Analysis I

Übungen zum Repetitorium
Analysis I
Wintersemester 12/13
F. Springer
Hinweis: Die Aufgaben dieses Blattes haben teilweise völlig unterschiedliche Schwierigkeitsgrade. Nicht alle Aufgaben sind so gestellt, dass sie auch so in der Klausur gefragt werden können.
Manche könnten Teilaufgaben sein, andere helfen Techniken zu üben, die bei der Klausur auch
benötigt werden.
Aufgabe 1:
Formen Sie die nachstehenden Zahlen in Polarkoordinaten um. √
√
(a) 1 + i (b) √12 − √12 i (c) 1 + 2i (d) 2 − i (e) 5 − 5i (f) 3 + 3 3i (g) 3 − 3 3i (h)
√
√
√
(i) −2 2 + 2 2i (j) 4 − 4 3i
Aufgabe 2:
Bringen Sie die
folgenden Zahlen
in die Form
a + ib:√
5πi
8πi
(a) 8 exp 7πi
(b)
6
exp
(c)
5
exp
(d) 3 exp
3
4
4
πi
5πi
7πi
(g) exp 3 (h) exp 4 (i) exp 6
Aufgabe 3:
Untersuchen Sie die folgenden Mengen auf Abzählbarkeit:
(a) Die Menge der Abbildungen {0, 1} → N
(b) Die Menge der Abbildungen {0, 1} → Q
(c) Die Menge der Abbildungen {0, 1} → R
(d) Die Menge der Abbildungen {0, 1} → C
(e) Die Menge der Abbildungen N → {0, 1}
(f) Die Menge der Abbildungen Q → {0, 1}
(g) Die Menge der Abbildungen R → {0, 1}
(h) Die Menge der Abbildungen C → {0, 1}
(i) N, R, Q, C
(j) {endl. Folgen mit Werten in N}
(k) {endl. Folgen mit Werten in Q}
(l) {endl. Folgen mit Werten in R}
(m) {unendl. Folgen mit Werten in N}
(n) {unendl. Folgen mit Werten in Q}
(o) {unendl. Folgen mit Werten in R}
(p) {endl. Teilmengen von Q}
(q) {lineare Abbildungen Q2 → Q2 }
3πi
4
(e)
√
8 exp
7πi
6
√5
2
+
(f) exp
√5 i
2
πi
4
(r) {lineare Abbildungen Qn → Qm } mit n, m ∈ N (fest)
(s) P(N)
(t) die Menge der algebraischen Zahlen, d.h. die Menge aller Zahlen in C, die Nullstelle eines
Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind. (Sie dürfen annehmen, dass jedes Polynom n-ten
Grades maximal n Nullstellen hat.)
Aufgabe 4:
Zeigen Sie, dass (1 + x)n ≥
n2 2
4 x
für x ∈ Q≥0 , n ∈ N≥2 gilt.
Aufgabe 5:
Es sei I ⊂ R ein Intervall, f : I → R stetig. Zeigen Sie dass I nicht beschränkt oder nicht
abgeschlossen ist, falls sup f (I) = ∞ ist.
Aufgabe 6:
Gilt: f : [a, b] → R ist genau dann stetig, wenn f (I) = [inf f (I), sup f (I)]?
Aufgabe 7:
Gilt: f : [a, b] → [c, d] mit −∞ < c < d < ∞, dann wird das Supremum sup f ([a, b]) angenommen?
Aufgabe 8:
Geben Sie eine (stetige) Funktion mit beschränktem Definitions- und Wertebereich an, die weder
sup f (x) noch inf f (x) annimmt.
Aufgabe 9:
Sei f : [0, ∞) → R eine stetige Funktion mit f (0) = 0, lim f (x) = 2. Welche der folgenden
x→∞
Aussagen sind zwingend wahr?
f ist nach unten beschränkt.
f nimmt ihr Maximum an.
f nimmt den Wert 1 an.
Ist f monoton, so ist f streng monoton.
Aufgabe 10:T
S
T 1
S 1
Seien M1 =
0 − n1 , 1 + n1 , M2 =
− n1 , 1 + n1 , M3 =
− n , 1 + n1 , M4 =
− n , 1 + n1
n∈N
n∈N
n∈N
n∈N
Bestimmen Sie sup Mi , inf Mi , max Mi , min Mi , falls diese existieren.
Aufgabe 11:
Für alle x, y ∈ Q gilt
1
1
max(x, y) = (x + y + |x − y|), min(x, y) = (x + y − |x − y|)
2
2
Aufgabe 12:
Die Folge der Fibonacci-Zahlen ist definiert durch f0 = f1 = 1 und fn = fn−1 + fn−2 . Zeigen Sie
(i) fn ≥ n für alle n ∈ N1
(ii) fn+1 fn−1 − fn2 = (−1)n+1
(iii) lim
n→∞
fn+1 fn−1
fn2
existiert. Bestimmen Sie diesen.
Aufgabe 13:
Es sei φ : N → N eine Bijektion und (an )n∈N eine Folge. Zeigen Sie, dass (an )n∈N genau dann
konvergiert, wenn (aφ(n) )n∈N konvergiert. Was ist der Grenzwert von (aφ(n) )n∈N ?
2
Aufgabe 14:
Welche der nachstehenden Folgen sind beschränkt/konvergent?
2
Bestimmen Sie ggf. die Grenzwerte. (a) an = n3n
2 +3 , (b) bn =
P

n
√
3
n2 +n
n+2 ,
(i) in =
k
n
(e) en =  k=1
n+2 − 2 , (f) fn =
√
n+1−
√
Pn
k=1 (2k−1)
n3
2
nn
n! ,
(c) cn =
n2 +n+1
,
n
(d) dn =
, (g) gn = xn , x ∈ R, (h) hn =
√
n
n,
n.
Aufgabe 15:
Sei (xn )n∈N eine Nullfolge, (yn )n∈N eine beschränkte Folge, dann ist (xn · yn )n∈N eine Nullfolge.
Aufgabe 16:
Sei (an )n∈N eine Folge
Zahlen ungleich 0. Falls (an )n∈N konvergiert, was kann man über
reeller
an
das Verhalten von an+1
sagen?
n∈N
Aufgabe 17:
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen mit an < bb für alle n ∈ N, die beide konvergieren. Gilt dann
lim an < lim bn ?
n→∞
n→∞
Aufgabe 18:
Untersuchen die Sie die folgenden Reihen auf (absolute) Konvergenz (und bestimmen Sie den
Grenzwert der konvergenten Reihen):
(a)
∞
P
n=0
(b)
∞
P
k=0
(c)
∞
P
n=1
∞
P
(d)
n=1
(e)
∞
P
n=1
(f)
∞
P
n=0
1
xn , x
∈R
(g)
∞
P
n=0
63
104+2k
(h)
∞
P
n=1
n2
n!
(i)
∞
P
n=2
1
n2
(j)
∞
P
n=1
n!
nn
(k)
n4
3n
(l)
∞
P
n=0
∞
P
n=0
n+4
n2 −3n+1
(n+1)n−1
(−n)n
(m)
∞ √
P
2
( n n − 1)
n=0
(n)
∞
P
(−1)n
n=0
(−1)n
log n
(o)
n=1
(−1)n n!3n
nn
an
1+an
na
n! , a
, a ∈ R>0
∈Q
∞ P
(p)
∞
P
n=0
(q)
∞
P
k=1
n
n+1
n2
sin nα
2n , α
∈R
1
k(k+1)
Aufgabe 19:
Sei (xn )n∈N eine Nullfolge, (yn )n∈N eine beschränkte Folge, dann ist (xn · yn )n∈N eine Nullfolge.
Aufgabe 20:
Sei (an )n∈N eine Folge
Zahlen ungleich 0. Falls (an )n∈N konvergiert, was kann man über
reeller
an
sagen?
das Verhalten von an+1
n∈N
Aufgabe 21:
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N Folgen mit an < bb für alle n ∈ N, die beide konvergieren. Gilt dann
lim an < lim bn ?
n→∞
n→∞
Aufgabe 22:
Zeigen Sie: eix = cos x + i sin x
Aufgabe 23:
P
an konvergiert genau dann,
Seien (an )n∈N , (bn )n∈N reelle Folgen mit lim abnn = 1. Zeigen Sie
n→∞
P
wenn
bn konvergiert.
3
Aufgabe 24:
P
P
Es sei (an )n∈N eine monoton fallende Nullfolge. Zeigen Sie an konvergiert genau dann, bn abn
für ein b ∈ N>0 konvergiert.
Aufgabe 25:
Geben Sie zu den folgenden Zahlen eine Reihe an, die gegen sie konvergiert:
(a) 32 , (b) 59 , (c) 0.14, (d) 0.357.
Aufgabe 26:
Welche der folgenden Funktionen sind stetig?
(a)
(b)
(c)
f : R \ {0} → R
x 7→ x1
(d)
i:R →R
x 7→ exp(x)
g:R →R
(
(e)
j:R →R
3 +3x2 −4
x 7→ xx4 +3x
2 +2
x 7→
1
x,
0,
x 6= 0
x=0
k:R →R
(
1, x ∈ Q
(f)
x 7→
0, x ∈
/Q
h : R \{−1, 2, 3} → R
4
3 −7x2 +20x−12
x 7→ xx4−2x
−3x3−3x2+7x+6
Kann man f und h an den „Lücken“ im Definitionsbereich stetig fortsetzen?
Aufgabe 27:
Welche der folgenden Funktionen sind stetig?
k : R \ {0} → R
(
0, x ∈ R \ Q
(a)
x 7→ 1
q , x ∈ Q, x =
(b)
(c)
tanh : R → R
exp(x)−exp(−x)
x 7→ exp(x)+exp(−x)
und p, q teilerfremd.
sin : R → R
(e)
x 7→ sin(x)
(d)
p
q
cosh : R → R
x 7→ 12 (exp(x) + exp(−x))
sinh : R → R
x 7→ 12 (exp(x) − exp(−x))
(f)
cos : R → R
x 7→ cos(x)
(g)
tan : R \{(2k + 1) π2 |k ∈ Z} → R
x 7→ tan(x)
Aufgabe 28:
Beweisen oder widerlegen Sie: Sei I = [a, b] ein Intervall, f, g : I → R, x ∈ [a, b]
(a) f ist stetig in x genau dann, wenn |f | stetig in x ist.
(b) f und g sind stetig in x genau dann, wenn max{f, g} und min{f, g} stetig in x sind.
(c) f und g sind stetig in x genau dann, wenn f · g stetig in x ist.
(d) Ist lim f ((x + h) − f (x − h) = 0, so ist f in x stetig.
h→0
Sollte eine der Äquivalenzen falsch sein, überprüfen Sie ob zumindest eine Richtung stimmt.
Aufgabe 29:
Jedes Polynom ist glatt, d.h. unendlich oft differenzierbar.
Aufgabe 30:
( 1
e− x2 , x 6= 0
Die Funktion f : R → R, x 7→
ist glatt und für alle n ∈ N gilt f (n) (0) = 0.
0,
x=0
4
Aufgabe 31:
Es sei a > 1 und loga y die Umkehrfunktion der Funktoin f : R → f (R), x 7→ ax . Bestimmen Sie
die Ableitung von loga y.
Aufgabe 32:
Entscheiden Sie, welche Abbildungen aus Aufgabe 26 und 27 differenzierbar/glatt sind. Bestimmen Sie ggf. die Ableitungen.
Aufgabe 33:
Finden Sie eine Funktion, die 2-mal differenzierbar aber nicht 2-mal stetig differenzierbar ist.
Aufgabe 34:
Gibt es eine Funktion I → R die differenzierbar aber nicht stetig ist?
Geben Sie ein Beispiel an bzw. beweisen Sie die Unmöglichkeit.
Aufgabe 35:
Für welche a ∈ R+ ist die Funktion f : R → R mitf (x) := |x| sin x1 für x 6= 0 und f (0) = 0 im
Nullpunkt differenzierbar? Berechnen Sie ggf. die Abbildung.
Aufgabe 36:
Untersuchen Sie die Funktion f (x) = x−a ex , a ∈ R auf (0, ∞) hinsichtlich Monotonie, Extrema
und Konvexität.
Aufgabe 37:
Zeigen Sie 1 −
1
x
< log x < x − 1 für x > 1. (Tipp: Betrachten Sie die Ableitungen.)
Aufgabe 38:
Berechnen Sie die Ableitungen der Umkehrfunktionen von sin x, cos x, tan x auf geeigneten Intervallen.
Aufgabe 39:
Bestimmen Sie die Ableitung von f (x) = xα , f (x) = β x , α ∈ R+ , β > 1
Aufgabe 40:
Leiten Sie die Quotientenregel aus der Kettenregel und der Produktregel ab.
Aufgabe 41:
x
a
x
Berechnen Sie die Ableitung von f1 (x) = x(x ) , f2 (x) = (xx )x , f3 (x) = x(x ) , f4 (x) = x(a ) , f5 (x) =
x
a(x ) , a ≥ 0.
Aufgabe 42:
Bestimmen Sie die folgenden Stammfunktionen:
(a)
R
dx
1+2x2 +x4
(f)
R
dx
x log(x)
(b)
R
x3
x3 +3x2 −4x−12
(g)
R
x4
dx
(x2 +3)3
(c)
R
x4
dx
x2 −1
(h)
R q 1−x
(d)
R
x3 +1
dx
x4 −2x2 +1
(i)
R
√
(e)
R
x4 log(x)dx
(j)
R
√ dx
ex +1
dx
(k)
R
dx
sin x
(l)
R
√
x−√x
dx
x+ x
1+x dx
dx√
x−1− x−2
dx
a+b cos x , a, b
(m)
R
(n)
R√
1 + sin xdx
∈R
Aufgabe 43:
Finden Sie Stammfunktionen zu den Funktionen in Aufgabe 26 und 27 bis auf Teil (a).
5
Aufgabe 44:
2x
Bestimmen Sie die Stammfunktion zur Funktion f (x) = √−2x
. Lassen Sie sich dabei nicht
2 −x4
dadruch irritieren, dass die Wurzel komplex ist. Die Rechnung ist dieselbe, als wäre die Wurzel
reell.
Aufgabe 45:
Bestimmen Sie die folgenden Stammfunktionen. Dabei ist a immer eine reelle Zahl, die ggf.
weiteren Einschränkungen unterliegt.
(a)
R
dx
x
(b)
R
ex dx
(c)
R
(d)
R
cos xdx
(e)
R
tan xdx
(f)
R
dx
cos2 x
(g)
R
dx
a2 +x2
(h)
R
dx
, (|x|
a2 −x2
< a)
(i)
R
dx
, (|x|
x2 −a2
> a)
(f)
R1
(g)
R1
(h)
R
(i)
R1
sin xdx
Aufgabe 46:
Bestimmen Sie die folgenden Integrale
(a)
R∞
(b)
R e2 +1
0
x· e−x dx
e+1
R
x+1
x−1 dx
xn (1 − x)m dx, n, m ∈ N
−1 (1
+ x)n (1 − x)m dx, n, m ∈ N
π
2
t · cos tdt
Ra√
(d) 0 a2 − x2 dx
R1
(e) 0 xex dx
(c)
0
0
6
π
2
0
0
dφ
, a, b
a2 sin2 φ+b2 cos2 φ
>0
xa logk xdx, a > 0, k ∈ N