3.4. KOMPLEXE ZAHLEN∗ 49 Addition und

3.4. KOMPLEXE ZAHLEN∗
49
Addition und Multiplikation komplexer Zahlen
Da R ⊂ C ist, müssen Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen so festgelegt werden,
dass sie sich im Spezialfall auf die für R gültigen Eigenschaften (wie Assoziativgesetz, Distributivgesetz usw.) reduzieren. Für die Addition ergibt sich zwingend:
z1 = x1 + i y1
⇒ z1 + z2 = (x1 + i y1 ) + (x2 + i y2 ) = (x1 + x2 ) +i (y1 + y2 ),
z2 = x2 + i y2
Re(z1 +z2 )
Im(z1 +z2 )
d.h. man addiert einfach die Realteile und die Imaginärteile. Etwas komplizierter wird es mit
der Multiplikation – hier muss man die geforderte Eigenschaft i2 = −1 einsetzen:
z1 = x1 + i y1
⇒ z1 · z2 = (x1 + i y1 ) · (x2 + i y2 )
z2 = x2 + i y2
i2 y1 y2
= x1 x2 + i y1 x2 + i x1 y2 + =−1
= (x1 x2 − y1 y2 ) +i (y1 x2 + x1 y2 )
Re(z1 ·z2 )
Im(z1 ·z2 )
Es lohnt sich nicht, diese Formel auswendig zu lernen. Anstatt den Real- und Imaginärteil eines
komplexen Produkts so auszurechnen, ist es meistens einfacher, die Rechnung nachzuvollziehen:
Beispiele:
(1 − i)(1 + 2i) = 1 − i + 2i − 2 i2 = 1 + i − 2 (−1) = 3 + i;
(1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) = 1 + i + i + i2 = 1 + 2i − 1 = 2i.
Absolutbetrag, Kehrwert und Division von komplexen Zahlen
Multipliziert man eine komplexe Zahl z = x + iy mit ihrem konjugiert komplexen Gegenstück
z̄ = x − iy, ergibt sich eine rein reelle Zahl:
z z̄ = x x − y (−y) +i (y x + x (−y)) = x2 + y 2 .
=x2 +y 2
=0
Nach dem Satz von Pythagoras ist x2 + y 2 das Quadrat des Abstands des Punktes (x, y) von
(0, 0) in der Gauß’schen Zahlenebene. Man nennt daher
√
|z| := z z̄ ( = x2 + y 2 )
den Absolutbetrag von z. Damit lässt sich eine nette Formel für den Kehrwert 1/z einer
komplexen Zahl z = 0 finden:
z
= 1 ⇒
z
z z̄
= z̄ ⇒
z
|z|2
= z̄ ⇒
z
1
z̄
.
=
z
|z|2
Damit wiederum kann die Division zweier komplexer Zahlen auf die komplexe Multiplikation
des Zählers mit dem Konjugierten des Nenners zurückgeführt werden:
1
z̄2
z1 · z̄2
z1
= z1 ·
= z1 ·
=
z2
z2
|z2 |2
|z2 |2
Beispiele:
1
−i
ī
= 2 =
= −i;
i
|i|
1
(1 + i) (1 − i)
(1 + i)2 (s.o.) 2i
1+i
=
= i.
=
=
1−i
|1 − i|2
2
2