Institut für Biometrie und klinische Forschung WiSe 2012/2013

Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Institut für Biometrie und Klinische Forschung
WWU Münster
Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach
Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik
– Praktikum der Medizinischen Biometrie (3)
Überblick
1. Deskriptive Statistik I
2. Deskriptive Statistik II
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
-
Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit
-
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
-
-
Binomialverteilung
-
Normalverteilung
Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit
4. Induktive Statistik
4
Zufallsexperiment
• Experiment mit unbekanntem Ausgang
– Beispiel: Würfelwurf – „X“
• Zufallsereignis: Möglicher Ausgang des Experiments
– Beispiel:
, d.h. [X=3]
• Wahrscheinlichkeit eines Zufallsereignisses
– Beispiel: P(X=3) = 1/6
• Definition und Interpretation von Wahrscheinlichkeiten
– Laplace: P 
Anzahl günstiger Fälle für das betrachtet e Ereignis
Anzahl möglicher Fälle
– Grenzwert relativer Häufigkeiten:
# ( x | x  3)
n
 P( X  3)

n
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
5
WiSe 2012/2013
Wichtiger Hinweis
Das vorliegende Dokument
enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Axiome von Kolmogoroff
WiSe 2012/2013
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A) = 0
„unmögliches Ereignis“
• P(A) = 1
„sicheres Ereignis“
• Falls sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen, so gilt
P(AB) = P(A) + P(B)
Daraus folgt:
P(AC) = 1-P(A)
Gegenwahrscheinlichkeit
– Beispiel Würfelwurf: P(„gerade“) = 1 – P(„ungerade“)
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
6
Beispiele für Wahrscheinlichkeiten
• Würfelwurf:
P(X=3) = 1/6
• Lostrommel mit 100 Losen,
davon 10 Gewinne:
•
P(„Gewinn“) = 10/100 = 0.1 = 10%
P(„6 Richtige im Lotto“)
• Einfacher Würfelwurf:
P(„gerade“) = 3/6 = 1/2
• Zweifacher Würfelwurf:
P(Summe=7) = 6/36

1
1

 49  13983816
6
 
• Bedingte Wahrscheinlichkeit: P( Würfel=3 | “ungerade“ ) = 1/3
• Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person: P(weiblich) ≈ 0.5
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
7
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (1)
• Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B.
Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Beispiel Würfelwurf
Ereignis A: „gerade Zahl“, d.h. {2,4,6}
Ereignis B: „größer als 3“, d.h. {4,5,6}
P(AB) = P({2,4,5,6})
= P(A) + P(B) – P(AB)
= P({2,4,6}) + P({4,5,6}) – P({4,6})
Venn-Diagramm
= 3/6 + 3/6 – 2/6
= 4/6
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
8
Wichtiger Hinweis
Das vorliegende Dokument
enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (2)
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
• Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B.
WiSe 2012/2013
Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
• Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) · P(A|B)
Wichtiger Hinweis
Das vorliegende Dokument
enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
<=> P(A|B) = P(AB) / P(B)
Beispiel Würfelwurf
Ereignis A: „gerade Zahl“, d.h. {2,4,6}
Ereignis B: „größer oder gleich 4“, d.h. {4,5,6}
P(A|B) = P({2,4,6}|{4,5,6}) = 2/3
Venn-Diagramm
= P(AB) / P(B)
= P({4,6}) / P({4,5,6})
= (2/6) / (3/6)
= 2/3
9
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten (3)
• Gegeben seien zwei Zufallsereignisse A und B.
Dann gilt der Additionssatz: P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
• Multiplikationssatz: P(AB) = P(B) · P(A|B)
<=> P(A|B) = P(AB) / P(B)
• Stochastische Unabhängigkeit
Definition: P(A|B) = P(A)
bzw.
P(B|A) = P(B)
<=> P(AB) = P(B) · P(A|B) = P(B) · P(A)
• Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
P(A) = P(A|B1)·P(B1) + P(A|B2)·P(B2)
• Satz von Bayes
P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)
3. W'rechnung und ZV – Zufallsereignis & Wahrscheinlichkeit
10
Überblick
1. Deskriptive Statistik I
2. Deskriptive Statistik II
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
-
Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit
-
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
-
-
Binomialverteilung
-
Normalverteilung
Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit
4. Induktive Statistik
11
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klinische Forschung
Zufallsvariable
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= Zufallsexperiment mit unbekanntem Ausgang
• Beispiele:
mögliche „Realisationen“:
– Würfelwurf
 {1,2,3,4,5,6}
– Geschlecht einer zufällig ausgewählten Person  {♂,♀}
– Alter einer zufällig ausgewählten Person
 [0,150]
– Therapieerfolg bei der Behandlung einer
bestimmten Erkrankung
 {Erfolg, Misserfolg}
– Therapie, die einem Patienten in einer klinischen Studie durch
Randomisierung zugewiesen wird
 {Verum,Plazebo}
12
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Charakterisierung einer Zufallsvariablen:
Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das
Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs?
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen
möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments
Beispiel Würfelwurf:
30
25
20
Wahrscheinlichkeit
= Relative Häufigkeit bei unendlich-facher
Wiederholung des Zufallsexperiments
15
10
5
0
1
2
3
4
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
5
6
13
Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Charakterisierung einer Zufallsvariablen:
Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das
Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs?
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen
möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments
Beispiel
Behandlungserfolg einer Therapie:
Wahrscheinlichkeit
= Relative Häufigkeit bei unendlich-facher
Wiederholung des Zufallsexperiments
100
80
60
40
20
0
Erfolg
Misserfolg
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
14
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
• Charakterisierung einer Zufallsvariablen:
WiSe 2012/2013
Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das
Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs?
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen
möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments
Beispiel
Behandlungserfolg einer Therapie:
/
60
20
- qualitativ: nominal / ordinal
diskret
80
40
Typen von Zufallsvariablen:
- quantitativ:
100
0
Erfolg
stetig
Misserfolg
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
16
Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Charakterisierung einer Zufallsvariablen:
Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das
Experiment durchgeführt wurde, d.h. vor Kenntnis des Ausgangs?
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen
möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments
Beispiel
Alter einer zufällig
ausgewählten Person:
„Wahrscheinlichkeitsmasse“
Typen von Zufallsvariablen:
- qualitativ: nominal / ordinal
- quantitativ:
diskret
/
stetig
2. Induktive Statistik – Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg
30
40
50
60
70
17
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
WiSe 2012/2013
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Überblick
1. Deskriptive Statistik I
2. Deskriptive Statistik II
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
-
Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit
-
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
-
-
Binomialverteilung
-
Normalverteilung
Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit
4. Induktive Statistik
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
19
Binomialverteilung (1)
Zufallsexperiment:
20 Patienten werden mit einer bestimmten Therapie behandelt,
anschließend wird die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten registriert.
→ Mögliche Ausgänge des Zufallsexperiments: {0,1,2,3,…,20}
→ Wahrscheinlichkeiten für die Ausgänge ?
Binomialverteilung:
• n Patienten werden behandelt.
• Die Erfolgswahrscheinlichkeit der Therapie beträgt in jedem Fall p.
• Dann ist die Anzahl erfolgreich behandelter Patienten eine
„binomialverteilte“ Zufallsvariable und es gilt für k{0,1,2,3,…,n}:
n
P( X  k )     p k  (1  p ) n k
k 
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
20
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Binomialverteilung (2)
WiSe 2012/2013
0.25
Bin(n=10,p=0.5)
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
0.20
0.15
0.10
0.05
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
21
Binomialverteilung (3)
Bin(n=10,p=0.2)
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
22
Binomialverteilung (4)
Bin(n=20,p=0.4)
0.15
0.10
0.05
0.0
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
23
Binomialverteilung (5)
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
• Java-Applet 5.2 Binomialverteilung
WiSe 2012/2013
• 5.5 Javascript und Applet - diskrete Verteilungen
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
24
Überblick
1. Deskriptive Statistik I
2. Deskriptive Statistik II
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
-
Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit
-
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
-
-
Binomialverteilung
-
Normalverteilung
Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit
4. Induktive Statistik
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
25
Wahrscheinlichkeitsverteilung
• Charakterisierung einer Zufallsvariablen:
Was kann man über die Zufallsvariable sagen, bevor das
Experiments durchgeführt wurde, dh vor Kenntnis des Ausgangs?
• Wahrscheinlichkeitsverteilung
Angabe von Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen
möglichen Ausgänge des Zufallsexperiments
Beispiel
Alter einer zufällig
ausgewählten Person:
„Wahrscheinlichkeitsmasse“
Typen von Zufallsvariablen:
- qualitativ: nominal / ordinal
- quantitativ:
diskret
/
stetig
2. Induktive Statistik – Zufallsvariable & Wahrscheinlichkeitsvtlg
30
40
50
60
70
26
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Normalverteilung (2)
Beispiel: Verteilung des Alters einer zufällig ausgewählten Person
f(x)
f ( x) 
30
40
50
60
1
  2
70
e
1  x 
 

2  
Wichtiger Hinweis
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enthält nur die Folien des
Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
2
Alter (Jahre)
x
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
28
Normalverteilung (3)
Die Parameter μ und σ steuern die Gestalt der Glockenkurve.
µ
µ-2 µ-
μ : Erwartungswert
µ+ µ+2
→ mittlere Lage der Wahrscheinlichkeitsmasse
σ : Standardabweichung → Streuung
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
29
Normalverteilung (4)
Wahrscheinlichkeit der Realisation
einer normalverteilten Zufallsvariable X
a
b
b
b
P ( a  X  b)   f ( x )  dx  
a
a
1
  2
e
1  x 
 

2  
2
 dx
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
WiSe 2012/2013
30
Normalverteilung (5)
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Beispiel:
WiSe 2012/2013
Die Körpergröße erwachsener Männer in einer bestimmten
Population sei eine normalverteilte Zufallsvariable mit μ=175 und
σ=10.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
ausgewählter Mann aus der Population zwischen 166 und 181cm
groß ist?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
ausgewählter Mann kleiner als 177cm ist?
zu (1): P( 166 ≤ X ≤ 181 ) = 0.5417
zu (2): P(X ≤ 177) = 0.5793
Verteilungsfunktion
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
31
Normalverteilung (6)
µ-3 µ-2 µ-
Flächenanteile
µ
µ+ µ+2 µ+3
68.27%
95.45%
99.74%
Interpretation: Ca. 95% der Realisationen einer normalverteilten
Zufallsvariablen liegen erwartungsgemäß in einem Bereich von μ±2·σ.
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
32
Normalverteilung (7)
• 7.14 Javascript und Applet - stetige Verteilungen
3. W'rechnung und ZV – Zufallsvariable & Wahrschktsverteilung
33
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Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Überblick
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
1. Deskriptive Statistik I
WiSe 2012/2013
2. Deskriptive Statistik II
3. Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen
-
Zufallsereignis und Wahrscheinlichkeit
-
Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen
-
-
Binomialverteilung
-
Normalverteilung
Induktiver Schluss von der Stichprobe auf die Grundgesamtheit
4. Induktive Statistik
34
Zufallsvariablen und Merkmale
Beispiel:
Zufallsvariable bzw. Zufallsexperiment „Therapieerfolg“
• Theoretischer Ansatz:
100
80
Wahrscheinlichkeitsverteilung
60
40
20
0
Erfolg
Misserfolg
• Empirischer Ansatz:
blutgru
therap
Erfolg
37
A
1
1
2
2
34
B
1
0
3
2
36
A
2
1
…
…
…
…
alter
1
…
sex
1
…
patnr
Merkmalswerte
= Stichprobe von
Realisationen der
Zufallsvariable
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
35
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie
Empirische Information
n-fache Realisation des
Zufallsexperiments
-> Bestimmung der relativen
Häufigkeit des Zielereignisses
= relative Erfolgsrate
Theoretische Wahrscheinlichkeit
P=?
Anzahl beobachteter Behandlungserfo lg e
Gesamte Anzahl n behandelter Patienten
z.B.
Behandlung von n=100 Patienten:
Relative Erfolgsrate h=19%
Nutzung der relativen Häufigkeit des
Zielereignisses zur Schätzung der
Wahrscheinlichkeit
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
36
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Biometrie. In der Vorlesung wird
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für die Klausur relevant ist.
Institut für Biometrie und
klinische Forschung
Relative Häufigkeit in der Grundgesamtheit
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Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie
Empirische Information
Theoretische Wahrscheinlichkeit
n-fache Realisation des
Zufallsexperiments
P = Relative Häufigkeit in der
Grundgesamtheit:
-> Bestimmung der relativen
Häufigkeit des Zielereignisses
= relative Erfolgsrate
Wie viele Behandlungserfolge
würde ich beobachten, wenn ich
nicht nur die n Patienten der
Stichprobe behandeln würde,
sondern sämtliche Patienten der
Grundgesamtheit?
Anzahl beobachteter Behandlungserfo lg e
Gesamte Anzahl n behandelter Patienten
z.B.
Behandlung von n=100 Patienten:
Relative Erfolgsrate h=19%
Nutzung der relativen Häufigkeit der
Stichprobe zur Schätzung der
entsprechenden Erfolgsrate in der
Grundgesamtheit
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
37
Induktiver Schluss (1)
Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie
Empirische Information
n-fache Realisation des
Zufallsexperiments
-> Bestimmung der relativen
Häufigkeit des Zielereignisses
= relative Erfolgsrate
Relative Häufigkeit in der
Grundgesamtheit:
Wie viele Behandlungserfolge
würde ich beobachten, wenn ich
nicht nur die n Patienten der
Stichprobe behandeln würde,
sondern sämtliche Patienten der
Grundgesamtheit?
Deskriptive Statistik:
Beschreibung des empirischen Stichprobenergebnisses
Induktive Statistik:
Induktiver Schluss von der empirischen Information
der Stichprobe auf die Grundgesamtheit.
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
38
Induktiver Schluss (2)
Beispiel: Erfolgswahrscheinlichkeit einer Therapie
Empirische Information
n-fache Realisation des
Zufallsexperiments
-> Bestimmung der relativen
Häufigkeit des Zielereignisses
= relative Erfolgsrate
Relative Häufigkeit in der
Grundgesamtheit:
Wie viele Behandlungserfolge
würde ich beobachten, wenn ich
nicht nur die n Patienten der
Stichprobe behandeln würde,
sondern sämtliche Patienten der
Grundgesamtheit?
Deskriptive Statistik:
Relative Erfolgsrate in der Stichprobe, z.B. h=19%
Induktive Statistik:
Schätzung der unbekannten Erfolgsrate in der GG,
P≈h=19% mit Konfidenzintervall 11.8% – 28.1%
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
39
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Biometrie. In der Vorlesung wird
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für die Klausur relevant ist.
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Induktiver Schluss (3): Stetige ZV
Empirische Kenngröße
WiSe 2012/2013
Theoretische Kenngröße
x
X X XX X X X X X X
80
100
120
140
160
180
µ140 160
100
120
systolischer Blutdruck (mm Hg)
80
systolischer Blutdruck (mm Hg)
180
x: (arithmetischer) Mittelwert
µ: Erwartungswert
Mittlere Lage der Stichprobenwerte
= Arithmetischer Mittelwert über alle
Patienten der Grundgesamtheit
Deskriptive Statistik:
Beschreibung
Empirischer Mittelwert
des empirischen
der Stichprobe:
Stichprobenergebnisses
x=121.4mmHg
Induktive Statistik:
Induktiver
Schätzung Schluss
des entsprechenden
von der empirischen
Mittelwertes
Information
in der GG:
der
µ≈x=121.4
Stichprobe
mitauf
Konfidenzintervall
die Grundgesamtheit.
105.6 - 137.2 mmHg
40
3. W'rechnung und ZV – Induktiver Schluss
Aufgabe 1
Im folgenden Venn-Diagramm sei A das
Ereignis „Blutgruppe A“ und R das Ereignis
„Rhesusfaktor positiv“.
0%
3.
0%
0%
41
5.
0%
2.
0%
1.
1. Blutgruppe A und Rhesusfaktor
positiv gemeinsam vorliegen
2. Blutgruppe B oder Rh positiv vorliegt
3. nur Blutgruppe A, Rh positiv vorliegt
4. nur Blutgruppe A, Rh negativ
vorliegt
5. andere Blutgruppe als A, Rh positiv
vorliegt
4.
Die schraffierte Fläche bezeichnet das
Ereignis, dass
Aufgabe 2
Nach bisheriger Erfahrung in einer
Zahnklinik muss davon ausgegangen
werden, dass auf je 100 Patienten bei 20
Patienten ein chirurgischer Eingriff nötig
ist (Ereignis A). Außerdem werden in
dieser Klinik jährlich durchschnittlich 1000
Patienten mit Parodontitis behandelt
(Ereignis B).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit P(A)
für das Ereignis A=“chirurgischer Eingriff“
unter der Annahme, dass die Ereignisse A
und B unabhängig sind?
/1
00
0
0%
12
0
/1
10
0
0%
20
20
10
0
0%
/1
00
0%
/1
00
0
0%
/1
00
0
20 / 1000
100 / 1000
20 / 100
20 / 1100
120 / 1000
20
1.
2.
3.
4.
5.
42
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Biometrie. In der Vorlesung wird
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Aufgabe 3
WiSe 2012/2013
Die nebenstehende Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung
einer binomialverteilten
Zufallsvariablen mit den
Parametern n und p. Die Zufallsvariable
wird gebildet, indem n einzelne Experimente
durchgeführt werden, die jeweils erfolgreich
oder erfolglos verlaufen können, und
anschließend die Anzahl der Erfolge
registriert wird. Die Erfolgswahrscheinlichkeit der einzelnen Experimente wird durch
den Parameter p wiedergegeben.
Wichtiger Hinweis
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Praktikums der Medizinischen
Biometrie. In der Vorlesung wird
zusätzlicher Stoff behandelt, der
für die Klausur relevant ist.
Welche Werte für n und p liegen der
dargestellten Zufallsvariablen zugrunde?
n=
10
n=
10
n=
10
0%
,p
=0
.7
0%
,p
=0
.5
0%
,p
=0
.3
0%
,p
=0
.8
0%
n=
11
p=0.5
p=0.8
p=0.3
p=0.5
p=0.7
,p
=0
.5
n=11,
n=11,
n=10,
n=10,
n=10,
n=
11
1.
2.
3.
4.
5.
43
Aufgabe 4
Welche der folgenden Eigenschaften einer
Normalverteilung trifft nicht notwendig
zu: Die Normalverteilung N(μ,σ²)
0%
0%
0%
44
5.
0%
2.
1.
0%
4.
ist symmetrisch
ist glockenförmig
ist eine stetige Verteilung
hat den Erwartungswert 0
ist eine eingipflige Verteilung
3.
1.
2.
3.
4.
5.
Aufgabe 5
In einer Klinik sei die Körpergröße aller
Neugeborenen annähernd normalverteilt
mit dem Erwartungswert µ = 55 cm und
einer Standardabweichung von σ = 2.5
cm.
Wie groß ist in etwa die Wahrscheinlichkeit
dafür, dass ein Neugeborenes aus dieser
Grundgesamtheit zwischen 50 und 60 cm
groß ist?
%
%
%
%
%
0%
0%
99
%
0%
95
%
0%
60
%
0%
50
%
25
50
60
95
99
25
%
1.
2.
3.
4.
5.
45