ETWR – Teil B

ETWR – Teil B
Zufallsvariablen
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Motivation I
•  Probleme in der Praxis
•  Oft nicht Ereignisse ω interessant ...
•  ... sondern von ω abgeleitete Zahlen
•  Beispiele
•  Gewinn in Euro beim Roulette
•  Gewinn einer Aktie an der Börse
•  Monatsgehalt einer zufällig ausgewählten Person
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Motivation II
•  Beispiele: Zweimaliges Würfeln
•  Interesse an Summe der Augenzahlen
•  Verschiedene Summen unterschiedlich wahrscheinlich:
Würfel 2
Würfel 1
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
•  Ergebnisse auf Zahlen abbildbar...
Summe der Augenzahl X: 2, 3, ..., 12
•  ... damit Funktionen auf Ergebnissen möglich
Anzahl günstiger Ereignisse für X: 6-|7-X|
WS12/13
6
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
3
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Ziele
•  Bisher
•  Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten mit Mengen
•  Ziel des Kapitels
•  Weitere Formalisierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs
•  Abbildung der „Mengen“ auf „Zahlen“
•  Beschreibung von Wahrscheinlichkeiten mittels Funktionen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
4
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
5
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen I
•  Definition:
Unter einer Zufallsvariablen versteht man formal eine Funktion
X: Ω → R.
•  Intuitive Bedeutung
Vorschrift, die abstraktes ω in Zahl übersetzt
•  Vergleich deskriptive Statistik
Beschreibende Statistik
Schließende Statistik
Grundgesamtheit
Ergebnismenge
Merkmal
Zufallsvariable
Messwert
Realisation
•  Bezeichnungen
•  Zufallsvariablen: Großbuchstaben X, Y oder Z
•  Angenommene Werte (Realisationen): Kleinbuchstaben x, y oder z
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
7
56
Zufallsvariablen II
•  Ex ante vs ex post
•  Intuitiv
•  Zufallsvariable X charakterisiert eine Zahl deren Wert noch unbekannt
ist
•  Nach Durchführung des Zufallsexperiments realisiert sich die
Zufallsvariable X im Wert x
•  Zeitlich
•  Zufallsvariable X beschreibt Situation vor Durchführung des
Zufallsexperiments (ex ante)
•  Realisation x beschreibt Situation nach der Durchführung des
Zufallsexperiments (ex post)
•  Wahrscheinlichkeitsaussagen nur über Zufallsvariable X möglich
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Beispiel I
•  Familien mit zwei Kindern
•  Anzahl der Mädchen?
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Ergebnismenge Ω = {WW, WM, MW, MM}
•  Seien beide Geschlechter gleich wahrscheinlich
•  P({WW}) = 0,25
•  P({WM}) = 0,25
•  P({MW}) = 0,25
•  P({MM}) = 0,25
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
8
56
Stephan Schosser
Zufallsvariablen
Beispiel II
•  Ordne jedem Ergebnis die Anzahl Mädchen zu
X:
WW
MW
WM
MM
2
1
Zufallsvariable
0
•  Zufallsvariable X: X(ω) = Anzahl der Mädchen
•  X(ω) ordnet verschiedenen ω dieselben Werte zu:
X({MW}) = X({WM}) = 1
•  X hat die Werte 0, 1, 2
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
9
56
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
10
Zufallsvariablen
56
Stephan Schosser
11
Zufallsvariablen
56
Verteilungsfunktion I
•  Bisher
Zufallsvariable X nimmt mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten
verschiedene Werte an.
•  Es gilt also (a, b, x ∈ R)
•  P(X = a) = P({ω | X(ω) = a})
•  P(a < X < b) = P({ω | a < X(ω) < b})
•  P(X ≤ x) = P({ω | X(ω) ≤ x})
•  Noch offen
(Wie) kann man solche Wahrscheinlichkeiten bestimmen und mit ihnen
rechnen?
•  Lösung: Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X charakterisiert die
Wahrscheinlichkeiten, mit denen sich alle möglichen Realisationen x auf der
Zahlenachse verteilen („Verteilung der Zufallsvariablen X“)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Verteilungsfunktion II
•  Definition: (Verteilungsfunktion)
Stephan Schosser
12
Zufallsvariablen
56
Gegeben sei die Zufallsvariable X. Unter der Verteilungsfunktion der
Zufallsvariablen X versteht man die folgende Abbildung:
FX: R → [0,1]
x → FX(x) = P({ω|X(ω) ≤ x}) = P(X ≤ x).
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Beispiel
•  Familie mit 2 Kindern (forts.)
•  Anzahl der Mädchen?
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen
•  P(X = 0) = P({ω|X(ω) = 0}) = P({MM}) = 0,25
•  P(X = 1) = P({ω|X(ω) = 1}) = P({MW, WM}) = 0,5
•  P(X = 2) = P({ω|X(ω) = 2}) = P({WW}) = 0,25
•  Verteilungsfunktion
⎧0 für x < 0
⎪0,25 für 0 ≤ x < 1
⎪
FX (x ) = ⎨
⎪0,75 für 1 ≤ x < 2
⎪⎩1
für x ≥ 2
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
13
Zufallsvariablen
56
Stephan Schosser
14
Zufallsvariablen
56
Beispiel - Visualisierung
1.00
FX
0.75
0.50
0.25
0.00
-1
0
1
X
•  Sprich: „Treppenfunktion”
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
3
Stephan Schosser
15
Zufallsvariablen
56
Eigenschaften
•  Nutzen Verteilungsfunktion
•  Oft vollständige Angabe von Ω bzw. X : Ω → R unmöglich...
... FX aber meist ableitbar
•  Grenzwerte am Rande des Wertebereichs
lim FX (x) = 0
•  x→
-∞
FX ( x) = 1
•  xlim
→∞
•  Weitere Eigenschaften
•  FX(x) ist monoton wachsend
•  FX(x) ist rechtsseitig stetig, d.h.
WS12/13
lim FX ( x) = FX (a)
x→ a +
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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16
Zufallsvariablen
56
Beispiel I
•  Zufällige Bewegung eines Teilchens
•  Teilchen startet im Nullpunkt
•  Teilchen bewegt sich nur auf ganzen Zahlen
•  Teilchen geht bei jedem Schritt zufällig nach links oder rechts
•  Teilchen macht drei Schritte
•  Illustration
-3
x
-2
-1
0
1
2
•  Weitere Eigenschaften
•  P(L) = 0,5; P(R) = 0,5
•  Ω = {LLL, LLR, LRL, RLL, LRR, RLR, RRL, RRR}
WS12/13
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3
Stephan Schosser
17
Zufallsvariablen
56
Beispiel II
•  Wahrscheinlichkeiten Elementarereignisse
1
•  P({LLL}) =
8
•  P({LLR}) = 1
8
•  Jedes Elementarereignis tritt mit Wahrscheinlichkeit 1/8 auf
•  Position X des Teilchens nach drei Schritten
⍵
RRR
RRL
RLR
LRR
RLL
LRL
LLR
LLL
X
3
1
1
1
-1
-1
-1
-3
•  Verteilungsfunktion der Positionen
WS12/13
x
-3
-1
1
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
FX(x)
1/8
4/8
7/8
8/8
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
18
Zufallsvariablen
56
Beispiel III
•  Jetzt: Verteilung von Y = |X| (Abstand des Teilchens von Nullpunkt)
•  Verteilungsfunktion von X (wdh.)
x
-3
-1
1
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
FX(x)
1/8
4/8
7/8
8/8
•  Verteilungsfunktion von Y
•  P(Y = y) = ∑ P( X = x)
{ x | |x| = y }
•  P(Y = 1) = P( X = 1) + P( X = −1) = 6 8 = 0,75
•  P(Y = 3) = P( X = 3) + P( X = −3) = 2 8 = 0,25
WS12/13
y
1
3
P(Y=y)
6/8
2/8
FY(y)
6/8
8/8
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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19
Zufallsvariablen
56
Stephan Schosser
20
Zufallsvariablen
56
Typisierung von Zufallsvariablen - Motivation
•  Familie mit 2 Kindern (forts.)
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Bisherige Fragestellung: Anzahl der Mädchen X?
•  Vorteil bei Betrachtung
Zufallsvariable X kann nur ganzzahligen Wert (0, 1, 2) annehmen
•  Ermittlung Verteilungsfunktion
Addition über Elementarereignisse
•  Neue Fragestellung: Gewicht der Kinder bei der Geburt Y?
•  Änderung gegenüber bisheriger Fragestellung
Zufallsvariable Y kann beliebigen Wert annehmen ]0, 6] kg
•  Ermittlung Verteilungsfunktion
Addition über Elementarereignisse nicht mehr möglich!
•  Lösung im Folgenden:
Unterscheidung zwischen „diskreten“ und „stetigen“ Zufallsvariablen
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
21
Zufallsvariablen
56
Diskrete Zufallsvariable
•  Definition (Diskrete Zufallsvariable)
Die Zufallsvariable X heißt diskret, wenn sie entweder
•  Nur endlich viele Realisationen x1, x2, …, xj oder
•  Abzählbar unendlich viele Realisationen x1, x2, ...
mit streng positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann, d.h. falls für alle j
= 1, …, J, … gilt
J,...
P(X =xj)>0 und
∑ P(X = x ) = 1
j
j=1
•  Typische diskrete Merkmale
•  Zählmerkmale (‘X Anzahl von …’)
•  Kodierte qualitative Merkmale
•  Anmerkung:
Bisher haben wir in den Beispielen ausschließlich diskrete
Zufallsvariablen betrachtet.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stetige Zufallsvariable
•  Definition (Stetige Zufallsvariable, intuitiv)
Die Zufallsvariable X heißt stetig, wenn sie
•  Überabzählbar viele Realisationen
(z.B. jede reelle Zahl eines Intervalls)
annehmen kann.
•  Typische stetige Merkmale
•  Eigenschaften (‘X Alter von …’)
•  Durchschnittswerte (’Einkommen von ... ’)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
22
Zufallsvariablen
56
Ausblick
•  Herausforderung aus Typisierung von Zufallsvariablen
•  Unterschiede bei Behandlung von Zufallsvariablen
•  Bei diskreten Zufallsvariablen
Endliche und unendliche Summen
•  Bei stetigen Zufallsvariablen
Differential- und Integralrechnung
•  Oft ein Konzept mit zwei Definitionen
•  Je eines für diskrete ...
•  ... und eines für stetige Zufallsvariablen
•  In diesem Kapitel: „Ableitung der Verteilungsfunktion“
•  Im diskreten Fall: „Wahrscheinlichkeitsfunktion“
•  Im stetigen Fall: „Dichtefunktion“
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
23
Zufallsvariablen
56
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
24
Zufallsvariablen
56
Stephan Schosser
25
Zufallsvariablen
56
Träger
•  Definition (Träger)
Die Menge aller Realisationen, die eine diskrete Zufallsvariable X mit streng
positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann, heißt Träger von X
TX = {x1, ..., xJ} bzw. TX = {x1, x2, ...}
•  Beispiel: Familie mit 2 Kindern (forts.)
•  Anzahl der Mädchen X?
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Träger
•  TX = {0, 1, 2}
•  Träger: alle möglichen Realisationen „Anzahl geborener Mädchen“
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Definition (Wahrscheinlichkeitsfunktion)
Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann heißt die Funktion
fX:
→
mit x → f X ( x ) = P ( X = x )
Wahrscheinlichkeitsfunktion von X.
•  Beispiel: Familie mit 2 Kindern (forts.)
•  Anzahl der Mädchen X?
•  Zufallsvorgang: Geburt eines Kindes
•  Zufallsvorgang wird 2x beobachtet
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
!
#
#
f X (x) = "
#
#
$
WS12/13
0, 25
für
x=0
0, 50
für
x =1
0, 25
für
x=2
0, 00
sonst
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
26
Zufallsvariablen
56
Stephan Schosser
27
Zufallsvariablen
56
Visualisierung
1.00
fX FX
0.75
0.50
0.25
0.00
0
1
2
X
•  Zur Veranschaulichung: Wahrscheinlichkeitsfunktion
und Verteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Eigenschaften
•  Die Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Für allex ∈
gilt
Stephan Schosser
28
Zufallsvariablen
56
f X (x) besitzt die Eigenschaften:
f X (x) ≥ 0
•  Außerdem gilt ∑ fX (x) = 1
{x|x∈TX }
•  Die Wahrscheinlichkeitsfunktion fX der Zufallsvariablen X nimmt nur für
Elemente des Trägers TX positive Werte an. Für Werte außerhalb des Trägers
gilt fX(x) = 0.
•  Für eine beliebige Menge B ⊂
berechnet sich die Wahrscheinlichkeit des
Ereignisses {ω|X(ω) ∈ B} = {X ∈ B} durch
P(X ∈ B) =
∑f
X
(x j )
x j ∈B
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
29
Zufallsvariablen
56
Beispiel I
•  Fußballspiele mit höchstens 5 Tore.
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Tore X
x
0
1
2
3
4
5
fX(x)
0,1
0,2
0,3
0,2
0,1
0,1
FX(x)
0,1
0,3
0,6
0,8
0,9
1,0
∑= 1
•  Vergleich mit der Häufigkeitstabelle (Bundesligasaison 2010/11)
x
0
1
2
3
4
5
n(X=x)
14
51
68
71
51
28
h(X=x)
0,05
0,18
0,24
0,25
0,18
0,10
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Σ
283
1
Stephan Schosser
30
Zufallsvariablen
56
Beispiel II
35.0%
30.0%
25.0%
20.0%
15.0%
10.0%
5.0%
0.0%
1
2
3
Fussballsaison 2010/2011
WS12/13
4
5
Unsere Vorhersage
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
6
Stephan Schosser
31
Zufallsvariablen
56
Beispiel III
•  Produktionsprozess
•  Zwei Produkte werden entnommen.
•  Produkt kann defekt sein oder nicht.
•  Variablen
•  X: Anzahl defekter Produkte
•  Di: Ereignis, dass das i-te entnommene Produkt defekt ist (i = 1,2)
•  Annahmen
•  Die Wahrscheinlichkeit, ein defektes Produkt zu entnehmen, ist bei beiden
Zufallsvorgängen identisch.
•  Die beiden Zufallsvorgänge sind unabhängig.
•  Wahrscheinlichkeiten
•  P( Di ) = p, 0 ≤ p
•  P(Di ) = 1 − p
WS12/13
≤ 1 (i = 1, 2)
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
32
Zufallsvariablen
56
Beispiel IV
•  Wahrscheinlichkeiten Ergebnismengen
P (D ∩ D ) = P (D ) · P (D ) = p
•  Beide Produkte defekt:
•  Nur erstes Produkt defekt: P ( D ∩ D ) = P ( D ) · P ( D ) = p (1 - p)
•  Nur zweites Produkt defekt: P ( D ∩ D ) = P ( D ) · P ( D ) = (1 - p) p
•  Kein Produkt defekt:
P ( D ∩ D ) = P ( D ) · P ( D ) = (1 - p) (1 - p)
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
(1) = P ( X = 1) = P ( D ∩ D ) + P ( D ∩ D ) = 2 p (1 - p)
f X (0) = P ( X = 0 ) = P D1 ∩ D2 = (1 - p)
fX
2
1
2
1
2
f X (2) = P ( X = 2 ) = P ( D1 ∩ D2 ) = p 2
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X hängt vom unbekannten Parameter p
ab.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
33
Zufallsvariablen
56
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
•  Offensichtlich:
Für die (diskrete) Verteilungsfunktion gilt
FX (x) = P(X ≤ x) =
∑
f X (x j )
x j ∈TX |x j ≤x
•  Zusammenfassung
•  Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsvariable ist eine Treppenfunktion
•  Verteilungsfunktion hat Sprünge an den Stellen xj ∈ TX
•  Sprunghöhe an Stelle xj beträgt
FX (x j ) − lim F(x) = P(X = x j ) = f X (x j )
x→x j
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
34
Zufallsvariablen
56
1.00
0.75
fX FX
Wiederholung Wahrscheinlichkeit 2 Töchter
Visualisierung
0.50
0.25
0.00
0
1
2
X
•  Zur Veranschaulichung: Wahrscheinlichkeitsfunktion
und Verteilung
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
35
Zufallsvariablen
56
Vergleich Empirie
•  Histogramm:
Grafische Darstellung der empirischen Dichtefunktion
•  Empirische Dichtefunktion
•  fˆ : → ∞
• 
fˆ ( x) ≥ 0,
∫ fˆ ( x) dx
= 1
-∞
summiert sich auf zu 1
•  Empirische Verteilungsfunktion
• 
Fˆ ( x) =
WS12/13
x
∫
fˆ (u ) du
-∞
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
36
Zufallsvariablen
56
Stetige Zufallsvariable
•  Definition (stetige Zufallsvariable, technisch)
Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn eine Funktion f X
existiert, so dass für die Verteilungsfunktion FX (x) gilt:
:
Stephan Schosser
37
Zufallsvariablen
56
→
x
FX (x) =
∫f
X
(t) dt
-∞
•  Anmerkungen
•  Die Funktion fX(x) heißt Dichtefunktion der Zufallsvariablen X.
•  Schreibweise (oft): fX(x) = f(x)
•  Für alle x ∈ R gilt: fX(x) ≥ 0
∞
•  Außerdem gilt: ∫ f X ( x) dx
= 1
−∞
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
38
Zufallsvariablen
56
Dichtefunktion
•  Bemerkungen
•  Die Verteilungsfunktion FX einer stetigen Zufallsvariablen X ist (eine)
Stammfunktion der Dichtefunktion fX.
•  FX(x) = P(X ≤ x) ist gleich dem Flächeninhalt unter der Dichtefunktion fX von
−∞ bis zur Stelle x.
0.4
fX(t)
0.3
P(X≤x)=FX(x)
0.2
0.1
0
-0.1
WS12/13
-4
-3
-2
-1
0
1
t
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
2
3
4
Beispiel I
•  Gegeben sei die Funktion f X :
→
Stephan Schosser
39
Zufallsvariablen
56
mit
⎧0,1 für 0 ≤ x ≤ 10
f ( x) = ⎨
⎩0 sonst
•  Es gilt
• f (x) ≥ 0 für alle x ∈
0
∞
•  ∫
f (x) dx =
-∞
10
∞
10
0
dx
+
0,1
dx
+
0
dx
=
[0,1
x]
∫
∫
∫
0 =1- 0 = 1
−∞
0
10
•  Die gegebene Dichtefunktion ist die Dichtefunktion einer auf [0,10]
gleichverteilten Zufallsvariablen.
WS12/13
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
Stephan Schosser
40
Zufallsvariablen
56
Beispiel II
•  Visualisierung: Dichtefunktion der Gleichverteilung auf [0,10]
fX
0,10
0
WS12/13
10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
x
Beispiel III
•  Für die Verteilungsfunktion gilt:
F ( x) = ∫ f (u ) du = ∫ 0,1 du =
x
x
X
-∞
•  ... und speziell:
[0,1u ]0x = 0,1x
0
FX ( x) = 0 für x < 0
FX ( x) = 1 für x > 10
•  Also gilt:
WS12/13
⎧0 für x < 0
⎪
Fx ( x) = ⎨0 ,1x für 0 ≤ x ≤ 10
⎪⎩1
für x > 10
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
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Zufallsvariablen
56
Beispiel IV
•  Visualisierung: Verteilungsfunktion der Gleichverteilung
FX
1,00
0
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10
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x
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Zufallsvariablen
56
Eigenschaften
•  Die Dichte fX ist niemals negativ, d.h.
fX(x) ≥ 0 für alle x ∈ R
•  Die Fläche unter der Dichte ist gleich 1, d.h.
+∞
∫f
X
(x)dx= 1
−∞
•  Wenn FX(x) differenzierbar ist, gilt
fX(x) = F’X(x)
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Zufallsvariablen
56
Agenda
•  Formalisierung des Zufalls
•  Bewertung von Ereignissen
•  Urnenexperimente
•  Bewertung von Urnenexperimenten
•  Zufallsvariablen
•  Einleitung
•  Verteilungsfunktion
•  Typisierung von Variablen
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Wahrscheinlichkeiten für Intervalle
•  Verteilungsparameter
•  Mehrdimensionale Zufallsvariablen
•  Verteilungsparameter II
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (diskret)
•  Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)
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Zufallsvariablen
56
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Zufallsvariablen
56
Motivation
•  Bisher
•  Betrachtung der Verteilungsfunktion
d.h. P(X ≤ x)
•  Betrachtung von diskreten Elementarereignissen
d.h. P(X = x)
•  Aber:
Oft Interesse an Intervallen
•  Wahrscheinlichkeit für Neugeborenes mit Gewicht 3.000 – 3.500g
•  Wahrscheinlichkeit das DAX Schlusskurs bei 6.000 – 6.500 liegt
•  Wahrscheinlichkeit das Uni in 5 Min. – 15 Min. erreichbar
•  Daher jetzt:
Betrachtung von Intervallen und deren Wahrscheinlichkeiten
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Zufallsvariablen
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P(X=x) revisited - Visualisierung
•  Allgemein gilt:
P ( X = x ) = FX ( x ) − lim FX (a)
a→x−
•  Diskret
•  Stetig
P ( X = x ) = FX ( x ) − lim FX (a) ≥ 0
P ( X = x ) = FX ( x ) − FX (x) = 0
a→x−
FX
FX
FX(x)
FX(y)
FX(x)
FX(a)
a
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y
x
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x
x
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Zufallsvariablen
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P(X=x) revisited
•  Allgemein gilt:
P ( X = x ) = FX ( x ) − lim FX (a)
•  Diskret
a→x−
P ( X = x ) = FX ( x ) − lim FX (a) ≥ 0
a→x−
•  Stetig
P ( X = x ) = FX ( x ) − FX (x) = 0
•  Es gilt:
P(X=x) > 0 ⟷ Verteilungsfunktion hat Sprungstelle an der Stelle x
•  Beobachtung
•  Die Wahrscheinlichkeit, dass eine stetige Zufallsvariable X einen einzelnen
Wert annimmt, ist immer Null!
•  Das Bedeutet nicht, dass Ereignis unmöglich ist.
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Zufallsvariablen
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Der Fall: P(X≤x)
•  Allgemein gilt:
P ( X ≤ x ) = FX ( x )
•  Stetig
•  Diskret
FX
FX
FX(b)
FX(a)
FX(a)
a
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b
x
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a
x
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Zufallsvariablen
56
Der Fall: P(X<x)
•  Allgemein gilt:
P ( X < x ) = FX ( x ) − P(X = x)
•  Stetig
•  Diskret
P ( X < x ) = FX ( x ) − P(X = x)
P ( X < x ) = FX ( x ) − P(X = x) = FX ( x )
FX
FX
FX(a)
FX(b)
FX(a)
P(X=a)
a
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b
x
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a
x
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Zufallsvariablen
56
Der Fall: P(X>x)
•  Allgemein gilt:
P ( X > x ) = 1− P ( X ≤ x ) = 1− FX ( x )
•  Diskret
•  Stetig
FX
FX
1
1
FX(a)
FX(a)
a
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x
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a
x
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Zufallsvariablen
56
Der Fall: P(a<X≤b)
•  Allgemein gilt:
P ( a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
•  Stetig
•  Diskret
FX
FX
FX(b)
FX(b)
FX(a)
FX(a)
a
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b
x
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a
b
x
Der Fall: P(a<X≤b) – Beweis
•  Beweis:
P ( a < X ≤ b) = P({ω | a < X(ω ) ≤ b})
= P({ω | X(ω ) > a}∩{ω | X(ω ) ≤ b})
= 1− P({ω | X(ω ) > a}∩{ω | X(ω ) ≤ b})
= 1− P({ω | X(ω ) > a}∪{ω | X(ω ) ≤ b})
= 1− P({ω | X(ω ) ≤ a}∪{ω | X(ω ) > b})
= 1−[P(X ≤ a) + P(X > b)]
= 1−[FX (a) + (1− P(X ≤ b))]
= −[FX (a) − FX (b)]
= FX (b) − FX (a)
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Zufallsvariablen
56
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Zufallsvariablen
56
Der Fall: P(a≤X≤b)
•  Allgemein gilt:
P ( a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) + P(X = a)
•  Diskret
P ( a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) + P(X = a)
•  Stetig
P ( X < x ) = FX ( b) − FX ( a )
FX
FX
FX(b)
FX(b)
FX(a)
P(X=a)
FX(a)
a
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b
x
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a
b
x
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Zufallsvariablen
56
Der Fall: P(a≤X<b)
•  Allgemein gilt:
P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) + P(X = a) − P(X = b)
•  Stetig
•  Diskret
P ( X < x ) = FX ( b) − FX ( a )
P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a)
+ P(X = a) − P(X = b)
FX
FX
FX(b)
FX(b)
P(X=b)
FX(a)
FX(a)
P(X=a)
a
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b
x
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a
b
x
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Zufallsvariablen
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Der Fall: P(a<X<b)
•  Allgemein gilt:
P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) − P(X = b)
•  Diskret
P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a) − P(X = b)
•  Stetig
P ( X < x ) = FX ( b) − FX ( a )
FX
FX
FX(b)
FX(b)
P(X=b)
FX(a)
FX(a)
a
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b
x
Entscheidungstheorie, Wahrscheinlichkeit und Risiko – Teil B
a
b
x
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Zufallsvariablen
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Zufallsvariablen - Übersicht
•  Diskrete Zufallsvariablen
•  Stetige Zufallsvariablen
•  Verteilungsfunktion
•  Verteilungsfunktion
•  Wahrscheinlichkeitsfunktion
•  Dichtefunktion
•  Rechenregeln
•  Rechenregeln
lim FX (a) ≥ 0
• P ( X = x ) = FX ( x ) − a→x−
•  P ( X = x ) = 0
• P ( X ≤ x ) = FX ( x )
•  P ( X ≤ x ) = FX ( x )
• P ( X < x ) = FX ( x ) − P(X = x)
•  P ( X < x ) = FX ( x )
• P ( X > x ) = 1− FX ( x )
•  P ( X > x ) = 1− FX ( x )
• P ( a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
•  P ( a < X ≤ b) = FX (b) − FX (a)
• P ( a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) + P(X = a)•  P ( a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX ( a)
• P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX (a)
•  P ( a ≤ X < b) = FX (b) − FX ( a)
+ P(X = a) − P(X = b)
• P ( a < X < b) = FX (b) − FX (a) − P(X = b) •  P ( a < X < b) = FX (b) − FX ( a)
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