Funktionalanalysis 1: ¨Ubungsblatt 4 - FA

Bálint Farkas
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Bergische Universität Wuppertal
Wintersemester 2015/2016
Funktionalanalysis 1: Übungsblatt 4
Aufgabe 19. Sei X eine beliebige Menge.
(a) Bestimmen Sie die konvergenten Folgen und die kompakten Mengen für die antidiskrete Topologie
{;, X}.
(b) Bestimmen Sie die konvergenten Folgen und die kompakten Mengen für die diskrete Topologie P(X).
Aufgabe 20. Sei (X, O) ein topologischer Raum. Beweisen Sie, dass der Schnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen, sowie Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist.
Aufgabe 21. Sei (X, O) ein topologischer Raum. Beweisen Sie die folgenden Aussagen für eine Menge
A ✓ X:
(a) int(A) ist die größte o↵ene Menge, welche in A enthalten ist.
(b) x 2 A genau dann, wenn für jede Umgebung U von x gilt U \ A 6= ;.
(c) @A ist abgeschlossen.
Aufgabe 22. Sei X versehen mit zwei Topologien O1 und O2 mit O1 ✓ O2 . Zeigen Sie, dass alle O2 kompakten Mengen auch O1 -kompakt sind.
Aufgabe 23. Sei X eine beliebige Menge. Bestimmen Sie, falls möglich, eine Metrik, die die folgende
Topologie induziert:
(a) Die antidiskrete Topologie.
(b) Die diskrete Topologie.
Aufgabe 24. Wir betrachten X = R und O := {;, R, (a, 1) : a 2 R}.
(a) Beweisen Sie, dass O eine Topologie ist. Bestimmen Sie die abgeschlossenen Mengen.
(b) Ist (R, O) Hausdor↵’sch? Welche ist feiner, O oder die Euklidische Topologie OEuklid ?
(c) Zeigen Sie, dass alle stetige Funktionen f : R ! R stetig als Abbildungen f : (R, OEuklid ) ! (R, O)
sind.
(d) Geben Sie ein Beispiel für eine stetige Abbildung f : (R, OEuklid ) ! (R, O), welche aber für die
Euklidische Topologie unstetig ist. Beschreiben Sie alle stetige Abbildungen f : (R, OEuklid ) ! (R, O).
(e) Geben Sie ein Beispiel für eine stetige Abbildung f : (R, O) ! (R, OEuklid ) an. Beschreiben Sie alle
solche Abbildungen.
(f) Geben Sie ein Beispiel für eine stetige Abbildung f : (R, O) ! (R, O) an. Beschreiben Sie alle solche
Abbildungen.
(g) Bestimmen Sie die kompakten Mengen für die Topologie O. Was bedeutet die Konvergenz von Folgen
in diesem Topologischer Raum? Bestimmen Sie die Limiten von konvergenten Folgen.
S
Aufgabe 25. Sei X eine Menge und B ✓ P(X) mit den Eigenschaften: (1) B = X, und (2) A, B 2 B
) A \ B 2 B. Zeigen Sie, dass B eine Basis für die erzeugte Topologie ⌧ (B) ist.
Aufgabe 26. (Die Sorgenfrey-Gerade) Wir betrachten die Menge R und das Mengen-System B :=
{[a, b) : a  b}. Sei O := ⌧ (B) die erzeugte Topologie.
(a) Zeigen Sie, dass B eine Basis für O ist.
(b) Ist O Hausdor↵’sch?
(c) Geben Sie Mengen, außer ; und R, an, welche gleichzeitig abgeschlossen und o↵en sind.
(d) Zeigen Sie, dass O echt feiner als OEuklid ist.
(e) Zeigen Sie, dass (R, O) separabel ist.
(f) Zeigen Sie, dass [a, b] nicht kompakt ist.