Brückenkurs Mathematik - Freie Universität Berlin

Freie Universität Berlin
FB Mathematik und Informatik
Jürgen Schütz
3. Übung zum
Brückenkurs Mathematik
25. September bis 6. Oktober 2006
Aufgabe 1
Es sei f : X → Y eine Abbildung und A, B ⊆ X. Zeige:
a. f [A ∪ B] = f [A] ∪ f [B],
b. f [A ∩ B] ⊆ f [A] ∩ f [B],
c. f [A \ B] ⊇ f [A] \ f [B].
Warum gilt bei (b) und (c) nicht Gleichheit.
Aufgabe 2
Es sei f : X → Y eine Abbildung und C, D ⊆ Y . Zeige:
a. f −1 [C ∪ D] = f −1 [C] ∪ f −1 [D],
b. f −1 [C ∩ D] = f −1 [C] ∩ f −1 [D],
c. f −1 [C \ D] = f −1 [C] \ f −1 [D].
Aufgabe 3
Es sei X eine Menge. Weiter sei M die Menge aller Abbildungen f : X → {0, 1}. Zeige,
dass |M | = |P(X)| ist.
Aufgabe 4
Zeige: Für alle natürlichen Zahlen n ∈ N gilt: 13 + 23 + 33 + . . . + n3 =
n(n+1)
2
2
.
Aufgabe 5
Die Folge (a0 , a1 , a2 , . . .) sei durch a0 = 2, a1 = 5 und an = 5an−1 − 6an−2 für n > 2
gegeben. Zeige, dass für alle n > 0 an = 2n + 3n gilt.
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