Analysis 1

Prof. Dr. Jörg Wolf
Amru Hussein
Übungsblatt 7 zur Vorlesung
Analysis 1
im Wintersemester 2012/13
Vorbemerkung:
Bei der Bearbeitung der Aufgaben können Sie alle Aussagen verwenden die bis einschließlich Freitag den 7. Dezember in der Vorlesung besprochen wurden. Außerdem können Sie alle
Übungsaufgaben von den vorhergehenden Blättern verwenden. Sie können auch die Aufgaben
von diesem Blatt verwenden, um andere Aufgaben zu lösen. Sie können zum Beispiel Aufgabenteil (b) bearbeiten und das Ergebnis aus Aufgabenteil (a) verwenden, auch wenn Sie (a) nicht
lösen konnten. Weitere Aussagen sollen sie bei der Bearbeitung der Aufgaben nicht verwenden.
Falls Sie einen Satz aus der Vorlesung beweisen, verwenden Sie bitte nur Aussagen die vor
diesem Satz besprochen wurden.
Aufgabe 1)
(Supremum) (4 Punkte)
R
Es sei M ⊂ eine nach oben beschränkte und nichtleere Menge. Zeigen Sie, dass die folgenden
beiden Aussagen äquivalent sind:
(a) s = sup(M ).
(b) s ist eine obere Schranke von M und es existiert eine Folge (an ) mit an ∈ M , so dass
lim an = s.
n→∞
Hinweis: Satz 8.10
Erinnerung Satz 8.10: Sei M ⊂ , M 6= ∅, M < ∞ und M ≤ s. Dann gilt
s = sup M genau dann wenn für alle > 0 ein m ∈ M existiert mit m > s − .
Beweis der Aufgabe: Sei s = sup M . Wähle = n1 , dann existiert nach Satz 8.10 ein x = xn ∈
M , so dass xn > s − n1 . Da s ≥ M gilt auch s ≥ xn und daher s − xn ≥ 0. Es gilt also
R
1
> s − xn ≥ 0.
n
N
Wird dieser Schritt für jedes n ∈ wiederholt, so erhält man eine Folge (xn ) mit xn ∈ M und
1
n > s − xn ≥ 0. Also ist s − xn eine Nullfolge und somit konvergiert (xn ) gegen s = sup M .
Sei (an ) eine Folge mit an ∈ M und an → s, M ≤ s. Da an → s, existiert für jedes > 0 ein
N ∈ , so dass > s − an ≤ 0 für alle n ≥ N . Also ist aN ≥ s − und aN ∈ M . Nach Satz
8.10 ist also s = sup M .
N
Aufgabe 2)
(Eigenschaften von lim sup und lim inf) (4 Punkte)
Es seinen (an ) und (bn ) beschränkte Folgen in
gelten:
R. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen
(a) lim sup an = − lim inf(−an ).
(b) lim sup(λan ) = λ lim sup an , für alle λ ≥ 0.
(c) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn .
(d) Falls (an ) konvergiert gilt lim sup(an + bn ) = lim sup an + lim sup bn
Zu (a): Nach Satz 8.5 gilt sup{ak | k ≥ n} = − inf{−ak | k ≥ n}. Die Aussage folgt wenn
man den Limes bildet.
Zu (b):
lim sup(λan ) = lim sup{λak | k ≥ n}
n→∞
= lim λ sup{ak | k ≥ n}
n→∞
=λ lim sup{ak | k ≥ n},
n→∞
dabei verwendet man, dass für λ ≥ 0 sup λM = λ sup M , wobei λM = {λm | m ∈ M }.
Zu (c): Zur Erinnerung sup(A + B) = sup A + sup B, wobei A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.
Man betrachtet also alle möglichen Summen von Elementen aus A und B. Die Folge (ak + bk )
enthählt allerdings nur bestimmte Summen von Zahlen aus den Mengen A = {ak | k ∈ }
und B = {bk | k ∈ }. Daher gilt
N
N
{ak + bk | k ≥ n} ≤ sup{ak | k ≥ n} + sup{bk | k ≥ n}.
Daher
sup{ak + bk | k ≥ n} ≤ sup{ak | k ≥ n} + sup{bk | k ≥ n}.
und nachdem man den Limes bildet
lim sup{ak + bk | k ≥ n} ≤ lim sup{ak | k ≥ n} + lim sup{bk | k ≥ n}.
n→∞
n→∞
n→∞
Zu (d): Sei b := lim sup bn , dann existiert eine Teilfolge bnl mit (bnl ) → b für l → ∞. Da
{akl + bkl | k ≥ n} ⊂ {ak + bk | k ≥ n}
gilt
sup{akl + bkl | k ≥ n} ⊂ sup{ak + bk | k ≥ n}
und nachdem man den Limes gebildet hat
lim sup{akl + bkl | k ≥ n} ⊂ lim sup{ak + bk | k ≥ n}.
n→∞
n→∞
Da akl und bkl konvergent sind, ist auch akl + bkl konvergent (Grenzwertsätze). Daher gilt
lim sup{akl + bkl | k ≥ n} = lim sup akl + bkl = a + b = lim sup an + lim sup bn .
n→∞
Zusammen mit Aufagebnteil (c) erhält man
lim sup an + lim sup bn ≤ lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
also Gleichheit.
Aufgabe 3)
(lim sup und lim inf) (4 Punkte)
(a) Betrachten Sie die Folgen (an ) und (bn ) die durch
n
an := 2n(−1)
und bn := n
(−1)n
n
definiert sind. Berechnen Sie lim inf und lim sup dieser Folgen.
(b) Geben Sie eine Folge (cn ) an, mit cn 6= cm für n 6= m, die genau alle natürlichen Zahlen
als Häufungswerte besitzt. Es genügt die Folge soweit anzugeben, bis das Bildungsgesetz
erkennbar wird. Geben Sie, ohne Beweis lim inf und lim sup dieser Folge an.
(c) Es sei (dn ) eine Folge mit lim sup dn = −∞. Zeigen Sie, dass (dn ) nach unten unbeschränkt ist und keine Häufungspunkte besitzt.
Zu (a): Die Folge (an ) besteht aus den beiden Teilfolgen
a2n = 22n → ∞ und a2n+1 = 2−(2n+1) =
1
22n+1
→ 0.
Daher ist lim inf(an ) = 0 und lim sup(an ) = ∞.
Entsprechend besteht die Folge (bn ) aus den beiden Teilfolgen
1
b2n = (2n) 2n =
√
2n
−1
2n → 1 und b2n+1 = (2n + 1) 2n+1 =
√
2n+1
1
→1
2n + 1
Daher ist lim inf(bn ) = lim sup(bn ) = 1.
Zu (b):
1/2, 1 + 1/2, 3/4, 1 + 3/4, 2 + 1/2, ...
Zu (c): Widersperuchsbeweis:
Annahme (dn ) ist anch unten beschränkt. Dann existiert ein s ∈ , so dass s ≤ dn für
alle n ∈ . Daher ist auch s ≤ sup{dk | k ≥ n} und wenn man den Limes bildet auch
s ≤ lim sup dn . Widerspruch zu lim sup = −∞.
R
N
Aufgabe 4)
(Exponentialfunktion) (4 Punkte)
Für a ≥ 1 definiert man die Potenz mit reellen Exponenten durch
ax := sup{ar | r ∈
Für 0 < a < 1 setzt man ax :=
Q und r < x}.
1 −x
.
a
(a) Es sei a > 0. Zeigen Sie, dass ax+y = ax ay .
(b) Zeigen Sie, dass exp(x) = ex für x ∈
R.
(c) Zeigen Sie, dass exp(mx) = exp(x)m für x ∈
R und m ∈ Z.
(d) Zeigen Sie, dass aus x < y folgt, dass exp(x) < exp(y).
Q
Hinweis: Zu (a) und (b): Nach Aufgabe 1 von diesem Blatt gibt es eine Folge (rn ) in
mit
rn < x, so dass limn→∞ rn = x. Verwenden Sie solche Folgen, um die Aussage zu zeigen. Zu
(c) Satz 19.4. Zu (d) Blatt 5 Aufgabe 3 (b) und Aufgabenteil (b) von dieser Aufgabe.
Zu (a):
Betrachte die Menge Mx := {ar | r ∈ und r < x}. DIese Menge ist anch oben beschränkt,
da für n ≥ x mit n ∈
gilt an ≥ Mx , Monotonie, siehe Blatt Blatt 5 Aufgabe 3. Daher
existiert das Supremum. Nach Aufgabe 1 von diesem Blatt gibt es also eine Folge in dieser
menge die gegen das Supremum konvergiert. Es gilt also rn ∈ mit rn < x und limn→∞ arn =
sup Mx =: ax .
Man zeigt nun, dass rn → x. Annahme rn konvergiert nicht gegen x, dann ist sup{rn | n ∈
} < x undes gibt ein q ∈ mit sup{rn | n ∈ } < q < x. Wegen der Monotonie von ax für
Q
N
Q
N
Q
N
Q
x ∈ folgt, dass limn→∞ arn < aq . Da ax = sup Mx und nach voraussetzung aq ∈ Mx ist dies
ein Widerspruch.
Seien also x, y ∈ . Dann existieren xn < x und yn < y, xn , yn ∈ , so dass
R
Q
lim axn = ax und
lim ayn = ay .
n→∞
n→∞
Da xn + yn → x + y gilt wegen der Monotonie auch
lim axn +yn = ax+y .
n→∞
Weiter gilt
lim axn +yn = lim axn ayn = lim axn lim ayn = ax ay ,
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
wobei man die Grenzwertsätz und die Potenzgesetzt für rationale exponeten verwendet hat.
Zu (b): Nach Satz 19.3 gilt exp(r) = er für r ∈ . Sei x ∈ , dann existiert eine Folge xn ∈
mit exn → ex , siehe Aufgabenteil (a). Nch Satz 19.3 ist limn→∞ exn = limn→∞ exp(xn ) und
limn→∞ exp(xn ) = exp(x).
Zu (c): Sei wieder xn ∈ , xn < x mit xn → x. Sei m ∈
Q
R
Q
Q
N
exp(mx) = lim exp(mxn ) = lim exn m
n→∞
xn m
= lim (e )
n→∞
=
n→∞
lim exn
n→∞ |
· .{z
. . · exn}
m–mal
= lim exn · . . . · lim exn
n→∞
n→∞
|
{z
}
m–mal
= exp(x) · . . . · exp(x) = exp(x)m .
|
{z
}
m–mal
N
Für m ∈ − entsprechend
Zu (d): Sei x < y, dann ist ex = lim exn für xn ∈ , xn < x und xn → x und ey = lim eyn
für yn ∈ , yn < y und yn → y. Da xn und yn konvergent existiert ein N ∈ und c, d ∈ ,
so dass
Q
Q
N
xn < x < c < d < yn < y, für alle n ≥
Limes bilden und Monotonie von ax in
Q, siehe Blatt 5
N.
lim exn = ex ≤ ec < ed ≤ lim eyn = ey , für alle n ≥
n→∞
Aufgabe 5)
Q
n→∞
N.
(Zusatzaufgabe)
In der Vorlesung haben Sie bereits besprochen, dass jede irrationale Zahl sich durch eine Folge
rationaler Zahlen beliebig genau annähern lässt. Zeigen Sie nun, für jede positive Zahl a ∈
2
2
existiert sogar eine Folge von rationalen Quadratzahlen pqn2 , pqn2 ∈ , so dass
n
n
R
Q
p2n
= a.
2
n→∞ qn
lim
R
Bemerkung: Es sei X ⊂ Y ⊂
eine Menge mit der Eigenschaft, dass jede Zahl y ∈ Y der
Grenzwert einer Folge (xn ) mit xn ∈ X ist. Dann sagt man, dass die Menge X dicht in Y
liegt. In diesem Sinne liegt
dicht in und die Zusatzaufgabe zeigt, dass sogar 2 dicht in
+ liegt.
R
Q
R
Q
R
R
√
√
Es sei a > 0, a ∈ , dann ist a > 0, a ∈ . Da jede Zahl in
rn = pqnn in
approximieren lässt, folgt (Grenzwertsätze)
Q
R sich durch eine Folge
p2n √ 2
= a = a.
2
n→∞ qn
lim
Abgabe am Freitag, den 14.12.2012, um 12.30 Uhr