Aufgabenblatt zur Mathematik 1 für Maschinenbau

Aufgabenblatt zur Mathematik 1 für Maschinenbau
Blatt 3 für die Übungsstunden am Donnerstag, den 16. Oktober 2005
Aufgabe 1:
Welche Aussagen für die Betragsfunktion sind korrekt?
1)
2)
3)
|a − b| = |a| − |b|;
|a − b| = ||a| − |b|| ;
|a + b| ≤ |a| + |b|;
Eine Gleichung oder Ungleichung ist richtig, wenn sie für jede mögliche Wahl von a, b richtig ist. Ein
einziges Gegenbeispiel wederlegt die Gleichung daher.
|a − b| = |a| − |b|
|a − b| = ||a| − |b||
|a + b| ≤ |a| + |b|
a≥b>0
|5 − 3| = |5| − |3|
|5 − 3| = ||5| − |3||
|5 + 3| ≤ |5| + |3|
b>a>0
|3 − 5| =
6 |3| − |5|
|3 − 5| = ||3| − |5||
|3 + 5| ≤ |3| + |5|
a < 0; b > 0
| − 3 − 5| =
6 | − 3| − |5|
| − 3 − 5| =
6 || − 3| − |5||
| − 3 + 5| ≤ | − 3| + |5|
a > 0; b < 0
|3 + 5| =
6 |3| − | − 5|
|3 + 5| =
6 ||3| − | − 5||
|3 − 5| ≤ |3| + | − 5|
a≤b<0
| − 5 + 3| = | − 5| − | − 3| | − 5 + 3| = || − 5| − | − 3|| | − 5 − 3| ≤ | − 5| + | − 3|
b<a<0
| − 3 + 5| =
6 | − 3| − | − 5| | − 3 + 5| = || − 3| − | − 5|| | − 3 − 5| ≤ | − 3| + | − 5|
a = 0; b 6= 0
|b| =
6 −|b|
|b| = | − |b||
|b| ≤ |b|
a 6= 0; b = 0
|a| = |a|
|a| = ||a||
|a| ≤ |a|
a=b=0
0=0
0=0
0≤0
Es folgt: Nur die dritte Aussage ist korrekt. Sie heißt Dreiecksungleichung und ist eine in der Mathematik sehr wichtige Ungleichung in Abschätzungen und Beweisen.
Aufgabe 2:
Berechnen Sie die folgenden Binomialkoeffizienten:
17!
17 · 16 · 15
17
a)
=
=
= 17 · 8 · 5 = 17 · 40 = 680
14
14! 3!
1·2·3
8!
8·7·6·5
8
b)
=
=
= 7 · 2 · 5 = 70
4
4! 4!
1·2·3·4
10!
10 · 9 · 8
10
c)
=
=
= 10 · 3 · 4 = 3 · 40 = 120
3
3! 7!
1·2·3
Aufgabe 3:
Berechnen Sie 983 mithilfe des binomischen Lehrsatzes.
983 = (100 − 2)3 = 1003 − 3 · 1002 · 2 + 3 · 100 · 22 − 23 = 1000000 − 60000 + 1200 − 8 = 941192
Aufgabe 4:
Berechnen Sie für die folgenden komplexen Zahlen den Betrag und
√
und
a) z1 = 3 + 4i
=⇒ |z1 | = p32 + 42 = 5 √
2
2
b) z2 = 5 − 2i
=⇒ |z2 | = p5 + (−2) = √29
und
c) z3 = −2 + 6 i =⇒ |z3 | = p(−2)2 + 62 = 40√
und
2
2
d) z4 = −7 − 7 i =⇒ |z4 | = (−7) + (−7) = 98 und
die komplex konjugierte Zahl:
z̄1
z̄2
z̄3
z̄4
= 3 − 4i
= 5 + 2i
= −2 − 6 i
= −7 + 7 i
Aufgabe 5:
Berechnen Sie für die komplexen Zahlen z1 , ..., z4 aus Aufgabe 4 die folgenden Summen und Produkte:
a)
b)
c)
d)
z5 = z1 + z2 = 3 + 4i + (5 − 2i) = (3 + 5) + (4 − 2) i = 8 + 2i
z6 = z1 · z3 = (3 + 4i) · (−2 + 6i) = −6 − 8i + 18i − 24 = −30 + 10i
z7 = Re(z2 ) · Im(z3 ) = 5 · 6 = 30
z8 = z4 + z3 · (−z1 ) · z¯2 = −7 − 7i + (−2 + 6i) · (−3 − 4i) · (5 + 2i)
s.b)
= −7 − 7i − (−30 + 10i)(5 + 2i) = −7 − 7i − [−150 − 60i + 50i − 20]
= −7 − 7i + 170 + 10i = 163 + 3i
Aufgabe 6:
Berechnen Sie Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen. Hinweis: Gehen Sie vor
wie bei der Berechnung des Kehrwertes in der Vorlesung; d.h. komplexe Zahlen im Nenner werden
dadurch eliminiert, dass wir mit der komplex kunjugierten Zahl erweitern.
1
1−i
1−i
1
1
=
= 2
= +i
2
1+i
(1 + i)(1 − i)
1 +1
2
2
1 + 2i
1 + 2i
1 + 2i
(1 + 2i)(−5 − 12i)
=
=
=
=
2
(2 + 3i)
4 + 12i − 9
−5 + 12i
(−5 + 12i)(−5 − 12i)
−5 − 12i − 10i + 24
19
−22
=
=
+i
25 + 144
169
169
2
1 + 4i − 4
−3 + 4i
1 + 2i
=
=
=
2 − 3i
4 − 12i − 9
−5 − 12i
(−3 + 4i)(−5 + 12i)
15 − 36i − 20i − 48
−33 − 56i
−33
−56
=
=
=
=
+i
(−5 − 12i)(−5 + 12i)
169
169
169
169
a) z9 =
b) z10
c) z11