit W = m ⋅ R ⋅ (T2 − T1 ) dW = − dU ⎛ V2 ⎞ dW = − c v ⋅ m ⋅ dT W = m ⋅ R ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ W = − ΔU ⎛ p1 ⎞ W = − c v ⋅ m ⋅ (T1 − T2 ) W = m ⋅ R ⋅ T ⋅ ln⎜⎜ ⎟⎟ m⋅R ⎝ p2 ⎠ W = ⋅ (T1 − T2 ) κ −1 ⎛V ⎞ W = p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ m⋅R ⋅ dT n −1 m⋅R W= ⋅ (T1 − T2 ) n −1 dW = ⎛ p ⎞ W = p1 ⋅ V1 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠ ⎛V ⎞ W = p2 ⋅ V2 ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ V1 ⎠ ⎛ p ⎞ W = p2 ⋅ V2 ⋅ ln⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠ __________________________________________________________________________________________________________ Folie 73 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ Zustands- isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop dU = cv⋅m⋅dT dU = 0 ΔU = 0 dU = cv ⋅ m ⋅ dT = − dW dU = cv ⋅ m ⋅ dT änderung Änderung dU = cv⋅m⋅dT inneren ΔU = cv ⋅ m ⋅ (T2 − T1 ) ΔU = − W Energie ΔU = der Änderung der Entropie U = cv⋅m⋅(T2 - T1) dT T dp dS = cv ⋅ m ⋅ p dS = cv ⋅ m ⋅ ⎛ T2 ⎞ ⎟⎟ T ⎝ 1⎠ ΔS = cv ⋅ m ⋅ ln⎜⎜ U = cv⋅m⋅(T2 - T1) dT dV dS = m ⋅ R ⋅ V T dV dp dS = c p ⋅ m ⋅ dS = − m ⋅ R ⋅ V p ⎛T ⎞ ΔS = c p ⋅ m ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ΔS = m ⋅ R ⋅ ln⎛⎜ V2 ⎞⎟ ⎜V ⎟ ⎝ T1 ⎠ ⎝ 1⎠ dS = c p ⋅ m ⋅ ⎛V ⎞ ⎛ p2 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎟ ΔS = c p ⋅ m ⋅ ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ΔS = − m ⋅ R ⋅ ln⎜ p1 ⎟ ⎜p ⎟ ⎝ V1 ⎠ ⎝ p1 ⎠ ⎝ 2⎠ ΔU = cv ⋅ m ⋅ (T2 − T1 m⋅R ⋅ (T2 − T1 ) κ −1 dS = 0 ΔS = 0 dS = cv ⋅ m ⋅ κ − n dT n −1 ⋅ T ΔS = cv ⋅ m ⋅ ⎛T ⋅ ln⎜⎜ n − 1 ⎝ T2 κ −n ΔS = cv ⋅ m ⋅ ln⎜⎜ __________________________________________________________________________________________________________ Folie 74 von 76 Thermodynamik Zusammenfassung der Zustandsänderungen __________________________________________________________________________________________________________ Zustandsänderung isochor isobar isotherm adiabatisch polytrop p,V-Diagramm __________________________________________________________________________________________________________ Folie 75 von 76
