Komplexe Zahlen - Forschungsbereich für Baumechanik und

Komplexe Zahlen und Funktionen
z = x + i y , i 2 = −1
Algebraische (kartesische) Form:
x = Re ⎡⎣ z ⎤⎦ , y = Im ⎡⎣ z ⎤⎦
z* = x − i y
Konjugiert komplexe Zahl:
z = x2 + y2
Betrag:
(
z = x + i y = r cos ϕ + isin ϕ
Trigonometrische Form:
(
z * = r cos ϕ − isin ϕ
r = z , tan ϕ =
)
Im ⎡⎣ z ⎤⎦
Re ⎡⎣ z ⎤⎦
=
y
x
z * = r e−iϕ
z = r eiϕ
Exponentialform:
)
Eulersche Formel: e±iϕ = cosϕ ± isin ϕ = e±i(ϕ +k⋅2π )
(k ∈Z)
Grundrechenarten:
(
z1* ± z2* = ( x1 + x2 ) ∓ i ( y1 + y2 )
) (
)
z1 z2 = ( x1 + i y1 ) ( x2 + i y2 ) = ( x1x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )
z1 ± z2 = x1 + x2 ± i y1 + y2
( )( r e ) = r r e (
z1 z2 = r1 e
iϕ1
2
iϕ 2
1 2
i ϕ1 +ϕ 2
)=r r
⎡
1 2 ⎣ cos
(ϕ1 + ϕ 2 ) + isin (ϕ1 + ϕ 2 )⎤⎦
z z * = x 2 + y 2 … reell (!!)
z1
z2
z1
z2
=
=
( x1 + i y1 ) = z1 z2* = ( x1 + i y1 ) ( x2 − i y2 ) = ( x1x2 + y1 y2 ) + i ( x2 y1 − x1 y2 )
( x2 + i y2 ) z2 z2* ( x2 + i y2 ) ( x2 − i y2 ) x22 + y22
x22 + y22
r1
r2
e(
i ϕ1 −ϕ 2
)=
r1
(
)
(
)
⎡cos ϕ1 − ϕ 2 + isin ϕ1 − ϕ 2 ⎤
⎦
r2 ⎣
Potenzieren und Wurzelziehen:
Satz von MOIVRE:
n
( )
( )
z n = ⎡ r eiϕ ⎤ = r n ei n ϕ = r n ⎡⎣cos n ϕ + isin n ϕ ⎤⎦ ,
⎣
⎦
( z ∈!, n ∈" )
n -te Wurzel einer komplexen Zahl z = a0 ( cos α + isin α ) = a0 ei α , a0 > 0 :
ζ n = a0 ei α
⇒
ζ k = r ( cosϕ k + isin ϕ k ) = r e
r = n a0 ,
Mathematik Aufbaukurs
ϕk =
α + k ⋅ 2π
n
iϕ k
( n ∈! ,
k ∈"
)
(k = 0,1,..., n − 1)
Forschungsbereich für Baumechanik und Baudynamik (TU-Wien)