Mathematik 1 - für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1
für Wirtschaftsinformatik
Wintersemester 2012/13
Determinante einer 4x4
Matrix
Invertierung mit
Entw. satz
Stefan Etschberger
Hochschule Augsburg
LGS und Orthogonalität
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Berechnung inverser Matrizen durch den Gaußalgorithmus:
Ansatz:
Ax +
Ey = 0
⇒ A−1 Ax + A−1 Ey = 0
⇒
Ex + A−1 y = 0
Also: Gaußtableau mittels elementarer Umformungen
folgendermaßen umformen:
(A|E) −→
E|A−1
Orthogonale Matrizen
Eine n × n-Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
AAT = AT A = E
Bei orthogonalen Matrizen A gilt also: A−1 = AT .
Mit A ist damit auch AT orthogonal
88
det A =
X
(−1)v(p) · a1p1 · a2p2 · . . . · anpn
p
Determinanten: Vorüberlegung
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Permutationen und Inversionen
Sei M = {a1 , . . . , an } eine n-elementige Menge.
Dann: jede Anordnung
(ap1 , . . . , apn ) der Elemente a1 , . . . , an mit
{p1 , . . . , pn } = {1, . . . , n} heißt eine Permutation.
Wenn für ein Paar (ai , aj ) einerseits i < j , und andererseits
pi > pj , gilt: Inversion.
Also: Ausgehend von Permutation (a1 , . . . , an ): Jede
Vertauschung zweier Elemente ai und aj ist eine Inversion.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
Beispiel
Gegeben: Menge {1,2,3}
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
89
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Determinanten: Vorüberlegung
Permutationen und Inversionen
Sei M = {a1 , . . . , an } eine n-elementige Menge.
Dann: jede Anordnung
(ap1 , . . . , apn ) der Elemente a1 , . . . , an mit
{p1 , . . . , pn } = {1, . . . , n} heißt eine Permutation.
Wenn für ein Paar (ai , aj ) einerseits i < j , und andererseits
pi > pj , gilt: Inversion.
Also: Ausgehend von Permutation (a1 , . . . , an ): Jede
Vertauschung zweier Elemente ai und aj ist eine Inversion.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
Beispiel
Gegeben: Menge {1,2,3}
Damit: Folgende 6 Permutationen:
(1,2,3)
(1,3,2), (2,1,3)
(2,3,1), (3,1,2)
(3,2,1)
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
ohne Inversion,
mit je einer Inversion,
mit je zwei Inversionen,
mit drei Inversionen.
89
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Definition Determinante
Gegeben: A, eine n × n-Matrix.
Außerdem: (1, . . . , n) sei geordnetes n-Tupel der Zeilenindizes und
p = (p1 , . . . , pn ) eine Permutation von (1, . . . , n) mit v(p)
Inversionen.
Determinante von A ist dann:
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
X
det A =
(−1)v(p) · a1p1 · a2p2 · . . . · anpn
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
p
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
Beispiele
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
Gegeben: A als eine n × n-Matrix
Für n = 1 gilt dann A = (a11 ) sowie
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.7. Eigenwerte
det A = det (a11 ) = a11 .
6. Lineare Programme
Für n = 2 enthält die Determinante 2! = 2 Summanden,
nämlich: a11 a22 ohne Inversion und −a12 a21 mit einer Inversion.
a11 a12
= a11 a22 − a12 a21 .
Damit: det A = det a
a22
21
90
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Determinanten von 3 × 3-Matrizen
Beispiel: Determinante einer 3 × 3-Matrix
Für n = 3: Determinante hat 3! = 6 Summanden, nämlich
a11 a22 a33 ohne Inversion,
a12 a23 a31 und a13 a21 a32 mit zwei Inversionen,
−a11 a23 a32 und −a12 a21 a33 mit einer Inversion und
−a13 a22 a31 mit drei Inversionen.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
Es gilt:
5.1. Matrizen und Vektoren
det A =
=

a11
det a21
a31
a12
a22
a32

a13
a23 
a33
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32
−a11 a23 a32 − a12 a21 a33 − a13 a22 a31
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Einfacher zu merken: Regel von Sarrus (siehe Vorl.)
91
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Zahlenbeispiel Determinanten
Beispiel
5
A=
3
4
,
2

1
B = 1
2

2
3
−1 −1 ,
1
0

1

−1
C=
1
1. Grundlegende
Bausteine

−2
1
1
0
1 −2
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Zeigen Sie: det A = −2,
det B = 6,
det C = 0
92
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Minor, Kofaktoren
Gegeben: n × n-Matrix A mit n = 2;
Streiche Zeile i und Spalte j, ⇒ Matrix mit n − 1 Zeilen und n − 1
Spalten:


a11
...
a1,j−1
a1j
a1,j+1
...
a1n
..
..
..
.. 
 ..
 .
.
. 
.
.


ai−1,1 . . . ai−1,j−1 ai−1,j ai−1,j+1 . . . ai−1,n 



...
ai,j−1
aij
ai,j+1
...
ain 
Aij =  ai1



ai+1,1 . . . ai+1,j−1 ai+1,j ai+1,j+1 . . . ai+1,n 


 .
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
. 
an1
. . . an,j−1
anj
an,j+1
...
ann
nach dem Streichen heißt diese Matrix Minor
Damit kann man das algebraische Komplement oder den Kofaktor
dij zur Komponente aij von A berechnen:
i+j
dij = (−1)
det Aij =
(i, j = 1, . . . , n)
det Aij
− det Aij
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
für i + j gerade
für i + j ungerade
93
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Kofaktoren
Entwicklungssatz von Laplace
Entwicklungssatz für Determinanten
Gegeben: A eine n × n-Matrix und D die Matrix der
Kofaktoren.
1. Grundlegende
Bausteine
Dann gilt für n = 2,3, . . .



AD = 

T
det A
0
.
..
0
2. Grundlegende
Werkzeuge
0
det A
.
..
0
···
···
..
.
···
0
0 

. .
.. 
det A

3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
Insbesondere wird mit:
5.5. Inverse Matrizen
det A
= aTi di = ai1 di1 + . . . + ain din
= ajT dj = a1j d1j + . . . + anj dnj
(i=1,. . . ,n)
(j=1,. . . ,n)
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
die Determinante von A nach der i-ten Zeile aTi = (ai1 , . . . , ain ) bzw. nach


a1j


der j-ten Spalte aj =  ..  von A entwickelt.
.
anj
94
det A
 0

AD =  .
 ..
0

T
esondere wird mit:
0
det A
.
..
0
···
···
..
.
···

0
0 

. .
.. 
det A
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel: Entwicklungssatz
Beispiele
1. Grundlegende
Bausteine
Zeigen Sie:

1
 2
A=
−1
0

1
0
B=
2
1
2
0
1
3
2
1
0
1

0
1
0 −1
 ⇒ det A = 5
2
0
1
1
1
2
0
1

3
0
 ⇒ det B = 0
0
1
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
95
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Sätze
Es gilt für A, B ∈ Rn×n :
det(AB) = det A · det B
(Determinantenmultiplikationssatz)
aber: im allgemeinen det(A + B) 6= det A + det B
det A 6= 0
⇔
A−1 existiert
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
Gilt zusätzlich det A 6= 0
Mit D = (dij )n,n , der Matrix der Kofaktoren zu A gilt
1
T
det A D
−1
A−1 =
det(A
) = (det A)−1
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
Ist A orthogonal gilt: det A = ±1
96
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Cramersche Regel
Lösung eindeutig bestimmter linearer Gleichungssysteme
Gegeben: Lineares Gleichungssystem Ax = b
1. Grundlegende
Bausteine
Voraussetzung: Es existiert A−1 , also auch
det A 6= 0
Bezeichnung: Mit Aj ist die Matrix, in der
gegenüber A die j-te Spalte durch b ersetzt wird,
also


a11 · · · b1 · · · a1n

..
.. 
Aj =  ...
.
. 
an1 · · · bn · · · ann
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
Gabriel Cramer
(1704 – 1752)
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
Dann lässt sich die Lösung x in folgender Form schreiben:
xj =
det Aj
det A
6. Lineare Programme
(j = 1, . . . , n)
(Cramersche Regel)
97
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel Cramersche Regel
1. Grundlegende
Bausteine
Zu zeigen:

0 2
A = 1 0
0 1
und Ax = b
2. Grundlegende
Werkzeuge

3
1,
2
Damit: xT = (1, −1,1)
 
1
b = 0
1
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
98
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Eigenwerte: Einführendes Beispiel
Bevölkerungsentwicklung
Gegeben:
xt > 0
yt > 0
die Anzahl von Männern im Zeitpunkt t und
die Anzahl von Frauen im Zeitpunkt t.
Anzahl der Sterbefälle für Männer bzw. Frauen im Zeitintervall
[t, t + 1] sei proportional zum jeweiligen Bestand im Zeitpunkt t,
und zwar 0,2xt für die Männer und 0,2yt für die Frauen.
Anzahl der Knaben- und Mädchengeburten im Zeitintervall [t, t + 1]
proportional ist zum Bestand der Frauen.
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
Anzahl der Knabengeburten: 0,2yt ,
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
Anzahl der Mädchengeburten: 0,3yt .
6. Lineare Programme
Für Übergang vom Zeitpunkt t zum Zeitpunkt t + 1 damit:
xt+1
yt+1
=
=
xt − 0,2xt + 0,2yt
yt − 0,2yt + 0,3yt
=
=
0,8xt + 0,2yt
1,1yt
99
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Beispiel Bevölkerungsentwicklung
Matriziell:
xt+1
yt+1
=
0,8
0
0,2
xt
1,1
yt
1. Grundlegende
Bausteine
Forderung: Zeitliches Verhältnis von Männern und Frauen
soll konstant bleiben
Also:
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
xt+1 = λxt ⇐⇒ yt+1 = λyt
(λ ∈ R+ ),
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
Dieser Fall beschreibt einen gleichförmigen Wachstums(λ > 1) beziehungsweise Schrumpfungsprozess (λ < 1)
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
Matriziell:
5.7. Eigenwerte
λz = Az mit
A=
0,8
0
0,2
xt
, z=
,
1,1
yt
n
5.5. Inverse Matrizen
5.6. Determinanten
6. Lineare Programme
λ ∈ R+
Lösung?
100
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Eigenwertprobleme
Definition
Gegeben: n × n-Matrix A.
1. Grundlegende
Bausteine
Ist nun für eine Zahl λ ∈ R und einen Vektor
x ∈ Rn mit x 6= o
lineare Gleichungssystem Ax = λx erfüllt, so
heißt λ reeller Eigenwert zu A und
2. Grundlegende
Werkzeuge
3. Aussagenlogik
David Hilbert
(1862 – 1943)
x reeller Eigenvektor zum Eigenwert λ.
Insgesamt: Eigenwertproblem der Matrix A.
4. Komplexe Zahlen
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
Damit
5.5. Inverse Matrizen
Ax = λx ⇐⇒ Ax − λx = Ax − λEx = (A − λE)x = o
Satz: Das LGS Ax = λx hat genau dann eine Lösung x 6= o,
wenn gilt:
5.6. Determinanten
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
det(A − λE) = 0
101
Mathematik 1
Stefan Etschberger
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren
Jedes λ, das det(A − λE) = 0 löst ist ein Eigenwert von A.
Anschließend: Für jedes erhaltene λ Lösen des
Gleichungssystems
(A − λE)x = o mit
1. Grundlegende
Bausteine
2. Grundlegende
Werkzeuge
x 6= o
3. Aussagenlogik
4. Komplexe Zahlen
Damit hat man für jedes λ mindestens einen reellen
Eigenvektor x.
5. Lineare Algebra
5.1. Matrizen und Vektoren
5.2. Matrixalgebra
Satz: Mit x 6= o ist auch jeder Vektor rx (r ∈ R, r 6= 0)
Eigenvektor zum Eigenwert λ von A.
5.3. Punktmengen im R
n
5.4. Lineare
Gleichungssysteme
5.5. Inverse Matrizen
Beispiele
5.6. Determinanten
0,8
A=
0
D=
−1
−1
0,2
,
1,1
3
,
2
0,2
B=
,
0,65


1
0 1
1 1
E= 0
−1 −1 0
1
0,1

1
C = 0
1
0
1
1

1
1,
2
5.7. Eigenwerte
6. Lineare Programme
102