Prüfungstutorat: Angewandte Methoden der Politikwissenschaft

Prüfungstutorat:
Angewandte Methoden der
Politikwissenschaft
Polito Seminar
Carl Schweinitz
10.12.2014
Übersicht
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Einheiten und Variablen
Skalen und ihre Transformation
Deskriptive Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen
Verteilungsfunktionen
Erhebung von Stichproben
Quellen: Steenbergen, Marco. Vorlesung Angewandte Methoden
der Politikwissenschaften.
Was ich nicht mache
•
•
•
•
•
Mathe help desks
R
Interpretation von Graphiken
Chi²-, t-, F-Verteilungen (auswendig lernen…)
Aber: Fragen gerne!
1. Einheiten und Variablen
• Einheiten:
– Objekte über die wir empirische Aussagen treffen
– Ein Sample/Stichprobe ist ein Teil einer Population (=Universum aller
relevanten Objekte)
– Inferentielle Statistik wird benutzt um vom Sample auf die Population
zu schliessen
• Attribute:
–
–
–
–
Charakteristika von Einheiten
Konstante: variiert nicht
Variable: variiert zwischen Einheiten
Abhängige und unabhängige Variablen
2. Messung, Skalen, und Transformation
• Messung: Zuteilung von Zahlen, die einen bekannten,
empirischen Zusammenhang zwischen Objekten darstellen
• Skalen:
–
–
–
–
Nominalskala (Geschlecht/Gender)
Ordinalskala (Zustimmung)
Intervallskala (Temperatur in Celsius)
Verhältnisskala (Distanz in Meter)
• Transformationen:
–
–
–
–
Nominalskala – alle Transformationen, die Unterschied behalten
Ordinalskala – positiv monotone Transformation
Intervallskala – affine und positiv lineare Transformation
Verhältnisskala – positiv lineare Transformation
3. Deskriptive Statistik - univariat
• Wieso: Datenchaos ordnen/visualisieren und Muster
erkennen
• Wie: Tabellen & Graphiken mit Frequenzen, Proportionen und
Prozenten.
• Kontinuierliche Variablen:
– Gruppieren in sog. Klassen („bins“).
– Klassenbreite:
3. Deskriptive Statistik – multivariat
• 2 x 2 Tabellen: relatives Risiko (relative risk ratio) & Odds Ratio
Kurzsichtig
Stolpern
Ja
Nein
Ja
15
5
Nein
3
25
• Relatives Risiko?
• Odds Ratio?
3. Deskriptive Statistik – multivariat
• 2 x 2 Tabellen: relatives Risiko (relative risk ratio) & Odds Ratio
Kurzsichtig
Stolpern
Ja
Nein
Ja
15
5
Nein
3
25
• Relatives Risiko? 𝑅𝑅 =
• Odds Ratio?
15
15+3
5
25+5
=5
3. Deskriptive Statistik – multivariat
• 2 x 2 Tabellen: relatives Risiko (relative risk ratio) & Odds Ratio
Kurzsichtig
Stolpern
Ja
Nein
Ja
15
5
Nein
3
25
• Relatives Risiko? 𝑅𝑅 =
• Odds Ratio? 𝑂𝑅 =
15
3
5
25
15
15+3
5
25+5
=
=5
15 ∗25
3 ∗5
= 25
3. Deskriptive Statistik – multivariat
• Nominale / ordinale Werte:
– Camér‘s 𝜐 – nominale mit nominalen oder ordinalen Variablen
• 0 bis 1; 1 perfekte Assoziierung
– Goodman and Kruskal‘s 𝛾 – ordinale mit ordinalen Variablen
• 0 bis 1; 1 perfekte Assoziierung
4. Wahrscheinlichkeitstheorie - Grundlagen
• Wahrscheinlichkeit:
– Logisch: deduktiv; Münzwurf, Würfel
– Subjektiv: Grad der subjektiven Überzeugung, dass eine bestimmte
Aussage wahr ist; Obama tritt morgen zurück
– Frequentistisch: induktiv, basierend auf Beobachtung von einer Menge
an Versuchen; Autounfall, Krankheiten, etc.
• Gesetz der grossen Zahlen: Wenn die Anzahl der
Beobachtungen genügend gross genug ist, ist die relative
Frequenz von 𝑗 eine genügend gute Approximation an Pr(𝑗).
4. Wahrscheinlichkeitstheorie - Rechnen
• Basiert auf Kombinatorik (siehe basta14lec4a)
• Stichprobenraum (sample space) = volles Ereignisset 𝑆 mit
jedem Event als Subset: ℇ ⊂ 𝑆
• Events und ihre Wahrscheinlichkeiten können kombiniert
werden:
– Komplemente ( 𝐴 & 𝐴 ) :
– Schnittmenge ( 𝐴 ∩ 𝐵 ):
– Vereinigung ( 𝐴 ∪ 𝐵 ):
Pr 𝐴 = 1 − Pr(𝐴)
Pr 𝐴 ∩ 𝐵 = Pr 𝐴|𝐵 ∗ Pr(𝐵)
Pr 𝐴 ∪ 𝐵 = Pr 𝐴 + Pr 𝐵 − Pr(𝐴 ∩ 𝐵)
5. Zufallsvariablen
• Die Werte einer Zufallsvariablen sind durch Zufall beeinflusst.
• Diskrete (bspw. Demonstrationen) oder kontinuierliche
(bspw. GDP/capita) Werte.
• Diskrete ZV: Probability Mass Function (PMF)
𝑓 𝑦 = Pr(𝑌 = 𝑦)
• Kontinuierliche ZV: Probability Density Funktion (PDF)
𝑎
𝑓 𝑦 𝑑𝑦 = Pr(𝑎 ≤ 𝑦 ≤ 𝑏)
𝑏
• Kumulative Verteilungsfunktionen
F 𝑦 = 𝑦𝑖≤𝑦 Pr(𝑌 = 𝑦𝑖 ) ; 𝐹 𝑦 =
𝑦
𝑓
−∞
𝑦 𝑑𝑦
5. Zufallsvariablen: Beispiel 1
Die Temperatur ist heute uniform zwischen 0 und 10°C verteilt.
1. Was ist die Wahrscheinlichkeit, genau 1°C zu messen?
2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit messen wir einen Wert
zwischen 0 und 3°C am Thermometer?
3. Mit welcher Wahrscheinlichkeit messen wir 1°C, 2°C, oder
7°C und höher?
4. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 12°C zu messen?
5. Zufallsvariablen: Support & Parameter
• Support / Träger: Menge an Werten von 𝑌 für die 𝑓(𝑦) > 0
• Parameter: Bestimmen die Form der Verteilung
–
–
–
–
Mittelwert
Varianz
Schiefe (skewness)
Wölbung (kurtosis)
• Beispiel:
– Zeichne eine rechtsschiefe, leptokurtische Normalverteilung mit
beliebigem Mittelwert und beliebiger Varianz.
5. Zufallsvariablen: Multivariate Verteilungen
• Bivariate Wahrscheinlichkeitsfunktion:
𝑓 𝑦1 , 𝑦2 = Pr 𝑌1 = 𝑦1 ∩ 𝑌2 = 𝑦2
• Marginale Verteilung: Verteilung von nur einer ZV (𝑦1 )
unabhängig von der zweiten ZV (𝑦2 )
• Konditionale / bedingte Verteilung: Verteilung von 𝑦1 bei
einem bestimmten Wert von 𝑦2 -> 𝑓(𝑦1 |𝑦2 )
• Statistische Unabhängigkeit: 𝑓 𝑦1 𝑦2 = 𝑓(𝑦1 )
5. Zufallsvariablen: Beispiel 2
• Bsp: 𝑌1 = 1,2 ; 𝑌2 = 1,2 ; 𝑓 𝑦1 , 𝑦2 =
• Pr 𝑌1 = 2, 𝑌2 = 2 ?
• Pr 𝑌1 = 2 ?
• Pr 𝑌1 = 2|𝑌2 = 2 ?
4
9𝑦1 𝑦2
5. Zufallsvariablen: Beispiel 2
y2
y1
1
2
1
4/9
2/9
2
2/9
1/9
• Bsp: 𝑌1 = 1,2 ; 𝑌2 = 1,2 ; 𝑓 𝑦1 , 𝑦2 =
• Pr 𝑌1 = 2, 𝑌2 = 2 -> 1/9
• Pr 𝑌1 = 2 ?
• Pr 𝑌1 = 2|𝑌2 = 2 ?
4
9𝑦1 𝑦2
5. Zufallsvariablen: Beispiel 2
y2
y1
1
2
1
4/9
2/9
2
2/9
1/9
• Bsp: 𝑌1 = 1,2 ; 𝑌2 = 1,2 ; 𝑓 𝑦1 , 𝑦2 =
• Pr 𝑌1 = 2, 𝑌2 = 2 ->
2
9
1
9
1
9
• Pr 𝑌1 = 2 -> + =
• Pr 𝑌1 = 2|𝑌2 = 2 ?
1
3
4
9𝑦1 𝑦2
5. Zufallsvariablen: Beispiel 2
y2
y1
1
2
1
4/9
2/9
2
2/9
1/9
• Bsp: 𝑌1 = 1,2 ; 𝑌2 = 1,2 ; 𝑓 𝑦1 , 𝑦2 =
• Pr 𝑌1 = 2, 𝑌2 = 2 ->
2
9
1
9
1
9
• Pr 𝑌1 = 2 -> + =
• Pr 𝑌1 = 2|𝑌2 = 2 -> 2
1
3
1
9
1 =
+
9 9
1
3
4
9𝑦1 𝑦2
5. Zufallsvariablen: Zusammenfassen
• Mittelwert:
– Diskret
– Kontinuierlich
• Varianz:
– Diskret
– Kontinuierlich
• Kovarianz:
– Diskret
– Kontinuierlich
5. Zufallsvariablen: Korrelation & kond. Mittel
• Korrelation:
-> Lineare Assoziation zwischen 𝑌1 und 𝑌2 auf einer Skala von
-1 bis 1
• Konditionales Mittel:
5. Zufallsvariablen: Erwartungen & Momente
• Erwartungswert = Mittelwert: 𝐸 𝑌 = 𝜇
• Momente:
– Mittelwert
– Varianz
– Schiefe (skewness)
<0 linksschief; >0 rechtsschief
– Wölbung (kurtosis)
– 𝛾4 − 3 = 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑠𝑠 𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠
<0 platykurtisch ; >0 leptokurtisch
6. Verteilungsfunktionen
• Bernoulliverteilung:
– Dichotom (nur zwei Ereignisse im Möglichkeitenraum); Münzwurf
• Binomialverteilung:
– Nur diskrete Werte von 0 – n
– Beschreibt Serie von n Bernoulli-Prozessen
• Poissonverteilung:
– Für Variablen deren Mittel und Varianz gleich sind
– Oft „count“-Daten (Demonstrationen, Tote, etc.)
6. Verteilungsfunktionen
• Normalverteilung
– Kontinuierliche Werte von −∞ bis ∞
– PDF:
𝜇= Mittelwert
𝜎= Standardabweichung
Generell: 𝑌~𝑁(𝜇, 𝜎)
– Median = Mode = Mittel
– Wölbung = Schiefe = 0
– Standard Normalverteilung: 𝑍~𝑁 0,1 ; 95%: -1.96 – 1.96
– Z-Transformation (von realer zur standard NV): 𝑧 =
• Chi²-Verteilung, t-Verteilung, F-Verteilung.
𝑦−𝜇
𝜎
7. Stichprobenerhebung
• Zufällige vs. Bewusste Auswahl
• Randomisiert: jedes Mitglied der untersuchten Population hat
dieselbe Wahrscheinlichkeit (>0), gezogen zu werden.
– Simple random sampling
– Stratified sampling
– Cluster sampling
• Was unterscheidet die verschiedenen Samplingmethoden und
wann werden sie angewendet?
7. Stichprobenerhebung
• Zufällige vs. bewusste Auswahl
• Randomisiert: jedes Mitglied der untersuchten Population hat
dieselbe Wahrscheinlichkeit (>0), gezogen zu werden.
– Simple random sampling
– Stratified sampling
– Cluster sampling
• Was unterscheidet die verschiedenen Samplingmethoden und
wann werden sie angewendet?
7. Stichprobenerhebung
• Stichprobenverteilung:
– Wahrscheinlichkeitsverteilung eines statistischen Wertes der
Stichprobe (bzw. des Mittels) auf Grundlage der hypothetischen
Ziehung aller möglichen Proben der Größe 𝑛.
• Normalverteilte Werte:
– In einem Sample ist der Mittelwert einer normalverteilten Variable
normalverteilt um den wahren Mittelwert der Variable in der
Grundgesamtheit.
• Central Limit Theorem:
– Gegeben eine genügend grosse Stichprobe, so ist jeder Mittelwert
normalverteilt um den (wahren) Mittelwert 𝜇 mit einer Varianz von
𝜎2
.
𝑛