Vorlesung Beweisen und Argumentieren Lösungen zu den

Vorlesung Beweisen und Argumentieren
Lösungen zu den Trainingsaufgaben 1
Hagen Knaf, WS 2015/16
Übersetzen Sie die folgenden mathematischen Aussagen präzise
in Worte:
1. ∃A ⊆ N ∃p ∈ P ∀n ∈ N np ∈ A.
A: Es gibt eine Teilmenge der natürlichen Zahlen und eine Primzahl, sodass alle positiven Vielfachen der Primzahl in der Teilmenge liegen.
2. ∀A ⊆ N ∀B ⊆ N ∃n ∈ N [(∀a ∈ A n ≤ a) ∧ (∀b ∈ B n ≤ b)].
A: Zu zwei Teilmengen der natürlichen Zahlen gibt es eine natürliche Zahl,
die untere Schranke für beide Teilmengen ist.
3. ∀a ∈ N ∀b ∈ N ∃d ∈ N (d|a ∧ d|b) ∧ (∀e ∈ N (e|a ∧ e|b) ⇒ e|d)).
A: Zwei natürliche Zahlen besitzen einen größten gemeinsamen Teiler.
4. ∃N ∈ N ∀m ∈ N (m > N ∧ ¬(2|m))
⇒ (∃p ∈ P ∃q ∈ P ∃r ∈ P m = p + q + r).
A: Es gibt eine natürliche Zahl N mit der Eigenschaft, dass alle ungeraden natürlichen Zahlen, die größer als N sind, als Summe von drei
Primzahlen geschrieben werden können.
5. ∃N ∈ N ∀x ∈ N ∀y ∈ N [(x2 + xy + y 2 = 19) ⇒ (x < N ∧ y < N )].
A: Die Lösungsmenge der Gleichung x2 + xy + y 2 = 19 innerhalb der
natürlichen Zahlen ist endlich.
Kommentar zur Bearbeitung der Aufgabe: Um die Bedeutung
strikt formal notierter Aussagen zu verstehen, ist es nützlich von innen nach
außen zu arbeiten. Beispielsweise interpretiert man in Aussage (c) zunächst
die Bedeutung der Terme (d|a ∧ d|b) und ∀e ∈ N (e|a ∧ e|b) ⇒ e|d, dann
deren logische Kopplung (hier ∧) und zuletzt die Kopplung der auftretenden
Variablen a, b, d an Quantoren.
Schreiben Sie die folgenden mathematischen Aussagen nur unter Verwendung mathematischer und logischer Symbole auf, die in der Vorlesung eingeführt wurden:
1. Satz von Fermat: Jede Primzahl der Form 4n + 1 ist Summe von zwei
Quadraten natürlicher Zahlen.
A: ∀p ∈ P [(∃n ∈ N p = 4n + 1) ⇒ (∃a ∈ N ∃b ∈ N p = a2 + b2 )]
2. Großer Satz von Fermat: Für alle natürlichen Zahlen n > 2 besitzt
die Gleichung xn + y n = z n keine ganzzahligen Lösungen mit der
Eigenschaft x 6= 0, y 6= 0 und z 6= 0.
A: ∀n ∈ N [n > 2 ⇒ ¬(∃x ∈ Z ∃y ∈ Z ∃z ∈ Z xn + y n = z n
∧x 6= 0 ∧ y 6= 0 ∧ z 6= 0)]
3. Satz von Waring: Alle natürlichen Zahlen, die größer sind als eine
bestimmte Zahl N , lassen sich als Summe von sieben dritten Potenzen
natürlicher Zahlen schreiben.
A: ∃N ∈ N ∀n ∈ N (n > N ) ⇒
(∃a, b, c, d, e, f, g ∈ N n = a3 + b3 + c3 + d3 + e3 + f 3 + g 3 ).
4. Die Gleichung x2 − 5y 2 = 4 besitzt unendlich viele ganzzahlige Lösungen.
A: ∀n ∈ N ∃x ∈ N ∃y ∈ N x2 − 5y 2 = 4 ∧ (|x| > n ∨ |y| > n)
5. Eisensteinkriterium: Ein Polynom x3 +a2 x2 +a1 x+a0 mit ganzzahligen
Koeffizienten ai und der Eigenschaft, dass alle ai durch eine Primzahl
p teilbar sind und a0 nicht durch p2 teilbar ist, besitzt keine rationale
Nullstelle.
A: ∀a0 , a1 , a2 ∈ Z (∃p ∈ P p|a0 ∧ p|a1 ∧ p|a2 ∧ ¬(p2 |a0 )) ⇒
¬(∃x ∈ Q x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0).
Studiengang Angewandte Mathematik
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Hochschule RheinMain