Mathematik EF - Alexander Schmalstieg

Mathematik EF
Alexander Schmalstieg, NCG 2017/2018
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1 Funktionen
1.1 Zuordnungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lineare Funktionen . . . . . . . . . . . . .
1.4 Quadratische Funktionen und quadratische
1.5 Polynome und Potenzfunktionen . . . . . .
1.6 Funktionen mit rationalen Exponenten . .
1.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen .
1.8 Trigonometrische Funktionen . . . . . . .
2
. . . . . . . .
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Gleichungen .
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4
4
4
6
7
10
12
14
15
2 Stochastik
18
3 Differentialrechnung
19
4 Analytische Geometrie
20
Anhang
A.1 Aussagenlogik . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 De Morgansche Gesetze . . . . . . . . . .
A.3 Definition einer Menge nach Georg Cantor
A.4 Konventionen und Schreibweisen . . . . . .
A.5 Mengenoperationen . . . . . . . . . . . . .
A.6 Rechenregeln für Mengenoperationen . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.7 Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . .
A.8 Übersicht zur Fachsprache . . . . . . . . .
21
21
22
23
23
24
26
28
29
31
34
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Abkürzungsverzeichnis
35
Literatur
36
Tabellen- und Abbildungsverzeichnis
36
Mathematik EF
Einleitung
Schmalstieg
Einleitung
Wieso beschäftigt sich die Menschheit überhaupt so intensiv mit Mathematik, dass es permanentes Pflichtfach in der Schule und auch verpflichtend für etwa die Hälfte aller Studiengänge ist, wo Mathematik doch für so viele Menschen einfach nur ätzend ist?
Fakt ist: (Reine) Mathematik ist eine abstrakte Wissenschaft und hat als solche auch wirklich rein gar
nichts mit der Realität und unserem Leben zu tun! Zahlen, Funktionen und Punkte (im Koordinatensystem) sind zentrale Begriffe der Mathematik. Als mathematische Objekte sind sie abstrakt und existieren
nur in unserem Denken oder hat jemals jemand eine Zahl, eine Funktion oder einen Punkt in der Wirklichkeit gesehen?
Achtung: Dieser · ist kein Punkt im mathematischen Sinne, denn er besitzt eine räumliche Ausdehnung.
In der Mathematik ist ein Punkt ein Ort in einem Koordinatensystem, der durch ein Paar von Koordinaten (z.B. (1|1)) beschrieben wird. In einer Zeichnung wird dieser mathematische Punkt durch einen
zeichnerischen Punkt · in der Wirklichkeit symbolisiert.
Aufgabe: „Wie ist das bei Zahlen. Es gibt doch Hausnummern, d.h. ich sehe an meinem
Haus z.B. die Zahl 4. Das ist doch in der Wirklichkeit oder nicht?“ - Erkläre wieso auch die
Hausnummer 4 als Zahl kein reales Objekt ist.
In ähnlicher Weise gilt dies für alle mathematischen Begriffe. Sie existieren losgelöst von der Wirklichkeit nur in unserem Kopf und wir haben (jeder für sich) gewisse Vorstellungen von ihnen, da wir mit
den Bezeichnungen, die oft auch eine alltägliche Bedeutung haben, bereits etwas verbinden, was die Verständigung über eben diese Begriffe erschwert (vgl. Punkt im math. Sinne, Punkt als Zeichnung und
sogar Punkt als Satzzeichen). Damit man aber trotz der individuellen Vorstellungen einheitlich über Mathematik reden kann, bedarf es einheitlicher Klärungen (Definitionen) dieser Begriffe. Nun zurück zur
Eingangsfrage: Wieso müssen sich alle mit dieser Wissenschaft beschäftigen, die fast allen schwer fällt
und die (streng genommen) auch gar nichts mit der Wirklichkeit zu tun hat?
Alle Naturwissenschaften (Physik, Chemie, Biologie), alle Wirtschaftssektoren (Finanzen, Versicherungen,
Logistik, Automobilindustrie, . . . ), alle Ingenieurswissenschaften (Maschinenbau, Elektrotechnik, Bauwesen,. . . ), Informatik, Geowissenschaften, Meteorologie (Wettervorhersage), medizinische Forschung und
sogar alle Sozialwissenschaften (Statistik in unterschiedlich hohem Maße) verwenden mathematische Modelle. D.h. sie bilden reale Situationen auf ein virtuelles mathematisches Modell ab.
Beispiel: Jemand möchte eine Risikolebensversicherung abschließen. Dann fordert das Versicherungsunternehmen einige Daten von der Person an (z.B. Gewicht = 85 kg, Alter = 60 Jahre, Job = Topmanager,
Krankheitsgeschichte = . . . , schwere Krankheitsfälle in der Familie = . . . , uvm.), um zu entscheiden, ob
die Person versichert wird oder nicht und in welcher Höhe Beiträge gezahlt werden müssen. Die Versicherung hat dann eine Statistik über gewisse Risiken, die mit dem Gewicht, Alter, Beruf,. . . einhergehen und
weist diesen Zahlenwerte zu. Aus diesen Zahlenwerten berechnet sie dann einen Risikofaktor für diese
Person und eine monatliche Beitragszahlung, für die die Person dann versichert wird. Ist der Risikofaktor
zu hoch, so versichert das Unternehmen unseren Topmanager vllt. aber auch nicht. Die zugeordneten
Zahlenwerte stellen das mathematische Modell dar, sie besitzen eine vom Unternehmen zugewiesene Bedeutung in der Wirklichkeit, aber sie sind nicht die Wirklichkeit. Innerhalb des mathematischen Modells
kann nun nach universell gültigen Regeln, zum Teil sehr komplizierten aber exakten Rechenverfahren, ein
Risikowert berechnet werden, der dann als Gesamtrisiko für die Person interpretiert wird. Nach diesem
Wert wird dann das Sterberisiko des Managers in der Wirklichkeit bewertet.
An diesem Versicherungsbeispiel wird der so genannte Modellierungskreislauf (vgl. Abb. 1) deutlich. Ein
reales Problem (hier: die Risikobewertung des Managers) wird zunächst in ein reales Modell überführt
(hier: Risikokriterien, d.h. Alter, Gewicht,. . . ). Anschließend wird dieses reale Modell (Problem) in ein
(lösbares) mathematisches überführt (hier: Zuordnung der Zahlenwerte zu den Risikofaktoren). Innerhalb
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Mathematik EF
Einleitung
Schmalstieg
Abb 1: Modellierungskreislauf
Quelle: http://www.mathematik.tu-darmstadt.de
des math. Modells wird das Problem mit mathematischen Methoden gelöst (Lösung hier: errechneter Risikofaktor). Die berechnete Lösung wird anschließend interpretiert (hier bspw.: Ein Risikofaktor von 1, 43
entspricht einem Sterberisiko in den nächsten 10 Jahren von 44 %).
Achtung: An jedem Übergang zu einem Modell oder von einem Modell macht man in der Regel einen je
nach Komplexität des Modells schwer oder gar nicht abschätzbaren Modellierungs- oder Interpretationsfehler.
Neben dem Rechnen und Argumentieren innerhalb mathematischer Modelle, ist also das Konstruieren
dieser Modelle eine wichtige Aufgabe der (gesamten angewandten) Mathematik. Modellieren ist aber
nicht so leicht wie z.B. das Rechnen mit natürlichen Zahlen, für das es mehr oder weniger einfache aber
zumindest völlig klare und eindeutige Regeln gibt. Trotzdem müssen auch das Rechnen und innermathematische Methoden gründlich eingeübt werden. Sehr aufwändige und sich wiederholende Rechnungen
werden durch Rechnereinsatz vermieden. Im Themenbereich Differentialrechnung wird der Prozess des
Modellierens besonders deutlich hervortreten, da das Konzept der dort entwickelten Ableitung aus der
Unterstufe noch völlig unbekannt ist.
Dieses Skript ist noch in der Entstehung und wird daher voller Fehler jeglicher Art stecken.
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Mathematik EF
1 Funktionen
Schmalstieg
1 Funktionen
Ein wichtiges Werkzeug für mathematische Modelle sind so genannte Funktionen. Ziel dieses Abschnitts
ist es, zu erklären was Funktionen (im mathematischen Sinn) sind und einige spezielle Funktionen auf ihre
Eigenschaften hin zu untersuchen. Der Funktionsbegriff ergibt sich aus dem Begriff der Zuordnung.
1.1 Zuordnungen
a) Bei Zuordnungen werden Objekten aus einer Menge (Definitionsbereich) wiederum Objekte in einer
Menge (Wertebereich) zugeordnet. In vielen Lebenslagen hat man es mit Zuordnungen zu tun:
• Jedem Schüler ist eine Klasse zugeordnet. {Lisa, Mahmud, Svetlana, Sebastian,. . . } → {5a,7b,. . . }
• Jedem Deutschen wird ab dem 16-ten Lebensjahr eine Personalausweisnummer zugeordnet.
{Deutsche Staatsbürger} → {Personalausweisnummern}
• Nationalitäten/ethnischen Gruppen werden (immer noch viel zu oft) Vorurteile zugeordnet (z.B.
Franzosen sprechen nie Englisch, Amerikaner sind dumm und fett, Araber sind Terroristen, Deutsche essen gern Sauerkraut, Russen trinken literweise Vodka,. . . )
{Gruppen} → {Vorurteile}
• 100-Meter Sprintern ist die für ihren Lauf benötigte Zeit (d.h. eine rationale Zahl) zugeordnet.
Diesen Zeiten wird dann der Größe nach eine Platzierung (d.h. eine natürliche Zahl) zugeordnet.
{Sprinter} → {Zeit (rationale Zahl)} → {Platzierung (natürliche Zahl)}
b) Untersucht man einen neuen Begriff und weiß noch nicht worauf man hinaus möchte, ist es oft sinnvoll
den Untersuchungsgegenstand auf Eigenschaften zu untersuchen, in denen man Unterschiede feststellen
kann. Bei Zuordnungen bietet sich beispielsweise Eindeutigkeit sein.
• Jedem Schüler ist seine Klasse eindeutig zugeordnet. Er ist ja nur in einer.
• Jedem Deutschen wird ab dem 16-ten Lebensjahr genau eine Personalausweisnummer zugeordnet
und keine weitere.
• Nationalitäten/ethnischen Gruppen werden (immer noch viel zu oft) Vorurteile zugeordnet. Diese
Zuordnung muss natürlich nicht eindeutig sein, da mehrere Eigenschaften zugeordnet werden (z.B.
Amerikaner sind dumm und fett).
• Beim Sprint ist die Zuordnung natürlich eindeutig, sofern nicht min. zwei Läufer dieselbe Zeit
gelaufen sind.
c) Eindeutige Zuordnungen spielen eine wichtige Rolle innerhalb der Mathematik, weshalb sie mit einem
eigenen Namen versehen werden, Funktionen.
1.2 Funktionen
Definition: (Funktion)
Eine Funktion f ist eine Zuordnung, die jedem Element des Definitionsbereich Df genau ein
Element im Wertebereich Wf zuordnet.
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Schmalstieg
1 Funktionen
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a) Funktionen können auf verschiedene Weisen dargestellt werden1 :
(1) f : Df → Wf , x 7→ f (x) Zuordnungs-/Funktionsvorschrift
(2) f : Df → Wf , f (x) = . . . Funktionsgleichung
(3) Wertetabelle
(4) Funktionsgraph
Die ersten beiden Darstellungen sind im Grunde gleich, unterscheiden sich nur gering in der Notation.
Eine Funktion wird nicht durch die bloße Angabe einer Funktionsgleichung z.B. f (x) = 4x+1 vollständig
beschrieben. Man muss immer auch einen Definitionsbereich angeben, z.B. Df = R oder Df = [0, 1] oder
Df = {0, 1, 2, 3}!!!
b) Beispiele: Seien Df = {a, b, c} und Wf = {1, 2, 3, 4}. Dann wird durch
(i) f (a) := 1, f (b) := 3, f (c) := 2 eine Funktion definiert, da jedem Element im Definitionsbereich
genau ein Wert zugeordnet wird.
(ii) f (a) := 1, f (a) := 4, f (b) = 3, f (c) := 2 keine Funktion definiert, da dem Element a im Definitionsbereich mehr als ein Wert zugeordnet wird.
Abb 2: Darstellung der eindeutigen
Zuordnung (Funktion) aus (i)
a
x-Stellen
y-Werte
a
1
b
3
Abb 3: Darstellung der nicht eindeutigen Zuordnung (keine Funktion) aus
(ii)
c
2
x-Stellen
y-Werte
Tab 1: Wertetabelle der eindeutigen Zuordnung (Funktion) aus (i)
Wf
Wf
4
3
3
2
2
a
b
c
Df
1
Abb 4: Graph der eindeutigen Zuordnung (Funktion) aus (i)
1
a
4
b
3
c
2
Tab 2: Wertetabelle der nicht eindeutigen
Zuordnung (keine Funktion) aus (ii)
4
1
a
1
a
b
c
Df
Abb 5: Graph der nicht eindeutigen
Zuordnung (keine Funktion) aus (ii)
Eine Darstellung wie in Abb.2 und Abb.3 ist für Funktionen eher unüblich, aber für dieses Beispiel durchaus sinnvoll.
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1 Funktionen
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c) Will man zu einer Funktion f : Df → Wf den Graphen2
Gf := {(x|y) ∈ Df × Wf | y = f (x)}
zeichnen, so trägt man alle Objekte aus Df auf der x-Achse und alle Objekte aus Wf auf der y-Achse
eines Koordinatensystems auf und zeichnet dann alle Punkte (x|f (x)) ein.
d) Jede Parallele zur y-Achse schneidet den Graphen einer Funktion höchstens einmal. Gehört der Graph
zu einer Zuordnung, die keine Funktion ist, so schneidet folglich mindestens eine Parallele zur y-Achse
den Graphen nochmals.
1.3 Lineare Funktionen
Definition: (Lineare Funktion)
Eine lineare Funktion f ist eine Funktion der Form
f : R → R, f (x) = a1 · x + a0 ,
a1 , a0 ∈ R.
a) Im Spezialfall a1 = 0 hat man f (x) = a0 , d.h. eine konstante Funktion. Der Graph ist dann natürlich
eine Parallele zur x-Achse mit y-Achsenschnittpunkt (0|a0 ).
Im Spezialfall a0 = 0 und a1 6= 0 hat man f (x) = a1 · x, d.h. eine proportionale Funktion. Der Graph ist
dann eine Ursprungsgerade mit der Steigung a1 .
Im Fall a1 6= 0 und a0 6= 0 ist der Graph eine Gerade mit Steigung a1 und y-Achsenabschnitt a0 .
b) Beispiel: Betrachte die linearen Funktionen
f : R → R, f (x) := 2x + 1
und
g : [−3, 2] → R, g(x) := −x
y
y
5
5
4
4
Gf
3
3
2
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
Gg
x
1
2
3
4
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
Abb 6: Graph der linearen Funktion f
a
x
1
2
3
4
5
Abb 7: Graph der linearen (sogar proportionalen)
Funktion g
c) Lineare Funktionen sind genau die Funktionen, die durch Kenntnis mindestens zweier Wertepaare
bereits eindeutig festgelegt sind. D.h. es gibt nur genau eine lineare Funktion f : R → R, welche durch
2
Die Mengenschreibweise für einen Graphen steht hier nur der Vollständigkeit halber, ist aber nicht weiter relevant für
den Unterricht. Zum Verständnis vgl. A.4 und A.5 im Anhang.
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Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
die Punkte P1 (x1 |y1 ) und P2 (x2 |y2 ) verläuft. Die Unbekannten a1 , a0 in der Funktionsgleichung f (x) =
a1 · x + a0 ergeben sich dann als Lösung des linearen Gleichungssystems
a1 · x 1 + a0 = y 1 a1 · x 2 + a0 = y 2 oder durch Berechnung der Steigung gemäß
a1 =
y2 − y1
∆y
=
∆x
x2 − x1
und anschließende Lösung einer der beiden linearen Gleichungen nach a0
a1 · x1 + a0 = y1
oder
a1 · x2 + a0 = y2
mit dem berechneten a1 .
d) Einige Kontexte, die durch lineare Funktionen modelliert werden:
• Währungsumrechnung (sogar proportional), z.B. e → $ (Finanzen)
• Temperaturskala Fahrenheit (USA), ◦ F = 1, 8 ·◦C + 32 (Meteorologie)
• Mit konstanter Geschwindigkeit zurückgelegte Strecken s(t) = v · t + s0 (Physik)
s: zurückgelegte Strecke zur Zeit t, v: konstante Geschwindigkeit, t: Zeit, s0 : Vor Beginn zurückgelegte Strecke
• Energieversorger (Strom-, Gastarif) z(v) = p · v + g (Wirtschaft)
z: Zu zahlender Betrag bei Verbrauch v, p: Preis pro KWh, v: Verbrauch in KWh, g: Grundpreis
(Grundgebühr)
• In einer Stunde werden etwa 0, 14 bis 0, 17 Promille Blutalkohol durch Resorption abgebaut (Abbaufaktor a). Wird eine Blutprobe nicht unmittelbar nach einer betrunkenen Autofahrt abgenommen, wird eine Rückrechnung auf die Tatzeit vorgenommen. Dabei muss der inzwischen abgebaute
Alkohol hinzugerechnet werden. Die Rechtsprechung geht von einem stündlichen Abbaufaktor von
a = 0, 1 Promille aus, obwohl der tatsächliche Wert höher liegt. Dann ist der Blutalkoholwert durch
folgende lineare Funktion modelliert b(t) = −a · t + b0 . (Biologie, Justiz)
b: Blutalkoholwert zur Zeit t, a: Abnahmefaktor, t: Zeit, b0 : Anfangspegel
• Marktgleichgewicht bei linearen Angebots- und Nachfragefunktionen (Wirtschaftswissenschaften)
1.4 Quadratische Funktionen und quadratische Gleichungen
Definition: (Quadratische Funktion)
Eine quadratische Funktion f ist eine Funktion der Form
f : R → R, f (x) = a2 · x2 + a1 · x + a0 ,
a2 , a1 , a0 ∈ R.
a) Im Spezialfall a2 = 0 hat man f (x) = a1 · x + a0 , d.h. eine lineare Funktion.
Graphen quadratischer Funktionen mit a2 6= 0 heißen Parabeln. Im Spezialfall a2 = 1 und a1 = a0 = 0 hat
man f (x) = x2 , deren Graph die so genannte Normalparabel ist. Der Vorfaktor a2 bewirkt eine Streckung
(a2 > 1) oder eine Stauchung (a2 < 1) des Graphen. Bei negativem a2 ist die Parabel nach unten geöffnet.
b) Offensichtlich ist der höchste bzw. tiefste Punkt einer Parabel, der so genannte Scheitelpunkt S(s1 |s2 )
von besonderer Bedeutung. Die Koordinaten des Scheitelpunkts kann man der Normalform einer Parabel
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Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
nicht auf Anhieb entnehmen. Durch geschicktes Umformen erhält man die so genannte Scheitelpunktform
f (x) = a2 · (x − s1 )2 + s2
Offenbar gilt
(1) a2 ≥ 0 ⇒ a2 · (x − s1 )2 +s2 ≥ s2 ,
| {z }
≥0
(2) a2 < 0 ⇒ a2 · (x − s1 )2 +s2 ≤ s2 .
| {z }
≥0
Für x = s1 gilt offenbar f (s1 ) = s2 . Also handelt es sich bei s2 tatsächlich um den Scheitelwert der
quadratischen Funktion und der Name Scheitelpunktform ist gerechtfertigt. Man erhält die Normalform
natürlich ganz leicht durch Auflösen der binomischen Formel in der Scheitelpunktform.
y
Gf
y
5
5
4
4
3
3
2
2
1
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
1
x
1
2
3
4
−5 −4 −3 −2 −1 0
−1
5
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
Abb 8: Normalparabel mit f (x) = x2
a
Gg
1
2
3
4
x
5
Abb 9: Verschobene Parabel mit Normalform
g(x) = − 21 x2 + 2x − 1
c) Beispiel: Der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion g aus Abb. 9 ist offenbar S(2|1), d.h. ihre
Scheitelpunktform ist
1
g(x) = − (x − 2)2 + 1.
2
Termumformungen ergeben
2
1
x−2 +1
2
1
= − x2 − 2 · 2x + 22 + 1
2
1 2
= − x − 4x + 4 + 1
2
1
1 2 1
=− x − −
· 4x + −
·4+1
2
2
2
1
= − x2 + 2x − 1
2
|2.te Binomische Formel (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
g(x) = −
|Vereinfachen
|Klammer auflösen
|Vereinfachen
wieder die angegebene Normalform für g.
d) Quadratische Funktionen sind genau die Funktionen, die durch Kenntnis mindestens dreier Wertepaare bereits eindeutig festgelegt sind. D.h. es gibt nur genau eine quadratische Funktion f : R → R,
welche durch die Punkte P1 (x1 |y1 ), P2 (x2 |y2 ) und P3 (x3 |y3 ) verläuft. Die Unbekannten a2 , a1 , a0 in der
8
Schmalstieg
1 Funktionen
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Normalform f (x) = a2 · x2 + a1 · x + a0 ergeben sich dann als Lösung des linearen Gleichungssystems
a2 · x21 + a1 · x1 + a0 = y1 a2 · x22 + a1 · x2 + a0 = y2 a2 · x23 + a1 · x3 + a0 = y3 e) Einige Kontexte, die durch quadratische Funktionen modelliert werden:
• Höhe bei Wurf-, Flugbahnen in Abhängigkeit von Zeit (Zeit-Weg-Diagramm) oder Ort (Bahnkurve)
(Physik)
• Flächenberechnungen jeglicher Art (Bauwesen, Raumplanung)
• Darstellung von parabelförmigen Objekten in Computersimulationen
f) Die Lösung einer quadratischen Gleichung
ax2 + bx + c = d
ist im Grunde nichts anderes als die Nullstelle einer entsprechenden quadratischen Funktion
f (x) := ax2 + bx + c − d
Quadratische Gleichungen ax2 + bx + c = d mit a 6= 0 besitzen im Allgemeinen zwei Lösungen und diese
findet man mit quadratischer Ergänzung oder der p-q-Formel
r p 2
p
−q
x1,2 = − ±
2
2
wobei p = ab und q = c−d
a ist. Falls b = 0 ist, so sind die Lösungen einfach durch Umstellen und
Wurzelziehen zu berechnen. Quadratische Gleichungen der Form
ax2 + bx = 0
lassen sich durch Ausklammern von x und dem Satz vom Nullprodukt 3 viel schneller lösen als mit der
p-q-Formel, denn
ax2 + bx = 0
⇔ (ax + b)x = 0
⇔x=0
∨
⇔x=0
∨
| x Ausklammern
| x Satz vom Nullprodukt
ax + b = 0
b
x=−
a
g) Beispiel: Die Lösungen der quadratischen Gleichung − 12 x2 + 2x − 1 = 1 werden mit der p-q-Formel
bestimmt:
(i) Berechnung von p und q, d.h. Umformen zu x2 + px + q = 0:
1
− x2 + 2x − 1 = 1
2
1
⇔ − x2 + 2x − 2 = 0
2
3
| −1
1
| : −
d.h. · (−2)
2
Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn bereits mindestens einer der Faktoren 0 ist
a · b = 0 ⇔ a = 0 oder b = 0.
9
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⇔ x2 |{z}
−4 x +|{z}
4 =0
=q
=p
(ii) Einsetzen in die p-q-Formel:
x1,2
r −4
−4 2
=−
±
−4
2
2
q 2
=2±
2 −4
√
=2± 4−4
√
=2± 0
=2±0
=2
Also ist 2 die einzige Lösung der Ausgangsgleichung.
1.5 Polynome und Potenzfunktionen
Definition: (Polynome bzw. ganzrationale Funktionen)
Ein Polynom f (auch ganzrationale Funktion genannt) ist eine Funktion der Form
f : R → R, f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a2 x2 + a1 x + a0 ,
an , . . . , a1 , a0 ∈ R, n ∈ N0 .
Der höchste vorkommende Exponent n heißt Grad des Polynoms, n = grad(f ).
a) Quadratische, lineare und konstante Funktionen sind spezielle Polynome. Quadratische Funktionen
haben Grad 2, lineare Funktionen haben Grad 1 und konstante Funktionen haben Grad 0.
Ebenfalls spezielle Polynome sind Funktionen der Form f (x) = a · xn , a ∈ R, n ∈ N0 , so genannte
Potenzfunktionen oder Monome.
b) Mit Hilfe des Summenzeichens Σ lassen sich lange Summen wie in der obigen Definition kompakter
schreiben: Ein Polynom f (auch ganzrationale Funktion genannt) ist eine Funktion der Form
f : R → R, f (x) =
n
X
ak x k ,
an , . . . , a1 , a0 ∈ R, n ∈ N0 .
k=0
c) Polynome vom Grad n sind genau die Funktionen, die durch Kenntnis von mindestens n+1 Wertepaaren
bereits eindeutig festgelegt sind. D.h. es gibt nur genau ein Polynom f : R → R vom Grad n, welches durch
die Punkte P( x1 |y1 ), P2 (x2 |y2 ), . . . , Pn+1 (xn+1 |yn+1 ) verläuft. Die Unbekannten an , . . . , a1 , a0 ergeben sich
dann als Lösung des linearen Gleichungssystems
an · x n + · · · + a1 · x 1 + a0
=
y
1
1
n
an · x + · · · + a1 · x 2 + a0
= y2 2
..
.. .
=
. an · xnn+1 + · · · + a1 · xn+1 + a0 = yn+1 d) Symmetrie:
(i) Polynome f , in denen nur gerade Exponenten (0, 2, 4, 6, . . . ) auftreten sind achsensymmetrisch
bzgl. der y-Achse, d.h. es gilt f (−x) = f (x)
10
Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
(ii) Polynome f , in denen nur ungerade Exponenten (1, 3, 5, 7, . . . ) auftreten sind punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs O(0|0), d.h. es gilt f (−x) = −f (x)
(iii) Polynome mit gemischten Exponenten (gerade und ungerade) sind achsen- bzw. punktsymmetrisch
bzgl. Parallelen zur y-Achse bzw. anderen Punkten
P
e) Nullstellen: Nach d) hat ein Polynom f (x) = nk=0 ak xk vom Grad n höchstens n + 1 Nullstellen.
Diese seien x1 , . . . xn+1 . Dann gibt es eine eindeutige Darstellung
f (x) = an (x − x1 ) · (x − x2 ) · · · (x − xn ) · (x − xn+1 )
als so genannte Linearfaktorzerlegung. Hat man also ein Polynom in einer solchen Form gegeben, so kann
man die Nullstellen direkt ablesen.
f) Polynomielle Gleichungen: Nach einem berühmten Satz von Abel (1824) gibt es keine Lösungsformel
für Gleichungen der Form a5 x5 + a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = d oder solche noch höheren Grades. Für
Gleichungen dritten oder vierten Grades gibt es welche, die aber sehrgfkompliziert sind. Die Lösungsformel
für Gleichungen zweiten Grades ist gerade die p-q-Formel.
y
50
40
30
20
10
−20
−15
−10
−5
5
10
15
x20
−10
−20
−30
−40
−50
Abb 10: f (x) = x5 , f (x) =
x5
1000
+
x4
1000
−
x3
100
+
x2
10
−x
P
g) Unendlichkeitsverhalten: Man sieht den Graphen von Polynomen f (x) = nk=0 ak xk vom Grad n ∈ N
leicht an, dass für große x der Leitterm an xn dominiert, d.h. für große x ähnelt der Graph immer mehr
dem von an xn . D.h. das Unendlichkeitsverhalten von Polynomen hängt nur vom Leitterm an xn ab (vgl.
Tab.3). Das Unendlichkeitsverhalten wird durch den Grenzwert beschrieben. Will man sagen, dass eine
Funktion f für wachsendes x gegen ∞ (unendlich) strebt, so schreibt man
lim f (x) = ∞.
x→∞
Stattdessen kann man auch
f (x) → ∞ für x → ∞
11
n gerade
an > 0
lim an xn = ∞
x→∞
lim an xn = ∞
an < 0
lim an xn = −∞
x→∞
lim an xn = −∞
lim an xn = ∞
x→∞
lim an xn = −∞
x→∞
x→−∞
n ungerade
Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
x→−∞
lim an xn = −∞
lim an xn = ∞
x→−∞
x→−∞
Tab 3: Unendlichkeitsverhalten von Monomen
schreiben. Beide Schreibweisen bedeuten, dass f für wachsendes x über alle Grenzen hinweg wächst.4
h) Einige Kontexte, die durch Polynome höheren Grades als 2 modelliert werden:
• Bewegungen mit linear wachsender Beschleunigung (Physik)
• Volumenberechnungen (Bauwesen, Raumplanung)
• Annäherung (Approximation, Interpolation) komplizierterer Funktionen im Computer (Numerik)
1.6 Funktionen mit rationalen Exponenten
Definition: (Potenzen)
Seien x ∈ R, p ∈ Z und n, q ∈ N. Dann definiert man Potenzen mit
• natürlichem Exponenten durch
0
xn := x
| · x{z· · · x}, x := 1
n-mal
• ganzzahligem Exponenten nur für x 6= 0 durch
x−n :=
1
xn
• rationalem Exponenten nur für x > 0 durch
p
x q :=
√
q
xp
a) Die Funktion
1
f : [0, ∞) → R, f (x) := x 2 =
√
x
heißt Quadratwurzelfunktion. Sie ist nur definiert für x ≥ 0. Dort ist sie die Umkehrfunktion 5 der quadratischen Funktion
g : [0, ∞) → R, g(x) = x2 .
b) Die Funktion
h : R\{0} → R\{0}, h(x) := x−1 =
4
5
1
x
Präzise bedeutet lim f (x) = ∞, dass es zu jeder noch so großen Zahl C > 0 stets ein x0 gibt, sodass f (x) > C für alle
x→∞
x ab x0 .
Umkehrfunktion: Die Funktion f −1 : Wf → Df heißt Umkehrfunktion oder Inverse von f : Df → Wf , wenn
f (f −1 (y)) = y und f −1 (f (x)) = x
für alle x ∈ Df und y ∈ Wf gilt.
12
Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
ist ihre eigene Umkehrfunktion. Ihr Graph heißt Hyperbel.
y
y
4
5
f
3
4
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
6
7
x
8
−5 −4 −3 −2 −1
−1
−1
1
2
3
4
5 x
−2
−2
−3
−3
−4
−5
−4
Abb 11: Graph der Quadratwurzelfunktion f
Abb 12: Graph der Funktion h (Hyperbel)
c) Rechnen mit Potenzen: Für Potenzen gelten ganz allgemein die folgenden Rechenregeln, die man leicht
aus den Definitionen herleitet.
Satz: (Potenzgesetze)
Seien x, y ∈ R, p, q ∈ Q. Dann gelten die Potenzgesetze
(x · y)p = xp · xp
p+q
p
x
=x ·x
p·q
x = (xp )q
Aus (1) ergibt sich für p =
1
2
q
speziell das Wurzelgesetz
√ √
√
x · y = x · y.
d) Beispiele und typische Fehler:
• Potenzen von Summen6 :
(x ± y)q 6= xq ± y q , denn (2 + 1)2 = 32 = 9 6= 5 = 4 + 1 = 22 + 12 .
• Doppelte Potenzen
q
2
xp 6= (xp )q , denn 21 = 21 = 2 6= 4 = 22 = (21 )2 .
• Beachte: Potenz- vor Punkt- vor Strich- Rechnung!
−xq 6= (−x)q , denn − 12 = −1 6= 1 = (−1)2 .
6
Insbesondere gilt auch
√
x ± y 6=
√
√
x ± y. „Aus Summen wurzeln nur die Dummen!“
13
(1)
(2)
(3)
(4)
Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
1.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen
Definition: (Exponentialfunktion)
Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form
f : R → R, f (x) = expb (x) = bx ,
b ∈ (0, ∞)\{1}.
Die Zahl b heißt Basis.
a) Unterschied zu Potenzfunktionen: Bei Potenzfunktionen xb werden für einen festen Exponenten b alle
Basiswerte x durchlaufen. Bei Exponentialfunktionen bx werden für eine feste Basis b alle Exponenten x
durchlaufen.
b) Der Fall b = 1 wird nicht als Exponentialfunktion bezeichnet, da 1x = 1 für alle x ∈ R.
c) Eigenschaften:
• bx > 0 für alle x ∈ R, b0 = 1 und b1 = b für alle Basen b.
• b > 1 : Streng monoton wachsend mit
f
lim bx = ∞ und
x→∞
lim bx = 0
x→−∞
• 0 < b < 1 : Streng monoton fallend mit
lim bx = 0 und
x→∞
lim bx = ∞
x→−∞
y
y
4
5
4
3
3
2
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
1
2
3
4
5 x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5 x
−2
−2
−3
−4
−3
−5
−4
Abb 13: Graph der Funktion f (x) = 2x
Abb 14: Graph der Funktion f (x) =
1 x
2
d) Umkehrfunktion: Der Graph legt es nahe, dass die Gleichung y = bx für jedes y > 0 genau eine Lösung
x besitzt. Es existiert also eine eindeutige Zuordnung, d.h. eine Funktion y 7→ x. Diese Funktion bekommt
den Namen Logarithmusfunktion
logb : (0, ∞) → R, y 7→ logb (y).
14
Schmalstieg
1 Funktionen
Mathematik EF
y
y
4
5
f
3
4
3
2
2
1
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
1
2
3
4
5 x
−5 −4 −3 −2 −1
−1
1
2
3
4
5 x
−2
−2
−3
−4
−3
−5
−4
Abb 16: Graph der Funktion f (x) = log 12 (x)
Abb 15: Graph der Funktion f (x) = log2 (x)
e) Einige Kontexte, die durch Exponentialfunktionen modelliert werden:
• Exponentielles Wachstum z.B. von Bakterienkulturen, Wasserpflanzen, Bevölkerung (Biologie, Sozialwissenschaft)
• Verzinsung, Kredit, Wirtschaftswachstum (Finanzen, Wirtschaftswissenschaften)
• Laufzeiten von Computeralgorithmen (Informatik). Es gibt auch logarithmische Laufzeiten für Algorithmen.
• Erhitzung, Abkühlung (Physik)
• Radioaktiver Zerfall (Physik)
• Ein- und Ausschaltvorgänge von Kondensatoren (Elektrotechnik)
1.8 Trigonometrische Funktionen
Definition: (Sinus, Kosinus, Tangens)
In einem rechtwinkligen Dreieck mit den Winkeln α und 90◦ − α definiert man
Länge der Gegenkathete
Länge der Hypotenuse
Länge der Ankathete
cos(α) :=
Länge der Hypotenuse
Länge der Gegenkathete
sin(α)
=
tan(α) :=
Länge der Ankathete
cos(α)
sin(α) :=
15
Mathematik EF
1 Funktionen
Schmalstieg
a) Bogenmaß: Neben dem bekannten Gradmaß für Winkel verwendet man in Mathematik, Physik und
Ingenieurswissenschaften üblicherweise das sogenannte Bogenmaß. Dabei ordnet man einem Winkel α die
Länge des zugehörigen Kreisbogens am Einheitskreis7 zu. Nach der Umfangsformel für Kreise U = 2πr
entspricht dann 2π gerade einem 360◦ Winkel, π einem 180◦ Winkel und π2 einem 90◦ Winkel. Die
Zuordnung ist offenbar proportional und man rechnet vom Bogenmaß αb ins Gradmaß αg und umgekehrt
folgendermaßen um
π
180◦
αb =
· αb .
·
α
,
α
=
g
g
180◦
π
b) Die obige Definition für sin und cos ist nur sinnvoll für α ∈ [0, π2 ) (im Bogenmaß, d.h. [0, 90◦ ) im
Gradmaß), da im rechtwinkligen Dreieck keine größeren Winkel auftauchen können. In Abb.17 ist der
Einheitskreis abgebildet. Das sich in der Animation verändernde Dreieck ist rechtwinklig und hat stets
die Hypotenusenlänge 1, denn sie verbindet die Kreislinie stets mit dem Mittelpunkt und der Radius ist
eben 1. In diesem Fall gilt also
sin(α) = Länge der Gegenkathete und cos(α) = Länge der Ankathete
(5)
für α ∈ [0, π2 ). Wandert der Punkt weiter auf dem Kreis zerfällt das Dreieck zunächst zu einer Strecke
(„Zweieck“). Danach entsteht ein neues rechtwinkliges Dreieck und man identifiziert die Länge der Ankathete (blau) weiterhin als cos(α) die Länge der Gegenkathete (rot) weiterhin als sin(α) des Winkels α ≥ π2 .
Abb 17: Sinus und Kosinus am Einheitskreis
c) Aus der Definition am Einheitskreis und (5) dem Satz des Pythagoras folgt
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
für alle x ∈ R.
7
Der Einheitskreis ist die Kreislinie mit Radius 1 um den Ursprung K := K1 (O) := {(x|y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1}
16
(6)
1 Funktionen
Mathematik EF
Definition: (Sinusfunktion, Kosinusfunktion)
Die Sinusfunktion ist definiert durch
sin : R → R, x 7→ sin(x).
Die Kosinusfunktion ist definiert durch
cos : R → R, x 7→ cos(x).
17
Schmalstieg
Mathematik EF
2 Stochastik
2 Stochastik
18
Schmalstieg
Mathematik EF
3 Differentialrechnung
Schmalstieg
3 Differentialrechnung
3.1 Definition: (Differenzierbarkeit, Ableitungsfunktion, Stammfunktion)
a) Eine Funktion f : Df → R auf einer offenen Teilmenge Df ⊆ R heißt differenzierbar in x0 ∈ Df , wenn
der Grenzwert des Differenzenquotienten
f 0 (x0 ) := lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
x − x0
(1)
existiert. In diesem Fall heißt f 0 (x0 ) die Ableitung von f an der Stelle x0 .
b) Eine Funktion f : Df → R heißt differenzierbar auf Df , wenn sie an jeder Stelle x0 ∈ Df differenzierbar
ist. In diesem Fall wird durch f 0 : Df → R, x 7→ f 0 (x) die sogenannte Ableitungsfunktion von f definiert.
Umgekehrt heißt f die Stammfunktion von f 0 .
19
Mathematik EF
4 Analytische Geometrie
4 Analytische Geometrie
20
Schmalstieg
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
Anhang
Die Mathematik befasst sich im Wesentlichen mit Aussagen über Mengen. Diese grundlegenden Begriffe
werden nun zunächst präzisiert. Zudem werden einige Konventionen und Schreibweisen festgelegt.
A.1 Aussagenlogik
Logische Aussagen sind dadurch gekennzeichnet, dass ihnen eindeutig die Wahrheitswerte entweder wahr
(w) oder falsch (f) zugeordnet werden können. Ist der Wahrheitswert (noch) nicht bekannt, spricht man
von Vermutungen oder Hypothesen. Besonders interessant für die Mathematik sind „Verbindungen“ zwischen Aussagen. Diese „Verbindungen“ werden formal durch sogenannte Junktoren (logische Verknüpfungen) beschrieben. Die für die Mathematik wichtigsten Junktoren sind
• Negation ¬A („nicht“): Die Aussage Nicht A ist wahr.
• Konjunktion A ∧ B („und“): Aussage A und Aussage B sind wahr.
• Disjunktion A ∨ B („oder“): Aussage A oder Aussage B ist wahr.
˙ („exklusives oder“): Entweder Aussage A oder Aus• Kontravalenz / ausschließende Disjunktion A∨B
sage B ist wahr.
• Implikation A ⇒ B („daraus folgt“): Wenn die Aussage A wahr ist, dann ist auch die Aussage B
wahr. Aus der Aussage A folgt die Aussage B. Man sagt auch B ist notwendig für A und A ist
hinreichend für B.
• Äquivalenz A ⇔ B („äquivalent“): Aus der Aussage A folgt die Aussage B und umgekehrt. Die
Aussage A ist genau dann wahr, wenn die Aussage B wahr ist.
Verbindet man zwei Aussagen durch einen Junktor, erhält man eine neue Aussage, deren Wahrheitswert
von den Wahrheitswerten der beteiligten Aussagen und dem jeweiligen Junktor abhängt. Wie sich der
Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage ergibt, ist festgelegt. Die Wahrheitswerte für die vorgstellten Junktoren sind in Tabelle 4 in Form einer sogenannten Wahrheitstafel dargestellt. In jeder Theorie
gibt es mindestens eine Aussage, die im Rahmen dieser Theorie nicht bewiesen wird (sozusagen der Startpunkt der Theorie). Solche nicht weiter begründeten Grundannahmen bezeichnet man als Axiome. Man
versucht in einer Theorie mit möglichst wenigen Axiomen auszukommen.
Tab 4: Wahrheitstafel
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
˙
A∨B
f
w
w
f
A⇒B
w
f
w
w
A⇔B
w
f
f
w
Mit Hilfe dieser Wahrheitstafel kann man die Wahrheitswerte beliebig komplizierter Aussagen, die mit
Hilfe der Junktoren „gebaut“ werden, bestimmen. Als Beispiel wird das wichtige Beweiskonzept der
Kontraposition begründet. Beim direkten Beweis leitet man die Aussage B direkt mit Hilfe wahrer
21
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
Schlüsse aus der Aussage A her, man zeigt also A ⇒ B. Bei der Kontraposition zeigt man stattdessen
¬B ⇒ ¬A. Diese Aussage ist äquivalent zu A ⇒ B, wie die Wahrheitstafel in Tabelle 5 zeigt.
Tab 5: Wahrheitstafel für Kontraposition
A
w
w
f
f
¬A
f
f
w
w
B
w
f
w
f
¬B
f
w
f
w
¬B ⇒ ¬A
w
f
w
w
A⇒B
w
f
w
w
(¬B ⇒ ¬A) ⇔ (A ⇒ B)
w
w
w
w
Eine weitere wichtige Beweismethode für A ⇒ B ist der Widerspruchsbeweis. Dabei nimmt man an,
dass, wenn A gilt, B nicht gilt, und leitet einen Widerspruch her, sodass B doch richtig sein muss. Neben
den vorgestellten Beweismethoden gibt es noch weitere wie z.B. die vollständige Induktion, die bei der
Konstruktion der natürlichen Zahlen auftaucht.
Will man die Äquivalenz A ⇔ B zweier Aussagen beweisen, hat man stets die zwei Folgerichtungen A ⇒
B und B ⇒ A zu beweisen, wobei man dies auf jede der oben beschriebenen Arten und Weisen machen
kann. Für den Fall, dass man die Äquivalenz mehrerer Aussagen A ⇔ B, B ⇔ C, C ⇔ A beweisen
möchte, verwendet man häufig einen sogenannten Ringschlussbeweis, statt für jede Äquivalenz beide
Richtungen zu beweisen. Dabei beweist man in möglichst einfacher Reihenfolge der Reihe nach A ⇒ B ⇒
C ⇒ A. Die Gültigkeit der Rückrichtungen ist dann offensichtlich.
A.2 De Morgansche Gesetze
Es seien A und B zwei Aussagen. Dann gelten die De Morganschen Gesetze
¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B) und ¬(A ∨ B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B)
Beweis: Der Beweis erfolgt durch zwei Wahrheitstafeln.
Tab 6: Wahrheitstafel für das erste De Morgansche Gesetz
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
¬(A ∧ B)
f
w
w
w
(¬A) ∨ (¬B)
f
w
w
w
¬(A ∧ B) ⇔ ((¬A) ∨ (¬B))
w
w
w
w
Tab 7: Wahrheitstafel für das zweite De Morgansche Gesetz
A
w
w
f
f
B
w
f
w
f
¬A
f
f
w
w
¬B
f
w
f
w
¬(A ∨ B)
f
f
f
w
(¬A) ∧ (¬B)
f
f
f
w
22
¬(A ∨ B) ⇔ ((¬A) ∧ (¬B))
w
w
w
w
(1)
Mathematik EF
Anhang
Schmalstieg
A.3 Definition einer Menge nach Georg Cantor
„Unter einer Menge versteht man jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m der Anschauung oder des Denkens, welche die Elemente von M genannt werden, zu einem
Ganzen.“
A.4 Konventionen und Schreibweisen
a) Im Fall einer Menge mit n Elementen schreibt man
M = {m1 , . . . , mn }.
Falls die Menge aus „zu vielen“ Elementen besteht, kann man sie auch durch eine charakterisierende
Eigenschaft A beschreiben
M = {m | A(m)}.
b) Die Menge, die gar kein Element beinhaltet, wird als leere Menge ∅ := { } bezeichnet.
c) Zwei Mengen M und N heißen genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten. Falls alle
Elemente von M auch in N liegen, nennt man M eine Teilmenge von N und schreibt dafür M ⊆ N .
In dieser Situation nennt man N eine Obermenge von M und schreibt auch N ⊇ M . Wenn N auch
Elemente enthält, die nicht in M liegen, spricht man manchmal auch von einer echten Obermenge (bzw.
echten Teilmenge) und schreibt dann ⊃ (bzw. ⊂). Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge. Ebenso
ist jede Menge eine (nicht echte) Teilmenge von sich selbst. Wenn man die Gleichheit zweier Mengen M
und N zeigen will, zeigt man (ähnlich wie beim Äquivalenzbeweis) für gewöhnlich die beiden Inklusionen
M ⊆ N und M ⊇ N .
d) Potenzmenge: Zu einer Menge M definiert man die Menge aller Teilmengen
P(M ) := PM := {A | A ⊆ M }
und bezeichnet sie als Potenzmenge. Die Potenzmenge ist also eine Menge von Mengen. Beispielsweise ist
die Potenzmenge von M = {1, 2, 3} gegeben durch
P(M ) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}.
e) Russelsche Antinomie: Cantors Definition einer Menge, lässt alle „Objekte der Anschauung oder
des Denkens“ als Elemente einer Menge zu. Offenbar sind auch Mengen Objekte des Denkens und somit
gibt es Mengen, deren Elemente wieder Mengen sind. Man kann sich also auch eine Menge aller Mengen
M vorstellen. Da sie selbst wieder eine Menge ist, muss sie auch sich selbst enthalten M ∈ M. Im
Allgemeinen gilt natürlich nicht, dass eine Menge in sich selbst liegt (beispielsweise enthält die leere
Menge sich nicht selbst ∅ ∈
/ ∅, da sie ja nichts enthält). Betrachtet man die Menge
N := {M ∈ M | M ∈
/ M },
aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, stellt sich natürlich die Frage: Liegt N in N ? Man sieht
sofort, dass man hier einen Widerspruch erhält. Man hat nämlich
N ∈N ⇒N ∈
/ N und N ∈
/ N ⇒ N ∈ N , also N ∈ N ⇔ N ∈
/ N.
Diese Antinomie (logischer Widerspruch, bei dem die zueinander in Widerspruch stehenden Aussagen
gleichermaßen bewiesen sind) wurde 1903 vom britischen Philosophen, Mathematiker und Logiker Bertrand Russel veröffentlicht und später nach ihm benannt. Sie bewirkte, dass die bis dahin betriebene
Mengenlehre als „naive“ Mengenlehre bezeichnet wurde und später durch eine axiomatische Mengenlehre
(die bis heute widerspruchsfreie Zermelo-Fraenkel Mengenlehre) ersetzt werden musste. In dieser axiomatischen Mengenlehre ist die Bildung so „wilder“ Mengen wie der Menge aller Mengen ausgeschlossen,
23
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
sodass die Russelsche Antinomie nicht auftreten kann. Da im weiteren Verlauf keine besonders „wilden“
Mengen von Mengen gebildet werden, ergibt sich kein Problem mit der „naiven“ Mengenlehre.
f) Es gibt einige Formulierungen, die in mathematischen Aussagen sehr häufig vorkommen. Deshalb definiert man dafür (einheitliche) symbolische Kurzschreibweisen:
• Das Elementzeichen ∈ bedeutet . . . ist Element von . . .
• Der Doppelpunkt : bedeutet . . . gilt . . .
• Der Allquantor ∀ bedeutet . . . für alle . . .
• Der Existenzquantor ∃ bedeutet . . . es existiert (mindestens) ein . . .
• Der Eindeutigkeitsquantor ∃1 (manchmal auch ∃!) bedeutet . . . es existiert genau ein . . .
• Um die obigen Symbole zu negieren, schreibt man beispielsweise statt ¬ ∈ in der Regel ∈.
/ Man
streicht das Symbol also einfach durch.
g) Beim Negieren einer Aussage, die die Quantoren ∀ oder ∃ enthält, werden Allquantor und Existenzquantor jeweils vertauscht. Der Rest der Aussage wird dann noch negiert. Man hat also
¬(∀m ∈ M : A(m)) ⇔ (∃m ∈ M : ¬A(m))
und
¬(∃m ∈ M : A(m)) ⇔ (∀m ∈ M : ¬A(m)).
Will man beispielsweise mit Hilfe von Quantoren aussagen, dass die Mengen M nicht in der Menge N
enthalten ist, hat man
¬(∀m ∈ M ∃n ∈ N : m = n) ⇔ (∃m ∈ M ∀n ∈ N : m 6= n).
Wenn man also beweisen möchte, dass eine Aussage, die den Allquantor enthält (d.h. für alle betrachteten
Elemente gelten soll) nicht richtig ist, genügt es ein konkretes Beispiel zu finden, für das die Aussage
nicht gilt („Beweis durch Gegenbeispiel“). Will man andererseits eine Aussage, die den Allquantor
beinhaltet, beweisen, so muss man das auch allgemeingültig für jedes Element zeigen (hier reicht kein
Beispiel.)
A.5 Mengenoperationen
Aus zwei gegebenen Mengen M und N kann man der Anschauung entsprechend neue Mengen bilden.
Diese werden häufig durch sogenannte Venn-Diagramme veranschaulicht. Diese Darstellung ist für
Mengen mit unendlich vielen Elementen natürlich nicht adäquat und kann somit auch nicht in formalen
Beweisen, sondern lediglich zur Veranschaulichung genutzt werden.
a) Als Schnittmenge von M und N bezeichnet man die Menge
M ∩ N := {x | x ∈ M ∧ x ∈ N },
M
N
die alle gemeinsamen Elemente von M und N enthält.
Beispiel: {1, 2, 3} ∩ {1, 2, 4} = {1, 2}
Abb 18: Schnittmenge
24
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
b) Als Vereinigungsmenge von M und N bezeichnet man die
Menge
M ∪ N := {x | x ∈ M ∨ x ∈ N },
M
N
die alle Elemente von M und alle Elemente von N enthält.
Beispiel: {1, 2, 3} ∪ {1, 2, 4} = {1, 2, 3, 4}
Abb 19: Vereinigungsmenge
c) Als Differenzmenge (oder auch Restmenge) von M und
N („M ohne N “) bezeichnet man die Menge
M \N := {x | x ∈ M ∧ x ∈
/ N },
M
N
die alle Elemente von M , die nicht in N liegen, enthält.
Beispiel: {1, 2, 3}\{1, 2, 4} = {3}
Abb 20: Differenzmenge
Ω
d) Als Komplement von M bezeichnet man die Menge
M C := M := {x | x ∈
/ M },
M
die alle Elemente, die nicht in M liegen, enthält. Die Komplementbildung erfordert eine Obermenge Ω ⊇ M , bzgl. derer das
Komplement gebildet wird.
Abb 21: Komplement
e) Die Menge aller geordneten Paare der Elemente aus den Mengen M und N
M × N := {(m, n) | m ∈ M, n ∈ N }
bezeichnet man als kartesisches Produkt von M und N .
Beispiel: {1, 2} × {2, 3} = {(1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3)}
Die geordneten Paare können im so genannten kartesischen Koordinatensystem veranschaulicht werden. Wenn das kartesische
Produkt einer Menge M mit sich selbst gebildet wird, schreibt
man dafür auch
M 2 := M × M.
Abb 22: Kartesisches Produkt
Ferner definiert man noch
M × ∅ = ∅ = ∅ × M.
Das kartesische Produkt ist nach dem französischen Philosophen, Mathematiker und Naturwissenschaftler
René Descartes (1596 -1650) benannt, der als Begründer der analytischen Geometrie gilt.
25
Anhang
Mathematik EF
Schmalstieg
A.6 Rechenregeln für Mengenoperationen
Es seien L, M, N Mengen. Dann gelten die folgenden Rechenregeln:
a) Kommutativität:
M ∩ N = N ∩ M und M ∪ N = N ∪ M
(2)
b) Assoziativität:
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L) und (M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L)
(3)
(M ∩ N ) ∪ L = (M ∪ L) ∩ (N ∪ L) und (M ∪ N ) ∩ L = (M ∩ L) ∪ (N ∩ L)
(4)
c) Distributivität:
d) De Morgansche Gesetze (für Mengen):
(M ∩ N )C = M C ∪ N C und (M ∪ N )C = M C ∩ N C
(5)
Falls L eine Obermenge von M ∪N (also insbesondere auch von M ∩N ) ist, kann man die De Morganschen
Gesetze (für Mengen) auch so formulieren:
L\(M ∩ N ) = (L\M ) ∪ (L\M ) und L\(M ∪ N ) = (L\M ) ∩ (L\M )
(6)
Beweis:
a) Man hat sofort wegen der offensichtlichen Kommutativität von ∧ (es ist natürlich egal, ob man sagt:
„A und B“ oder „B und A“)
M ∩ N = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N } = {x | x ∈ N ∧ x ∈ M } = N ∩ M.
Analog ergibt sich wegen der offensichtlichen Kommutativität von ∨ (es ist natürlich egal, ob man sagt:
„A oder B“ oder „B oder A“)
M ∪ N = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N } = {x | x ∈ N ∨ x ∈ M } = N ∪ M.
b) Man erhält wegen der Assoziativität von ∧ [vgl. Aufgabe 1 a) ] sofort
(M ∩ N ) ∩ L = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N } ∩ L
= {y | (y ∈ M ∧ y ∈ N ) ∧ y ∈ L}
= {y | y ∈ M ∧ (y ∈ N ∧ y ∈ L)}
= M ∩ {z | z ∈ N ∧ z ∈ L}
= M ∩ (N ∩ L).
Analog erhält man wegen der Assoziativität von ∨ [vgl. Aufgabe 1 a) ] leicht
(M ∪ N ) ∪ L = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N } ∪ L
= {y | (y ∈ M ∨ y ∈ N ) ∨ y ∈ L}
= {y | y ∈ M ∨ (y ∈ N ∨ y ∈ L)}
= M ∪ {z | z ∈ N ∨ z ∈ L}
= M ∪ (N ∪ L).
c) Wegen Aufgabe 1 b) gilt
(M ∩ N ) ∪ L = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N } ∪ L
26
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
= {y | (y ∈ M ∧ y ∈ N ) ∨ y ∈ L}
= {y | (y ∈ M ∨ y ∈ L) ∧ (y ∈ N ∨ y ∈ L)}
= {z | z ∈ M ∨ z ∈ L} ∩ {w | w ∈ N ∨ w ∈ L}
= (M ∪ L) ∩ (N ∪ L).
Analog gilt wegen Aufgabe 1 b)
(M ∪ N ) ∩ L = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N } ∩ L
= {y | (y ∈ M ∨ y ∈ N ) ∧ y ∈ L}
= {y | (y ∈ M ∧ y ∈ L) ∨ (y ∈ N ∧ y ∈ L)}
= {z | z ∈ M ∧ z ∈ L} ∪ {w | w ∈ N ∧ w ∈ L}
= (M ∩ L) ∪ (N ∩ L).
d) Mit den De Morganschen Gesetzen (für Aussagen) A.2 folgt sofort
(1)
(M ∩ N )C = {x | x ∈ M ∧ x ∈ N }C = {x | ¬(x ∈ M ∧ x ∈ N )} = {x | x ∈
/ M ∨x∈
/ N )}
= MC ∪ NC
und
(1)
(M ∪ N )C = {x | x ∈ M ∨ x ∈ N }C = {x | ¬(x ∈ M ∨ x ∈ N )} = {x | x ∈
/ M ∧x∈
/ N )}
= MC ∩ NC.
27
Mathematik EF
Anhang
Schmalstieg
Aufgaben:
1 Es seien A, B, C Aussagen.
a) Man zeige ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C)) und ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C)), also die Assoziativität
von ∧ und ∨ mit Hilfe von Wahrheitstafeln.
b) Man zeige ((A ∧ B) ∨ C) ⇔ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C))) und ((A ∨ B) ∧ C) ⇔ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C))), also die
Distributivgesetze für ∧ und ∨ mit Hilfe von Wahrheitstafeln.
c) Man negiere die Aussage
∀m ∈ M ∃n ∈ N : m ∼ n ∧ n ∼ m.
2 In einem Parlament kommt es zum Eklat, als sich einige Politiker gegenseitig vorwerfen:
Oppositionsführer: „Der Minister lügt“.
Minister: „Der Ministerpräsident lügt“.
Ministerpräsident: „Der Minister und der Oppositionsführer lügen beide“.
Welchem Politiker kann man jetzt noch glauben?
3 Für beliebige Mengen M, N zeige man:
a) M ∪ N = (M \N ) ∪ N
b) M ∩ N = M \(M \N )
28
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
Lösungen:
1 Es seien A, B, C Aussagen.
a) ((A ∧ B) ∧ C) ⇔ (A ∧ (B ∧ C))
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∧B
w
w
f
f
f
f
f
f
B∧C
w
f
f
f
w
f
f
f
(A ∧ B) ∧ C
w
f
f
f
f
f
f
f
A ∧ (B ∧ C)
w
f
f
f
f
f
f
f
a) ((A ∨ B) ∨ C) ⇔ (A ∨ (B ∨ C))
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
w
w
w
f
f
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
(A ∨ B) ∨ C
w
w
w
w
w
w
w
f
A ∨ (B ∨ C)
w
w
w
w
w
w
w
f
b) ((A ∧ B) ∨ C) ⇔ ((A ∨ C) ∧ (B ∨ C)))
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∧B
w
w
f
f
f
f
f
f
A
w
w
w
w
f
f
f
f
B
w
w
f
f
w
w
f
f
C
w
f
w
f
w
f
w
f
A∨B
w
w
w
w
w
w
f
f
A∨C
w
w
w
w
w
f
w
f
B∨C
w
w
w
f
w
w
w
f
(A ∧ B) ∨ C
w
w
w
f
w
f
w
f
(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)
w
w
w
f
w
f
w
f
b) ((A ∨ B) ∧ C) ⇔ ((A ∧ C) ∨ (B ∧ C)))
A∧C
w
f
w
f
f
f
f
f
B∧C
w
f
f
f
w
f
f
f
29
(A ∨ B) ∧ C
w
f
w
f
w
f
f
f
(A ∧ C) ∨ (B ∧ C)
w
f
w
f
w
f
f
f
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
c) Die negierte Aussage lautet
∃m ∈ M ∀n ∈ N : ¬(m ∼ n) ∨ ¬(n ∼ m).
2 Bei dieser Aufgabe geht es darum die De Morganschen Regeln für Aussagen korrekt anzuwenden. Man
nimmt dazu der Reihe nach an, dass jeder einmal recht hat und guckt, ob man einen Widerspruch erhält.
Dann kann derjenige Politiker ja nicht die Wahrheit gesagt haben:
• Oppositionsführer sagt Wahrheit (also: Minister lügt) ⇒ Ministerpräsident sagt Wahrheit (also
lügt unter anderem der Oppositionsführer).
• Ministerpräsident sagt Wahrheit (also lügen Minister und Oppositionsführer) ⇒ Der Minister
lügt nicht (da der Oppositionsführer ja gerade das Gegenteil behauptet) ⇒ Ministerpräsident lügt.
• Minister sagt Wahrheit (also lügt der Ministerpräsident) ⇒ Der Minister lügt nicht oder der
Oppositionsführer lügt nicht. ⇒ Der Oppositionsführer lügt, da nach Voraussetzung der Minister
nicht lügt.
Man kann also nur dem Minister glauben.
3 a) Für alle x ∈ M ∪ N gilt nach Definition
x∈M ∨ x∈N
⇔ (x ∈ M ∧ x ∈
/ N) ∨ x ∈ N
⇔ (x ∈ M \N ) ∨ x ∈ N
⇔ x ∈ (M \N ) ∪ N.
M \N
N
Also gilt M ∪ N = (M \N ) ∪ N .
b) Für alle x ∈ M ∩ N gilt nach Definition
x∈M ∧ x∈N
⇔ x ∈ M ∧ (x ∈
/ M ∨ x ∈ N)
A.2
⇔ x ∈ M ∧ ¬(x ∈ M ∧ x ∈
/ N)
⇔x∈M ∧ x∈
/ M \N
⇔ x ∈ M \(M \N ).
M \N
Also gilt M ∩ N = M \(M \N ).
30
M\
(M \N )
Mathematik EF
Schmalstieg
Anhang
A.7 Zahlenmengen
Die verschiedenen Zahlenmengen (Zahlbereiche) sind:
N := {1, 2, 3, 4, 5, . . . } „Die Menge der natürlichen Zahlen“
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } „Die Menge der natürlichen Zahlen mit 0“
Z := {. . . , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . } „Die Menge der ganzen Zahlen“
n
o
Q := pq | p ∈ Z, q ∈ N „Die Menge der rationalen Zahlen“
Die rationalen Zahlen sind genau die Zahlen, die sich als Bruch darstellen lassen
I : „Die
der irrationalen Zahlen“, d.h. Zahlen, die sich nicht als Bruch darstellen lassen.
√ Menge
√ √
Z.B. 2, π, 3, 3 5, − √12 und viele viele mehr.
R := Q ∪ I „Die Menge der reellen Zahlen“
Die reellen Zahlen bestehen aus allen rationalen und irrationalen Zahlen.
Intervalle sind zusammenhängende Teilmengen von R:
Abgeschlossen: [−1, 2] := {x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 2}
-3
-2
-1
0
1
2
3 R
Offen (−1, 2) := {x ∈ R | −1 < x < 2}
-3
-2
-1
0
1
2
3 R
Halboffen [−1, 2) := {x ∈ R | −1 ≤ x < 2}
-3
-2
-1
0
1
2
3 R
Halboffen [−1, ∞) := {x ∈ R | −1 ≤ x}
-3
-2
-1
0
1
2
3 R
Offen (−∞, 2) := {x ∈ R | x < 2}
-3
-2
-1
0
1
2
3 R
31
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
Definition: (Potenzen)
Seien x ∈ R und n ∈ N0 . Dann definiert man Potenzen mit natürlichem Exponenten durch
0
xn := x
| · x{z· · · x} und x := 1
n-mal
Beispiele: x1 = x, x2 = x · x, x3 = x · x2 = x · x · x, x4 = x · x3 = x2 · x2 = x · x · x2 = x · x · x · x, . . .
Funktionen der Form
f : R → R, f (x) = a · xn ,
a∈R
heißen Potenzfunktionen.
Eigenschaften von f (x) = x0
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f (x) = x0
f ist konstant.
3
Der Graph von f ist eine Gerade mit
Steigung 0.
2
1
f (1) ≤ 0 .
Der Graph von f ist achsensymme- −4 −3 −2 −1
−1
trisch zur y-Achse.
Der Graph von f ist parallel zur yAchse.
lim f (x) = 1 und lim f (x) = 1
x→∞
x→−∞
Eigenschaften von f (x) = x1
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
4
f (x) = x1
1
2
3
4x
1
2
3
4x
−2
−3
−4
y
4
f ist konstant.
3
Der Graph von f ist eine Gerade mit
Steigung 1.
2
1
f (1) ≥ 0 .
Der Graph von f ist punktsymme- −4 −3 −2 −1
−1
trisch zum Ursprung (0|0).
Der Graph von f ist parallel zur yAchse.
lim f (x) = ∞ und lim f (x) = −∞
x→∞
x→−∞
32
−2
−3
−4
Eigenschaften von f (x) = x2
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f (x) = x2
Der Graph von f ist die Normalparabel.
Der Graph von f ist eine Gerade mit
Steigung 2.
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
−2
Es gilt f (−x) = f (x) für alle x ∈ R.
−3
lim f (x) = ∞ und lim f (x) = ∞
x→∞
x→−∞
−4
f (x) = x3
Verdoppelt man x, so verachtfacht
sich f (x), d.h. f (2 · x) = 8 · f (x)
Der Graph von f ist eine Gerade mit
Steigung 3.
1
2
3
4x
1
2
3
4x
1
2
3
4x
y
4
3
2
1
Es gilt f (−x) = −f (x).
Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung (0|0).
Der Graph von f sieht aus wie die
Normalparabel.
lim f (x) = ∞ und lim f (x) = −∞
x→∞
x→−∞
Eigenschaften von f (x) = x4
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
y
4
f besitzt keine Nullstelle.
Eigenschaften von f (x) = x3
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Schmalstieg
Anhang
Mathematik EF
f (x) = x4
Der Graph von f sieht aus wie die
Normalparabel, nur steiler.
Der Graph von f ist eine Gerade mit
Steigung 4.
f (−1) ≥ 0 .
−4 −3 −2 −1
−1
−2
−3
−4
y
4
3
2
1
−4 −3 −2 −1
−1
Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
−2
Es gilt f (−x) = f (x).
−3
lim f (x) = ∞ und lim f (x) = ∞
x→∞
x→−∞
−4
33
Anhang
Mathematik EF
Schmalstieg
A.8 Übersicht zur Fachsprache
Begriff
Schnittpunkt
Bedeutung/Beispiel
Gemeinsamer Punkt zweier Funktionsgraphen. Z.B. f (x) = x2 und
g(x) = x. Dann ist der x-Wert des Schnittpunktes der Graphen von f und
g gegeben durch f (x) = g(x), d.h. x2 = x, also x = 0 oder x = −1. Die zugehörigen y-Werte sind f (1) = g(1) = 1 und f (0) = g(0) = 0, also sind die
Schnittpunkte der Graphen von f und g die Punkte (0|0) und (1|1).
Achsenschnittpunkte Die Punkte, in denen der Funktionsgraph die x-Achse und die yAchse durchstößt. Z.B. f (x) = x2 − 1. Dann sind die x-Achsenschnittpunkte
(1|0) und (−1|0), der y-Achsenschnittpunkt (0| − 1).
Nullstellen
Alle Lösungen der Gleichung f (x) = 0, d.h. die x-Koordinate des xAchsenschnittpunktes, Z.B. f (x) = x2 − 1. Dann sind die Nullstelen 1 und
−1.
Vorfaktor/ Koeffizi- Z.B. In f (x) = 2x3 + 4x ist 2 der Vorfaktor von x3 und 4 der Vorfaktor von
ent
x.
Funktionsgleichung
Eine Funktionsgleichung ist z.B. f (x) = x3 + 2x. Dann ist x3 + 2x der
und Funktionsterm
Funktionsterm.
Potenz, Exponent, Ein Ausdruck wie 28 heißt Potenz. Dabei heißt 8 der Exponent und 2 die
Basis
Basis.
Achsensymmetrie
Z.B. Der Graph von f (x) = x2 ist achsensymmetrisch bzgl. der y-Achse.
bzgl. Achse, gerade In einem solchen Fall heißt f dann gerade und es gilt f (−x) = f (x).
Funktion
Punktsymmetrie
Z.B. Der Graph von f (x) = x3 ist punktsymmetrisch bzgl. des Ursprungs
bzgl. Punkt, unge- (0|0). In einem solchen Fall heißt f dann ungerade und es gilt f (−x) = −f (x).
rade Funktion
Grenzwert/ Limes
Z.B. lim x2 = ∞: Die Funktion f (x) = x2 strebt für x gegen Unendlich
x→∞
ebenfalls gegen unendlich.
lim x2 = ∞: Die Funktion f (x) = x2 strebt für x gegen minus Unendlich
x→−∞
Absoluter
Hochpunkt/ Tiefpunkt
Absolutes
Maximum/ Minimum
Lokaler
Hochpunkt/ Tiefpunkt
Lokales Maximum/
Minimum
gegen unendlich.
Z.B. Der Graph von f (x) = −x2 hat in (0|0) seinen absoluten Hochpunkt.
Der Graph von f (x) = x2 hat in (0|0) seinen absoluten Tiefpunkt.
Z.B. Die Funktion f (x) = −x2 nimmt bei x = 0 ihr absolutes Maximum 0
an.
Die Funktion f (x) = x2 nimmt bei x = 0 ihr absolutes Minimum 0 an.
Z.B. Der Graph von f (x) = x3 + x2 − x − 1 hat in (−1|0) einen lokalen
Hochpunkt.
Der Graph von f (x) = −x3 −x2 +x+1 hat in (−1|0) einen lokalen Tiefpunkt.
Z.B. Die Funktion f (x) = x3 + x2 − x − 1 nimmt bei x = −1 als lokales
Minimum 0 an.
Die Funktion f (x) = −x3 −x2 +x+1 nimmt bei x = −1 als lokales Maximum
0 an.
34
Mathematik EF
Anhang
Schmalstieg
Abkürzungsverzeichnis
{} Mengenklammern
∨ oder
∧ und
⇔ äquivalent
⇒ impliziert
= gleich
:= Definition, z.B. N := {1, 2, 3, 4, . . . }, die linke Seite wird definiert als Kurzschreibweise für die
rechte Seite
=: Definition, z.B. {0, 1, 2, 3, 4, . . . } =: N0 , die rechte Seite wird definiert als Kurzschreibweise für
die linke Seite
∆ Differenz, z.B. ∆ y = y2 − y1
Df Definitionsbereich einer Funktion f
Wf Wertebereich einer Funktion f
Gf Graph einer Funktion f
35
Mathematik EF
Schmalstieg
Anhang
Literatur
[AZ]
Aigner, Martin & Ziegler, Günter M.: Das BUCH der Beweise (2015). Vierte Auflage. SpringerVerlag Berlin, Heidelberg.
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Modellierungskreislauf Quelle: http://www.mathematik.tu-darmstadt.de . . . . . . . .
Darstellung der eindeutigen Zuordnung (Funktion) aus (i) a . . .
Darstellung der nicht eindeutigen Zuordnung (keine Funktion) aus
Graph der eindeutigen Zuordnung (Funktion) aus (i) . . . . . . .
Graph der nicht eindeutigen Zuordnung (keine Funktion) aus (ii) .
Graph der linearen Funktion f a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph der linearen (sogar proportionalen) Funktion g . . . . . . .
Normalparabel mit f (x) = x2 a . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschobene Parabel mit Normalform g(x) = − 12 x2 + 2x − 1 . . .
2
x5
x4
x3
f (x) = x5 , f (x) = 1000
+ 1000
− 100
+ x10 − x . . . . . . . . . . . .
Graph der Quadratwurzelfunktion f . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph der Funktion h (Hyperbel) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x
Graph der Funktion f (x) = 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = log2 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Graph der Funktion f (x) = log 1 (x) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Sinus und Kosinus am Einheitskreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schnittmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vereinigungsmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Differenzmenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
. .
. .
(ii)
. .
. .
. .
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3
5
5
5
5
6
6
8
8
11
13
13
14
14
15
15
16
24
25
25
25
25