2. ¨Ubung zur Vorlesung Topologie I (Sommersemester 2010) C

2. Übung zur Vorlesung
Topologie I (Sommersemester 2010)
C. Lange, H. Siebert, R.-S. Kroll
Abgabe am 30. April 2010.
1. Aufgabe:
Q
Für i ∈ N0 seien metrische Räume (Xi , di ) gegeben. Auf ∞
i=0 Xi definiere eine Abbildung
Y
Y
Xi −→ R
Xi ×
d:
i∈N0
i∈N0
((xi )i∈N0 , (yi )i∈N0 ) 7−→
∞
X
i=0
di (xi , yi )
.
2i+1 (1 + di (xi , yi ))
Q
(a) Zeige, dass d eine Metrik auf i∈N0 Xi definiert.
Q
(b) Zeige, dass die von d induzierte Topologie mit der Produkttopolgie auf i∈N0 Xi übereinstimmt.
2. Aufgabe:
Gegeben seien topologische Räume (X, OX ), (Y, OY ), A ⊆ X und B ⊆ Y . Beweise die folgenden
Aussagen:
(a) f : X −→ Y ist genau dann stetig, wenn für alle A die Beziehung f (A) ⊆ f (A) gilt.
(b) ∂(A × B) = ∂A × B ∪ A × ∂B .
3. Aufgabe:
Sei X die Menge aller stetigen Abbildungen von [0, 1] nach R, und sei
A := {f ∈ X | max |f (t)| < 1}.
t∈[0,1]
Berechne das Innere von A bezüglich der Topologie der punktweisen Konvergenz.
Hinweis: Die Topologie der punktweisen Konvergenz wurde in Aufgabe 2 der 1. Übung definiert.
4. Aufgabe:
Für jedes i ∈ I einer Indexmenge I sei (Xi , Oi ) ein topologischer Raum und xi ∈ Xi gegeben.
Weiterhin sei J ⊆ I.
Q
Q
Q
Q
Zeige, dass j∈J Xj × i∈I\J {xi } als Unterraum von i∈I Xi homöomorph zu j∈J Xj ist.