Folien1

Kapitel 1 :
Matrizenrechnung – Einführung
Motivation
Beispiel 1.1 Daten zur Unterernährung in Sambia
• Zielvariable:
Ernährungszustand eines Kindes, gemessen als Z-Score
• Kovariablen:
– Alter des Kindes in Monaten → ai
– BMI der Mutter → BMIi

0 weiblich
– Geschlecht des Kindes → gi =
1 männlich
• Gemessene Kovariablenwerte bei einer Stichprobe von 4 Kindern:
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Wie können diese Werte zusammengefasst werden?
• Pro Kind:
• Pro Merkmal:
• Alle Werte:
Die geordneten Tupel x1, . . . , x4 heißen Vektoren,
das Schema X heißt Matrix.
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1.1 Vektoren im Rn
Definition 1.1


x
 .1 
. 
Die Menge aller n-Tupel x = 
 .  reeller Zahlen x1, . . . , xn
xn
wird n-dimensionaler Vektorraum über Rn genannt. Die Zahlen
x1, . . . , xn heißen auch Skalare.
Für Vektoren x ∈ Rn und y ∈ Rn sowie für den Skalar λ ∈ R lassen
sich folgende Operationen definieren:
(i) Vektoraddition
(ii) Skalarmultiplikation
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Geometrische Veranschaulichung
• Vektor im R2
• Vektoraddition im R2
• Skalarmultiplikation im R2
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Besondere Vektoren:
• Nullvektor:
• Einsvektor:
Bemerkung
Der Einsvektor spielt in der Regressionsanalyse eine wichtige Rolle,
er wird als “Kovariable” für den Intercept eingesetzt:
Beispiel 1.2 (Fortsetzung von Beispiel 1.1)
zi = β0 + β1ai + εi mit εi ∼ N (0, σ 2) für i = 1, . . . , n
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Satz 1.1 Rechenregeln im Rn
Für beliebige Vektoren x, y, z ∈ Rn und Skalare λ, µ ∈ R gelten
die folgenden Rechenregeln:
1. x + (y + z) = (x + y) + z
2. x + y = y + x
3. x + 0 = x
4. x + (−x) = 0
5. (λ + µ)x = λx + µx
λ(x + y) = λx + λy
6. (λµ)x = λ(µx)
7. 1 · x = x
Definition 1.2
Das Skalarprodukt hx, yi der Vektoren x, y ∈ Rn ist definiert
als:
hx, yi = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn
Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn gilt:
hx, yi = 0
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Geometrische Veranschaulichung
Bemerkung
Der Raum Rn versehen mit der Vektoraddition, der Skalarmultiplikation und dem Skalarprodukt heißt euklidischer (Vektor-)Raum.
Definition 1.3
Gegeben seien x, y ∈ Rn. Der (euklidische) Abstand d(x, y) zwischen den Punkten x und y ist definiert als
p
d(x, y) = (x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . . + (xn − yn)2
p
= hx − y, x − yi
Die (euklidische) Länge kxk ist definiert als
q
p
2
2
kxk = x1 + . . . + xn = hx, xi
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Geometrische Veranschaulichung
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