L2. Vektorräume

L2. Vektorräume
Physikalische Größen lassen sich einteilen in:
1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer
Beispiele:
2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer
und einer
Beispiele:
Übliche Notationen:
(Text: fett gedruckt)
Beispiele:
i) Mondbahn:
ii) Wasserstrudel:
Geschwindigkeitsfeld:
(Geschw. ist Funktion vom Ort)
Allgemein: Vektorfeld
L2.1 Vektoren im drei-dimensionalen Euklidischen Raum
Vektorbegriff
(aus geometrischer Anschauung: z.B. Geschwindigkeit)
Vektor hat Betrag (Länge)
und Richtung:
Definition: zwei gleich lange und gleich gerichtete Vektoren sind gleich,
unabhängig von ihrem Ausgangspunkt
(Intuition: alle Punkte einer Rakete haben dieselbe Geschwindigkeit)
Wahl v. Koordinatenachsen
Mittelfinger
Zeigefinger
Daumen
'transponiert'
bezüglich
derselbe
Vektor
Decartes
Koordinaten sind abhängig von der
Wahl des Koordinatensystems
bezüglich
Ein Vektor ist eine geometrische Größe, (unabhängig vom Koordinatensystem)
Deswegen ist eine geometrische (Koordinaten-unabhängige) Interpretation der
Vektoraddition und Skalarmultiplikation wünschenswert (und grundlegender).
1596 - 1650
Vektoraddition: (z.B. von Kräften)
Verknüpfung "+" ist "geometrisch" festgelegt:
("+" hat andere Bedeutung als für reine Zahlen)
Rechenregeln:
Kommutativität:
Assoziativität:
Neutrales Element:
'Nullvektor':
(einziger Vektor ohne definierte Richtung)
Für alle Vektoren gilt:
Additives Inverse:
ist antiparallel zu
Vektorsubtraktion:
oder:
Multiplikation mit einer Zahl:
(parallel zu
Betrag:
Also:
Richtung:
Spezialfälle:
Rechenregeln:
Distributivität
bzgl. Skalaraddition:
Distributivität
bzgl. Vektoraddition:
Assoziativität:
Neutrales Element:
)
L2.2 Formale Definition eines Vektorraums
Lineare Algebra abstrahiert/formalisiert den Begriff des Vektors: obige
Vektoreigenschaften werden als Axiome (= "definierende Eigenschaften") aufgefasst.
Definition: Ein F-Vektorraum über einem Körper F ist ein Trippel
bestehend aus einer Menge V von Elementen, ausgestattet mit einer Additionsregel
und einer Multiplikationsregel
,die die 8 Axiome der Vektoraddition und Skalarmultiplikation erfüllen. Elemente von V: 'Vektoren'. Elemente von F: 'Skalare'.
Vektoraddition:
i) Kommutativiät:
ii) Assoziativität:
iii) Neutrales Element:
(Nullvektor)
iv) Inverses Element:
Skalare Multiplikation:
v) Distributivität bzgl. Skalar-Addition:
vi) Distributivität bzgl. Vektor-Addition:
vii) Assoziativität bzgl. Skalarmultiplikation:
viii) Identitätselement der
Skalarmultiplikation:
Beispiele:
reelle Zahlen
rationale Zahlen
komplexe Ebene
n-Komponenten
Nullvektor
Beispiel:
Vektoraddition:
"komponentweises Addieren"
Beispiel:
Skalare Multiplikation:
"Strecken der Komponenten"
Beispiel:
Beispiel: Diskretisierte Funktionen
Diskretisiere die Zeit:
Diskretisierte Funktion:
Vektoraddition:
Skalarmultiplikation:
Weitere Beispiele von Vektorräumen (Zukunftsmusik):
- (Ort,Impuls) im klassischen Phasenraum (T1: Klassischen Mechanik)
- Zustandsvektoren in der Quantenmechanik (T2: Quantenmechanik)
- Matrizen (P1: Experimentalphysik, T2: Quantenmechanik)
- Elektrische und Magnetische Felder (T3: Elektrodynamik)
- Quantenfelder (T6: Quantenfeldtheorie)