Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Polardarstellung

2 Komplexe Zahlen
Themen:
◮
Der Körper der komplexen Zahlen
◮
Polardarstellung komplexer Zahlen
◮
Die stereographische Projektion
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.1
Sei
Der Körper der komplexen Zahlen
R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
R2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit
Komponenten x und y auffassen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.1
Sei
Der Körper der komplexen Zahlen
R2 = {(x, y ) : x, y ∈ R}.
R2 können wir als Punkte in der Ebene oder als Vektoren mit
Komponenten x und y auffassen.
Für (x, y ), (x ′ , y ′ ) ∈ 2 definieren wir die Summe durch
R
(x, y ) + (x ′ , y ′ ) = (x + x ′ , y + y ′ ).
Dies ist die übliche Vektoraddition.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Addition ebener Vektoren
Kurven
y
(x,y)
(x,y)+(x’,y’)
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
(x’,y’)
x
Wir verschieben (x ′ , y ′ ) so, dass sein Fußpunkt auf dem
Endpunkt von (x, y ) steht, der Endpunkt des so verschobenen
Vektors zeigt dann auf den Endpunkt der Summe
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Skalarmultiplikation
Kurven
y
α(x,y)
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
(x,y)
x
R
R
Für α ∈ und (x, y ) ∈ ist die Skalarmultiplikation
definiert durch
α (x, y ) = (αx, αy ).
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Skalarmultiplikation
Kurven
y
α(x,y)
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
(x,y)
x
R
R
Für α ∈ und (x, y ) ∈ ist die Skalarmultiplikation
definiert durch
α (x, y ) = (αx, αy ).
Für α ≥ 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder
Verkürzung um das α-fache. Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich
die Orientierung um.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
R2 als Vektorraum
Mit den so definierten Operationen ist der
Vektorraum über der Dimension 2.
R
R2 ein
Kurven
R
2
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Kurven
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Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
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stereographische
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Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
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Polynome und
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Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
R2 als Vektorraum
R
Mit den so definierten Operationen ist der 2 ein
Vektorraum über der Dimension 2.
Die natürliche Basis wird von den kanonischen
Einheitsvektoren
R
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
e1 = (1, 0),
gebildet.
e2 = (0, 1),
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Multiplikation
zweier ebener Vektoren ist definiert durch
′
′
′
′
Kurven
′
′
(x, y ) · (x , y ) = (xx − yy , xy + yx ).
R
2
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Kurven
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Wegintegrale
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Der Körper der
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Konjugation und
Absolutbetrag
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Multiplikation
zweier ebener Vektoren ist definiert durch
′
′
′
′
Kurven
′
′
(x, y ) · (x , y ) = (xx − yy , xy + yx ).
Diese etwas geheimnisvolle Definition ist einem einzigen Ziel
geschuldet: Im Wesentlichen gibt es nur diese eine
Möglichkeit, aus den Vektoren einen Körper zu machen und
sie funktioniert nur im ebenen Fall.
R
2
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Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Multiplikation
Kurven
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das
neutrale Element.
R
2
Kurven im
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Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Multiplikation
Kurven
(x, y ) · (x ′ , y ′ ) = (xx ′ − yy ′ , xy ′ + yx ′ ).
Diese Operation ist assoziativ und kommutativ. (1, 0) ist das
neutrale Element.
Die Inverse von (x, y ) 6= (0, 0) ist
x
−y ,
(x, y )−1 =
x2 + y2 x2 + y2
R
2
Kurven im
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Kurven
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Wegintegrale
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Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
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Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beweis
Denn es gilt
(x, y ) · (x, y )
Kurven
−1
x
−y
, 2
= (x, y ) 2
2
x + y x + y2
=
x2
−y 2
−xy
xy −
,
+
x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2
= (1, 0).
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
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Kurven
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Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Der Köper der komplexen Zahlen
R
Der 2 zusammen mit den Operationen Addition und
Multplikation ist ein Körper, den wir den Körper der
komplexen Zahlen nennen und mit bezeichnen.
C
Kurven
R
2
Kurven im
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Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Der Köper der komplexen Zahlen
R
Der 2 zusammen mit den Operationen Addition und
Multplikation ist ein Körper, den wir den Körper der
komplexen Zahlen nennen und mit bezeichnen.
Wir können die Elemente von der Form (x, 0) mit der
reellen Zahl x identifizieren, denn es gilt
C
C
(x, 0) + (y , 0) = (x + y , 0)
(x, 0) · (y , 0) = (xy − 0 · 0, x · 0 + y · 0) = (xy , 0).
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
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komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
2
i = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Kurven
R
2
Kurven im
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Kurven
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Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
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Konvergenz
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Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
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Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
2
i = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung
x 2 = −1.
Kurven
R
2
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Kurven
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Stetigkeit
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und
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Funktionen
Die imaginäre Einheit
Die komplexe Zahl i = (0, 1) heißt imaginäre Einheit. Es gilt
2
i = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1.
Klar, i löst die im Reellen nicht auflösbare Gleichung
x 2 = −1.
Aber Nachteil: kann nicht angeordnet werden, weil im
angeordneten Körper stets a2 ≥ 0 gilt.
C
Kurven
R
2
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Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
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komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bitte keine Geheimnisse!
Der Name ”imaginäre Einheit” ist historisch bedingt. In
unserer Vorstellung soll immer der 2 sein, der durch eine
glückliche Fügung zu einem Körper gemacht werden kann.
C
R
Kurven
R
2
Kurven im
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Geometrie der
Kurven
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Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bitte keine Geheimnisse!
Der Name ”imaginäre Einheit” ist historisch bedingt. In
unserer Vorstellung soll immer der 2 sein, der durch eine
glückliche Fügung zu einem Körper gemacht werden kann.
Durch die imaginäre Einheit haben wir eine einfache
Schreibweise für die Basisvektoren gefunden:
C
R
1 = (1, 0) (=Identifikation mit den reellen Zahlen),
i = (0, 1) (=Definition).
Kurven
R
2
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Kurven
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Der Körper der
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Konjugation und
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Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
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Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
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Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Schreibweise mit imaginärer Einheit
Statt z = (x, y ) schreiben wir z = x + iy und können unter
Beachtung von i 2 = −1 „normal“ rechnen (z ′ = x ′ + iy ′ )
z + z ′ = (x + iy ) + (x ′ + iy ′ ) = (x + x ′ ) + i(y + y ′ ),
z · z ′ = (x + iy ) · (x ′ + iy ′ ) = xx ′ − yy ′ + i(xy ′ + yx ′ ).
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
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Der Körper der
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Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
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Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.2
Komplexe Konjugation und Absolutbetrag
Für z = x + iy definieren wir die komplexe Konjugation z
von z durch
z = x − iy
Die komplexe Konjugation bedeutet geometrisch die
Spiegelung des Vektors (x, y ) an der x-Achse.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil
Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag
p
|z| = x 2 + y 2 .
Nach dem Satz des Pythagoras ist |z| die Länge des Vektors
(x, y ). Entsprechend gibt |z − z ′ | den Abstand zwischen den
Punkten z und z ′ an.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Absolutbetrag, Real- und Imaginärteil
Für z = x + iy definieren wir den Absolutbetrag
p
|z| = x 2 + y 2 .
Nach dem Satz des Pythagoras ist |z| die Länge des Vektors
(x, y ). Entsprechend gibt |z − z ′ | den Abstand zwischen den
Punkten z und z ′ an.
In z = x + iy heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von
z. Schreibweise:
x = Re z,
y = Im z.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
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komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
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Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Man nennt die Abbildung z → z/|z|2 auch Spiegelung am
Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das
Innere abgebildet wird und umgekehrt.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen I
(a) |z|2 = z · z.
Mit z = x + iy ist z · z = (x + iy )(x − iy ) = x 2 + y 2 .
z
(b) z −1 = 2 für z 6= 0.
|z|
Wir machen den Nenner reell:
z −1 =
z
x − iy
1
=
= 2.
x + iy
(x + iy )(x − iy )
|z|
Man nennt die Abbildung z → z/|z|2 auch Spiegelung am
Einheitskreis, weil das Äußere des Einheitskreises auf das
Innere abgebildet wird und umgekehrt.
z −1 ist daher die Komposition der Spiegelung am
Einheitskreis mit der Spiegelung an der reellen Achse.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen II
(c) (z ± z ′ ) = (z ± z ′ ),
z′
zz ′ = zz ′ ,
6= 0.
z z′
=
z
für
z′
Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation
separat ausführen. Beweisbeispiel:
zz ′
′
′
′
′
′
′
= (x − iy )(x − iy ) = xx − yy − i(xy + yx ) =
zz ′ .
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen II
(c) (z ± z ′ ) = (z ± z ′ ),
z′
zz ′ = zz ′ ,
6= 0.
z z′
=
z
für
z′
Bei allen Operationen lässt sich die komplexe Konjugation
separat ausführen. Beweisbeispiel:
zz ′
′
′
′
′
′
′
= (x − iy )(x − iy ) = xx − yy − i(xy + yx ) =
zz ′ .
z |z|
′ = ′ .
z
|z |
Dies folgt auch aus der anschaulichen Vorstellung von |z| als
Streckenlänge.
(d) |z| = |z|, |zz ′ | = |z| |z ′ |,
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen III
1
1
(e) Re z = (z + z), Im z = (z − z).
2
2i
Rechnet man im Kopf nach.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Rechenregeln für komplexe Zahlen III
1
1
(e) Re z = (z + z), Im z = (z − z).
2
2i
Rechnet man im Kopf nach.
(f) |Re z| ≤ |z|,
|Im z| ≤ |z|.
Auch klar wegen |x|, |y | ≤ (x 2 + y 2 )1/2 .
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Kurven
z, z ′
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann
als
Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte
Seite.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Kurven
z, z ′
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann
als
Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte
Seite.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite
immer ≤ der Summe der Längen der anderen Seiten ist.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die Dreiecksungleichung
(g) |z + z ′ | ≤ |z| + |z ′ |.
Kurven
z, z ′
Dies nennt man die Dreiecksungleichung. Man kann
als
Seiten eines Dreiecks auffassen, z + z ′ ist dann die dritte
Seite.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Die Ungleichung besagt daher, daß die Länge einer Seite
immer ≤ der Summe der Längen der anderen Seiten ist.
Beweis:
|z + z ′ |2 = (z + z ′ )(z + z ′ ) = |z|2 + zz ′ + zz ′ + |z ′ |2
= |z|2 + 2Re zz ′ + |z ′ |2 ≤ |z|2 + 2|z| |z ′ | + |z ′ |2
= (|z| + |z ′ |)2
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
(h) |z| − |z ′ | ≤ |z − z ′ |.
− z′
Hier können wir z
als dritte Seite des Dreiecks auffassen.
Daher: Die Differenz zweier Seiten ist ≤ der dritten Seite.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die umgekehrte Dreiecksungleichung
(h) |z| − |z ′ | ≤ |z − z ′ |.
− z′
Hier können wir z
als dritte Seite des Dreiecks auffassen.
Daher: Die Differenz zweier Seiten ist ≤ der dritten Seite.
Beweis: Wir wenden die Dreiecksungleichung an
|z| = |z − z ′ + z ′ | ≤ |z − z ′ | + |z ′ | ⇔ |z| − |z ′ | ≤ |z − z ′ |
Den Absolutbetrag auf der linken Seite bekommt man, indem
man die Rollen von z und z ′ vertauscht.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Vorsicht: Binomische Formel
Der obige Beweis der Dreiecksungleichung zeigt, dass die aus
dem Reellen bekannte binomische Formel für |a + b|2 nicht
gilt, sondern
|a + b|2 = |a|2 + 2Re ab + |b|2 .
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Vorsicht: Binomische Formel
Der obige Beweis der Dreiecksungleichung zeigt, dass die aus
dem Reellen bekannte binomische Formel für |a + b|2 nicht
gilt, sondern
|a + b|2 = |a|2 + 2Re ab + |b|2 .
Es gilt
Re ab = Re ab.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Aufgabe
Man zeige
z∈
Kurven
C
|z − 1|
:
< 1 = z : Re z > 0 .
|z + 1|
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Aufgabe
Man zeige
z∈
Kurven
C
|z − 1|
:
< 1 = z : Re z > 0 .
|z + 1|
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Lösung:
|z − 1|2
|z|2 − z − z + 1
(z − 1)(z − 1)
=
=
|z + 1|2
(z + 1)(z + 1
|z|2 + z + z + 1
=
|z|2 − 2Re z + 1
.
|z|2 + 2Re z + 1
Dies ist genau dann < 1, wenn Re z > 0.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Cauchy-Ungleichung
C
Durch einfaches Nachrechnen zeigt man für ai , bi ∈ ,
i = 1, . . . , n,
2
n
n
n
X
X
X
X
|bi |2 −
|ai bj − aj bi |2 .
|ai |2 ·
ai bi =
i=1
i=1
i=1
1≤i<j≤n
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Cauchy-Ungleichung
C
Durch einfaches Nachrechnen zeigt man für ai , bi ∈ ,
i = 1, . . . , n,
2
n
n
n
X
X
X
X
|bi |2 −
|ai bj − aj bi |2 .
|ai |2 ·
ai bi =
i=1
i=1
i=1
1≤i<j≤n
Hieraus folgt die Cauchy-Ungleichung
2
n
n
n
X
X
X
|bi |2
|ai |2 ·
ai bi ≤
i=1
i=1
i=1
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.3
Polardarstellung komplexer Zahlen
a
g
ϕ
h
sin φ =
g
Gegenkathete
= ,
Hypotenuse
h
cos φ =
Ankathete
a
= .
Hypotenuse
h
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Parametrisierung des Einheitskreises
Befindet sich der Punkt (x, y ) auf dem Einheitskreis, so ist
die Hypotenusenlänge 1 und wir haben
x = cos φ,
y = sin φ.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
.
(x,y)
y
ϕ
x
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig
in der Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
schreiben.
r = |z| > 0,
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig
in der Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0,
schreiben.
r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und
φ = arg z heißt Argument von z.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Polardarstellung
Eine komplexe Zahl z = x + iy mit z 6= 0 lässt sich eindeutig
in der Form
z = r (cos φ + i sin φ) mit 0 ≤ φ < 2π,
r = |z| > 0,
schreiben.
r ist der von uns bereits definierte Absolutbetrag und
φ = arg z heißt Argument von z.
φ ist der im Gegenuhrzeigersinn gemessene Winkel zwischen
der positiven reellen Achse und dem Strahl vom Nullpunkt
zum Punkt (x, y ).
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Multiplikation in Polardarstellung
Für das Produkt der beiden Zahlen
z = r (cos φ + i sin φ),
′
z = s(cos ψ + i sin ψ)
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Multiplikation in Polardarstellung
Für das Produkt der beiden Zahlen
Kurven
′
z = r (cos φ + i sin φ),
z = s(cos ψ + i sin ψ)
ergibt sich wegen der Additionstheoreme für Sinus und
Kosinus
z · z ′ = rs(cos φ cos ψ − sin φ sin ψ + i(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ))
= rs cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ) .
zz’
ψ
ϕ
0
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
z’
ϕ+ψ
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
z
Re z
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Multiplikation in Polardarstellung
Der Ortsvektor zz ′ besitzt demnach die Länge |zz ′ | und zeigt
in Richtung φ + ψ. Beim Produkt zweier komplexer Zahlen
werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
√
Für z = 1 + i gilt |z| = 2 und damit
√ π
π
1 + i = 2 cos + i sin
,
4
4
π
π
= 2(0 + i · 1) = 2i.
(1 + i)2 = 2 cos + i sin
2
2
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Ist z = r (cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten:
◮
◮
r n = a, weil die Beträge multipliziert werden,
nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das
Ergebnis in Richtung 1 zeigen muß.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Lösung der Gleichung z n = a
N
R
Für n ∈ und a ∈ mit a > 0 wollen wir alle Lösungen der
Gleichung z n = a bestimmen.
Ist z = r (cos φ + i sin φ) eine Lösung, so muß gelten:
◮
◮
r n = a, weil die Beträge multipliziert werden,
nφ = 2kπ, weil die Winkel addiert werden und das
Ergebnis in Richtung 1 zeigen muß.
Daher gibt es genau n Lösungen
zk =
√
n
a cos
2kπ
2kπ ,
+ i sin
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Lösung der Gleichung z n = a
Die Lösungen von z n = 1 werden komplexe Einheitswurzeln
genannt,
zk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Sie liegen auf dem komplexen Einheitskreis und bilden dort
ein reguläres n-Eck.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Lösung der Gleichung z n = a
Die Lösungen von z n = 1 werden komplexe Einheitswurzeln
genannt,
zk = cos
2kπ
2kπ
+ i sin
,
n
n
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Sie liegen auf dem komplexen Einheitskreis und bilden dort
ein reguläres n-Eck.
Da man im Komplexen kein klares Verfahren hat, um die
Wurzel eindeutig zu machen, ist man im Gegensatz zum
Reellen übereingekommen, alle Lösungen von z n = a als
√
komplexe Wurzeln n a zu bezeichnen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung
6
3
z − iz = 1.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung
6
3
z − iz = 1.
Mit w = z 3 folgt w 2 − iw = 1 und
i
1
3
i
1√
(w − )2 = 1 − =
3.
⇒ w± = ±
2
4
4
2 2
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung
6
3
z − iz = 1.
Mit w = z 3 folgt w 2 − iw = 1 und
i
1
3
i
1√
(w − )2 = 1 − =
3.
⇒ w± = ±
2
4
4
2 2
Es gilt
w± = cos φ± + i sin φ± mit φ+ = π/6 und φ− = 5π/6.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
w± = cos φ± +i sin φ± mit φ+ = π/6 und φ− = 5π/6,
w = z 3 .Kurven
Kurven im R2
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beispiel
w± = cos φ± +i sin φ± mit φ+ = π/6 und φ− = 5π/6,
w = z 3 .Kurven
Kurven im R2
Damit bekommen wir die 6 Lösungen
π
π
2kπ 2kπ +
+
+ i sin
, k = 0, 1, 2,
18
3
18
3
5π 2kπ 5π 2kπ + i sin
, k = 0, 1, 2.
+
+
zk′ = cos
18
3
18
3
zk = cos
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.4
Konvergenz komplexer Zahlenfolgen
C mit Radius ε
Bε (a) = {z ∈ C : |z − a| < ε} ⊂ C
Der Kreis um a ∈
heißt ε-Umgebung von a.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.4
Konvergenz komplexer Zahlenfolgen
C mit Radius ε
Bε (a) = {z ∈ C : |z − a| < ε} ⊂ C
Der Kreis um a ∈
heißt ε-Umgebung von a.
C
C
Eine Folge (zn ), zn ∈ , konvergiert gegen ξ ∈ , wenn in
jeder ε-Umgebung von ξ fast alle Folgenglieder liegen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Konvergenz in
C
= Konvergenz im
R2
Satz Mit zn = xn + iyn und ξ = a + ib gilt
zn → ξ
⇔
xn → a und yn → b in
Kurven
R.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beweis
Mit den Rechenregeln (f) und (g) gilt für jede komplexe Zahl
z = x + iy
|x|, |y | ≤ |z| ≤ |x| + |y |.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beweis
Mit den Rechenregeln (f) und (g) gilt für jede komplexe Zahl
z = x + iy
|x|, |y | ≤ |z| ≤ |x| + |y |.
zn → ξ ist äquivalent zu
|zn − ξ| < ε für alle n ≥ N.
Mit obiger Ungleichung links folgt daraus auch
|xn − a|, |yn − b| < ε und damit xn → a und yn → b.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Beweis
Mit den Rechenregeln (f) und (g) gilt für jede komplexe Zahl
z = x + iy
|x|, |y | ≤ |z| ≤ |x| + |y |.
zn → ξ ist äquivalent zu
|zn − ξ| < ε für alle n ≥ N.
Mit obiger Ungleichung links folgt daraus auch
|xn − a|, |yn − b| < ε und damit xn → a und yn → b.
Gilt umgekehrt xn → a und yn → b, so folgt aus obiger
Ungleichung rechts für genügend große n
|zn − ξ| < 2ε,
was zn → ξ impliziert.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Reihen komplexer Zahlen
Für Reihen komplexer Zahlen wird Konvergenz wie im
Reellen mit der Konvergenz der Partialsummen definiert.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Reihen komplexer Zahlen
Für Reihen komplexer Zahlen wird Konvergenz wie im
Reellen mit der Konvergenz der Partialsummen definiert.
P
P
Entsprechend heißt
zn absolut konvergent, wenn
|zn |
konvergiert.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Reihen komplexer Zahlen
Für Reihen komplexer Zahlen wird Konvergenz wie im
Reellen mit der Konvergenz der Partialsummen definiert.
P
P
Entsprechend heißt
zn absolut konvergent, wenn
|zn |
konvergiert.
Nach dem letzten SatzPist dies äquivalent
dazu, dass die
P
beiden reellen Reihen
Re zn und
Im zn absolut
konvergent sind.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Reihen komplexer Zahlen
Für Reihen komplexer Zahlen wird Konvergenz wie im
Reellen mit der Konvergenz der Partialsummen definiert.
P
P
Entsprechend heißt
zn absolut konvergent, wenn
|zn |
konvergiert.
Nach dem letzten SatzPist dies äquivalent
dazu, dass die
P
beiden reellen Reihen
Re zn und
Im zn absolut
konvergent sind.
Daher bleiben Majoranten-, Wurzel- und Quotientenkriterium
für die absolute Konvergenz komplexer Reihen gültig.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.5
Die stereographische Projektion
Im Rellen gibt es die Konstruktion, die reellen Zahlen um die
beiden „Punkte“ ±∞ zu ergänzen, was den Vorteil hat, dass
man den Satz von Bolzano-Weierstraß nun auf jede Folge
anwenden kann.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
2.5
Die stereographische Projektion
Im Rellen gibt es die Konstruktion, die reellen Zahlen um die
beiden „Punkte“ ±∞ zu ergänzen, was den Vorteil hat, dass
man den Satz von Bolzano-Weierstraß nun auf jede Folge
anwenden kann.
Ist die Folge beschränkt, lässt sich eine konvergente Teilfolge
auswählen; ist sie unbeschränkt, so kann man eine gegen ∞
oder −∞ bestimmt divergente Teilfolge auswählen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Wie gehen wir in
C vor?
N
Kurven
Z
z
Komplexe Zahlen
0
z
Z
Im Komplexen scheitert die angegebene Konstruktion. Hier
nimmt man nur einen Punkt ∞ zu hinzu und fügt, intuitiv
gesprochen, die großen Werte zu diesem einen Punkt ∞
zusammen.
C
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
C C ∪ {∞} und nennen C die erweiterten
Wir schreiben =
komplexen Zahlen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
C C ∪ {∞} und nennen C die erweiterten
Wir schreiben =
komplexen Zahlen.
C
Um geometrisch darzustellen, gehen wir von der
Einheitssphäre S des 3 aus.
R
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
C C ∪ {∞} und nennen C die erweiterten
Wir schreiben =
komplexen Zahlen.
C
Um geometrisch darzustellen, gehen wir von der
Einheitssphäre S des 3 aus.
R
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Mit Ausnahme des Nordpols N = (0, 0, 1) können wir jedem
Punkt von S vermöge
z=
x1 + ix2
1 − x3
eine komplexe Zahl z zuordnen.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Auflösung nach x
z=
x1 + ix2
,
1 − x3
x12 + x22 + x32 = 1, x 6= N
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Auflösung nach x
z=
x1 + ix2
,
1 − x3
x12 + x22 + x32 = 1, x 6= N
Hieraus erhalte
|z|2 =
1 + x3
x12 + x22
=
2
(1 − x3 )
1 − x3
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Auflösung nach x
z=
x1 + ix2
,
1 − x3
x12 + x22 + x32 = 1, x 6= N
Hieraus erhalte
|z|2 =
1 + x3
x12 + x22
=
2
(1 − x3 )
1 − x3
und daher
x3 =
|z|2 − 1
.
|z|2 + 1
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Auflösung nach x
z=
x1 + ix2
,
1 − x3
x12 + x22 + x32 = 1, x 6= N
Hieraus erhalte
|z|2 =
1 + x3
x12 + x22
=
2
(1 − x3 )
1 − x3
und daher
x3 =
|z|2 − 1
.
|z|2 + 1
Mit diesem Ergebnis gehen wir nach oben zurück und
erhalten
z +z
x1 =
1 + |z|2
.
z −z
x2 =
i(1 + |z|2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Riemannsche Zahlenkugel
N
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Z
z
Komplexe Zahlen
0
z
Z
Als letztes bilden wir den Nordpol N auf den Punkt ∞ ab
und haben damit die erweiterten komplexen Zahlen als
Riemannsche Zahlenkugel dargestellt.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Riemannsche Zahlenkugel
N
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Z
z
Komplexe Zahlen
0
z
Z
Als letztes bilden wir den Nordpol N auf den Punkt ∞ ab
und haben damit die erweiterten komplexen Zahlen als
Riemannsche Zahlenkugel dargestellt.
Die Halbkugel x3 < 0 wird auf den Kreis |z| < 1 und die
Halbkugel x3 > 0 auf |z| > 1 abgebildet.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
Schreiben wir z = x + iy , so folgt aus
x1 + ix2
,
z=
1 − x3
dass
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
x : y : −1 = x1 : x2 : x3 − 1.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
Schreiben wir z = x + iy , so folgt aus
x1 + ix2
,
z=
1 − x3
dass
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
x : y : −1 = x1 : x2 : x3 − 1.
Das bedeutet, dass die Punkte (x, y , 0), (x1 , x2 , x3 ) und
(0, 0, 1) alle auf einer Geraden liegen.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
Schreiben wir z = x + iy , so folgt aus
x1 + ix2
,
z=
1 − x3
dass
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
x : y : −1 = x1 : x2 : x3 − 1.
Das bedeutet, dass die Punkte (x, y , 0), (x1 , x2 , x3 ) und
(0, 0, 1) alle auf einer Geraden liegen.
Damit liegt eine Zentralprojektion mit N als Zentrum vor, die
man stereographische Projektion nennt.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Die stereographische Projektion
Schreiben wir z = x + iy , so folgt aus
x1 + ix2
,
z=
1 − x3
dass
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
x : y : −1 = x1 : x2 : x3 − 1.
Das bedeutet, dass die Punkte (x, y , 0), (x1 , x2 , x3 ) und
(0, 0, 1) alle auf einer Geraden liegen.
Damit liegt eine Zentralprojektion mit N als Zentrum vor, die
man stereographische Projektion nennt.
Wie wir später sehen werden, ist die stereographische
Projektion maßstabstreu und winkeltreu. Sie wird daher auch
in der Kartographie eingesetzt, hauptsächlich für Karten der
Polkappen.
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise
Offenbar wird jede Gerade in der z-Ebene auf einen Kreis
abgebildet, der durch den Nordpol läuft.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise
Offenbar wird jede Gerade in der z-Ebene auf einen Kreis
abgebildet, der durch den Nordpol läuft.
Allgemeiner wird jeder Kreis in S auf eine Gerade oder einen
Kreis in der z-Ebene abgebildet.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise - Der Beweis
Jeder Kreis in S liegt in einer Ebene
α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α,
α12
+
α22
Kurven
+
α32
= 1,
0≤α<1
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise - Der Beweis
Jeder Kreis in S liegt in einer Ebene
α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α,
α12
+
α22
Kurven
+
α32
= 1,
0≤α<1
Im Bildraum besitzt diese Gleichung die Form
α1 (z + z) − α2 i(z − z) + α3 (|z|2 − 1) = α(|z|2 + 1)
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise - Der Beweis
Jeder Kreis in S liegt in einer Ebene
α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α,
α12
+
α22
Kurven
+
α32
= 1,
0≤α<1
Im Bildraum besitzt diese Gleichung die Form
α1 (z + z) − α2 i(z − z) + α3 (|z|2 − 1) = α(|z|2 + 1)
oder
(α − α3 )(x 2 + y 2 ) − 2α1 x − 2α2 y + α + α3 = 0.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Bilder von Kreisen sind Gerade oder Kreise - Der Beweis
Jeder Kreis in S liegt in einer Ebene
α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α,
α12
+
α22
Kurven
+
α32
= 1,
0≤α<1
Im Bildraum besitzt diese Gleichung die Form
α1 (z + z) − α2 i(z − z) + α3 (|z|2 − 1) = α(|z|2 + 1)
oder
(α − α3 )(x 2 + y 2 ) − 2α1 x − 2α2 y + α + α3 = 0.
Für α 6= α3 ist dies die Gleichung eines Kreises, ansonsten
eine Gerade. Umgekehrt kann jeder Kreis oder jede Gerade in
der z-Ebene in dieser Form geschrieben werden. und
entspricht daher einem Kreis auf S.
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
C
Wir können auf eine Metrik einführen, indem wir den
Abstand zweier Punkte auf S bestimmen.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
C
Wir können auf eine Metrik einführen, indem wir den
Abstand zweier Punkte auf S bestimmen.
C
Seien zunächst z, z ′ ∈ mit den zugehörigen Punkten
(x1 , x2 , x3 ) und (x1′ , x2′ , x3′ ) auf S.
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
C
Wir können auf eine Metrik einführen, indem wir den
Abstand zweier Punkte auf S bestimmen.
Kurven
Seien zunächst z, z ′ ∈ mit den zugehörigen Punkten
(x1 , x2 , x3 ) und (x1′ , x2′ , x3′ ) auf S.
P 2 P ′2
Dann gilt wegen
xi =
xi = 1
Komplexe Zahlen
C
(x1 −x2 )2 +(x2 −x2′ )2 +(x3 −x3′ )2 = 2−2(x1 x1′ +x2 x2′ +x3 x3′ ).
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
(x1 −x2 )2 +(x2 −x2′ )2 +(x3 −x3′ )2 = 2−2(x1 x1′ +x2 x2′ +x3 x3′ ).
Aus der Definition folgt
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′
(z + z)(z ′ + z ′ ) − (z − z)(z ′ − z ′ ) + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
=
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
(x1 −x2 )2 +(x2 −x2′ )2 +(x3 −x3′ )2 = 2−2(x1 x1′ +x2 x2′ +x3 x3′ ).
Aus der Definition folgt
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′
(z + z)(z ′ + z ′ ) − (z − z)(z ′ − z ′ ) + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
=
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
=
4Re zz ′ + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′ =
4Re zz ′ + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′ =
4Re zz ′ + (|z|2 − 1)(|z ′ |2 − 1)
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Wir verwenden |z − z ′ |2 = |z|2 + |z ′ |2 − 2Re zz ′ und erhalten
x1 x1′
+
x2 x2′
+
x3 x3′
=
(1 +
|z|2 )(1
|z ′ |2 )
+
− 2|z −
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
z ′ |2
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′ =
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 ) − 2|z − z ′ |2
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
x1 x1′ + x2 x2′ + x3 x3′ =
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 ) − 2|z − z ′ |2
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Aus
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
(x1 −x2 )
2
+(x2 −x2′ )2 +(x3 −x3′ )2
=
2−2(x1 x1′ +x2 x2′ +x3 x3′ ).
folgt dann
(x1 − x2 )2 + (x2 − x2′ )2 + (x3 − x3′ )2 =
4|z − z ′ |2
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
(x1 − x2 )2 + (x2 − x2′ )2 + (x3 − x3′ )2 =
4|z − z ′ |2
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Für die Metrik d (z, z ′ ) = kx − x ′ k folgt
2|z − z ′ |
.
d (z, z ′ ) = p
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Metrik auf
C
(x1 − x2 )2 + (x2 − x2′ )2 + (x3 − x3′ )2 =
4|z − z ′ |2
.
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Für die Metrik d (z, z ′ ) = kx − x ′ k folgt
2|z − z ′ |
.
d (z, z ′ ) = p
(1 + |z|2 )(1 + |z ′ |2 )
Für z ′ = ∞ erhalten wir durch Grenzübergang
2
d (z, ∞) = p
.
1 + |z|2 )
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Satz von Bolzano-Weierstraß
C
Auf beschränkten Teilmengen von ist die Metrik d (z, z ′ )
äquivalent zur Standardmetrik |z − z ′ |. Für |z|, |z ′ | ≤ M gilt
nämlich
2
|z − z ′ | ≤ d (z, z ′ ) ≤ 2|z − z ′ |.
1 + M2
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Satz von Bolzano-Weierstraß
C
Auf beschränkten Teilmengen von ist die Metrik d (z, z ′ )
äquivalent zur Standardmetrik |z − z ′ |. Für |z|, |z ′ | ≤ M gilt
nämlich
2
|z − z ′ | ≤ d (z, z ′ ) ≤ 2|z − z ′ |.
1 + M2
Damit erzeugt d den gleichen Konvergenzbegriff auf
beschränkten Folgen. Auf können wir daher die
Konvergenz bezüglich d nehmen und für Folgen mit
|zn | → ∞ auch lim zn = ∞ schreiben.
C
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Satz von Bolzano-Weierstraß
C
Auf beschränkten Teilmengen von ist die Metrik d (z, z ′ )
äquivalent zur Standardmetrik |z − z ′ |. Für |z|, |z ′ | ≤ M gilt
nämlich
2
|z − z ′ | ≤ d (z, z ′ ) ≤ 2|z − z ′ |.
1 + M2
Damit erzeugt d den gleichen Konvergenzbegriff auf
beschränkten Folgen. Auf können wir daher die
Konvergenz bezüglich d nehmen und für Folgen mit
|zn | → ∞ auch lim zn = ∞ schreiben.
C
Dann gilt wieder der Satz von Bolzano-Weierstraß: Jede
Folge in besitzt eine bezüglich der Metrik d konvergente
Teilfolge.
C
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen
Kurven
R
2
Kurven im
Kurvenlänge
Geometrie der
Kurven
Kurvenintegrale
Wegintegrale
Komplexe Zahlen
Der Körper der
komplexen Zahlen
Komplexe
Konjugation und
Absolutbetrag
Polardarstellung
komplexer Zahlen
Konvergenz
komplexer
Zahlenfolgen
Die
stereographische
Projektion
Komplexe
Funktionen
Grenzwerte und
Stetigkeit
Komplexe
Differenzierbarkeit
Polynome und
Euklidischer
Algorithmus
Rationale
Funktionen
Potenzreihen
Exponentialfunktion
und
trigonometrische
Funktionen