Mathematik 1

Technische Universität Ilmenau
Institut für Mathematik
WS 2014/2015
Thomas Böhme
Henrik Winkler
BT, EIT, II, MT, WSW
BTC, FZT, LAE, LAM, MB, MTR, OST
Mathematik 1
Übungsserien 15 (02.02..2015 - 06.02.2015)
Aufgabe 1 :
Stellen Sie die folgenden gebrochen rationalen Funktionen f : D ⊆ R → R jeweils als
Summe einer ganz rationalen Funktion und Partialbrüchen mit reellen Koeffizienten dar
und bestimmen Sie jeweils eine Stammfunktion.
(a) f (x) =
4+6 x
(x+3)(−4+x) ,
(d) f (x) =
2 x2 +x+4
,
(x2 +4)x
(g) f (x) =
5−4 x+x2
.
(−2+x)3
2
−4+4 x +3 x
(b) f (x) = 2 (x+1)(−4+x
2) ,
(e) f (x) =
x+1
,
x2 +4 x+13
(c) f (x) =
(f) f (x) =
5 x2 +20 x+17
,
(x+1)(x+2)2
x4 +4 x3 +2 x2 +10 x−7
,
(x−1)(x+4)
(Hinweis: Zur Lösung der sich ergebenden linearen Gleichungssysteme, kann das Eliminationsverfahren eingesetzt werden.)
Aufgabe 2 :
(a) Es sei u : (− π2 , π2 ) → R mit u(x) = tan( x2 ). Berechnen Sie die Ableitung u0 (x) =
und zeigen Sie, dass folgende Gleichungen für alle x ∈ (− π2 , π2 ) erfüllt sind:
cos x =
1 − u2
,
1 + u2
sin x =
du
dx
2u
.
1 + u2
(Hinweise: sin2 ( x2 ) + cos2 ( x2 ) = 1, cos x = cos2 ( x2 ) − sin2 ( x2 ) und sin x = 2 cos( x2 ) sin( x2 ).)
(b) Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f : (0, π2 ) → R mit f (x) = sin12 x mit
Hilfe der Substitution u = tan( x2 ) und den in Teilaufgabe (a) gewonnenen Erkenntnissen.
Aufgabe 3 :
(
Es seien f : [0, ∞) → R mit f (x) =
1
1+x
und g : [0, ∞) → R mit g(x) =
1
x=0
.
sonst
1
dxe
(a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f und g. Begründen Sie, warum für alle a ≥
0 gilt
Ra
0
f (x) dx ≤
Ra
0
g(x) dx und für alle nicht negativen ganzen Zahlen n gilt
Rn
0
g(x) dx =
n
P
1
k.
k=1
(Hinweis: dxe bezeichnet die kleinste ganze Zahl, welche nicht kleiner als x ist. Es gilt
also dxe = x für ganze x und z.B. d 21 e = 1.)
(b) Verwenden Sie die in (a) gewonnenen Erkenntnisse, um zu zeigen, dass die harmonische
Reihe
∞
P
1
k bestimmt divergiert.
k=1
Aufgabe 4 :
(
Es seien h : (0, ∞) → R mit h(x) =
1
x2
und l : [0, ∞) → R mit l(x) =
1
1
dxe2
x=0
.
sonst
(a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen h und l. Begründen Sie, warum für alle
a ≥ 1 gilt 1 +
Rn
Ra
h(x) dx ≥
1
l(x) dx =
n
P
1
.
k2
Ra
l(x) dx und für alle nicht negativen ganzen Zahlen n gilt
0
k=1
0
(Hinweis: dxe bezeichnet die kleinste ganze Zahl, welche nicht kleiner als x ist. Es gilt
also dxe = x für ganze x und z.B. d 21 e = 1.)
(b) Verwenden Sie die in (a) gewonnenen Erkenntnisse, um zu zeigen, dass die Reihe
∞
P
1
k=1
konvergiert.
Aufgabe 5 :
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale sofern diese existieren.
(a)
R1 1
√
3 x dx,
0
(b)
R1 1
dx,
x3
0
(c)
R2
0
√
1
dx.
|x−1|
k2
Aufgaben zur Vorbereitung von Teil 2 der Fachprüfung Mathematik 1
Aufgabe 1 :
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, sofern diese existieren.
n2 +2n−10
√
,
x→∞ 2n2 +3 n+7
(a) lim
(d)
∞
P
( 32 )k ,
(e)
k=0
n!
n,
n→∞ n
(b) lim
3n2 +(−1)n n
,
n2
n→∞
(c) lim
∞
P
( 23 )k .
k=3
Aufgabe 2 :
(
Für welche reellen Zahlen a, b ist die Funktion f : R → R mit f (x) =
a(x − b)2 für x ≥ 0
x
sonst
stetig?
Aufgabe 3 :
Verwenden Sie den Zwischenwertsatz um zu zeigen, dass die Gleichung cos x = x2 + x im
Intervall I = [0, π2 ] wenigstens eine Lösung hat.
Aufgabe 4 :
Berechnen Sie die folgenden Funktionengrenzwerte, sofern diese existieren.
x
3,
x→0 x
(a) lim
(b) lim
x→∞
1−2 sin x
x
Aufgabe 5 :
(
Für welche Zahlen α, β ist die Funktion f : R → R mit f (x) =
2 sin(αx) für x ≤ 0
x+β
sonst
stetig bzw. differenzierbar?
Aufgabe 6 :
Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen f : R → R.
(a) f (x) = sin x cos x,
(b) f (x) =
1
,
(1+x)2
(c) f (x) = sin2 (1 + cosx)
Aufgabe 7 :
(
x3 sin x1 für x 6= 0
. Untersuchen
0
für x = 0
Sie, ob die Funktion f in x0 = 0 differenzierbar ist. Wenn ja, berechne man die Ableitung
von f in x0 = 0.
Betrachtet wird die Funktion f : R → R mit f (x) =
Aufgabe 8 :
Betrachtet wird die Funktionen f : R → R mit f (x) = x3 .
(a) Skizzieren Sie den Graphen von f .
(b) Untersuchen Sie, wo die Umkehrfunktion von f differenzierbar ist. (Es soll nicht
nachgewiesen werden, dass f bijektiv ist.)
(c) Berechnen Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von f .
Aufgabe 9 :
Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D, die Unendlichkeitsstellen, lokale und
globale Extrema sowie das asymptotische Verhalten für x → ±∞ der folgenden Funktionen
f : D ⊆ R → R.
(a) f (x) =
1
,
x2 −4x−5
(b) f (x) =
x+1
.
x2 +1
(MINÖL 1, Aufg. 10.4)
Aufgabe 10 :
Gegeben ist die Funktion f : R → R mit f (x) = 3x2 − sin x.
(a) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung von f .
(b) Zeigen Sie, dass f eine lokale Extremalstelle im offenen Intervall (0, 1) besitzt und
untersuchen Sie, ob es sich dabei um eine lokale Maximalstelle oder um eine lokale Minimalstelle handelt.
(c) Untersuchen Sie, ob die erste Ableitung f 0 von f eine monotone Funktion ist. Wenn
ja gebe man an, ob f 0 monoton wachsend oder monoton fallend ist.
(d) Untersuchen Sie, wieviele lokale Extremalstellen f auf ganz R besitzt.
Aufgabe 11 :
Bestimmen Sie alle globalen Extremalstellen der Funktion f : [−3, 2] → R mit f (x) =
|x2 − 1|
Aufgabe 12 :
Berechnen Sie das zweite Taylorpolynom Tf,2,x0 (x) sowie das zugehörige Restglied Rf,2,x0
der Funktion f : R → R mit f (x) = x + cos x an der Stelle x0 = 0. Wie groß kann der
Approximationsfehler |f (x) − Tf,2,x0 (x)| höchstens werden, wenn x ∈ [−1, 1].
Aufgabe 13 :
Berechnen Sie cos 1 mit einer Genauigkeit von
noms. (Das Ergebnis ist zu begründen.)
1
10
mit Hilfe eines geeigneten Taylorpoly-
Aufgabe 14 :
Berechnen Sie das dritte Taylorpolynom Tf,3,x0 (x) der Funktion f : R → R mit f (x) =
x3 + 3x2 + 3x + 1 an der Stelle x0 = −1. Was kann über den Approximationsfehler
|f (x) − Tf,3,x0 (x)| ausgesagt werden?
Aufgabe 15 :
Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale durch partielle Integration oder Substitution.
R
R
R
R √
(a) x sin(x2 )dx, (b) x sin xdx, (c) sin x cos(2x)dx, (d) ex 2ex + 1dx,
R
R
R √
(e) ln(x2 )dx, (f) log4 xdx, (g) x x2 + 5dx.
Aufgabe 16 :
Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale.
(a)
R2
−1
3x2 + 6x5 dx,
(b)
R16
1
log4 xdx,
(c)
Rπ
−π
sin(2x) cos(2x)dx,
(d)
Rπ
−π
sin(2x) cos xdx.