Mathe I Aufgabensammlung

Fachbereich EUT
Fachhochschule Ansbach
Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Th. Hunger
Vorlesung
Mathematik I
Aufgabensammlung
Letzte Änderung: 29.03.06
FH Ansbach
Prof. Dr. Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Thomas Hunger
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0 Vorwort, Vorlesungsplan, Literatur
Liebe Studentin, lieber Student,
diese Unterlage umfasst Übungsaufgaben zur vierstündigen Vorlesung im
Grundstudium „Mathematik I“. Die Aufgaben sind als Hilfe zum Verständnis der
Vorlesung zu verstehen und ich rate Ihnen dringend, die Aufgaben selbstständig
oder in Gruppen zusammen mit Ihren Kommilitonen zu bearbeiten. Auftretende
Fragen können während der Übungen geklärt werden.
Das Niveau der Aufgaben lässt sich mit erweiterten Schulkenntnissen umschreiben.
Für einige von Ihnen wird nicht viel Neues vermittelt, für andere bietet sich die
Gelegenheit, auf ein gemeinsames mathematisches Niveau zu kommen.
Die Aufgaben sind mit Lösungshinweisen versehen, so dass Sie feststellen können,
ob Ihr eingeschlagener Lösungsweg auch das richtige Ergebnis liefert. Sollten Sie
mit den Aufgaben nicht zurecht kommen, wenden Sie sich an Ihre Kommilitonen und
diskutieren Sie den Stoff. Dies trägt immer zum besseren Verständnis der Materie
bei. Falls Sie trotzdem zu keiner Lösung kommen sollten, wenden Sie sich direkt an
mich.
Die Abschnitte der Aufgaben laufen parallel zu dem in der Vorlesung behandelten
Stoff. Jeder Abschnitt entspricht somit in etwa einem Wochenpensum der Vorlesung.
Leichte Abweichungen sind möglich.
Im vorletzten Abschnitt der Aufgabensammlung finden Sie eine Probeklausur, wie
sie vor einigen Semestern gestellt wurde. Damit bekommen Sie ein Gefühl dafür, wie
die Prüfung Mathematik I aussieht.
Ich wünsche Ihnen einen guten Einstieg zum Studium in Ansbach, ein gutes
Gelingen beim Erarbeiten des Stoffgebietes, viel Erfolg bei der Prüfung und vor
allem viel Spaß beim Studieren.
Prof. Dr.-Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Thomas Hunger
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Vorlesungsplan
1. Allgemeine Grundlagen (1 Vorlesung)
➢ Gleichungen (V01)
➢ Ungleichungen (V01)
➢ Binomischer Lehrsatz (V01)
2. Komplexe Zahlen (2 Vorlesungen)
➢ Definitionen (V02)
➢ Gaußsche Zahlenebene (V02)
➢ Weitere Grundbegriffe (V02)
➢ Darstellungsformen (V02)
➢ Umrechnung zwischen den Darstellungsformen (V03)
➢ Addition/Subtraktion/Multiplikation/Division von komplexen Zahlen (V03)
➢ Anwendungen (V03)
3. Vektoralgebra (1 Vorlesung)
➢ Grundbegriffe (V04)
➢ Vektorrechnung im 3-dim. Raum (V04)
4. Funktionen und Kurven (3 Vorlesungen)
➢ Definition und Darstellung einer Funktion (V05)
➢ Allgemeine Funktionseigenschaften (V05)
➢ Koordinatentransformationen (V05)
➢ Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion (V06)
• Reelle Zahlenfolge (V06)
• Grenzwert einer Funktion (V06)
• Stetigkeit einer Funktion (V06)
➢ Der Zoo der Funktionen (V07)
5. Differentialrechnung (4 Vorlesungen)
➢ Differenzierbarkeit einer Funktionen (V08)
➢ Ableitung elementarer Funktionen (V08)
➢ Ableitungsregeln (V08, V09)
➢ Anwendungen der Differentialgleichungen (V09-V11)
6. Integralrechnung (5 Vorlesungen)
➢ Grundlagen (V12)
• Integration als Umkehrung der Differentiation (V12)
• Bestimmtes Integral als Flächeninhalt (V12)
• Unbestimmtes Integral als Flächenfunktion (V12)
• Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung (V12)
• Berechnung
bestimmter Integrale unter Verwendung einer
Stammfunktion (V13)
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Integrale elementarer Funktionen (V13)
➢ Elementare Integrationsregeln (V13)
➢ Integrationsmethoden (V13-15)
• Integration durch Substitution (V13)
• Partielle Integration (V14)
• Integration
einer echt gebrochenrationalen Funktion durch
Partialbruchzerlegung (V15)
➢ Uneigentliche Integrale (V15)
➢ Anwendungen der Integralrechnung (V16)
7. Lineare Algebra (4 Vorlesungen)
➢ Reelle Matrizen (V17)
➢ Determinanten (V17)
➢ Inverse einer Matrix (V18)
➢ Gauß'scher
Algorithmus
zur
Lösung
inhomogener
linearer
Gleichungssysteme (V18)
➢ Cramer'sche Regel (V18)
➢ Gauß'scher
Algorithmus
zur
Lösung
homogener
linearer
Gleichungssysteme (V18)
➢ Berechnung der inversen Matrix mit Hilfe des Gauß-Jordan Verfahrens
(V19)
➢ Anwendungen (V20)
8. Statistik (4 Vorlesungen)
➢ Beschreibende Statistik (V21)
➢ Wahrscheinlichkeitsrechnung (V22)
➢ Verteilungsfunktionen (V23)
➢ Statistische Tests (V24)
➢
Literatur
Papula, Lothar: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1-3, 10.
Auflage, Vieweg Verlag, 2001
Bronstein, I.N.; Semendjajew, K.A.: Taschenbuch der Mathematik, 20. Auflage,
Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 1983.
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Inhaltsverzeichnis
0 Vorwort, Vorlesungsplan, Literatur............................................................................ 2
1 Allgemeine Grundlagen............................................................................................ 6
2 Allgemeine Grundlagen und komplexe Zahlen......................................................... 7
3 Vektoralgebra............................................................................................................ 9
4 Grundlagen: Kurven und Funktionen...................................................................... 11
5 Funktionen und Ableitungen................................................................................... 12
6 Differentialrechnung und Anwendungen................................................................. 13
7 Grundlagen der Integralrechnung........................................................................... 15
8 Integralrechnung..................................................................................................... 16
9 Anwendungen der Integralrechnung....................................................................... 17
10 Lineare Algebra..................................................................................................... 18
11 Lineare Algebra..................................................................................................... 20
12 Statistik................................................................................................................. 21
13 Mathematik I - „Probeklausur“............................................................................... 23
14 Lösungshinweise.................................................................................................. 25
14.1 Allgemeine Grundlagen................................................................................. 25
14.2 Allgemeine Grundlagen und komplexe Zahlen.............................................. 25
14.3 Vektoralgebra................................................................................................ 26
14.4 Grundlagen: Kurven und Funktionen............................................................. 26
14.5 Funktionen und Ableitungen.......................................................................... 27
14.6 Differentialrechnung und Anwendungen....................................................... 28
14.7 Grundlagen der Integralrechnung.................................................................. 29
14.8 Integralrechnung............................................................................................ 30
14.9 Anwendungen der Integralrechnung.............................................................. 30
14.10 Lineare Algebra........................................................................................... 31
14.11 Lineare Algebra........................................................................................... 31
14.12 Statistik........................................................................................................ 32
14.13 Mathe I „Probeklausur“................................................................................ 32
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1 Allgemeine Grundlagen
1.
Bestimmen
Sie
die
reellen
Lösungen
der
folgenden
quadratischen
Gleichungen:
(a) −4 x 26 x−1=0
x 2−10 x=74
(b)
(c) −1=−9 x−22
x 29 x=−19
(d)
(e) 5 x 220 x 20=0
(f)  x−1 x3=−4
2.
Bestimmen Sie den Parameter c so, dass die Gleichung
2 x 24 x=c
genau
eine (doppelte) reelle Lösung besitzt.
3.
Welche reelle Lösungen besitzen die folgenden Gleichungen?
(a) −2 x 3 8 x 2=8 x
(b)
x 3 −6 x 211 x=0
(c)
2 x 4 −8 x 2−24=0
(d) 0,53 x 2−6 x 2−25 x3=0
(e)  x−12  x2=4  x2
(f)
4.
x 5−3 x 3 x=0
Lösen Sie die folgenden Wurzelgleichungen:
(a)
(b)
5.
−32 x=2
 x−1=  x1
Leiten Sie die abc-Formel her!
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2 Allgemeine Grundlagen und komplexe Zahlen
1.
Lösen Sie folgende Wurzelgleichungen:
(a)
2.
2  x 24= x
(b)
Bestimmen Sie die reellen Lösungen der folgenden Ungleichungen:
(a)
2 x−8∣x∣
(b) ∣x∣≤ x−2
(c) ∣x−1∣≥∣x2∣
3.
(d)  x−1/ x11
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
6! ;
4.
 2 x 2−1 x=0
52 ; 85 ; 10097 ; 2x 
4
Berechnen Sie folgende Ausdrücke (möglichst) ohne Stift und ohne
Taschenrechner mit Hilfe der binomischen Gleichungen:
(a)
5.
997∗1003
(b) 1012∗1012
(c)
997∗997 .
Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen in kartesischer Form:
z 1=1 j2 ,
z 2=2− j3 ,
z 3=−2 j ,
z 4 =−3− j2
(a) Stellen Sie die Zahlen durch Punkte in der Gaußschen Zahlenebene dar.
(b) Wie lauten die dazugehörigen konjugiert komplexen Zahlen und wo liegen
diese in der Gaußschen Zahlenebene?
(c) Geben Sie den Betrag der komplexen Zahlen an!
(d) Stellen Sie die komplexe Zahl in Polarform dar.
6.
Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen in Polarform:
z 1=2∗e j30 ° , z 2=1,7∗cos 3 / 4 jsin3 / 4 , z 3=1,7∗e j 4 /3 ,
z 4 =  2∗cos 315° jsin315° 
(a) Stellen Sie die komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar.
(b) Wie lauten die dazugehörigen konjugiert komplexen Zahlen und wo liegen
diese in der Gaußschen Zahlenebene?
(c) Berechnen Sie die kartesische Form der komplexen Zahlen.
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(d) Geben Sie den Betrag der komplexen Zahlen an.
7.
Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:
z 1=1 j2 , z 2=2− j3 , z 3=  2∗e j 5 / 4 , z 4 =  2∗cos 315°  jsin 315° 
Berechnen Sie folgende Ausdrücke und stellen Sie die geometrische Deutung
dieser Rechnung für jeweils ein Beispiel in der Gaußschen Zahlenebene dar.
(a)
z 1z 2 ; z 1z 4 ; z 2−z 3
(b)
z 1∗z 2 ; z 3∗z 4 ; z 2∗z 3 ; z 2∗z 2 ; z 3∗z 4
(c)
z1/ z2 ; z3/ z 4 ; z2/ z3 ; z2/ z2 ; z3/ z 4 .
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*
*
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3 Vektoralgebra
1.
Gegeben seien die Vektoren 
a , b und c .


a=
1
2
 
−2
b=
, 
1

, c =
2
2
(a) Berechnen Sie den Betrag der oben genannten Vektoren.

a 2 
b ,
a −3 b7 c ,a∗b ,a∗c , 
b∗c .
(b) Berechnen Sie folgende Terme:
(c) Geben Sie den Winkel zwischen a und b , zwischen a und c und
zwischen 
b und
c an! Überprüfen Sie die Ergebnisse an Hand einer
Skizze!
2.
Gegeben sind die folgenden Vektoren:
         
1

a= 0
−1
2
, b= 3
0
1
, c = −1
2
1
, d = 1
0
, f =
−2
2
−4
, g =
3
3
−1
.
Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
(a) 
a∗
b ,
a∗c ,a ×
b ,
a ×c , 
b×c , 
b×
a
(b) a∗ b×c  , b∗c ×a  , c ∗ 
b×a .
(c) c ∗d , c × f , 
a∗ 
b×g .
Interpretieren Sie die Ergebnisse der Teilaufgabe c).
3.
Ein Massenpunkt wird durch die Kraft

10
 = −4 N geradlinig vom Punkt
F
−2
P1 = (1 m; 20 m; 3 m) nach P2 = (4 m; 2 m; -1 m) verschoben. Welche Arbeit
leistet die Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschiebevektor s ?
4.
Eine Kraft vom Betrag F = 85 N verschiebt einen Massepunkt um die Strecke
s = 32 m und verrichtet die Arbeit W = 1360 J. Unter welchem Winkel greift die
Kraft an?
5.
Zwei parallele Linienleiter werden in gleicher Richtung vom Strom i durchflossen. Der Strom in Leiter 1 habe die Größe, so dass am Ort von Leiter 2 die
 =0 ; 0 ;−1T beträgt.
Flussdichte B
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Wie
groß
ist
die
Lorentzkraft
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 =l⋅i × B
 , wenn der Strom in Leiter 2
F
i 2=−1 ; 0 ; 0 A beträgt und ein
Leiterelement von l = 1 m Länge betrachtet werden soll? Stossen sich die
Leiter ab oder ziehen sie sich an?
z
i 1=−1 A e x
Leiter 1
6.
Leiter 2
x
y
 =−1 T e z
B
Leiten Sie die Komponentendarstellung des Vektorproduktes her:
a ×b=a x ex a y ey a z ez ×b x ex b y ey b z ez 
a × b=a y b z −a z b y  ex −a x b z a z b x  ey a x b y −a y b x  ez
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4 Grundlagen: Kurven und Funktionen
1.
Bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich und den Wertebereich
für folgende Funktionen:
x
(a) y= 2
(b) y=  x 2−1
(c) y=ln∣x∣
 x 1
2.
Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten von:
3.
(a)
y=4 x 2−16
(b)
(c)
y=sin x∗cos x
(d)
Wo besitzen folgende Funktionen Nullstellen:
(a)
4.
 x 2−9
 x1
(b)
y= x−1∗e x
(c)

y=sin  x− 
4
y= x
4
(b)
3
y= x 2 x
(c)
y=−2 ln 2 x−4 , x2
(c)
y=2 e x −0,5
Wie lauten die Umkehrfunktionen von:
(a)
6.
y=
Untersuchen Sie auf Monotonie:
(a)
5.
x3
2
 x 1
1
y=
 x−1
y=
y=
1
2 x 
(b)
y=  3 x
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
x 2−1
sin 2 x
x 3−2 x3
x 2− x−12
lim 2
, lim
, lim
, lim
,
x3
x  1 x 1
x ∞
x  0 sin x
x 21
x −3
x2
lim 2
x  ∞ x −4 x1
7.
Untersuchen Sie die Stetigkeit folgender Funktionen:
(a)
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{
f  x = x für x≤0
x−2 für x0
}
(b)
{
x 2−1
für x ≠1
f  x = x−1
2 für x=1
}
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5 Funktionen und Ableitungen
1.
Skizzieren Sie folgende gebrochen rationale Funktion, nachdem Sie
Nullstellen, Polstellen (Definitionslücken) und Asymptoten bestimmt haben:
f  x =
(a)
2.
 x1 x3 x−2
 x22  x−1 x−2
 x12  x3 x−2
f  x =
 x22
(b)
Skizzieren Sie folgende Funktion 0≤t≤4 :
y t = A∗e ∗t∗cos t  mit A = 4, ω = 2π
für (a) λ = 1, (b) λ = 0 und (c) λ = -1/2.
3.
Geben Sie Definitions- und Wertebereich folgender Funktionen an, und stellen
Sie sie grafisch dar:
(a)
(c)
(e)
4.
y=2∗sinx1/2
y=2∗arccosx
y=17∗arctan  x / 2
(b)
(d)
y=1/ 3∗cosx 2
y=5∗arcsin 2 x−1/2
Zeichnen Sie die hyperbolischen Funktionen
y=sinh x , y=cosh x , y=tanh x und y=coth x
5.
Leiten Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die Ableitung der Funktion
f  x =4 x 3 her.
6.
Differenzieren Sie folgende Funktionen:
(a)
y=4 x 416 x 3−2 x3
(b)
y=2/ x 4 −3 ln xcos x
(c)
y=e ∗tan x
(d)
y= x arcsin x
(e)
y=2 x∗e x∗sin x
(f)
y=2 cos x /3 x 2 
(g)
y=ln x / x 3
(h)
y=sin 2 x 2x 
x
2
(i)
y=3 e−x /2
(j)
y=e−x∗sin x
(k)
y=ln tanh x 
(l)
y=3 x ln x
(m)
FH Ansbach
2
y=3 x 3  x 21
(n)
y=1 x 2 / x n
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6 Differentialrechnung und Anwendungen
1.
In welchen Punkten der Kurve mit der Funktionsgleichung
verlaufen die Tangenten parallel zur Geraden
2.
y= x 34 x
y=6 x−8 ?
Bestimmen Sie für folgende Funktionen diejenigen Kurvenpunkte, in denen
die Tangenten parallel zur x-Achse verlaufen:
(a)
3.
5.
2
(b)
5
y= x −
10 3
 x 5 x
3
Berechnen Sie folgende Ableitungen:
(a)
4.
y= x 3 e−x
y=5 x
(b)
y=a x
y=x x
(c)
Bestimmen Sie die Tangenten- und Normalengleichung:
(a)
y=101−e 0,2 t  in t0 = 2
(c)
y=4 ln  x 2−4 x3 in x0 = 4
(b)
y=  16− x 2 in x0 = 1,2
Geben Sie für die folgenden ganzrationalen Funktionen zunächst die Bereiche
an, in denen die Funktion streng monoton steigt und fällt und links- und
rechtsgekrümmt ist. Führen Sie im Anschluss daran eine komplette
Kurvendiskussion durch.
(a)
6.
7.
f  x = x 3−12 x
f  x =x 4 −2 x 2
(b)
Berechnen Sie folgende Grenzwerte:
(a)
tan x
lim
x
x0
(d)
lim
ln x
2
x ∞ x
(b)
x ex
lim
x
x  0 1−e
(c)
x3
lim 2 x
x ∞ e
(e)
lim e
x
(f)
lim 
x ∞
−x
x0
1
1
− 
tan x x
Führen Sie eine Kurvendiskussion folgender Funktionen durch:
(a)
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f  x =
 x−12
x1
(b)
f  x =
ln x
x
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(c)
8.
f  x =1−e−2 x 2
(d)
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f t =51−3 t e−2 t , t0
Unter sämtlichen Kreiszylindern vom Rauminhalt V = 1200 cm3 ist derjenige
mit minimaler Gesamtoberfläche zu bestimmen.
9.
Einer Kugel vom Radius R = 3 m ist ein senkrechter Kreiszylinder größten
Volumens einzubeschreiben.
10.
Ein Monopolist der Dampfwalzen-Herstellung kann pro Woche maximal 25
Dampfwalzen herstellen. Der Preis pro Stück, zu dem er eine Menge von x
Dampfwalzen pro Woche absetzen kann, sei (40000 - 1000·x) €. Die
Produktion von x Dampfwalzen erfordere Kosten von (500·x3 - 8500·x2
+ 40000·x) €. Wie viele Dampfwalzen sollte der Monopolist herstellen, um
seinen Gewinn zu maximieren? Fassen Sie x als kontinuierliche Größe auf.
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7 Grundlagen der Integralrechnung
1.
2.
Bestimmen Sie sämtliche Stammfunktionen zu
(a)
f  x =4 x −6 x 8 x −3 x5
(b)
f t =3 sin t−4 cos t
(c)
5
f t =2 e t − 1
t
(d)
6
f u=3 sin u− 7 u 2
u
(e)
f  x =−3 e x −cos x
4
3
2
Welchen Wert besitzen die folgenden bestimmten Integrale?
4
(a)
e
∫  x −5 x 1,5 x−10dx
3
2
∫
(b)
0
1

(c)
2
∫ a sin t−b cos t dt
∫ 5  x dx
(d)
1
0
2
(e)
dt
t
5
∫ cos  d 
∫ 4t dt
(f)

0,5
2
3.
Berechnen Sie das bestimmte Integral
∫ 2 x dx
über den in der Vorlesung
0
besprochenen Weg der Zerlegung in kleine Rechtecke und nachfolgender
2
Grenzwertberechnung:
∫ 2 x dx=lim
0
4.
n
∑ f  x k  x k =?
n  ∞ k =1
Welche Fläche schließen die Kurven
(a)
f  x =4 x im Intervall −3≤x≤4 und
(b)
f  x =4 x  x 2−4 im Intervall −4≤x≤4
mit der x-Achse ein?
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8 Integralrechnung
1.
Lösen Sie folgende Integrale:
(a)
x3
∫ 1 x 4 dx
(d)
∫ 2 x −12
(g)
(b)
1/3
2x
dx
3 x 2−4
dx
(j) ∫ 3
x −4 x
2.
(c)
∫ e x sin x dx
/2
8 x−4
dx
(e) ∫ 2
x −2 x−63
(f)
(h)
x
dx
∫ arctan
2
1x
(i)
(k)
∫ sin 2  z5 dz
3
∫ x 3−2 x 2−x−2 dx
∫ x 2 sin x dx
∫ sin 3 x cos x dx
0
∫ cos t∗e sin t dt
tan  z5
Welchen Flächeninhalt schließt die Kurve
f  x =  8−3 x
mit den beiden
Koordinatenachsen ein?
3.
Berechnen Sie die zwischen den Kurven f  x = x ln x , f  x =0 und x = 7
liegende Fläche.
4.
Berechnen Sie die folgenden uneigentlichen Integrale:
∞
3
(a)
5.
∫e
−∞
x
(b)
dx
Berechnen
∫ x 3 e−a x dx
0
Sie
den
Flächeninhalt,
f  x =e a x , f  x =e−bx ; a, b > 0 und
FH Ansbach
f  x =0
den
die
drei
Kurven
miteinander einschließen.
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9 Anwendungen der Integralrechnung
1.
Berechnen Sie den Flächeninhalt zwischen den Parabeln
f  x = x 2−2
und
f  x =−x 22 x2 .
2.
Berechnen Sie die Bogenlänge der Kurve f  x =4,2 ln x 3 im Intervall x = 1
bis e.
Hilfe:
3.
a 2 x 2
a  a 2 x 2

2
2
dx=
a
x
−a
ln

∫
x
x
Berechnen Sie die Oberfläche einer Kugel mit Hilfe der Formel der
Mantelfläche eines Rotationskörpers.
4.
Berechnen
u t =
5.
Sie
den
Effektivwert
der
folgender
Sägezahnspannung:
u0
t  für n T ≤tn1T ; n=0, 1, 2, 3, ... !
T
Bestimmen Sie das Weg-Zeit-Gesetz s = s(t) und das Geschwindigkeits-ZeitGesetz v = v(t) eines Fahrzeugs für den Fall:
(a) einer konstanten Bremsverzögerung a = -2 m/s2
(b) einer periodischen Bremsverzögerung a = -(1*cos(π*t/s) m/s2
wenn in beiden Fällen die Anfangsbedingungen wie folgt lauten:
s(0) = 0 m, v(0) = 30 m/s
6.
Gegeben sind folgende Matrizen:


1
5 3
A= −2
0 2
1 −1 2

, B=

1 5 3
−2 1 2

, C=

2 −1
3
1
3 −2
(a) Geben Sie die transponierten Matrizen AT, BT und CT an!
(b) Berechnen Sie:
(B + C); (2B – C); (A2 = A*A); (A*AT); (AT*A); (B*CT); (BT*C); (A*BT)
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10 Lineare Algebra
1.
Berechnen Sie die Determinanten folgender Matrizen:
 
A=
1
2
1 −2

1
0
D=
1
0
2.

, B=

3
2
x −2 x
 
2
3 −1
2 −2
2
2
3 −1
2
1 −2
1
0
, F=
1
0


1 2
3
, C = −1 2 −2
2 1 −2

2
3 −1
2 −2
2
2
3
1
2
1 −2
,

1
0
G=
,
0
1
0

2
3
6 −1
2 −2
2
2
0
0
1
0
2
3 −2
1
2
1 −7 −2
Bestätigen Sie die Rechenregeln für Determinanten an Hand folgender
Beispiele. Berechnen Sie dazu die Determinaten folgender Matrizen:
(a) Vertauschen der Spalten und Zeilen:
 
A=

1
3
1 −2
,
 
1
3
3
(b) Vertauschen zweier Zeilen: C = −1
2 −2
2 −1 −2
, D=

B=

1
1
3 −2

1
3
3
2 −1 −2
−1
2 −2
(c) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar:

 
1
3
3
D= 2 −1 −2
−1
2 −2

1
3
3
, F = 2 −1 −2
−2
4 −4
(d) Proportionalität einer Zeile zu einer Linearkombination der anderen Zeilen:


1
3
3
G= 2 −1 −2
4
5
4
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(e) Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer zweiten Zeile:

 
1
3
3
D= 2 −1 −2
−1
2 −2

1
3
3
, H = 2 −1 −2
0
5
1
(f) Multiplikation zweier Matrizen:


1
1
1 −2

2
1
3 −2
, M = K·L
Berechnen Sie mit Hilfe von Unterdeterminanten die Inverse folgender
Matrizen und testen Sie Ihre Ergebnisse:

 
1
1
1 −2
A=
4.

, L=
1
3
3
N = 0 −1 −2
0
0 −1
(g) Dreiecksmatrix:
3.
 
K=

sin  cos 
−cos  sin 
, B=


3
1
4
, C = 0 −1 −2
1
2
0
Untersuchen Sie das Lösungsverhalten und lösen Sie im Falle der Lösbarkeit
folgende lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus:
(a)
(b)
(c)
(d)
  

x1
x2
x3
1 2 −3
0 1 −1
2 9 11

2
−1
4
0
5
8
50
=
   
x1
x2
x3
x4
5 −1
0
8
8 −4
2 −16 10
1
1 −4
−1
−13
0
−1
=
    
x1
x2
x3
1 2 3
1 1 0
0 2 5

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−2
1
0
4
1
2
2
1
4
4
5
0
=
0
0
0
   
3
0
1
1
x1
x2
x3
x4
=
0
0
0
0
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11 Lineare Algebra
1.
Lösen Sie folgende drei lineare inhomogene Gleichungssysteme:
Ax = b1

1
0
A=
1
0
Ax = b2
Ax = b3 mit:
     
2
3 −1
2 −2
2
,
2
3
1
2
1 −2
1
2
b1=
,
3
4
−1
−1
b 2=
0
1
1
0
b 3=
0
−1
mit Hilfe der inversen Matrix A-1.
2.
Gegeben sind folgende Ebenen und Geraden:
E1: rE1 =
g1: rg1 =
  
 
2
1
5
1 1 0 1 0
1
2
2
E2: rE2 =
1
1
1 1 0
1
1
g2: rg2 =
    
 
−2
1
−2
1 2 3 2 1
−1
2
−2
1
1
2 2 0
1
1
Berechnen Sie die Schnitte von
(a) E2 und g1
3.
(b) E1 und g1
Man berechne die Teilströme
(c) E1 und g2
(d) E1 und E2.
und den Gesamtstrom
im folgenden
elektrischen Netz für die Widerstands- und Spannungswerte R = 60 Ω,
R1 = R3 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, U = 10 V.
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12 Statistik
1.
Eine Messung ergibt folgende Messwerte:
17
18
35
22
9
12
17
14
Berechnen Sie für die oben angegebene Wert
(a)
die Durchschnittswerte: arithmetisches Mittel, Modus und Median,
(b)
die Streuungsmaße: Spannweite, Semi-Quartilsabstand, Varianz und
Standardabweichung.
2.
Zwei Karten werden aus einem gut gemischten Kartenspiel mit 32 Karten
gezogen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass beide Asse sind, wenn
die erste Karte (a) zurückgelegt wird und (b) nicht zurückgelegt wird.
3.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine 4 mindestens einmal bei
zweimaligem fairen Werfen eines Würfels erscheint.
4.
In einer Warenlieferung von 20 Glühbirnen befinden sich 4 defekte
Glühbirnen. Zu Kontrollzwecken werden der Lieferung 3 Glühbirnen zufällig
ohne Zurücklegen entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass
diese Stichprobe (a) keine, (b) mindestens eine defekte Glühbirne enthält.
5.
Die in einer Mathematik-Klausur erzielte Punktzahl lässt sich als eine
normalverteilte Zufallsgröße auffassen. In einem konkreten Fall ergab sich
eine Normalverteilung mit dem Mittelwert μ = 20 und der Standardabweichung
σ = 4 (in Punkten). 60 % der teilgenommenen Studenten erhielten den
Übungsschein. Welche Mindestpunktzahl war daher zu erreichen?
6.
Von 5000 Studenten einer Fachhochschule wurde das Gewicht bestimmt. Die
Verteilung der Zufallsgröße „Gewicht eines Studenten“ erwies sich dabei als
eine normalverteilte Zufallsvariable mit dem Mittelwert μ = 75 kg und der
Standardabweichung σ = 5 kg. Wie viele der untersuchten Studenten hatten
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dabei (a) ein Gewicht zwischen 69 und 80 kg, (b) ein Gewicht über 80 kg, und
(c) ein Gewicht unter 65 kg?
7.
Die Zufallsvariable X beschreibe das Abfüllgewicht (in Gramm) von
Maiskörnern in Dosen. Dabei sei X näherungsweise normalverteilt. 100 Dosen
wurden zufällig ausgewählt und der Inhalt gewogen. Dabei erhielt man als
Mittelwert für die 100 Dosen: m = 345,84 Gramm.
(a)
Berechnen
Sie
den
Vertrauensbereich
für
μ
mit
der
Vertrauenswahrscheinlichkeit γ = 0,95, falls die Standardabweichung
σ = 4,5 gr eine bekannte (unveränderliche) Maschinengröße ist.
(b)
Wie groß muss der Stichprobenumfang n mindestens sein, damit man
bei bekannter Standardabweichung σ = 4,5 gr zum Konfidenzniveau
γ = 0,99 einen Vertrauensbereich für μ erhält, dessen Länge höchstens
ein Gramm ist?
8.
In
einem
Werk
werden
Schrauben
produziert,
deren
Länge
eine
normalverteilte Zufallsgröße mit dem Mittelwert μ0 = 21 mm sei. Eine Zufallsstichprobe der Größe n = 25 führt zu einem gemessenen Mittelwert von
m = 20,5 mm. Die Standardabweichung σ = 1,5 mm sei eine bekannte
(unveränderliche) Maschinengröße. Prüfen Sie mit der Irrtumswahrscheinlichkeit α = 1 %, ob die Abweichung des beobachteten Stichprobenmittelwerts
m = 20,5 mm vom Sollwert μ0 = 21 mm signifikant oder zufallsbedingt ist.
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13 Mathematik I - „Probeklausur“
1.
Komplexe Zahlen
(a) Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:
z 1=2− j , z 2=2  2 e j3 / 4
i. Geben Sie zi in Polarkoordinaten an.
ii. Geben Sie zi in kartesischen Koordinaten an.
iii. Berechnen Sie z3 = z1 + z2 und z4 = z1·z2.
(b) Bestimmen Sie die komplexen Lösungen folgender Gleichung:
z 4 =8 z 29
2.
Extremwertaufgabe
Einer Kugel mit dem Radius R ist ein Zylinder (mit einem Kreis als Grundfläche)
einzubeschreiben. Wie groß sind Radius r und Höhe h des Zylinders zu wählen, um
ein möglichst großes Volumen des Zylinders zu erhalten? Berechnen Sie dazu den
Extremwert der Funktion, die das Volumen beschreibt. Der Extremwert ist das
globale Maximum des Volumens. Verzichten Sie auf die Berechnung der zweiten
Ableitung und der Diskussion, ob der Extremwert ein Minimum oder Maximum
darstellt.
3.
Integralrechnung
Lösen Sie die folgenden Integrale mit Hilfe der partiellen Integration, Substitution
und/oder Partialbruchzerlegung:

3
3
I 1=∫ ln 2 x−3dx , I 2=∫ x cos x dx , I 3=∫
2
4.
2
0
1
dx
x −4
2
Kurvendiskussion
Gegeben sei die Funktion
y= f  x =51−3 x e−2 x
(a) Berechnen Sie die Ableitungen f'(x) und f''(x). Hinweis: Das Ergebnis lautet:
f '  x =5−56 x e−2 x
, f ' '  x =204−3 x e−2 x
(b) Geben Sie den Definitionsbereich an.
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(c) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion.
(d) Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten der Funktion.
(e) Wie verhält sich die Funktion f(x) für x → ∞?
(f) Berechnen Sie die Extrema der Funktion. Geben Sie die zugehörigen x- und yKoordinaten an.
(g) Skizzieren Sie die Funktion an Hand der obigen Diskussion.
(h) Berechnen Sie die Fläche zwischen der Kurve y = f(x) und der x-Achse zwischen
x = 1/3 und x → ∞.
5.
Vektoralgebra
Gegeben ist eine Ebene e und eine Gerade g:
e:
mit
r = r1 + λ·u + μ·v
g:
r = r2 + ν·w
       
0
r 1= −5
−4
1
, u= 1
2
0
, v= 2
2
, r 2=
−1
, w= −2
−4
2
0
−4
Berechnen Sie den Durchstoßpunkt der Gerade durch die Ebene.
6.
Lineare Algebra
Gegeben sind die Matrizen A, A-1 und der Vektor b:


3 1
4
A= 1 2
0
0 1 −2
−1
, A =


4 −6
8
1
−2
6 −4
6
−1
3 −5
 
6
und b= −12
−6
Lösen Sie mit Hilfe der angegebenen Matrizen die Gleichung
A·x = b
und geben Sie den Lösungsvektor x an.
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14 Lösungshinweise
14.1 Allgemeine Grundlagen
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
a) x1 = 1,31; x2 = 0,19
b) x1 = 14,95; x2 = -4,95 c) x1 = 1,67; x2 = 2,67
d) x1 = -3,38; x2 = -5,62
e) x1 = x2 = -2
f) x1 = x2 = -1
c = -2
a) x1 = 0; x2 = x3 = 2
b) x1 = 0
c) x1,2 =   6
d) x1 = -3; x2,3 =   2 ;x4,5 = 5
e) x1 = -2; x2 = 3; x3 = -1
f) x1 = 0; x2,3 = 1,618; x4,5 = 0,618
a) x1 = 3,5
b) Keine reellen Lösungen
x1,2 = 5 x 1,2=− b ±
2a
 
b
2a
2
−
c
a
14.2 Allgemeine Grundlagen und komplexe Zahlen
1.)
2.)
a) Keine reellen Lösungen
b) x1 = -1
a) x > 8
b) Keine reellen Lösungen
c) ℒ = (-∞; -0,5]
d) Fallunterscheidung:
1. Fall: (x + 1) > 0 und (x – 1) < (x + 1)  ℒ1 = (-1, ∞)
2. Fall: (x + 1) < 0 und (x – 1) > (x + 1)  ℒ2 = 
Lösung: ℒ =ℒ1  ℒ2: x > -1
3.)
4.)
5.)
720; 10; 56; 161700; 16 + 32x + 24x2 + 8x3 + x4
a) 999.991 b) 1.024.144
c) 994.009
a) *
*
*
*
b) z 1=1− j2 ; z 2=2 j3 ; z 3=−2− j ; z 4 =−3 j2
c) ∣z 1∣=  5 ;∣z 2∣=  13 ;∣z 3∣=  5 ;∣z 4∣=  13
6.)
d) ∣z 1∣=  5⋅e
a) -
j63,4°
;∣z 2∣=  13⋅e

b) z *1=2⋅e -j30° ; z *2=1,7⋅ cos 
z *3=1,7⋅e
−j
-j56,3°
;∣z 3∣=  5⋅e
j153,4°
;∣z 4∣=  13⋅e
j213,7°

3
3
− j sin 

4
4
  ; z = 2⋅ cos315° − j sin 315° 
4
3
°
*
4
c) z 1=  3 j ; z 2=−1,2 j1 ,2 ; z 3=−0,85− j1 ,47 ; z 4 =1− j
7.)
d) ∣z 1∣=2 ;∣z 2∣=1,7 ;∣z 3∣=1,7 ;∣z 4∣=  2
a) z 1z 2=3− j ; z 1z 4 =2 j ; z 2−z 3=3− j2
*
*
b.) z 1∗z 2=8 j ; z 3∗z 4=−2 ; z 2∗z 3=−5 j ; z 2∗z 2=13 ; z 3∗z 4 =− j2
c)
z1
z
z
z
z
=−0,31 j0 ,54 ; 3 =− j ; 2 =0,5 j2 ,5 ; *2 =−0,38− j0 ,92 ; *3 =−1
z2
z4
z3
z2
z4
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Seite 26 von 32
14.3 Vektoralgebra
1.)
a) ∣
a∣=  5 , ∣b∣=  5 , ∣c∣=2⋅ 2
 

−3
21
, a −3 b7 c =
,a∗b=0,a∗c =6, b∗c =−2
4
13
c) ∢a ; b=90 ° , ∢a ;c =18,4 ° , ∢ b ; c =108,4 °
a 2 b=
b) 
2.)
   
3
−1
6
−3
a∗b=2,a∗c =−1,a ×b= −2 , a ×c = −3 , b×c = −4 , b×a = 2
a) 
3
−1
−5
−3
b) a∗ b×c =11, b∗c ×
a =11,c ∗ b×a =−11

0






c
∗
d
=0

c
⊥
d
,
c
×
f
=
c)
0  c || f
0
a∗ b×g =0  a , b und g liegen∈einer Ebene.
3.)
W = 110 Nm,  = 57,49°
4.)
 = 60°

0

F = −1 N
0
5.)
6.)
-
14.4 Grundlagen: Kurven und Funktionen
1.)
a) D = ℝ, W = [-0,5; 0,5]
b) D = {x∣ |x| ≥ 1}; W = [0; )
2.)
3.)
4.)
5.)
c) D = (-; ) ∖ {0}; W = (-; )
a) gerade
b) ungerade
c) ungerade
d) Bezüglich des Punktes (1; 0) ungerade
a) x1,2 = ± 3
b) x = 1

c) x k = k⋅ (k ∈ ℤ)
4
a) Streng monoton fallend in (-; 0), streng monoton wachsend in [0; )
b) Streng monoton wachsend
c) Streng monoton fallend
1
a) y=
2⋅x
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b)
6.)
7.)
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1
y= ⋅x 2
3
y=ln x0,5−ln 2  x0
c)
a) 0; b) -7; c) 2; d) ; e) 1
a) Der Grenzwert an der Stelle x = 0 ist nicht vorhanden (gr  gl): unstetig
b) Der Grenzwert ist an der Stelle f(x) vorhanden und stimmt mit dem dortigen
Funktionswert überein. f(x = 1) = 1
14.5 Funktionen und Ableitungen
1.)
2.)
3.)
a) Nullstellen: x1 = -1, x2 = -3; Pole: x1 = 1, x2 = -2; Definitionslücken: x = 2;
Asymptoten: x  2, f(x)  15/16; x  -2, f(x)  
x+  1, f(x)  , x-  1, f(x)  -; x  , f(x)  0
b) Nullstellen: x1 = -1, x2 = -3, x3 = 2; Pole: x1 = -2;
Asymptoten: x  , f(x)  ; x  -, f(x)  
x+  -2, f(x)  -, x-  -2, f(x)  -
a) -; b) -; c) a) D = ℝ, W = [-1,5; 2,5]
b) D = ℝ, W = [1,67; 2,33]
c) D = {x∣ -1 ≤ x ≤ 1}; W = [0; 2·π]
d) D = {x∣ -1/4 ≤ x ≤ 3/4}; W = [-5/2·π; 5/2·π]
4.)
5.)
6.)
e) D = ℝ, W = [-17/2∙π; 17/2∙π]
a) -; b) -; c) -; d) f'(x) = 12·x2
a) y' = 16·x3 + 48·x2 - 2
1
1
b) y ' =−8⋅ 5 −3⋅ −sin x
x
x
1
x
x
c) y ' =e ⋅tan xe ⋅ 2
cos x
1
2
d) y ' =2⋅x⋅arcsin x x ⋅
 1− x 2
e) y ' =2⋅e x⋅sin x2⋅x⋅e x⋅sin x2⋅x⋅e x⋅cos x
−2⋅sin x⋅3⋅x 2−2⋅cos x⋅6⋅x
4
9⋅x
1−3⋅ln x
g) y ' =
x4
h) y ' =cos2 x 2 x ⋅4 x1
f) y ' =
i) y ' =3⋅e
−x 2
2
1
⋅− ⋅2⋅x 
2
j) y ' =−e−x⋅sin xe−x⋅cos x
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k) y ' =
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1
1
⋅
tanh x cosh 2 x
1
ln3⋅x⋅ln x
⋅ln 3⋅ln xx⋅ 
l) y ' =e
x
1
2
2
3 1
m) y ' =9⋅x ⋅ x 13⋅x ⋅ ⋅ 2 ⋅2⋅x
2  x 1
 
1x 2
n) y ' =n⋅
x
n−1
2 x⋅x−1 x 2 ⋅1
⋅
x2
14.6 Differentialrechnung und Anwendungen
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
x 1,2=±

2
3
a) x1,2 = 0; x 3,4 =±

3
2
b) x1,2 = ±1
a) y' = ln5·5x
b) y' = lna·ax
c) y' = (1 + lnx)·xx
a) Tangentengleichung: y = -2,98∙t + 1,05;
Normalengleichung: y = 0,34∙t - 5,59
b) Tangentengleichung: y = -0,31∙x + 4,19;
Normalengleichung: y = 3,18∙x
c) Tangentengleichung: y = 5,33∙x - 16,94;
Normalengleichung: y = -0,19∙x + 5,14
a) Streng monoton wachsend: x > 2 ∨ x < -2;
Streng monoton fallend: x > -2 ∧ x < 2;
Linkskrümmung: x > 0; Rechtskrümmung: x < 0
D = ℝ, W = (-; ); punktsymmetrisch;
Nullstellen: x1 = 0, x 2,3=±2⋅ 3 , keine Pole;
y' = 3x2 - 12; y'' = 6x; y''' = 6
Minimum bei (2; -16), Maximum bei (-2; 16), Wendepunkt bei (0; 0)
Asymptoten: f(x ) = , f(x -) = -
b) Streng monoton wachsend: x > 1 ∨ -1 < x < 0;
Streng monoton fallend: 0 < x < 1 ∨ x < -1;
1
1
1
1
Linkskrümmung: x ∨ x−
; Rechtskrümmung: x ∨ x−
3
3
3
3
D = ℝ, W = [-1; ); achsensymmetrisch;
Nullstellen: x1,2 = 0, x 3=  2 ; x 4 =− 2 , keine Pole;
y' = 4x3 - 4x; y'' = 12x2 - 4; y''' = 24x; y'''' = 24

FH Ansbach



Prof. Dr. Ing. Dipl.-Wirt. Ing. Thomas Hunger
Aufgabensammlung Mathematik I
Seite 29 von 32
Minimum bei (1; -1) und (-1; -1), Maximum bei (0; 0);
1
Wendepunkt bei x 1,2=±
3
Asymptoten: f(x ) = , f(x -) = -
a) 1; b) -1; c) 0; d) 0; e) 0; f) 0
a) D = ℝ\{1}, W = (-; ); weder punkt- noch achsensymmetrisch;
Nullstellen: x1 = 1, Polstelle bei x = -1 mit Vorzeichenwechsel;
 x−1⋅ x3
8
−24
f ' ' '  x =
f '  x =
; f ' '  x =
3 ;
2
 x1
 x14
 x1
Minimum bei (1; 0), Maximum bei (-3; -8), kein Wendepunkt
4
Asymptote: f  x =x−3
x1
+
b) D = ℝ , W = (-; 1/e); weder punkt- noch achsensymmetrisch;
Nullstellen: x1 = 1, Polstelle bei x = 0;
1−ln x
−32⋅ln x
11−6⋅ln x
f '  x =
; f ' '  x =
; f ' ' '  x =
2
3
x
x
x4
Maximum bei (e; 1/e), Wendepunkt bei (e3/2; 3/2e-3/2)
Asymptoten: f(x 0) = -, f(x ) = 0
c) D = ℝ, W = (0; ); weder punkt- noch achsensymmetrisch;
Nullstellen: x1 = 0, keine Pole;
f '  x =4⋅e−2 x −4⋅e−4 x ; f ' '  x =−8⋅e−2 x 16⋅e−4 x
f ' ' '  x =16⋅e−2 x −64⋅e−4 x
Minimum bei (0; 0), Wendepunkt bei x = 1/2ln2
Asymptoten: f(x ) = 1, f(x -) = 
d)D = ℝ+, W = (-1,42; 5); weder punkt- noch achsensymmetrisch;
Nullstellen: t1 = 1/3, keine Polstelle;
f ' t =−2530⋅t ⋅e−2 t ; f ' ' t =10⋅8−6⋅t ⋅e−2t ;
−2t
f ' ' ' t =−20⋅11−6⋅t ⋅e
Minimum bei (5/6; -1,42), Wendepunkt bei (8/6; -1,04)
Asymptoten: f(t ) = -0
O = 625,3 cm2
V = 65,3 m3
Der Unternehmer sollte 10 Dampfwalzen herstellen.

6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
14.7 Grundlagen der Integralrechnung
1.)
4 5 6 4 8 3 3 2
a) F  x = x − x  x − x 5 xC
5
4
3
2
b) F t =−3 cos t −4 sin t C
c) F t =2 e t −5 ln ttC
7 3
d) F u=−3 cos u−6 ln u u C
3
x
e) F  x =−3 e −sin xC
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2.)
3.)
4.)
Seite 30 von 32
a) -70,67; b) 1; c) 2a; d) 6,095; e) sin2; f) 9,21
4
a) 50; b) 320
14.8 Integralrechnung
1.)
a)
1
ln∣1 x 4∣C
4
b) −x 2⋅cos x2 x⋅sin x2 cos xC
1 x
x
c) ⋅e sin x−e cos x C
2
4
3
⋅2 x−12 3 C
8
17
15
ln∣x−9∣ ln∣x7∣C
e)
4
4
f) 1/4
1
16
g) 2 x ln∣x−1∣ln∣x1∣− ln∣x2∣C
3
3
1
2
arctan x  C
h)
2
sint
i) e + C
j) ln∣x 3−4 x∣C
k) ln∣tan  z5∣C
5,028
35,925
a) e3
6
b) 4
a
1 1

a b
d)
2.)
3.)
4.)
5.)
14.9 Anwendungen der Integralrechnung
1.)
2.)
3.)
9
12,726
4·π·r2
4.)
U eff =
5.)
u0
3
m 2
m
t 30 t
2
s
s
⋅t
m
1
1
m− 2 m
b) s t =30 t 2 cos
s
s


a)
s t =−1
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6.)
    



 
    
   

1 −2
1
T
a) A = 5
0 −1
3
2
2
b) BC =
T
Seite 31 von 32
A⋅A =
3 4 6
−1 4 0
35 4 2
4 8 2
2 2 6
1 −2
BT = 5
1
3
2
2 B−C =
2
1
C T = −1
3
3 −2
0 11 3
−5 −1 6
6 4 1
T
A ⋅A= 4 26 13
1 13 17
0 −7 7
T
B ⋅C = 11 −2 13
8
3 5
A⋅BT =
A2=
B⋅C T =

−6
2 19
0 −12 −2
5
3
5

6 10
1 −3
35 9
4 8
2 1
14.10 Lineare Algebra
1.)
2.)
3.)
4.)
detA = -4; detB = -8x; detC = -29; detD = 0; detF = -12; detG = 12
a) detA = -5; detB = -5
b) detC = -33; detD = 33
c) detD = 33; detF = 66
d) detG = 0
e) detD = 33; detH = 33
f) detK = -3; detL = -7; detM = detK·detL = 21
g) detN = 1
 
1 2
1
A−1= ⋅
3 1 −1
 
2.)

sin  −cos 
cos 
sin 


−1
; C =



4
8
2
1
⋅ −2 −4
6
14
1 −5 −3

5
0
−2
a)
; b) x =
; c) x = 0 ; d) x =
1
0
0
(Aufgaben c) und d) besitzen nur die triviale Lösung)
−11
x = 8
0
14.11 Lineare Algebra
1.)

−1
; B =
0
0
0
0
;
    
17
4 −11 −10
1 −1
1
1
2
A−1= ⋅
6 −4 −2
4
2
−3
0
3
0
−8
2
; x1=
2
1
−31
1 2
x2=
6 8
3
9
1 −1
x3=
2 −2
−1
a) Schnittpunkt (-9; 1; -9);
b) g1 liegt in der Ebene E1 ( viele Lösungen)
c) g2 ∥ E1 (keine Lösung)
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 
d) Schnittgerade: r =
3.)
 
Seite 32 von 32
−2
−7
1
1  ⋅⋅ 0
3
−1
−8
I 1=0,1 A
I = I 2=0,04 A
I 3=0,02 A
I =0,04 A
14.12 Statistik
1.)
2.)
3.)
4.)
5.)
6.)
7.)
8.)
a) x =18 ; x =17 ; x =17 ; b) SW =26 ; Q=3,5 ; s 2=62,9 ; s=7,9
a) p = 0,016; b) p = 0,012
p(„4“) = 0,306
a) p = 0,491; b) p = 0,509
19 Punkte
a) p(69 kg  x  80 kg) = 72,6 %
b) p(80 kg  x) = 15,9 %
c) p(x  65 kg) = 2,3 %
a) 3454,95 gr    346,72 gr (mit 95 % Sicherheit)
b) Stichprobenumfang 538
19,73 mm  0  21,27 mm (mit 99 % Sicherheit)  Abweichung
zufallsbedingt.
14.13 Mathe I „Probeklausur“
1.)
− j26 ,57°
a) i) z 1=  5⋅e
; z 2 =2  2 e j3 / 4
ii) z1 = 2 - j; z2 = -2 + j2
iii) z3 = j; z4 = -2 + j6
b) z1 = 3; z2 = -3; z3 = j; z4 = -j

3.)
4.)
2
2
⋅R ; r =R⋅
3
3
I1 = 0,65; I2 = -2; I3 = 
a) - ; b) D = ℝ; c) x = 1/3; d) keine Symmetrie; e) f(x  ) = 0
5:)
6.)
f) Minimum bei (0,83; -1,42); Wendepunkt bei (1,33; -1,04) g)h) 4,4924
(9; 14; 24)
(8; -10; -2)
2.)
h=
FH Ansbach
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ist