Mathematik 1 für InformatikerInnen - Informatik

Mathematik 1 für InformatikerInnen
basierend auf der Vorlesung von Ao.Univ.Prof. Dr.phil. Günther KARIGL
Andreas Monitzer
6. Mai 2004
Inhaltsverzeichnis
I
Grundlagen
2
1 Zahlen
1.1 Die natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Beweisprinzip der vollständigen Induktion .
1.2 Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen . . . . .
1.3 Wie groß“ sind diese Zahlenmengen? . . . . . . .
”
1.4 Wie werden Zahlen im Computer dargestellt . . .
1.4.1 Darstellung zur Basis b > 1 . . . . . . . .
1.4.2 Darstellung im Computer . . . . . . . . .
1.5 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Rechnen in C . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene
1.5.3 Zusammenhang . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Multiplikation in Polarkoordinaten . . . . .
1.6 Die Restklassen modulo m . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Rechnen mit Kongruenzen . . . . . . . . .
1.6.2 Prüfziffernverfahren zur Fehlererkennung .
2 Mengen, Relationen und Abbildungen
2.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relationen . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Äquivalenzrelationen . . . . .
2.2.2 Halbordnungsrelation . . . .
2.3 Abbildungen . . . . . . . . . . . . .
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3 Elementare Logik und Beweismethoden
1
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4
4
4
6
8
9
9
10
10
10
11
11
12
13
14
15
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17
17
18
20
22
24
28
INHALTSVERZEICHNIS
3.1
3.2
II
2
Aussagen und Prädikate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Beweismethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2.1 Umformung von aussagenlogischen Formeln . . . . . . . . . . . 32
Diskrete Mathematik
34
4 Kombinatorik
35
4.1 Grundregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.2 Das Inklusions-Exklusionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5 Graphentheorie
5.1 Wege und Kreise . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Zusammenhang . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Euler’sche und Hamilton’sche Graphen
5.2 Bäume und Wälder . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Spezielle Bäume . . . . . . . . . . . .
5.3 Algorithmen in bewerteten Graphen . . . . . .
5.3.1 Algorithmus von Dijkstra und Dantzig .
6 Algebraische Strukturen
6.1 Zweistellige Operationen, Halbgruppen und
6.1.1 Eigenschaften von Operationen . .
6.1.2 Zyklische Gruppen . . . . . . . . .
6.2 Ringe, Körper und Bool’sche Algebra . . .
III
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Gruppen
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Differential- und Integralrechnung in einer Variablen
7 Konvergenz von Folgen und Reihen
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43
46
46
48
50
53
55
57
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61
61
62
71
72
76
77
Teil I
Grundlagen
3
4
Grundlagen der Mathematik:
• Logik: sprachlicher Rahmen
• Mengenlehre: begrifflicher Rahmen
Kapitel 1
Zahlen
1.1
Die natürlichen Zahlen
N = {0, 1, 2, 3, . . .} (lt. ÖNORM mit Null)
Axiome: 0, n → n+ , @n : n+ = 0, m 6= n ⇒ m+ 6= n+ , Induktionsprinzip
(n+ = Nachfolger; siehe Folie Peanoaxiome“)
”
Rechenoperationen: +, ·: uneingeschränkt ausführbar
−, ÷: partiell ausführbar
Ordnungsrelation:
≤
1.1.1
Beweisprinzip der vollständigen Induktion
Beispiel(e) 1.1.1.
1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
Vermutung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt n2 .
sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) = n2
Proof.
0 = 02
1 = 12
n=0:
n=1:
5
∀n ∈ N
KAPITEL 1. ZAHLEN
6
allgemeiner Schritt: k → k + 1
sk+1
sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) =
k2
| +(2k + 1)
2
= 1 + 3 + 5 + . . . + (2k − 1) + (2k + 1) = k + (2k + 1)
= k 2 + 2k + 1
=
(k + 1)2
damit gilt allgemein: sn = n2
∀n ∈ N
⇒
n
X
2k + 1 = (n + 1)2
k=0
QED
Satz 1.1.1 (Prinzip der vollständigen Induktion). Gilt für eine Aussage A(n),
n ∈ N, dass
(i) A(0) wahr
(ii) A(k) ⇒ A(k + 1) für alle k ∈ N,
dann ist A(n) wahr ∀n ∈ N
A(0)
Induktionsanfang“
A(n) ∈ N
”
A(k) ⇒ A(k + 1) Induktionsschritt“
”
(A(k). . . Induktionsvoraussetzung, A(k + 1). . . Induktionsschritt)
Bemerkung 1.1.1.
• statt A(0) ist auch ein beliebiger Induktionsanfang A(n0 )
möglich, damit gilt dann ∀n ≥ n0
• statt (ii) kann auch (ii’) verwendet werden:
A(0), A(1), . . . , A(k) ⇒ A(k + 1)
∀k ∈ N
Beispiel(e) 1.1.2. A(n) : 1 + 2 + · · · + n =
vollständige Induktion:
(i) A(0) : 0 =
A(1) : 1 =
0·1
2
1·2
2
√
√
n(n+1)
2
(nicht notwendig)
(ii) es gelte bereits A(k):
1 + 2 + ··· + k =
k(k + 1)
2
∀n ∈ N Beweis durch
KAPITEL 1. ZAHLEN
7
zu zeigen: A(k + 1):
1 + 2 + · · · + (k + 1) =
(k + 1)(k + 2)
2
Proof.
1| + 2 +{z· · · + k} +(k + 1) =
k(k + 1)
+ (k + 1)
2
A(k)
k
= (k + 1)( + 1)
2
(k + 1)(k + 2)
=
2
∀n ∈ N
Damit gilt A(n)
1.2
QED
Die ganzen, rationalen und reellen Zahlen
'
'
'
$
$
$
0, 1, 2, . . .
N
1
0, ±1, ±2, . . .
Z
&
&
&
, − 34 , · · ·
2
Q
√ √
2, 3, π, e, . . .
R
%
%
N⊂Z⊂Q⊂R
%
In Z = {0, ±1, ±2, . . .} kann +, ·, − uneingeschränkt ausgeführt werden. D.h. a+x = b
ist stets lösbar in Z.
Q = ab |a, b ∈ Z, b 6= 0 wobei ab = dc falls a · d = b · c → erweitern, kürzen; uneingeschränkt: +, ·, −, ÷ (Ausnahme: Division durch 0)
ax = b lösbar (a 6= 0)
KAPITEL 1. ZAHLEN
−3
−2
−1
8
0
1
0
1
011 1
42
-N
2
a
3
a+b
2
√
-Z
- Q (liegen dicht)
b
√
2
2 = ab ?
0
1
√
√
Behauptung 1.2.1. 2 ∈
/ Q, d.h. 2 ist keine rationale Zahl
√
Proof. angenommen 2 = ab , wobei a, b ∈ N, b 6= 0, a, b teilerfremd
⇒ b2 = 2a2 ⇒ b2 gerade ⇒ b gerade, d.h. b = 2c mit c ∈ N.
-R
(2c)2 = 2a2
a2 = 2c2
⇒ a2 gerade ⇒ a gerade
⇒
√ a, b gerade ⇒ Widerspruch: nicht teilerfremd! D.h. Annahme ist falsch, also ist
2∈
/ Q (indirekter Beweis)
QED
R = Menge der reellen Zahlen
= Menge aller Punkte auf der Zahlengeraden
Rechenoperationen +, ·
= Menge aller endlichen und unendlichen Dezimalzahlen
in R besitzen folgende Eigenschaften:
(i) Abgeschlossenheit: a, b ∈ R ⇒ a + b, a · b ∈ R
∀a, b ∈ R
(ii) Assoziativgesetze:
(a + b) + c = a + (b + c)
(a · b) · c = a · (b · c)
∀a, b, c ∈ R
(iii) Existenz von neutralen Elementen: 0, 1 ∈ R
a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ R
a·1=1·a=a
∀a ∈ R
(iv) Existenz von inversen Elementen:
a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a ∈ R
a · a1 = a1 · a = 1
∀a ∈ R \ {0}
KAPITEL 1. ZAHLEN
9
(v) Kommunikativgesetze:
a + b = b + a ∀a, b ∈ R
a · b = b · a ∀a, b ∈ R
(vi) Distributivgesetze:
a · (b + c) = a · b + a · c ∀a, b, c ∈ R
(a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ R
hR; +, ·i: Körper
hR, +i: Gruppe
hR \ {0}, ·i: Gruppe
hR, ≤i: ≤ natürliche Ordnung, verträglich mit + und ·
a≤b→a+c≤b+c
a ≤ b, c ≥ 0 → a · c ≤ b · c
c≤0→a·c≥b·c
1.3
∀a, b, c ∈ R
∀a, b, c ∈ R
∀a, b, c ∈ R
Wie groß“ sind diese Zahlenmengen?
”
A Menge: |A| Mächtigkeit der Menge A
endlich
unendlich
endlich: # Elemente, z.B. |0, 1, 2, 3, . . . , n| = n + 1
|N| = ℵ0 Aleph Null“
”
N ist abzählbar [unendlich]
|Z| = ℵ0 , |Q| = ℵ0 → Z und Q sind abzählbar
1. Cantor’sches Diagonalverfahren⇒ genau so viele Brüche wie natürliche Zahlen
KAPITEL 1. ZAHLEN
10
1
1
2
1
3
1
4
1
···
1
2
2
2
3
2
4
2
···
1
3
2
3
3
3
4
3
···
1
4
2
4
3
4
4
4
···
···
···
···
···
···
|R| = c Mächtigkeit des Kontinuums, c > ℵ0 ,
Kontinuumshypothese: c = ℵ1
1.4
Wie werden Zahlen im Computer dargestellt
126.5 = 1 · 102 + 2 · 101 + 6 · 100 + 5 · 10−1 Darstellung im Dezimalsystem
x = ±xk xk−1 . . . x1 x0 .y1 y2 . . .
= ±(xk 10k + xk 10k−1 + . . . + x1 101 + x0 100 + y1 10−1 + y2 10−2 + . . .)
|
{z
}
endlich oder unendlich
wobei 0 ≤ xi < 10, 0 ≤ yi < 10
(Bem: Darstellung in R nicht eindeutig: 0.249̇ = 0.25, 0.9̇ = 1)
1.4.1
Darstellung zur Basis b > 1
x = ±(xk bk + . . . + x1 b1 + x0 b0 + y1 b−1 + y2 b−2 + . . .)
0 ≤ xi < b, 0 ≤ yi < b
zumeist: b = 10, b = 2n
z.B. 126.5 = 26 + 25 + 24 + 23 + 21 + 2−1 = (1111110.1)2
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.4.2
11
Darstellung im Computer
Gleitkommadarstellung zur Basis b:
x = |{z}
±
0.x1 x2 . . . xn E ±e1 e2 e3 . . . em
|
{z
} |
{z
}
V orzeichen
M antisse
−1
−n
Exponent
P
m−i
± n
i=1 ei b
d.h. x = ±(x1 b + . . . + xn b ) · b
xi , ej ∈ 0, 1, . . . , b − 1; x1 6= 0 ⇒ Darstellung normiert
Menge aller in Computern darstellbaren Zahlen ⇒ Menge M der Maschinenzahlen
festgelegt durch b, n, m
eng
weit
weit
@
0 @
größte Zahl
@
kleinste positive Zahl
(siehe Folie Rundungsfehler“)
”
kleinste Zahl
1.5
Die komplexen Zahlen
quadratische Gleichung:
ax2 + bx + c = 0
√
2
x1,2 = −b± 2ab −4ac

 < 0 keine Lösung in R
eine Lösung in R
Diskriminante D = b2 − 4ac = 0

> 0 zwei Lösungen in R
√
x2 + 1 = 0, x = ± | {z
−1}
ı . . . imaginäre Einheit
ı
C = {a + bı|a, b ∈ R mit ı2 = −1} Menge der komplexen Zahlen
z = |{z}
a + |{z}
b
ı
Realteil
<(z)
1.5.1
Imaginärteil
=(z)
Rechnen in C
(a + ıb) + (c + ıd) = (a + c) + ı(b + d)
(a + ıb) · (c + ıd) = (ac − bd) + ı(bc + ad)
KAPITEL 1. ZAHLEN
12
hC, +, ·i ist wieder ein Körper, R ⊂ C; eine Ordnung ≤, welche mit +, · verträglich ist, gibt es nicht mehr!
1.5.2
Darstellung in der Gauß’schen Zahlenebene
Im
6
r z = a + ıb
b
a
@
@
@
@
@
Rr
@
- Re
z = a + ıb = (a, b)
Darstellung in kartesischen Koordinaten,
insbesondere ı = (0, 1)
z̄ = a − ıb
konjugiert komplexe Zahl zu z
Im
6
z = r(cosφ + ı sin φ) = [r, φ]
Darstellung in Polarkoordinaten
rz
r
φ
1.5.3
- Re
Zusammenhang
• [r, φ] → (a, b):
a=r cos φ =Realteil
b=r sin φ =Imaginärteil
• (a, b) → [r, φ]:
KAPITEL 1. ZAHLEN
13
√
r= a2 + b2 =Radius

 arctan ab (±π) falls a 6= 0
±π
falls a = 0, b 6= 0
φ=

unbestimmt
falls a = b = 0
π
2
2.
1.
π
0 bzw. 2π
?
6
3.
es gelte −π < φ ≤ φ (Hauptwert)
6
3π
2
4.
Beispiel(e) 1.5.1. 2ı = (0, 2) = [2, π2 ] (trivial)
√
√
−1 + 3ı = (−1, 3) = [2, 2π
]
3
√
√
r = a2 + b 2 √
= 1+3=2
φ = arctan − 3 = − π3
falscher Quadrant, daher +π ⇒ φ =
1.5.4
2π
3
Multiplikation in Polarkoordinaten
zk = rk (cos φk + ı sin φk )
k = 1, 2
z1 z2 = r1 (cos φ1 + sin φ1 ) · r(cos φ2 + ı sin φ2 )
= r1 r2 (cos φ1 cos φ2 = sin φ1 sin φ2 +ı(sin φ1 cos φ2 + cos φ1 sin φ2 ))
|
{z
}
|
{z
}
cos(φ1 +φ2 )
sin(φ1 +φ2 )
= [r1 r2 , φ1 + φ2 ]
Also [r1 , φ1 ] · [r2 , φ2 ] = [r1 r2 , φ1 + φ2 ] (Drehstreckung)
Folgerung: z = [r, φ] 6= 0 ⇒ z −1 = [ 1r , −φ], denn zz −1 = [r, φ][ 1r , −φ] = [1, 0] = 1
z = [r, φ] ⇒ z n = [rn , nφ]
n ∈ Z, insbesonders r = 1: [1, φ]n = [1, nφ]
Satz 1.5.1 (Moivre’sche Formel).
(cos φ + ı sin φ)n = cos nφ + ı sin nφ
√
wenn wn = z = [r, φ] ⇒ w = [ n r, φ+2kπ
]
für k = 0, 1, . . . , (n − 1),
n
d.h. es gibt n verschiedene n-te Wurzeln von z in C
KAPITEL 1. ZAHLEN
14
Beispiel(e) 1.5.2. w3 = 8 = [8, 0]
⇒
w
w0
w1
w2
w1
u
√
0 + 2kπ
3
= [ 8,
]
k = 0, 1, 2
3
= [2, 0]
√
2π
2π
2π
= [2, ] = 2(cos
+ ı sin ) = −1 + 3ı
3
3
3
√
4π
4π
4π
= [2, ] = 2(cos
+ ı sin ) = −1 − 3ı
3
3
3
Im
6
Hauptwert
u
-Re
w0
8=z
u
w2
(Die n-ten Wurzeln liegen immer auf den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks)
Satz 1.5.2 (Fundamentalsatz der Algebra). Jede quadratische Gleichung ist in C
lösbar und hat dort im Allgemeinen 2 Lösungen. Jede algebraische Gleichung cn z n +
. . . + c1 z 1 + c0 = 0 mit Grad n ≥ 1 mit reellen oder komplexen Koeffizienten besitzt
in C im Allgemeinen n Lösungen.
1.6
Die Restklassen modulo m
Seien a, b ∈ Z ( Modul“)
”
a ≡ b mod m ⇔ m | (a − b), d.h.
|{z}
teilt
∃q ∈ Z
m·q =a−b
a kongruent b modulo m“
”
Beispiel(e) 1.6.1. 12 ≡ 26 mod 7, 12 ≡ 26(7), denn 7| 12
− 26}
| {z
−14
Bemerkung 1.6.1. a ≡ b mod
m gilt genau dann, wenn a mod b bei Division durch
a = q1 m + r
m den selben Rest hat, denn
⇔ a − b = (q1 − q2 )m ⇔ m|a − b
b = q2 m + r
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.6.1
15
Rechnen mit Kongruenzen
a + c ≡ b + c mod m
∀a, b, c ∈ Z
a·c≡b·c
mod m
a · c ≡ b · c mod m, ggT (c, m) = 1 größter gemeinsamer Teiler“
”
c und m sind teilerfremd.
wenn a ≡ b mod m ⇒
Beweis für letzte Aussage.
a·c
≡
a·c−b·c ≡
(a − b)c
≡
m|(a − b)c,
⇒ m|(a − b)
⇒a
≡
b · c mod m
0
mod m
0
mod m
m und c teilerfremd
b
mod m
QED
Beispiel(e) 1.6.2.
√
12 ≡ 26 mod 7 | + 2 ⇒ 14 ≡ 28 mod 7 √
| − 3 ⇒ 9 ≡ 23 mod 7 √
| ÷ 2 ⇒ 6 ≡ 13 mod 7
denn ggT (2, 7) = 1
Betrachte ā = {x ∈ Z|x ≡ a mod m} (Restklasse von a mod m.)


dh. 0̄ = {0, ±m, ±2m, ±3m, . . .}


1̄ = {1, m + 1, 2m + 1, −m + 1, −2m + 1, . . .} das sind endlich
..

viele Restklassen
.



m − 1 = {m − 1, 2(m − 1), . . . , −m − 1}
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ . . . ∪ m − 1 Klasseneinteilung in die Restklassen mod m
Zm = {0̄, 1̄, . . . , m − 1} Menge der Restklassen mod m
Beispiel(e) 1.6.3. m = 4 :
@
0, 4, −4, 8, . . .
@
@
@
@
@
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ 2̄ ∪ 3̄
@
3, 7, 11,@@ 1, 5, −3,
−1, . . . @ 9, −7, . . .
@
@
2, 6, 10, . . . @
@
@
0
@
@
3
@
@
Z4
2
1
@
@
@
@
@
KAPITEL 1. ZAHLEN
1.6.2
16
Prüfziffernverfahren zur Fehlererkennung
z.B. ISBN (Internationale Standard-Buchnummer)
ISBN
3 − |{z}
211 − 82084
1
|{z}
| {z } − |{z}
Gruppe Verlag Titel Prüfziffer
Allgemein: ISBN x1 − x2 x3 x4 − x5 x6 x7 x8 x9 − P
wobei 10x1 + 9x2 + . . . + 2x9 + p ≡ 0 mod 11
p ≡ −10x1 − 9x2 − . . . − 2x9 mod 11
p ≡ x1 + 2x2 + . . . + 9x9 mod 11
p ∈ {0, 1, . . . , 9, X}
| + 11(x1 + . . . + x9 )
zum Beispiel vorhin:
p = 1 · 3 + 2 · 2 + 3 · 1 + 4 · 1 + . . . + 9 · 4 = 166 ≡ 1 mod 11
Behauptung 1.6.1. Jeder Fehler in einer Ziffer wird vom ISBN-Code erkannt.
Proof. Angenommen 2 ISBN-Nummern unterscheiden sich höchstens in einer Stelle:
x bzw. y
s + nx ≡ s + ny mod 11 n ∈ {1, 2, . . . , 10}
y ∈ {0, . . . , 9, X}
s . . .Summe der restlichen Ziffern
n(x − y) ≡ 0 mod 11
x − y ≡ 0 mod 11
da n teilerfremd zu 11
x ≡ y mod 11
x=y
da x, y ∈ {0, . . . , 9, X}
QED
Wenn man 2 gültige ISBN-Nummern hat, die sich an höchstens einer Stelle unterscheiden, so unterscheiden sie sich an keiner Stelle, d.h. jeder Einzelfehler wird erkannt.
Behauptung 1.6.2. Alle Vertauschungen zweier Ziffern werden vom ISBN-Code erkannt
Proof. 2 ISBN-Zahlen: . . . x . . . y, . . . y . . . x (Rest gleich)
angenommen beide Zahlen gültig⇒
s + nx + my ≡ s + ny + mx mod 11
n(x − y) + m(y − x) ≡ 0 mod 11
n, m ∈ {1, . . . , 10}
(n − m)(x − y) ≡ 0 mod 11
n 6= m
⇒ x − y ≡ 0 mod 11
da ggT (n − m, 11) = 1
−9 ≤ n − m ≤ 9
⇒ x ≡ y mod 11
x=y
KAPITEL 1. ZAHLEN
17
QED
Kapitel 2
Mengen, Relationen und
Abbildungen
2.1
Mengen
Eine Menge ist lt. Cantor eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen
Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte
heißen Elemente der Menge. → naı̈ve Mengenlehre (1895)
Problematisch, beispielsweise Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten“
”
Beispiele:
ASCII = {0, 1, . . . , 9, a, . . . , z, A, . . . , Z, =, :, &, . . .}
passwd = {D7Zbk7$m, . . .}
( Die 7 Zwerge brauchen keine 7 $ mehr“)
”
N, Z, . . . , C, Zm
P = {x ∈ N|x ist eine Primzahl}
x ∈ A, A ⊆ B, A ∩ B, A ∪ B, A 4 B, A × B (alles bekannt)
M Menge, P (M ) = {A|A ⊆ M } Menge aller Teilmengen (Potenzmenge)
z.B. M = {0, 1} ⇒ P (M ) = {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
Behauptung 2.1.1. Ist M endlich, so gilt |P (M )| = 2|M |
Proof. (durch vollständige Induktion nach |M | = n)
(i) n = 0 :
M = ∅, |P (M ) = {∅}| = 20 = 1
√
(ii) k → k + 1, d.h. M = {a1 , . . . , ak , ak+1 }
P (M ) =
P ({a1 , . . . , ak }) ∪ {A ∪ {ak + 1}|A ⊆ {a1 , . . . , ak }}
|
{z
}
|
{z
}
Teilmengen ohne ak+1
Teilmengen mit ak+1
⇒ |P (M )| = |P ({a1 , . . . , ak })| + |{A ∪ {ak }|A ∈ P ({a1 , . . . , ak })}|
18
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
19
= 2k + 2k = 2k (1 + 1) = 2k · 21 = 2k+1
also |P ({a1 , . . . , ak+1 })| = 2k+1 , damit gilt |P (M )| = 2|M | für alle endlichen
Mengen M .
QED
2.2
Relationen
z.B.
1≤3
5 ≡ mod 3
2|10
Z⊆Q
allgemein a steht in Relation zu b“, aRb
”
A × B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B} kartesisches Produkt der Menge A und B
A1 × A2 × . . . × An = {(a1 , . . . , an )|ai ∈ Ai für i = 1, . . . , n}
Beispiel(e) 2.2.1.
• A, B endlich, |A × B| = |A| · |B|
B
6
b2
b1
'
u
u
u
u
u
&
u
$
A×B
a1
a2
%
a3
-A
• R2 = R × R, R3 , R4 , . . . , Rn
• A = {0, 1}: A3 = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), . . . , (1, 1, 1)}
Definition 2.2.1. Unter einer Relation R zwischen den Mengen A und B versteht
man eine Teilmenge R ⊆ A × B. Im Fall A = B heißt dieses R ⊆ A2 eine zweistellige
Relation auf A. Anstelle von (a, b) ∈ R schreibt man zumeist aRb.
Beispiel(e) 2.2.2.
• M Menge aller Einwohner von Wien
R1 ⊆ M × M : aR1 b wenn a verheiratet mit b
R2 :
aR2 b wenn a und b in dem selben Bezirk gemeldet sind
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
20
• A = {1, 2}, B = {3, 4, 5}
R = {(1, 3), (1, 4), (2, 4)} ⊆ A × B
A
B
1
3
2
4
5
Definition 2.2.2. Allgemein versteht man unter einer Relation R zwischen den Mengen A1 , . . . , An eine Teilmenge R ⊆ A1 × . . . × An . Sind insbesondere alle Ai = A,
so nennt man R ⊆ An eine n-stellige Relation auf A.
Beispiel(e) 2.2.3.
• M Menge aller Einwohner von Wien
R3 ⊆ M × M × M : (a, b, c) ∈ R3 wenn a Vater und b Mutter von c
• Tabelle einer Datenbank, z.B. Kundendaten:
KdNr
Name Gebdatum
Record →
0025
Huber 5.8.1981
.
.
.
...
...
|{z}
Feld einer Tabelle
Tabelle=Relation, Record=Element der Relation
Adresse
1150 Wien
...
TelNr
01/7021963
...
Betrachtung einer zweistelligen Relation R auf einer Menge A: R ⊆ A2 → zugehöriger
Graph GR
GR :
1. Menge von Punkten (Knoten) entsprechend der Elemente von A
2. Menge von Pfeilen (Kanten), welche zwei Knoten a, b verbinden, wenn aRb gilt.
z.B. A = {a, b, c, d}, R = {(a, a), (b, b), (a, b), (b, a), (a, c), (d, c)}
GR :
(
bd
9 a =h =
==
==
==
/c
d
Definition 2.2.3. Sei R eine zweistellige Relation auf einer Menge A. R heißt
(R) reflexiv, falls aRa
∀a ∈ A
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
(S) symmetrisch, falls aRb ⇔ bRa
∀a, b ∈ A
(A) antisymmetrisch, falls aRb, bRa ⇒ a = b
(T) transitiv, falls aRb&bRc ⇒ aRc
21
∀a, b ∈ A
∀a, b, c ∈ A
Eine Relation R mit den Eigenschaften (R), (S), (T) heißt Äquivalenzrelation, eine
Relation R mit den Eigenschaften (R), (A), (T) heißt Halbordnungsrelation.
Beispiel(e) 2.2.4.
• R1 erfüllt (S)
R2 erfüllt (R), (S), (T) → Äquivalenzrelation
• R ⊆ Z2 , aRb ⇔ a ≡ b mod 3 erfüllt (R), (S), (T) → Äquivalenzrelation
• R ⊆ P (M )2 , ARB ⇔ A ⊆ B erfüllt (R), (A), (T) → Halbordnungsrelation
• R ⊆ R2 , aRb ⇔ a ≤ b (natürliche Ordnung in R) erfüllt (R), (A), (T) →
Halbordnungsrelation
ferner a, b: es gilt stets a ≤ b oder b ≤ a
∀a, b ∈ R → Vollordnungsrelation
• Sei A beliebige, α = A × A Allrelation“ erfüllt (R), (S), (T)
”
ε = {(a, a)|a ∈ A} identische Relation, erfüllt (R), (S), (A), (T) → Äquivalenzrelation und Halbordnung
2.2.1
Äquivalenzrelationen
z.B. A = {1, 2, 3, 4, 5}, a ≡ b mod 3 ist eine Äquivalenzrelation:
9 H1
94
H2
3e
5Y
→ Klasseneinteilung:
K1 = {1, 4}
K2 = {2, 5}
K3 = {3}
A = K 1 ∪ K2 ∪ K3
Definition 2.2.4. Unter einer Klasseneinteilung (Partition) einer Menge A versteht
man ein System von Teilmengen {Ki |i ∈ I} mit den Eigenschaften
(1) Ki 6= ∅
∀i ∈ I
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
(2) Ki ∩ Kj = ∅
S
(3) i∈I Ki = A
22
∀i, j ∈ I mit i 6= j
angenommen a ∈ K: K = K(a)
a heißt ein Vertreter“ ( Representant“) der Klasse K. Jedes Element aus K ist ein
”
”
Vertreter, K wird über ein beliebiges Element aus der Menge referenziert.
Satz 2.2.1. Die Äquivalenzrelationen auf einer beliebigen Menge A entsprechen einander umkehrbar eindeutig.
Proof. (i) Jeder Partition {Ki |i ∈ I} der Menge A entspricht folgende Äquivalenzrelation R: a, b ∈ A: aRb ⇔ ∃Ki mit a ∈ Ki , b ∈ Ki
R erfüllt:
√
(R)
√
(S)
(R) aRb, bRc ⇒ a, b ∈ Ki , b, c ∈ Kj
b ∈ Ki ∩ Kj ⇒ Ki = Kj , a, c ∈ Ki ⇒ aRc
√
(ii) Jeder Äquivalenzrelation R auf der Menge A entspricht die Partition {K(a)|a ∈
A}, wobei K(a) = {b ∈ A|bRa} und es gilt aRb genau dann, wenn a und b in
derselben Klasse liegen.
Überprüfung der Klasseneigenschaften:
(1) K(a) 6= ∅, denn a ∈ K(a), da aRa
(2) K(a), K(b), angenommen K(a) ∩ K(b) 6= ∅. Z.z.: K(a) = K(b)
sei c ∈ K(a) ∩ K(b). cRa, cRb ⇒ aRc, cRb ⇒ aRb ⇒ K(a) = K(b)
(3) a ∈ K(a)
A⊆
[
a∈A
K(a) ⊆ A ⇒ A =
| {z }
∈A
[
K(a)
a∈A
Ferner gilt aRb ⇒ a ∈ K(b) ⇔ K(a) = K(b).
QED
Beispiel(e) 2.2.5.
• Z, a ≡ b mod m(m ≥ 2)
zugehörige Klassen:
K(0)
0̄
1̄
2̄
=
=
=
=
..
.
{b ∈ Z|b ≡ 0 mod m}
{0, ±m, ±2m, ±3m, . . .}
{1, 1 ± m, 1 ± 2m, . . .}
{2, 2 ± m, 2 ± 2m, . . .}
m − 1 = K(m − 1) = {m − 1, 2m − 1, 3m − 1, −1, −m − 1, . . .}
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
23
0̄, 1̄, . . . , m − 1 heißen Restklassen modulo m
Z = 0̄ ∪ 1̄ ∪ . . . ∪ m − 1 Restklassenzerlegung von Z
Zm = {0̄, 1̄, . . . , m − 1} heißt auch Faktormenge von Z nach ≡ mod m.
Allgemein: R Äquivalenzrelation: A/R Faktormenge von A nach R; Insbesondere Z/ ≡
mod m = Zm
•
2.2.2
A beliebig, α Allrelation:
A/α = {A}, d.h. nur eine Klasse
ε identische Relation: A/ε = {{a}|a ∈ A} d.h. jedes Element ist eine
Klasse für sich
Halbordnungsrelation
R ⊆ A × A, kurz ≤“ statt R
”
Eigenschaften: (R), (A), (T)
a ≤ b bedeutet (a, b) ∈≤
a ≥ b bedeutet b ≤ a
a < b bedeutet a ≤ b und a 6= b
a > b bedeutet b < a
hA, ≤i heißt Halbordnung, z.B. hZ, ≤i
Definition 2.2.5. Sei hA, ≤i eine Halbordnung. Dann heißt ein Element g ∈ A
größtes Element“, falls g ≥ a∀a ∈ A“. Ein Element k ∈ A heißt kleinstes Ele”
”
ment“, falls k ≤ a∀a ∈ A. Ein Element M ∈ A heißt maximales Element“, falls @a ∈
”
A : a > M . Ein Element m ∈ A heißt minimales Element“, falls @a ∈ A : a < m.
”
Beispiel(e) 2.2.6.
• hN, ≤i: 0 ist kleinstes Element, es gibt kein größtes Element.
• hR, ≤i: es existiert weder ein kleinstes, noch ein größtes Element.
• hP (M ), ⊆i: ∅ ist kleinstes Element, M größtes Element.
• hP (M ) \ {∅}, ⊆i: @ kleinstes Element (für |M | > 1). Alle Mengen der Form {a}
(a ∈ M ) sind minimal.
Graphische Darstellung einer Halbordnungsrelation
• durch Graphen G≤
• durch Hasse-Diagramm
Definition 2.2.6. Ein Element a ∈ Aheißt unterer Nachbar von b ∈ A (bzw. b heißt
dann deren Nachbar von a), falls a < b und kein c ∈ A existiert mit a < c < b.
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
24
Sei hA, ≤i Halbordnungsrelation, R die zugehörige Nachbarrelation. Bei der Betrach/ b einfach a (seitliche Verschiebung von a möglich),
tung des Graphen GR , statt a
b
erhalten damit das Hasse-Diagramm von ≤.
Beispiel(e) 2.2.7.
G⊆ :
• hP ({0, 1}), ⊆i: {∅, {0}, {1}, {0, 1}}
{0}
?





9 ∅ ??
??
??
??
{1}U
FF
FF
FF
FF
"
/ {0, 1}
<
xx
x
x
xx
xx
Hasse-Diagramm:
{0, 1}
FF
FF
FF
FF
xx
xx
x
x
xx
{0} G
GG
GG
GG
GG
A = {a, b, c, d, e, f } mit x ≤ x
x≤a
•
e≤d
f ≤d
∅
w
ww
ww
w
w
ww
{1}
∀x
∀x
a>
>>
>>
>>
b
c
e
d
===
==
==
=
f
a größtes Element (es kann nur null oder ein größtes Element geben). b, c, e, f
sind minimale Elemente, es existiert kein kleinstes Element.
Es gibt Elemente, die nicht mit allen anderen Elementen vergleichbar sind, daher
existiert hier kein kleinstes Element, daher ist die Definition eines minimalen
Elmenets erst notwendig.
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
• hZ, ≤i:
25
3
2
1
0
Kette
−1
−2
−3
• n ∈ N, n > 1, Tn = {m ∈ N|m | n}
| . . . teilt; Tn . . . Menge aller positiven Teile von n.
Relation | erfüllt (R), (A), (T) → hTn , |i ist eine Halbordnung, z.B. T12 =
{1, 2, 3, 4, 6, 12}
12@
~~
~~
~
~
~~
4@
@@
@@
@@
@
@@
@@
@@
@
~
~~
~
~~
~~
2@
@@
@@
@@
@
6=
==
==
==
1
2.3
Abbildungen
Sonderfall einer Relation, damit Sonderfall einer Menge.
3
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
26
Definition 2.3.1. Eine Relation R ⊆ A × B heißt Abbildung (Funktion), wenn zu
jedem a ∈ A genau ein b ∈ B existiert mit aRb.
Schreibweise: statt R ⊆ A × B jetzt f : A → B
A . . .Definitionsmenge, B . . .Bildmenge (Wertemenge)
statt aRb jetzt f (a) = b (a . . . Urbild, b . . . Bild/Wert)
z.B.
A
B
A
a1
b1
a2
a1
b1
b3
a2
b3
b4
a3
b2
a3
B
R
(keine Abbildung)
b2
b4
ƒ
Definition 2.3.2. Eine Funktion f : A → B heißt
(i) injektiv, wenn es zu jedem b ∈ B höchstens ein a ∈ A gibt, mit f (a) = b (d.h.
falls f (a1 ) = f (a2 ) ⇒ a1 = a2 ∀a1 , a2 ),
(ii) surjektiv, wenn es zu jedem b ∈ B mindestens ein a ∈ A gibt, sodass f (a) = b,
(iii) bijektiv, wenn es zu jedem b ∈ B genau ein a ∈ A gibt, sodass f (a) = b, also
wenn f injektiv und surjektiv ist. Ist f bijektiv, dann existiert die Umkehrabbildung
f −1 : B → A mit der Eigenschaft f −1 (b) = a, wenn f (a) = b.
Beispiel(e) 2.3.1.
• Studierender→Matrikelnummer“: injektiv (nicht surjektiv,
”
nachdem es auch tote“ Nummern gibt)
”
Studierender→(Stamm-)Universität“: surjektiv
”
Rektor→Universität“: bijektiv
”
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
A
B
ƒ
2
b1
b
2
b3
a3
b4
a1
a
A
injektiv
(aber nicht surjektiv wegen b4)
B
ƒ
a1
b1
a2
b2
surjektiv
(aber nicht injektiv)
a3
A
B
ƒ
a1
b1
a2
b3
b2
bijektiv
a3
•
•
27
f :R→R
f (x) = y = x2
f nicht injektiv
f nicht surjektiv
2
G : R → R+
0 mit g(x) = x
√
2
∀y ≥ 0∃x mit g(x) = x = y z.B. x = y
+
2
R+
0 → R0 mit h(x) = x
√
+ −1
h ist bijektiv, inverse Abbildung h−1 : R+
=+ y
0 → R0 h
Nun betrachten wir die Abbildung f : A → A, wobei A endlich ist, z.B.:
KAPITEL 2. MENGEN, RELATIONEN UND ABBILDUNGEN
A
a1
a2
a3
28
B
b1
b2
b3
Satz 2.3.1. Ist f : A → A eine Abbildung auf einer endlichen Menge A, dann sind
folgende Bedingungen äquivalent:
(i) f ist injektiv
(ii) f ist surjektiv
(iii) f ist bijektiv
Proof.
• (i)⇒(ii): sei A endlich, A = {a1 , . . . , an }, f : A →injektiv
→ f (A) = {f (a1 ), f (a2 ), . . . , f (an )} ⊆ A mit |f (A)| = n ⇒ f (A) = A, d.h.
f ist surjektiv
• (ii)⇒(iii) f : A → A, surjektiv, d.h. f (A) = A zu zeigen: f injektiv
angenommen: F nicht injektiv, ∃ai , aj mit i 6= j : f (ai ) = f (aj )
⇒ |f (A)| = |{f (a1 ), . . . , f (an )}| ≤ n − 1 < |A| Widerspruch zu f (A) = A,
also muss f injektiv, und damit bijektiv sein.
• (iii)⇒(i) trivial
QED
Kapitel 3
Elementare Logik und
Beweismethoden
3.1
Aussagen und Prädikate
Aussagen sind Sätze, welche wahr oder falsch sein können, d.h. einen Wahrheitswert
aus der Menge B = {1, 0} (1. . . wahr, 0. . . falsch) annehmen können.
Prädikate (Aussageformen) sind Ausdrücke der Form P (x1 , x2 , . . . , xn ), welche die
Variablen x1 , . . . , xn enthalten und erst nach Belegung dieser Variablen mit Werten in
einer gegebenen Grundmenge zu Aussagen werden.
Beispiel(e) 3.1.1. Aussagen:
• Die Erde ist ein Planet“
”
• 1 + 1 = 3“
”
• Jede gerade Zahl gröer als 2 ist die Summe zweier Primzahlen“ (Goldbach’sche
”
Vermutung)
Prädikate:
• P (x) = x ist ein Planet“, x ∈ {Erde, M ond, Sonne}
”
• T uip(x, y, z) = x ist Vater, y ist Mutter von z“, x, y, z ∈ Menge der Einwohner
”
von Wien
Wie kann man aus Aussagen bzw. Prädikaten neue logische Ausdrücke gewinnen?
29
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
30
1. Durch Verknüpfung von Aussagen mittels Junktoren: A, B Aussagen:
¬A:
A ∩ B:
A ∪ B:
A → B:
A ↔ B:
A xor B:
Negation
Konjunktion
Disjunktion
Implikation
Äquivalenz
ausschließliches Oder
2. Durch Bindung von Variablen in Prädikate mittels Operatoren:
P (x) Prädikat: ∃xP (x), ∀xP (x) → Prädikatenlogik (∃ . . .Existenzquantor, ∀ . . .Allquantor)
Beispiel(e) 3.1.2. P (x, y) : x < y für x, y ∈ N
• ∀x∃yP (x, y) wahre Aussage
• ∃x∀yP (x, y) falsche Aussage
• Q(y) = ∃xP (x, y): einstelliges Prädikat in y
z.B. Q(0) = ∃xP (x, 0)
falsche Aussage
Q(10) = ∃xP (x, 10) wahre Aussage
Definition der logischen Junktoren mittels Wahrheitstafel:
A
1
1
0
0
B ¬A A ∧ B A ∨ B A → B A ↔ B A xor B
1 0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0 0
0
1
1
0
1
1 1
0 1
0
0
1
1
0
Es gilt: A → B ist gleichbedeutend mit ¬A ∨ B, denn
A
1
1
0
0
B ¬A ¬A ∨ B A → B
1 0
1
1
0 0
0
0
1 1
1
1
0 1
1
1
→ identisch. Ferner ist A ↔ B gleichbedeutend mit (A → B) ∧ (B → A).
Definition 3.1.1. Unter einer Formel der Aussagenlogik versteht man einen Ausdruck
F (A, B, C, . . .), der sich in endlich vielen Schritten aus Aussagenvariablen A, B, C, . . .
und Junktoren aufbauen lässt. z.B. F (A, B, C) = ¬(A ∨ B) → C
Eine Formel F heißt
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
31
(i) gültig (Tautologie), falls F für jede Belegung der Aussagenvariablen mit Werten
aus B wahr ist,
(ii) erfüllbar, falls F für mindestens eine Belegung wahr ist,
(iii) unterfüllbar (Kontradiktion), falls F für keine Belegung wahr ist, d.h. stets den
Wahrheitswert falsch besitzt.
Beispiel(e) 3.1.3.
Tautologie?
• F (A, B, C) = (A → B) → [(A ∨ C) → (B ∨ C)] ist eine
A B C A → B usw. F (A, B, C)
1 1 1
1
.. .. ..
..
..
. . .
.
.
0 0 0
1
• F (A) = A ∨ ¬A ist eine Tautologie (Satz vom ausgeschlossenen Dritten)
Kräht der Hahn am Mist, ändert sich das Wetter, oder es bleibt wie es ist.“
”
• G(A) = A ∧ ¬A ist eine Kontradiktion (Satz vom Widerspruch)
• H(A) = A ∧ B ist erfüllbar
Grundfrage nach Gültigkeit bezüglich Erfüllbarkeit einer Formel der Aussagenlogik:
F (A, B, . . . , Z ) erfüllbar? gültig?
|
{z
}
n Variablen
Für die enumerative Bestimmung durch eine Wahrheitstabelle werden 2n Zeilen benötigt!
Wann sind 2 Formeln F1 , F2 gleichbedeutend“?
”
z.B. A ∧ B, B ∧ A sind syntaktisch verschieden, aber semantisch gleich
F1 ↔ F2
eine Tautologie, d.h.
| {z }
logische Äquivalenz
wenn die Formeln F1 und F2 bei beliebiger Belegung ihrer Aussagevariablen entweder beide wahr oder beide falsch sind. ⇔“ = semantische (mathematische)
”
Äquivalenz.
Definition 3.1.2.
• F1 ⇔ F2 , wenn
• F1 ⇒ F2 , wenn F1 → F2 eine Tautologie ist, d.h. dass immer dann, wenn F1
wahr ist, auch F2 wahr sein muss: semantische (mathematische) Implikation.
Beispiel(e) 3.1.4.
• A ∧ B 6= B ∧ A, aber A ∧ B ⇔ B ∧ A
• A → B ⇔ ¬A ∨ B (gleiche Wahrscheinlichkeitstafeln)
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
32
• A → B ⇒ (A ∨ C) → (B ∨ C), denn (A → B) → [(A ∨ C) → (B ∨ C)] ist
Tautologie
• siehe Folie Sätze der Aussagen- und Prädikatenlogik
Herleitung von mathematischen Sätzen erfolgt mittels ⇔ und ⇒:
mathematischer Satz: A1 ∧ A2 ∧ . . . ∧ An ⇒
B
, kurz A ⇒ B
|{z}
|
{z
}
Vorraussetzung
3.2
Behauptung
Beweismethoden
1. Direkter Beweis: Z.z.: A → B ist Tautologie
2. Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis): z.z.: A ∧ ¬B ist Kontradiktion (denn
A → B ⇔ ¬A ∨ B ⇔ ¬(A ∧ ¬B))
3. Beweis durch Kontraposition. Z.z.: ¬B → ¬A (denn A → B ⇔ ¬B → ¬A)
4. Beweis durch vollständige Induktion, falls B = B(n), n ∈ N (siehe Seite 4)
Beispiel(e) 3.2.1. Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch
durch 3 teilbar: 6 | n ⇒ 3 | n
∀n ∈ N
Beweis 1 (direkt).
6 | n, d.h. ∃k : 6k = n ⇒ 3 · (2k) = n, also 3 | n
QED
Beweis 2 (indirekt, durch Widerspruch).
6 | n, angenommen 3 - n
∃l : 6l = n,
∃k : n = 3k + 1 oder n = 3k + 2
⇒ 6l = 3k + 1 oder 6l = 3k + 2
3(2l − 4) = 1 oder 3(2l − k) = 2
Widerspruch
Widerspruch
QED
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
33
Beweis 3 (Kontraposition). Z.z.: 3 - n ⇒ 6 - n
3 - n, d.h. ∃k : n = 3k + 1 oder n = 3k + 2
wobei k = 2l (gerade) oder k = 2l + 1 (ungerade)
⇒ n = 6l + 1, n = 6l + 2, n = 6l + 4, n = 6l + 5
(einer dieser 4 Fälle müsste auftreten)
⇒6-n
QED
Beweis 4 (vollständige Induktion). Hier nicht wirklich angebracht, nur zur Demonstrationszwecken:
(i) Induktionsanfang: n = 0 : 6 | 0 ⇒ 3 | 0
√
(ii) Induktionsschritt von k auf k + 1 → hier nicht beweisbar, daher die Alternative:
Induktionsschritt von 0, 1, . . . , k auf k + 1
1. Fall 6 | k + 1 √
⇒ 6 | k − 5 ⇒ (lt. Induktionsvorraussetzung) 3 | k − 5 ⇒ k |
k+1
2. Fall 6 - k + 1, dann
√ ist 6 | k + 1 ⇒ 3 | k + 1 automatisch richtig (”ex falso quod
libet“)
QED
Sprechweise: A ⇒ B
A ist hinreichend für B“
”
B ist notwendig für A“
”
3.2.1
Umformung von aussagenlogischen Formeln
Geg.: Formel F (A, B, C, . . .)
Ges.: Semantisch äquivalente Formel G in möglichst einfacher Form, oder in standardisierter Form
zB. G =
_
(Xi ∧ Yi ∧ . . .)
Xi , Yi , . . . ∈ {A, B, C, . . . , ¬A, ¬B, ¬C, . . .}
i
das ist eine Disjunktion von Konjunktionen von Aussagevariablen oder deren Negation
= DNF (Disjunktive Normalform)
KAPITEL 3. ELEMENTARE LOGIK UND BEWEISMETHODEN
34
Umwandlung in DNF
1. Darstellung von F mittels ¬, ∨, ∧
(A → B ↔ ¬A ∨ B, A ↔ B ⇔ (A → B) ∧ (B → A)))
2. Junktor ¬ unmittelbar von Aussagevariablen und nicht vor Klammern
(¬(¬A) ⇔ A, ¬(A ∧ B) ⇔ ¬A ∨ ¬B, ¬(A ∨ B) ⇔ ¬A ∧ ¬B → DeMorgan)
3. Klammern mittels Distributivgesetz auflösen, sodass ∧ nur Aussagevariable und
deren Negation (beides zusammen nennt man Literale“) verbindet
”
Beispiel(e) 3.2.2.
F (A, B, C) = (A ∨ B) → (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
⇔ ¬(A ∨ B) ∨ (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
Implikation
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ (¬A ∨ ¬C))
DeMorgan
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ ((A ∧ ¬A) ∨(A ∧ ¬C)) Distributivgesetz
| {z }
⇔0
⇔ (¬A ∧ ¬B) ∨ (A ∧ ¬C)
DNF
Analog ist auch die Darstellung als Konjunktive Normalform“ (KNF) möglich.
”
Teil II
Diskrete Mathematik
35
Kapitel 4
Kombinatorik
Kombinatorik = Kunst des Zählens. In diesem Kapitel sind alle betrachteten Mengen
endlich.
4.1
Grundregeln
• Summenregel: Gibt es m Elemente vom Typ A und n Elemente vom Typ B,
dann gibt es n + m Möglichkeiten, ein Element vom Typ A oder B zu wählen,
kurz |A ∪ B| = |A| + |B| falls A ∩ B = ∅.
Beispiel(e) 4.1.1 (Autovermietung). Zur Auswahl stehen 5 VW und 3 Opel,
also stehen insgesamt 8 Autos zur Auswahl.
• Produktregel: Unter obigen Annahmen gibt es m·n Möglichkeiten, ein Element
von Typ A und ein Element von Typ B zu wählen, kurz |A × B| = |A| · |B|
Beispiel(e) 4.1.2.
– Computerprogramm für 4 verschiedene Betriebssysteme, 7 verschiedene Benutzersprachen ⇒ 24 Versionen
– Anzahl aller Binärfolgen der Länge n: 2 · 2 · . . . · 2 = 2n
• Gleichheitsregel: Entsprechen die Typen A und B einander umkehrbar eindeutig, dann gibt es genauso viele Möglichkeiten, ein Element vom Typ A auszuwählen, wie für B, kurz A ∼
= B ⇒ |A| = |B| (∼
= . . .bijektiv/isomorph)
Beispiel(e) 4.1.3. Mächtigkeit der Potenzmenge einer Menge M :P (M ) (mit
|M | = n)
P (M ) ∼
= {0, 1}, z.B. {a1 , a3 , a4 , an } ↔ (1, 0, 1, 1, 0, . . . , 0, 1) ⇒ |P (M )| =
n
|{0, 1} | = 2n
36
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
37
Wir betrachten nun die Anordnung der Elemente einer n-elementigen Menge A.
Definition 4.1.1. Eine Permutation ist eine (lineare) Anordnung der Elemente einer
Menge A.
Beispiel(e) 4.1.4. 3 Gläser mit Bier, Schnaps, Wein:
A = {B, S, W }
BSW
BW S
SBW
SW B
W BS
W SB








das sind 6 Permutationen: P3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6







Anzahl der Permutationen von A mit |A| = n: Pn = n!
1. Platz
2. Platz
...
n. Platz
n
· (n − 1) · . . . ·
1
= n! Möglichkeiten
A = {a1 , a2 , . . . , an }
n versch. Elemente: Menge
A = {a1 , . . . , a1 , a2 , . . . , a2 , . . . , ar , . . . , ar }
| {z } | {z }
| {z }
k1 -mal
k2 -mal
kr -mal
Menge“, bei der das i-te Element ki -mal vorkommt = Multimenge
”
k1 + k 2 + . . . + kr = n
Definition 4.1.2. Eine Permutation mit Wiederholdung ist eine Anordnung der Elemente einer Multimenge.
z.B. 3 Gläser mit Bier, Bier, Wein
A = {B, B, W }

BBW 
W BB
3 Permutationen: P32,1

BW B
3!
=3
P32,1 = 2!1!
Anzahl der Permutationen mit Wiederholung einer Multimenge A, bei der das i-te
Element ki -mal auftritt (i = 1, . . . , r) und k1 + k2 + . . . + kr = n :
Prk1 ,k2 ,...,kr =
n!
k1 !k2 ! . . . kr !
Proof. insgesamt n! Permutationen, wobei jeweils k1 !k2 ! . . . kr ! Permutationen zusamQED
menfallen, also verbleiben k1 !k2n!!...kr ! Anordnungen.
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
38
Einschub 4.1.1 (Schreibweisen).
n! = 1 · 2 · . . . · n
n Faktorielle“ / n Fakultät“
”
”
0! = 1
n
n!
= k!(n−k)!
= n·(n−1)·...·(n−k+1)
, n0 = 1
1·2·...·k
k
n über k“ (engl. “n choose k”): Binomialkoeffizient
”
z.B.
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120
5
= 1, 51 = 51 = 5, 52 =
0
1
2
0
0
0
0
2
1
1
1
5·4
1·2
= 10,
5
3
= 10,
5
4
= 5,
5
5
=1
Pascal’sches Dreieck:
2
2
1
1
2
1
1
1
2
1
4
8
1
3
3
1
16
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1 32
Es gilt für 0 ≤ k ≤ n:
n
(i) nk = n−k
n
(ii) nk + k+1
= n+1
k+1
Pn
n
n
(iii)
k=0 k = 2 (ohne Beweis)
Sei x, y ∈ R : (x + y)2 = x2 + 2xy + y 2
(x + y)3 = x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3
(x + y)n = (x + y) · (x + y) · . . . · (x + y)
|
{z
}
n-mal
Summe von Produkten der Form:
xk y n−k
n
n!
= k
Anzahl: Pnk,n−k = k!(n−k)!
also:
P
(x + y)n = nk=0
n
k
(k = 0, . . . , n)
xk y n−k (Binomischer Lehrsatz)
Nun betrachten wir Auswahlen von k Elementen aus n Elementen:
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
39
Definition 4.1.3. Eine Variation (k-Permutation) ist ein geordnetes k-tupel (a1 , . . . , ak )
verschiedener Elemente von A = {a1 , . . . , an }.
Anzahl der Variationen von n Elementen zur k-ten Klasse:
Vnk = n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
1. Platz
n
2. Platz
n−1
...
...
Sonderfall k = n: Vnn =
k-ten Platz
(n − k + 1)
n!
0!
=
n!
(n−k)!
n!
(n − k)!
Möglichkeiten
= n! = Pn
z.B. Wie viele verschiedene Wörter kann man aus je 3 der 4 Buchstaben W, I, E, N
bilden? V43 = 4 · 3 · 2 = 24
Definition 4.1.4. Eine Variation mit Wiederholung ist ein geordnetes k-tupel (a1 , . . . , ak )
von nicht notwendig verschiedenen Elementen von A = {a1 , . . . , an }.
k
Anzahl der Variationen mit Wiederholung: W V n = nk .
1. Platz 2. Platz . . . k-ten Platz
n
n
...
n
= nk Möglichkeiten
z.B. Fußballtoto: 12 Spiele: Tipps 1,2,X
12
n = 3, k = 12, W V 3 = 312 mögliche Tipps
Definition 4.1.5. Eine Kombination ist ein ungeordnetes k-tupel {a1 , . . . , ak } verschiedener Elemente von A, das ist eine k-elementige Teilmenge von A.
Anzahl der Kombinationen:
Vnk
n!
1
n
k
Cn =
=
=
Binomialkoeffizient
k!
(n − k)! k!
k
45
z.B. Lotto 6 aus 45“ 45·44·43·42·41·40
=
= 8.145.060 Tipps
6!
6
”
Definition 4.1.6. Eine Kombination mit Wiederholung ist ein ungeordnetes k-tupel
{a1 , . . . , ak } von nicht notwendig verschiedenen Elementen von A = {a1 , . . . , an }, das
ist eine k-elementige Multimenge mit Elementen von A.
k
Anzahl der Kombinationen mit Wiederholungen: W C n = n+k−1
k
Proof. Sei A = {1, 2, . . . , n} Kombination ohne Wiederholung: {a1 , . . . , ak } mit 1 ≤
a1 < a2 < . . . < ak ≤ n
Cnk = |{(a1 , . . . , ak ) | 1 ≤ a1 < . . . < ak ≤ n}| = nk
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
40
Kombination mit Wiederholung: {a1 , . . . , ak } mit 1 ≤ a1 ≤ . . . ak ≤ n
⇔ 1 ≤ a1 < a2 + 1 ≤ a3 + 1 ≤ . . . ≤ ak + 1 ≤ n + 1
⇔ 1 ≤ a1 < a2 + 1 < a3 + 2 < . . . < ak + k − 1 ≤ n + k − 1
|{z} | {z } | {z }
| {z }
b1
b2
b3
bn
⇔ 1 ≤ b 1 < b 2 < b 3 < . . . < bk ≤ n + k − 1
wobei bi = a1 + i − 1
(i = 1, . . . , k)
W
k
C n = |{(a1 , . . . , ak ) | 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ ak ≤ n}| = |{(b1 , . . . , bk ) | 1 ≤ b1 <
k
b2 < . . . < bk ≤ n + k − 1}| = Cn+k−1
= n+k−1
QED
k
Beispiel(e) 4.1.5. Wie viele verschiedene Würfe sind mit 3 Würfeln möglich, falls
man die Würfel nicht unterscheidet?
6+3−1
8
8·7·6
W 3
C6 =
=
=
= 56
3
3
1·2·3
(Übersicht: siehe Folie Grundaufgaben der Kombinatorik“)
”
Beispiel(e) 4.1.6. Alphabet: A = {a, b, c, d}
• Permutationen von A:
abcd
abdc
acbd
acdb
..
.









P4 = 4! = 24







dcba 
• Permutationen mit Wiederholung von {a, a, b, b}:

aabb 


abab 



4!
abba
P42,2 =
=6
baab 
2!2!


baba 



bbaa
• Variationen mit 2 Buchstaben:
ab, ac, ad, ba, bc, bd,
ca, cb, cd, da, db, dc
V42
4!
= 4 · 3 = 12 =
(4 − 2)!
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
41
• Variation mit Wiederholung: siehe oben + aa, bb, cc, dd
W
2
V 4 = 42 = 16
• Kombinationen mit 2 Buchstaben:
4·3
4
ab, ac, ad,
2
C4 =
=
=6
bc, bd, cd
2
1·2
• Kombinationen mit Wiederholung: siehe oben + aa, bb, cc, dd
4+2−1
5
W 2
= 10
C4 =
=
2
2
Viele Probleme lassen sich auf diese Operationen abbilden!
4.2
Das Inklusions-Exklusionsprinzip
'$
'$
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
| {z }
Anzahl der Elemente, welche mindestens eine der
&%
&%
Eigenschaften A oder B besitzen.
G
A
B
Anzahl aller Elemente, welche keine der Eigenschaften A bzw. B besitzen: |Ā ∩ B̄|
|Ā ∩ B̄| = |A ∪ B| = |G| − |A ∪ B| = |G| − |A| − |B| + |A ∩ B|
'$
C
'$
'$
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B∩C|+|A ∩ B ∩ C|
&%
|
{z
}
A
B
Mitte
&%
&%
Satz 4.2.1 (Inklusions-Exklusionsprinzip, Siebformel). Sind A1 , . . . , An Teilmengen einer endlichen Menge A, dann gilt:
n
[
X
X
X
|A| −
|Ai ∩ Aj | +
|Ai ∩ Aj ∩ Ak | − + . . .
Ai =
i−1
i
i<j
i<j<k
\ X
+(−1)n−1 |A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An | =
(−1)|I|−1 Ai I⊆{1,...,n},I6=∅
i∈I
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
42
Beweis durch vollständige Induktion nach n.
[ \ √
X
n=1:
(−1)0 Ai Ai = |A1 | =
i=1
I={1}
i=1
n → n + 1: A1 , . . . , An , An+1 ⊆ A, Formel gelte schon für A1 , . . . , An
n+1
[
Ai =
i=1
n
[
Ai ∪ An+1
i=1
n (3)
[
( Ai ) ∩ An+1 }
| i=1 {z
n
[
(Ai ∩ An+1 )
|
{z
}
i=1
Bi
|
{z
}
\ X
−
(−1)|I|−1 Bi i∈I
I⊆{1,...,n},I6=∅
|
{z
}
T
P
− I⊆{1,...,n+1},{n+1}⊂I (−1)|I| i∈I Ai n
[
\ X
lt. Vorraussetzung
=
(−1)|I|−1 Ai Ai n+1 n
[ [ ⇒
Ai = Ai + |An+1 | −
i=1
i=1
(2)
i=1
i∈I
I⊆{1,...,n},I6=∅
(1)
(1) I ⊆ {1, . . . , n}
(2) I = {n + 1}
(3) I ⊆ {1, . . . , n + 1}, wo n + 1 ∈ I
(1)+(2)+(3) =
X
I⊆{1,...,n+1},I6=∅
\ (−1)|I|−1 Ai i∈I
QED
|A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An | = |A| − |A1 ∪ . . . ∪ An | =
|A| − |A1 | − |A2 | − . . . − |An | + |A1 ∩ A2 | + . . . − + . . .
+(−1)n |A1 ∩ . . . ∩ An |
KAPITEL 4. KOMBINATORIK
43
Beispiel(e) 4.2.1.
• Gesucht ist die Anzahl aller Wörter der Länge 4 aus den
Buchstaben {a, b, c, d, e}, welche mindestens ein a, b und c enthalten.
Wa : Wörter ohne a, analog Wb , Wc ⊆ W . . . Wörter der Länge 4
Wa = W \ Wa Wörter mit mindestens einem a,
Wb , Wc analog
|Wa ∩ Wb ∩ Wc | = |W | − |Wa ∪ Wb ∪ Wc | =
|W | − |Wa | − |Wb | − |Wc | + |Wa ∩ Wb | + |Wa ∩ Wc |+
|Wb ∩ Wc | − |Wa ∩ Wb ∩ Wc | = 54 − 3 · 44 + 3 · 34 − 24 = 84
• Wie viele Permutationen von n Elementen besitzen mindestens einen Fixpunkt
(d.h. ein Element, welches seinen Platz behält)?
z.B. {1, 2, 3} 1 2 3
132
2 1 3 also 4 von 6 Permutationen
2 3 1 mit mindestens einem Fixpunkt
312
321
A1 Menge aller Permutationen mit Fixpunkt 1, analog A2 , . . . , An ⊆ A (alle
Permutationen)
Sei xn = # Permutationen mit mindestens einem Fixpunkt
xn = |A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An | = |A1 | + . .. + |An | − |A1 ∩ A2 | − . . . =
= n · (n − 1)! − n2 (n − 2)! + n3 (n − 3)! − + . . . +
n−1
· 1 = n!(1 − 2!1 + 3!1 − + . . . + (−1)n−1 n!1 ) =
P(−1)
n
n! i=1 (−1)i−1 i!1
insbesondere n = 3 : 3!(1 − 12 + 16 ) = 6 ·
2
3
√
=4
Anteil der fixpunktfreien Permutationen an allen Permutationen:
1−
1 − (1 − 2!1 + 3!1 − + . . . ) P
= 1 − 1 + 2!1 − 3!1 + − . . . = ni=0 (−1)i i!1 ≈ e−1 ≈ 0, 37
xn
=
n!
Kapitel 5
Graphentheorie
Als Beispiel nehmen wir das Königsberger Brückenproblem, das von Euler aus dem
Jahre 1736 stammt. In Köngisberg (heute: Kaliningrad) gibt es 7 Brücken über den
Fluss Pregel:
44
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
45
Eulers Frage ist nun: Kann man auf einem Spaziergang durch Königsberg jede der 7
Brücken genau einmal passieren?1
Dieses Problem lässt sich leicht auf ein s.g. Graphenproblem reduzieren.
Definition 5.0.1. Unter einem gerichteten bzw. ungerichteten Graphen G versteh man
ein Tripel hV, E, f h bestehend aus einer Knotenmenge V = V (G), einer Kantenmenge
E = E(G) und der Inzidenzabbildung f : E → V bzw. f : E → {{v, w}|v, w ∈ V }.
Dabei gilt f (e) = (v, w) bzw. f (e) = {v, w}, wenn die Kante e vom Anfangsknoten v
zum Endknoten w führt.
Beispiel(e) 5.0.2.
G = hV, E, f i V = {a, b, c, d}
E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }
f : E → V 2 f (e1 ) = (a, a), f (e2 ) = (a, b)
f (e3 ) = f (e4 ) = (b, c), f (e5 ) = (c, b)
b
e1
6 •a
6• c
nnn
e2 nnnn
nn
nnn
nnn
e4
e3
e5
#
•c
•d
(isolierter Knoten)
Schlingen:
9•
Zumeist betrachten wir Graphen ohne Mehrfachkanten und Schlingen → schlichter
”
Graph“.
G = hV, Ei E ⊆ V × V
gerichtet
E ⊆ {{v, w}|v, w ∈ V } ungerichtet
w
•
|=
Knoten v, w sind adjazent,
e |||
|
|
die Kante e ist inzident mit v und w.
||
•v
Sei V = {v1 , v2 , . . . ,
vn } eine endliche Knotenmenge. Nun betrachten wir die Maske
1 wenn vi , vj adjazent
A = (aij ) mit ai j =
.
0 sonst
A = A(G) Adjazenzmatrix des Graphen G
1
siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/K%F6nigsberger_Br%FCckenproblem
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
46
Beispiel(e) 5.0.3.
G = hV, Ei mit V = {a, b, c, d, e}
E = {ab, bc, bd, cd}
•b P
nnn 0 PPP
a
•
nn
nnn
n
n
nn
nnn
e•
00 PPP
PPP
00
PPP
00
PP
00
•c
00
}
}
00
}}
0 }}}}
a
b
c
d
e
A = A(G) =
 a
0
 1

 0

 0
0
b
1
0
1
1
0
c
0
1
0
1
0
d
0
1
1
0
0
e
0
0
0
0
0






•d
Analog: B = B(G) Inzidenzmatrix (zwischen Knoten und Kanten)
Definition 5.0.2. G Graph, A(G) Adjazenzmatrix, vi ∈ V (G)
(i) G ungerichtet: Knotengrad d(vi ) =
X
aij
=
j
X
aji
j
| {z }
| {z }
Zeilensumme Spaltensumme
= Anzahl der Kanten, welche mit vi verbunden sind.
(ii) G gerichtet
P
Weggrad: d+ (vi ) = j aij
Anzahl der Kanten, welche von vi wegführen
P
Hingrad: d− (vi ) = j aji
Anzahl der Kanten, welche zu vi hinführen.
ad Bsp: d(a) = 1, d(b) = 3, d(c) = 2, d(d) = 2, d(e) = 0
⇒ d(a) + d(b) + d(c) + d(d) + d(e) = 8 = 2 · 4 = 2 · |E|
P
Satz 5.0.2 (Handschlaglemma). In einem ungerichteten Graphen G gilt v∈V (G) d(v) =
P
P
2·|E(G)|, ist G hingegen gerichtet, so gilt v∈V (G) d+ (v) = v∈V (G) d− (v) = |E(G)|
(Beweis wäre am Besten durch vollständige Induktion möglich).
Beispiel(e) 5.0.4. Betrachten wir schlichte, ungerichtete Graphen, wo je 2 verschiedene Knoten durch eine Kante verbunden sind. Diese nennt man vollständige Graphen“.
”
Kn : vollständiger Graph mit n Knoten
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
•
K1 :
K2 :
47
•
•
K3 :
•
K4 :
•@
•
•
•
@@ ~~
@~
~~@@@
~
~
K5 :
~
~~
~
~
~~
•@
@@
@@
@@
•
o •/ OO
ooo // OOOOO
o
o
OOO
o
//
OOO
ooo
//
O
ooo
o
/
U
• @UUUU
//
ii~ •
i
i
@@ UUUU
i
i
@@
~~
i/i/ii
UU
@@ UiUiUiUiUiUiUi // ~~~
UUU ~
iiii
•
•
n(n−1)
n
|V (K
Pnn)| = n, |E(Vn )| = 2 = 2 , d(v
√i ) = n − 1
⇒ i=1 d(vi ) = n(n − 1) = 2 · |E(Vn )|
Definition 5.0.3. G1 = hV1 , E1 i heißt Teilgraph von G = hV, Ei, falls V1 ⊆ V, E1 ⊆ E.
5.1
5.1.1
Wege und Kreise
Zusammenhang
Definition 5.1.1. Sei G = hV, Ei ein ungerichteter oder gerichteter Graph. Eine Folge
x0 , (x0 , x1 ), x1 , (x1 , x2 ), x2 , . . . , xk−1 , (xk−1 , xk ), xk mit xi ∈ V, (xi , xj ) ∈ E, k ∈ N
heißt
• Kantenfolge der Länge k von x0 nach xk ,
• offene oder geschlossene Kantenfolge, falls x0 6= xk respektive x0 = xk ,
• Kantenzug, falls alle Kanten paarweise verschieden sind,
• Weg (oder auch Bahn), falls alle Knoten (und damit auch alle Kanten) verschieden sind,
• Kreis (oder auch Zyklus), falls alle Kanten und alle Knoten verschieden sind, mit
Ausnahme von x0 = xk .
Schreibweise für Kantenfolgen: x0 , x1 , x2 , . . . , xk
|
|
Anfangspunkt Endpunkt
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
48
Beispiel(e) 5.1.1. G = hV, Ei
b
•O
a•
a, b, c, d, e, c, d, f
a, b, c, d, e, c, f
a, b, c, d, e
c, d, e, c
Hinweis:
K2 : a •
/ •c
/ d
`@@ ~ •
@@ ~
@~
~~ @@
~~~ @ f•
•e
Kantenfolge der Länge 7 von a nach f
Kantenzug
Weg (=Bahn)
Kreis (=Zyklus)
•b aba ist kein Kreis, da die Kante zweimal enthalten ist!
Es gilt: Jede offene Kantenfolge von v nach w enthält stets einen Weg von v nach w.
Jeder geschlossene Kantenzug enthält stets einen Kreis.
Beispiel(e) 5.1.2. Umwandlung von Kantenfolgen zu Wegen durch Reduktion:
abedf egdf eb , Gesucht: KF von a nach b
•
abe/d/f/egdf eb
abegdf eb
abe/g/d/f/eb
abeb
ab//eb
ab
•
abcdeba
aba
→ Weg von a nach b
geschlossene Kantenfolge, aber kein Kantenzug!
kein Kreis!
Definition 5.1.2. Ein ungerichteter Graph G geißt zusammenhängend“, wenn es
”
zwischen je 2 Knoten von G einen Weg gibt.
Ein gerichteter Graph G heißt stark zusammenhängend“, wenn es zu je 2 Knoten
”
v, w ∈ V (G) einen Weg von v nach w, und einen Weg von w nach v gibt.
G heißt schwach zusammenhängend“, wenn sein Schatten Gu , welcher aus G durch
”
weglassen der Kantenorientierungen entsteht, zusammenhängend ist.
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
49
Beispiel(e) 5.1.3. Einige Graphen mit verschiedenen Zusammenhangseigenschaften:
3 Zusammenhangskomponenten
•@
@@
@@
@@
•
•
•
G1 zusammenhängend
$
'
?
?
•
•
•m
~
~
~~
?
~
'
$
~~
•
•@
•
&
%@@
@@
@@
&• %
G2 nicht zusammenhängend
?•@
~~ @@@
~
@@
~~
@
~~
•o
•
G3 stark zusammenhängend
'
$
? • @@
~
@@
~
@@ starke
~~
~
@
~~
Zusammenhangs
•o
•
komponenten
&
%
/
•m
G4 nicht stark zusammenhängend,
aber schwach zusammenhängend
5.1.2
Euler’sche und Hamilton’sche Graphen
Sei G gerichtet oder ungerichtet und zusammenhängend.
Definition 5.1.3. Unter einer Euler’schen Linie versteh man einen Kantenzug, der
jede Kante genau einmal enthält.
Eine Hamilton’sche Linie ist ein Weg, der jeden Knoten genau einmal enthält.
Beispiel(e) 5.1.4.
•
@
~~ @@@3
~
@@
~~
@
~~
2
• OOO
•
o
O
oo
o
o
5 OOOO
7
ooOo
1
6
ooo OOOOO
o
o
o
4
•
8
•
es existiert eine offene, aber keine geschlossene Euler’sche Linie
Das Rundreiseproblem (Travelling Salesman Problem, TSP) ist ein NP-schweres Problem der Informatik, dessen Aufgabe es ist, einen Hamilton’sche Graphen zu erzeugen.
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
50
Im Chinesische Briefträgerproblem geht es um Euler’sche Graphen, hierzu existiert eine
Lösung in P (also einfach).
Satz 5.1.1. In einem ungerichteten, zusammenhängenden Graphen G existiert genau
dann eine geschlossene Euler’sche Linie, wenn alle Knotengrade gerade sind.
Proof. (i) Sei G ein Euler’scher Graph, k eine geschlossene Euler’sche Linie. Sei v ∈
V : Jeder Durchlauf durch v längs k liefern einen Beitrag von 2 zum Knotengrad
d(v) ⇒ d(v) gerade.
(ii) Gelte d(v) gerade ∀v ∈ V (G), d(v) ≥ 2∀v (außer |G| = 1)
⇒ ∃ Kreis k1 in G
Nun entfernen wir k1 aus G: G1 = hV1 , E1 iV1 = V, E1 = E \K1 , jetzt betrachten
wir G1 : d(v) gerade ∀v ∈ V (G1 )
⇒ ∃ Kreis k2 in G1 , usw.
Wir erhalten Kreise k1 , k2 , . . . , kn , welche durch geeignete Zusammensetzung eine
Euler’sche Linie k ergeben.
QED
Beispiel(e) 5.1.5.
V2 H
v•J
T H
v J T H
H
J
T
H
J
T
v
H
T
J
v
H
T
J
v
H
T
J
v
H
V1 _v v_ _ _ _ _ J
_J
_ _ _T T _ _ _ _ _ H_ V3
•T c#
vv•
T
J
vv T c# c#
T
J
v
v
#
c
T
T
v
J
c# c#
T
T vvv
c# c# J
J
T
vT vv
T
J
c# c#
vv T
T
c# c#
J
vv T T
T
v
J
c# v
T
T
vvc#
J
T
T
vv c# c# c#
J
v
T J
v
c# c# T T T J
vvv
c# c# T T J
vv
•vv
•
v
v
V4
V5
d(vi ) = 4 gerade
k1 = v 1 v 2 v 3 v 1
k2 = v 2 v 5 v 1 v 4 v 2
k3 = v 3 v 4 v 5 v 3
k
k3
z }|3 {
z}|{
v1 v2 v3 v1 = v1 (v2 v5 v1 v4 v2 ) (v3 v4 v5 v3 ) v1
|{z}
{z
}
|
k2
k2
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
51
Königsberger Brückenproblem
Nun betrachten wir nochmal das Problem, das am Anfang dieses Kapitels auf Seite 43
beschrieben wurde:
d = 3•OOOOO
OOO
OOO
d = 5•
oo•d = 3
ooo
o
o
ooo
d = 3•o
Alle Knotengrade sind ungerade, daher existiert keine Euler’sche Linie.
Bemerkung 5.1.1.
• G ungerichtet: G besitzt eine offene Euler’sche Linie genau
dann, wenn alle Knotengrade bis auf 2 gerade sind:
2
•
@
~~ @@@
~
@@
~
@@
~~
~~
4
4
• PPP
n•
n
PPP
n
PPnnPnnn
n PPP
n
n
PPP
n
nnn
3•
•3
Hier haben die unteren beiden Knoten einen ungeraden Grad, daher muss man
mit der Linie immer dort ansetzen, und man endet immer am anderen der beiden
Knoten.
• G gerichtet: G besitzt eine geschlossene Euler’sche Linie genau dann, wenn
d+ (v) = d− (v)∀v ∈ V (G).
5.2
Bäume und Wälder
In diesem Kapitel sind alle Graphen ungerichtet und schlicht.
Definition 5.2.1. Ein ungerichteter Graph G ohne Kreise heißt Wald. Ist G darüber
hinaus auch zusammenhängend, so heißt G ein Baum.
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
Beispiel(e) 5.2.1.
•
•
•@
@@
@@
@@
•
•
•
Baum Baum
52
•
~
~~
~
~
~~
•@
~~ @@@
@@
~~
~
@
~~
•
•//
•
•JJJ •//
•
t•
// // JJ // ttt
JJ / tt
// // JJ/ tt
t
•VVVVVV
•JJJ
tt•
VVVV
J
t
t
VVVV JJJ
VVVV JJ tttt
VV t
•//
•
•
•
•
•
Baum
Baum
Wald
• Verzeichnisstruktur einer Festplatte
• Stammbaum
• Suchbaum in Datenbanken
Satz 5.2.1. Ein Graph ist genau dann ein Baum, wenn je 2 verschiedene Knoten durch
genau einen Weg miteinander verbunden sind.
Proof. Da genau dann, wenn“ zu beweisen ist, muss der Beweis in zwei Schritte
”
aufgeteilt werden, damit beide Richtungen bewiesen sind:
1. Sei G = hV, Ei ein Baum (zusammenhängend, kreisfrei), v, w ∈ V (G).
Zu zeigen: Es gibt genau einen Weg von v nach w ⇒ es existiert eine Kantenfolge
von v nach w ⇒ es existiert ein Weg von v nach w, da G zusammenhängend.
Angenommen, es gibt zwei verschiedene Wege v0 v1 v2 . . . vk mit v0 = w0 = v
und w0 w1 w2 . . . wk0 mit vk = wk = w.
v
v
wi+1
wj 0 −1
j−1
i+1
o•_ _ _ _ _•OOOO
o
o
OOO
ooo
OOO
v = v0 = w0
w = vk = wk0
ooo
o
_
_
_
_
_
OOO
•
•
•
o•_ _ _ _ _•
o
o
v1 = w1 vi = wiOOOO
ooovj = wj 0
OOO
ooo
o
_
_
_
_
_
i≥0
j>i
•
•
j0 > i
⇒ vi wi+1 . . . wi+1 vj vj+1 . . . vi+1 vi ist ein Kreis durch vi ⇒ Widerspruch zu Kreisfreiheit.
2. Es existiert zwischen je zwei Knoten genau ein Weg.
Zu zeigen: G ist ein Baum.
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
53
(a) G ist zusammenhängend (klar)
(b) Zu zeigen: G kreisfrei.
Angenommen, es existiert ein Kreis: v0 v1 . . . vk−1 v0 (k ≥ 3) (k3 : v0 v1 v0
kein Kreis)
v0 v1 . . . vk−1
⇒ Wege
⇒ ∃ zwei verschiedene Wege von v0 nach vk−1 ⇒
v0 vk−1
Widerspruch!
Also ist G ein Baum.
QED
Sei T = hV, Ei ein Baum (“tree”); nun betrachten wir die Knotenzahl |V | und die
Kantenzahl |E|. z.B.:
•
•@
@@
@@
@@
•
~~
~~
~
~~
•
~
~~
~
~
~~
•@
@@
@@
@@
•
~
~~
~
~
~~
•
|V | = 9
|E| = 8
|V | = |E| + 1
•
•
Satz 5.2.2. Für jeden endlichen Baum T = hV, Ei gilt: |V | = |E| + 1
Beweis durch vollständige Induktion nach |V | = n.
n=1:
n=2:
•
•
•
√
|V | = 1, |E| = 0 √
|V | = 2, |E| = 1
k → k + 1: Sei T ein Baum mit |V (G)| = k + 1. Nun entfernen wir den Endknoten
v1 (also einen Knoten von Grad 1) samt seine Kante e1 (ein Endknoten existiert stets,
da T Baum).
T1 = hV \ {v1 }, E \ {e1 }i ist wieder ein Baum, |V \ {v1 }| = k
⇒ |V (T1 )| = |E(T1 )| + 1 laut Induktionsvorraussetzung
|V \ {v1 }| = |E \ {e1 }| + 1
|V | − 1 = |E| − 1 + 1
⇒ |V | = |E| + 1
QED
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
•
•@
@@
@@
@@
•
~~
~~
~
~~
•
•@
@@
@@
@@
//
~~
~~
~
~~
•@
@@
@@
@@
~~
~~
~
~~
•@
@@
@@
@@
•
•
•
•
~
~~
~
~
~~
~~
~~
~
~~
•
•
•
•
54
Was passiert, wenn man hier eine Kante entfernt? Dadurch wird der Graph zum Wald ⇒
ein Baum ist minimal zusammenhängend.
Was passiert, wenn man eine Kante hinzufügt?
Es entsteht ein Zyklus, daher ist es kein Baum
mehr ⇒ ein Baum ist maximal kreisfrei.
~
~
~
~
~
~~
•@A
•
BC
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5.2.1
•
Spezielle Bäume
1. Wurzelbäume
Zeichnet man einen Knoten eines Baumes als Wurzel“ aus, so erhählt man einen
”
Wurzelbaum, z.B.:
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
55
•
• FF
•
~
~~
~
~
~~
•
•
~~
~~
~
~
~~
89:;
?>=<
•
; •
yy
ww >>>
y
w
>>
y
w
ww
yy
>>
ww
yy
>
w
y
y
•
Wurzel
•
GG
GG
GG
GG
GG
#
89:;
?>=<
•>
w
>>
w
w
>>
ww
w
>>
w
w
>
ww
o
•
•
•<
y
<
y
<
y
<<
yy
<<
yy
y
<
yy
FF
FF
FF
FF
•
•
•
•
innere Knoten
•o
Endknoten (Blätter)
2. Binärbäume
Ein vollständiger Binärbaum ist ein spezieller Wurzelbaum, bei dem jeder innere
Knoten genau 2 Teilbäume besitzt. Der allgemeine Binärbaum hat höchstens 2
Teilbäume pro inneren Knoten. Z.B.:
• OOO
~~
~~
~
~~
•@
~ @@
@@
~~
~
@@
~
~~
•
•
~~
~
~~
~~
•
OOO
OOO
OOO
OO
•@
~~ @@@
~
@@
~~
@
~~
•
•@
@@
@@
~~ @@@
~
@@
@@
~~
@
@
~~
•
•
5 innere Knoten
(einschl. Wurzel)
6 Endknoten
•
Definition 5.2.2. Sei B = hV, Ei ein Binärbaum mit m inneren Knoten. Dann
hat B genau m + 1 Endknoten.
Proof. (m. . . Anzahl der inneren Knoten, x. . . Anzahl der Endknoten)
|V | = m + x
⇒ m + x = 2m + 1 ⇒ x = m + 1
|V | = |E| + 1 = 2m + 1
da je zwei Kanten pro innerer Kante
QED
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
56
3. Gerüst (spannender Teilbaum)
Sei G = hV, Ei ein zusammenhängender Graph. Ein Teilgraph TG = hV 0 , E 0 i
heißt Gerüst von G“, falls TG ein Baum ist, und V 0 = V . Z.B.:
”
•
~~
~~
~
~~
•@
@@
@@
@@
|V | = 5
|E| = 6
•
•
•
hat folgende Gerüste:
• AA
•
•
5.3
AA
AA
AA
•
•
•,
•
~~
~~
~
~~
•
•
•
•,
•
~~
~~
~
~~
•
•
•,
...
Algorithmen in bewerteten Graphen
Definition 5.3.1. Ist G = hV, Ei ein ungerichteter oder gerichteter Graph und l :
E → R eine reellwertige Abbildung, so nennt man G = hV, E, li einen bewerteten
Graphen.
Kante e = (x, y) oder xy: l(e) Länge (Kapazität, Zeit, . . . ) der Kante e
Kantenfolge w = x0 x1 . . . xk : l(w) = l(x0 , x1 ) + l(x1 , x2 ) + . . . + l(xk−1 , xk ) Länge
der Kantenfolge w
insbesondere:
• l(x, x) = 0
• l(x, y) = ∞, falls x und y nicht durch eine Kantenfolge miteinander verbunden
sind.
Beispiel(e) 5.3.1. Eisenbahnnetz zwischen 5 Städten; Bewertung = Kosten aller direkten Verbindungen.
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
57
A•) H
vv ) HH
vv )) HHH
v
HH
v
))
HH7
4vvvv
HH
))
v
HH
v
v
)
HH
v
))
HH
vv
v
H C
v
))
B •) Hv
v•
))
)) HHH
v
v )11
)) HHH
vv v
)
HH
)) vvv
))
HH
v
HH
))
v))v
H
v
HH
)
3vvv ))
H
8 )))
))
10
10 HHvHvHvv
)
))
vv HHH
HH )) vv
))
v
HH )) )) vvvv
HH ) H
vv
D
•
12
•
G = hV, E, li
V = {A, B, C, D, E}
E = {AB, AC, AE, . . .}
l(AB) = 4, l(AC) = 7, . . .
E
Frage: Man finde ein Eisenbahnnetz, an welche alle Städte angeschlossen sind, mit
minimalen EInrichtungskosten ⇒ Minimalgerüst.
Algorithmus von Kruskal zur Bestimmung eines Minimalgerüsts eines zusammenhängenden bewerteten Graphen G = hV, E, li:
1. Man setze T0 = hV, E0 = ∅i, i = 0
2. Man wähle eine Kante e ∈ E \ Ei , sodass
(i) l(e) minimal ist und
(ii) hV, Ei ∪ {e}i keine Kreise enthählt
und setze Ti+1 = hV, Ei+1 = Ei ∪ {e}i
3. Setze i ← i + 1
4. Wenn i = |V | − 1, dann Ende, sonst Fortsetzung bei Schritt 2.
Dies ist ein so genannter greedy algorithm“.
”
Ad Beispiel: Ordnen aller Kanten nach ihrer Bewertung:
CD
AB
AC
BD
T0 = hV, ∅i
3
4
7
8
BC
CE
AE
DE
10
10
11
12
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
58
T1
A•
B•
T2
A•
vv
•C
vv
v
vv
3vvvv
D
v
vv
vv
v
v
•v
v
B •vvv
•
E
D
T3
A•H
vv HHH
HH7
HH
v
HH C
v
B •vv
•
vv
vv
v
3vvvv
vv
vv
v
vv
•v
•
4vvvv
D
4vvvv
E
v•
vv
v
v
3vvvv
v
vv
vv
v
v
•v
•
C
E
T4
A•H
vv HHH
HH7
HH
v
HH C
v
B •Hvv
•
HH
vv
HH
vv
HH
v
HH 3 vvv
H v
10vvHvHvHH
HH
v
H
vv
•v
•
4vvvv
D
E
i = 4 ⇒ fertig, das Minimalgerüst hat die Länge 24.
G = hV, E, li (l. . . Gewichtungen) bewerteten Graph
•?
 ???
??1
??

??


?
Anfang →•??
2 •← Ende
??

??


?
2 ??  3

1
•
Problem:
5.3.1
gegegeben ist der Anfangsknoten a und der Endknoten e
gesucht ist der kürzeste Weg von a nach e
Algorithmus von Dijkstra und Dantzig
Bestimmt alle kürzesten Wege in einem zusammenhängenden, bewerteten Graphen
G = hV, E, li mit nichtnegativer Bewertungsfunktion l : E → R+
0 von Knoten a nach
b ( Entfernungsbaum von a“):
”
1. Man setze l(a) = 0, l(v) = ∞ für alle v 6= a, U = {a}, u = a.
2. Für alle Kanten (u, v) ∈ E mit v ∈ V \ U berechne man die neue Markierung
l(v) = min{l(v), l(u) + l(u, v)}
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
59
•v 1
y
l(u,v1 ) yyy
y
y
yy
u
/ l(v) •
•v 2
EE
EE
EE
EE
E
•v 3
3. Man wähle einen Knoten v ∈ V \ U , für l(v) minimal ist und setze U = U \ u,
u=v
4. Wenn u = b, dann ist l(b) die Länge des kürzesten Weges von a nach b, sonst
Fortsetzung bei 2ten Schnitt.
5. alle Knoten: v = U ∪ (V \ U ) (vorläufig bewertete Knoten, Bewertung von l(v)
kann sich ändern, U . . . endgültig markierte Knoten, l(v) = krzeste Entfernung
von a nach b)
Anfang U = {a} V \ U = U \ {a}
Ende
U =V
V \U =∅
Rekonstruktion aller kürzesten Wege von a nach b:
Man ermittle rekursiv alle Vorgänger u von v, beginnend v = b gemäß l(v) = l(u) +
l(u, v), bis u > a erreicht ist.
Beispiel(e) 5.3.2.
4 / v3
v1
• O DD
= •22
z
DD 4
z
2
z
2z
DD
22
DD
zz
2
z
z
"
22
v0
3
2
2
•DD
•v 5
22 2
z=
DD 5
z
2
6 zz
22
DD
DD
zz
2
z
" z
v2 o
•
•v 4
2
v0 . . . Aufangsknoten, v5 . . . Endknoten
1. (1) l(v0 ) = 0, l(v1 ) = l(v2 ) = l(v3 ) = l(v4 ) = l(v5 ) = ∞, U = {v0 }, u = v0
(2) Nachbarn von v0 : v1 , v2
l(v1 ) = min{l(v1 ), l(v0 ) + l(v0 , v1 )} = 2
l(v2 ) = min{l(v2 ), l(v0 ) + l(v0 , v2 )} = 5
(3) wähle v1 mit l(v1 ) = 2 minimal, setze U = {v0 , v1 }, u = v1
(4) u = v5 ? Ist nicht der Fall, daher weiter bei 2. Iteration
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
60
2. (2) Nachbarn von v1 , welche noch nicht endgültig markiert sind: v2 , v3 , v4
l(v2 ) = min{l(v2 ), l(v1 ) + l(v1 , v2 )} = 4
|{z} |{z} | {z }
5
2
2
l(v3 ) = min{l(v3 ), l(v1 ) + l(v1 , v3 )} = min{∞, 2 + 4} = 6
l(v4 ) = min{l(v4 ), l(v1 ) + l(v1 , v4 )} = min{∞, 2 + 3} = 5
also l(v2 ) = 4, l(v3 ) = 6, l(v4 ) = 5, l(v5 ) = ∞
(3) wähle v2 mit l(v2 ) = 4 minimal, U = {v0 , v1 , v2 }, u = v2
(4) u = v2 6= v5 ⇒ 3. Iteration
Der Übersichtlichkeit halber sollte man das ganze in Tabellenform aufschreiben:
Iteration v0 v1 v2
0
[0] ∞ ∞
[2] 5
1
[4]
2
3
4
5
v3
∞
∞
6
6
[6]
v4
∞
∞
5
[5]
v5 Auswahl Vorgänger
∞
v0
–
∞
v1
v0
∞
v2
v1
∞
v4
v1
11
v3
v1
[10]
v5
v3
Kürzester Weg von v0 nach v5 : v0 → v1 → v3 → v5 ⇒
1. Länge des kürzersten Weges von v1 nach v6 : l(v5 ) = 10
2. kürzerster Weg (in umgekehrter Reihenfolge):
v5 ← v3 ← v1 ← v0 , also v0 , v1 , v3 , v5
3. Entfernungsbaum von v0 :
v1
/ •v 3
= •22
DD
z
DD 4
22
2 zzz
DD
22
DD
zz
z
z
"
22
v0
3
2
2
•
•v 5
22
22
22
4
v2
•
•v 4
Das ist ein Gerüst des gegebenen Graphen, der zu jedem Endknoten einen kürzesten Weg von v0 angibt.
Weitere Aufgabenstellungen der Graphentheorie:
KAPITEL 5. GRAPHENTHEORIE
61
• kritischer Pfad in Netzwerken → Netzwerkplantechnik
• Maximaler Fluss in Netzwerken
• ;MMM
Quelle A
1
•
;; MM
qqq >>>
>>2
2
;; M1Mq1qMqq
>>
;q;q MMMM
q
>
q
qq 1;1; M
2
2
•>
• MMM 1;; qq •
•
>>
MMM q;q;q
>>
1
qqMqMM ;;
>
2 >> qqq 1 MMM;;
2
M
qq
•
Senke Z
•
1
Wie viel passt“ maximal auf einmal durch? Maximaler Fluss = 6
”
• Planare Graphen (kreuzungsfreie Darstellung):
K4 : • @
• → •@
•
@@ ~~
@@
@~
@
•
~~@@
~~ @
•
•@A
@@
@
•
ED
BC
• Färbung von Graphen, z.B. Vielfarbensatz (bewiesen 1976)
• Biparte (paare) Graphen und Matchings
X1
•Y1
•
_ Y2
_
_
•2 •
22 22
22
2
X3
• 222 •Y3
22
22
X2
•Y4
Durchgezogene Linien: Matching für {X1 , X2 , X3 }
Kapitel 6
Algebraische Strukturen
6.1
Zweistellige Operationen, Halbgruppen und Gruppen
z.B. Addition, Multiplikation
(4, 6) → 4 + 6 bzw.
(4, 6) → 4 · 6
Definition 6.1.1. Sei M eine beliebige Menge. Unter einer zweistelligen Operation in
M versteht man eine Vorschrift, die jedem Paar (a, b) aus M × M genau ein Element
a ◦ b ∈ M zuordnet, also eine Abbildung ◦ : M × M → M
Beispiel(e) 6.1.1.
• f, g : D → R
• a + b, a − b, a · b in Q, ab in R+
f + g )(x) = f (x) |{z}
+ g(x)∀x ∈ D
| {z }
in R
neu definiert
Summe von Funktionen (punktweise definiert)
(
• A ∪ B, A ∩ B, A4B in P (M )
• M = Z4 = {0, 1, 2, 3}
◦
0
Operationstafel: 1
2
3
0
0
0
0
0
a ◦ b = a · b mod 4
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
62
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
6.1.1
63
Eigenschaften von Operationen
• Assoziativgesetz: a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c ∀a, b, c ∈ M
• Kommutativgesetz: a ◦ b = b ◦ a ∀a, b ∈ M
z.B. +, · in N sind assoziativ und kommutativ
∪, ∩ in P (M ) sind assoziativ und kommutativ
ab ist weder assoziativ, noch kommutativ:
3
2(2 ) = 28 = 256, (22 )3 = 26 = 64, 23 6= 32
• neutrales Element e ∈ M : a ◦ e = e ◦ a = a ∀a ∈ M
• inverses Element zu a: a0 ∈ M mit a ◦ a0 = a0 ◦ a = e
0 neutral bezüglich +, da a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈ Z
1 neutral bezüglich ·
bezüglich +: a0 = −a, denn a + (−a) = (−a) + a = 0 ∀a ∈ Z
Q: bezüglich ·: a0 = a1 für alle a 6= 0
P (M ) (M beliebig), A4B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
4 ist kommutativ und assoziativ. Neutrales Element ist ∅, denn A4∅ = A ∀A ∈
P (M ). Inverses Element zu A: A0 = A, denn A4A = ∅ ∀A ∈ P (M ).
Seien ◦, ∗ zwei zweistellige Operationen auf M :
Distributivgesetze: a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c) Linksdistributiv
(b ∗ c) ◦ a = (b ◦ a) ∗ (c ◦ a) Rechtsdistributiv
z.B. in R: ◦ = ·, ∗ = +, in P (M ): ◦ = ∪, ∗ = ∩
Allgemein gibt es k-stellige Operationen für jedes k ≥ 1
◦:M
× . . . × M} → M
| × M {z
z.B. Z:
k
Eine Menge M zsammen mit Operationen ◦, ∗, . . . auf M heißt eine algebraische Struktur oder kurz Algebra.
Schreibweise: hM ; ◦, ∗, . . .i, z.B. hZ; +, ·, −i (+, · zweistellig, − einstellig)
Definition 6.1.2. (a) hM ; ◦i heißt Gruppoid, falls ◦ zweistellige Operation auf M
ist.
(b) Ein Gruppoid hM ; ◦i mit einer assoziativen Operation ◦ heißt Halbgruppe.
(c) Eine Halbgruppe hM ; ◦i mit neutralem Element heißt Monoid.
(d) Eine Halbgruppe hG; ◦i heißt Gruppe, falls ein neutrales Element und zu jedem
Element ein inverses existiert. Ist ◦ außerdem noch kommutativ, sprich man von
einer kommutativen oder abel’schen Gruppe.
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
•
Beispiel(e) 6.1.2.
64
hN \ {0}, +i (kommutative) Halbgruppe
hNi, hN, ·i, hP (M ), ∪i (kommutative) Monoide
hZ, +i, hQ+ , ·i (kommutative) Gruppen
• FM = {f : M → M }
f
M
/M
FM . . . Menge aller Abbildungen auf einer Menge M
M
f
/M
g
/M
7
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) Komposition von f und g
g◦f
Operation: ◦ Funktionskomposition
◦ ist assoziativ: M
h
g
/M
/M
7
f
/M
<
g◦h
A
f ◦(g◦h)
f ◦g
h
|
9
{z
(f ◦g)◦h
}
⇒ f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
denn [f ◦ (g ◦ h)](x) = [(f ◦ g) ◦ h](x)
⇒
f ((g ◦ h)(x)) = (f ◦ g)(h(x))
√
⇒
f (g(h(x))) = f (g(h(x))) ∀x ∈ M
also hF (M ), ◦i ist eine Halbgruppe, symmetrische Halbgruppe“
”
• Sei Σ eine endliche Menge, genannt Alphabet“ (am Computer Typ char).
”
Σ∗ Menge aller endlichen Wörter über Σ, d.h. alle Ausdrücke der Form x1 x2 . . . xk
mit xi ∈ Σ, k ≥ 0, wobei sich für k = 0 das sogenannte leere Wort λ ergibt
(Typ string).
z.B. Σ = {a, b}
Σ∗ = {λ, a, b, aa, ab, ba, bb, aaa, . . .}, aba“ wird sowohl aus (ab)a,
”
also auch aus a(ba) gewonnen ⇒ auf Klammern kann man verzichten.
Betrachten wir nun hΣ∗ , ·i mit w1 = x1 x2 . . . xk , w2 = y1 y2 . . . yl ⇒ w1 · w2 =
x1 x2 . . . xk y1 y2 . . . yl ∈ Σ∗ (Verkettung)
dann gilt (w1 · w2 ) · w3 = w1 · (w2 · w3 ) ∀w1 , w2 , w3 ∈ Σ∗
w1 · λ = w1 , λ · w1 = w1 ∀w1 ∈ Σ∗
⇒ hΣ∗ , ·i ist ein Monoid
freies Monoid über dem Alphabet Σ“
”
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
65
• G = {1, −1, i, −i} (die vierten Einheitswurzeln)
Gruppentafel:
1 −1
i −i
·
1
1 −1
i −i
−1 −1
1 −i
i
i
i −i −1
1
−i −i
i
1 −1
neutrales Element: 1
z.B. (−i)−1 = i es existiert ein inverses Element ⇒ Gruppe
• SM = {f : M → M | f bijektiv} ⊆ FM Komposition von Abbildungen
Es gilt: wenn f, g bijektiv, f ◦ g bijektiv
id: M → M (identische Abbildung) ist neutrales Element, denn f ◦ id = f =
id ◦ f
zu jedem f ∈ SM ist f −1 ∈ SM inverses Element, denn f ◦ f −1 = id = f −1 ◦ f
⇒ hsM , ◦i ist eine Gruppe, genannt symmetrische Gruppe von M“
”
Jede bijektive Abbildung auf einer Menge M heißt Permutation.
Nun betrachten wir M = {1, 2, . . . , n}, π = {1, . . . , n} → {1 . . . n}
1
2
...
n
π=
zweizeilige Darstellung einer Permutation π
π(1) π(2)
π(n)
Aus der Kombinatorik: | S{1,...,n} |= n!
| {z }
sn
z.B.
1
π=
4
1
ρ=
2
⇒ π ◦ ρ ∈ S6
2
2
2
4
3
5
3
3
4
1
4
6
5
6
5
1
(π ◦ ρ)(x) = π(ρ(x))
6
∈ S{1,2,...,6} = S6
3
6
∈ S6
5
M
ρ
/M
π
/5 M
π◦ρ
1 2 3 4 5 6
1
π◦ρ=
◦
4 2 5 1 6 3 2
1 2 3 4 5 6
1
ρ◦π =
◦
2 4 3 6 1 5
4
1 2 3 4 5 6
id =
1 2 3 4 5 6
−1 1 2 3 4 5 6
−1
π =
=
4 2 5 1 6 3
2
4
2
2
3
3
3
5
4
6
4
1
5
1
5
6
6
=
5 6
=
3
1
2
1
6
4 2 5 1 6 3
1 2 3 4 5 6
=
2
1
2
4
3
5
3
1
4
3
4
2
5
4
5
5
6
6 6
3
1 2 3 4 5 6
4 2 6 1 3 5
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
einfachere Darstellung:
z.B.
σ=
1 2 3 4 5 6
3 2 5 1 4 6
66
(1 3 5 4). . . Zyklus der Länge 4
1=
==
==
==
3
5
2
4
6e
Allgemein versteh man unter einem Zyklus der Länge m eine Permutation σ mit
σ(a1 ) = a2 , σ(a2 ) = a3 , . . . , σ(am ) = a1 wobei a1 , am paarweise verschieden sind
und σ(x) = x sonst σ = (a1 a2 . . . am ).
1 2 3 4 5 6
π=
4 2 5 1 6 3
Zyklendarstellung: (1 4)(3 5 6)
(1 4). . . Zyklus der Länge 2 (= Transposition)
Zyklen der Länge 1 (Fixpunkte) werden nicht angeschrieben (Ausnahme: bei der identischen Abbildung wird das erste Element angeschrieben)
Es gilt: Jede Permutation π ∈ Sn kann als Produkt von elementfremden Zyklen angeschrieben werden.
Ferner gilt: (a1 a2 . . . am ) = (a1 am )(a1 am−1 ) . . . (a1 a2 )
d.h. jeder Zyklus und damit jede Permutation kann stets als Produkt von Transpositionen dargestellt werden.
π=
1 2 3 4 5 6
= (1 4)(3 5 6) = (1 4)(3 6)(3 5)
4 2 5 1 6 3
ρ = (1 2 4 6 5) = (1 5)(1 6)(1 4)(1 2)
⇒ πρ = (1 4)(3 6)(3 5)(1 5)(1 6)(1 4)(1 2) → 7 Transpositionen
1 2 3 4 5 6
oder πρ =
= (1 2)(3 5 4) = (1 2)(3 4)(3 5) → nur noch
2 1 5 3 4 6
3 Transpositionen
Darstellung ist nicht eindeutig, aber die Anzahl der Transpositionen ist entweder stets
gerade oder stets ungerade⇒ es gibt gerade und ungerade Permutationen.
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
67
z.B. π, πρ ungerade, ρ gerade
Bemerkung 6.1.1. Jede Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgruppe, d.h. kann
als Untergruppe einer symmetrischn Gruppe angeschrieben werden.
Beispiel(e) 6.1.3. für Permutationsgruppen:
• Gruppe der Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks:
3
•//
///
//
//
/
•
1
•
2
Vertauschung der Kanten durch Permutation (ρ. . . Rotation):
1
ρ0 =
1
1
ρ120 =
2
1
ρ240 =
3
2
2
2
3
2
1
3
= (1) (identische Abbildung)
3 3
= (1 2 3)
1 3
= (1 3 2)
2
gerade Abbildungen der S3
• Gruppe aus 2 Drehungen und 2 Spiegelungen (σ1 , σ2 ) eines Quadrats:
σ?2
?4
•?

•
 1
ρ0 = (1)
ρ180 = (1 3)(2 4)
σ1 = (2 4)
σ2 = (1 3)
σ1
?








? 
?
 ??
3
•

?
•?
2 ?
Klein’sche Vierergruppe
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
68
• hQ \ {0}, ·i Gruppe
hQ+ , ·i ≤ hQ \ {0}, ·i
hZ \ {0}, ·i keine Untergruppe mehr (nur Unterhalbgruppe) von hQ \ {0}, ·i
Definition 6.1.3 (Charakterisierung von Untergruppen). Sei hG, ·i Gruppe (mit
Einselement) und U ≤ G, U 6= ∅. Dann gilt


 (a) a, b ∈ U ⇒ a · b ∈ U 
(b) 1 ∈ U
U ≤G⇔
∀a, b ∈ U


−1
(c) a ∈ U ⇒ a ∈ U
⇔ (d) a, b ∈ U ⇒ a · b−1 ∈ U ∀a, b ∈ G Untergruppenkriterium“
”
Proof.
(i) U ≤ G ⇒ (a), (b), (c)
(a) klar
(b) sei 10 neutrales Element in U
⇒ 10 = 10 · 10
10 = 10 · 1
⇒ 10 = 1 (Kürzungsregel)
(c) sei a0 inverses Element zu a in U :
a · a0 = 1
⇒ a/ · a0 = a/ · a−1 ⇒ a0 = a−1
a · a−1 = 1
also: neutrales Element und inverses Element in G und U stimmen überein!
(ii) (a), (b), (c) ⇒ (d) klar
(iii) ⇒ U ≤ G
Assoziativgesetz gilt automatisch in U .
Sei c ∈ U ⇒ c| ·{z
c−1} ∈ U , also 1 ∈ U
1
Sei a ∈ U ⇒ |1 ·{z
a−1} ∈ U , also a−1 ∈ U
a−1
Seien a, b ∈ U ⇒ a, b−1 ∈ U ⇒ 1 · (b−1 )−1 ∈ U , also a · b ∈ U
| {z }
a·b
also ist U eine Untergruppe
QED
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
Beispiel(e) 6.1.4.
69
• Q+ ≤ hQ \ {0}, ·i, denn
a c −1 a · d
a c
+
, ∈Q ⇒ ·
=
∈ Q+ ⇒ fertig
b d
b
d
b·c
• hZ, +i : mZ = {0, ±m, ±2m, . . .} für m ≥ 2, m ∈ Z
mZ ≤ Z, denn k · m, l · m [k, l ∈ Z] ⇒ k · m − l · m = (k − l) ∈ mZ
| {z }
√
∈Z
Zu jeder Untergruppe U von einer Gruppe G kann man wie folgt eine Klasseneinteilung
konstruieren:
U ≤ G, a ∈ G fest:
• a · U = {a · u | u ∈ U } heißt Linksnebenklasse von U (LNK)
• U · a = {U · a | u ∈ U } heißt Rechtsnebenklasse von U (RNK)
Satz 6.1.1 (Nebenklassenzerlegung). Ist U ≤ G, dann gilt:
(i) Die Menge aller LNK KL = {a · U | a ∈ G} bildet eine Partition von G, genannt
LNK-Zerlegung von G nach U (analog RNK-Zerlegung).
(ii) Alle Nebenklassen sind gleich mächtig, d.h. |a · U | = |U · a| = |U | ∀a ∈ G
(iii) Die Anzahl aller LNK stimmt mit jener aller RNK überein; diese Zahl wird Index
|G : U | von G nach U genannt. (ohne Beweis)
LNK
G
'
$
@
@
aU
bU
cU
...
U
...
&
Anzahl der Klassen = |G : U |
%
Satz 6.1.2 (von Lagrange). Ist G eine endliche Gruppe und U ⊆ G so gilt |G| =
|G : U | · |U |, d.h. die Ordnung (=Anzahl der Elemente) jeder Untergruppe U ist stets
Teiler der Gruppenordnung von G.
Proof.
G = a1 · U ∪ a2 · U ∪ . . . ∪ a|G:U | · U
|G| = |a1 · U | + |a2 · U | + . . . + |a|G:U | · U |
| {z } | {z }
| {z }
|U |
|U |
|U |
⇒ |G| = |G : U | · |U |
QED
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
70
• Symmetriegruppe des gleichseitigen Dreiecks:
Beispiel(e) 6.1.5.
3
• //
//
I ///
Iu u /
u u I I ///
I
u
•I
u•
1
Drehungen
ρ0 , ρ120 , ρ240
Spiegelungen σ1 , σ2 , σ3
2
also G = {ρ0 , ρ120 , ρ240 , σ1 , σ2 , σ3 } = S3
Untergruppe U =Gruppe der
√ Drehungen={ρ0 , ρ120 , ρ240 }
|U | = 4, |G| = 6
3|6
LNK:
U = {ρ0 , ρ120 , ρ240 } (= ρ0 U )
σ1 · U = {σ1 · ρ0 , σ1 · ρ120 , σ2 · ρ240 } = {σ1 , σ2 , σ3 }
⇒ G = U ∪ σ1 · U
'$
G
|G : U | = 2
|U | = 3
&%
|G| = 6
6=2 · 3
U σ1 U
• Untergruppe V = {ρ0 , σ1 } |U | = 2 | 6
√
LNK: V = {ρ0 , σ1 }, ρ120 · V = {ρ120 ρ0 , ρ120 σ1 } = {ρ120 , σ3 },
ρ240 · V = {ρ240 ρ0 , ρ240 σ1 } = {ρ240 , σ2 }
also G = V ∪ ρ120 · V ∪ ρ240 · V
$
G
'
ρ0 σ1 ρ120 σ3
V
&
ρ240 σ2
%
ferner RNK
Eine Untergruppe N ≤ G heißt Normelteiler von G, falls aN = N a ∀a ∈ G, d.h.
LNK=RNK
Für Normalteiler gilt: Die Faktormenge G/N ist selbst wieder eine Gruppe, genannt
Faktorgruppe von G nach N .
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
71
zB. hZ, +i z.B. N = 3Z = {0, ±3, ±6, . . .} ist Normalteiler
Z/(3Z) = {3Z, 1 + 3Z, 3 + 3Z} = {0̄, 1̄, 2̄}
ā + b̄ = a + b
Nun betrachten wir die Abbildungen zwischen Gruppen, welche mit der Gruppenstruktur verträglich“ sind (Homomorphismus):
”
Definition 6.1.4. Seien hG, ·i und hH, ∗i Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G → H heißt
Homomorphismus, falls gilt: ϕ(a · b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b) ∀a, b ∈ G. Ist ϕ außerdem bijektiv,
so heißt ϕ Isomorphismus und G und H isomorph (G ∼
= H).
G
•
ϕ(a)
a
•?_? _ _ _ 1_G _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _•??
•
1H
H
??
??
??
??
??
??
?
?
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_•ϕ(a) ∗ ϕ(b)
•a · b










•_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _•
b
ϕ(b)
Wenn die Verbindungen, die mit _ _ _ gekennzeichnet sind, existieren, besteht ein
Homomorphismus.
Beispiel(e) 6.1.6.
• ϕ : hC, ·i → hR, ·i
ϕ(z) = |z|
Ist Homomorphismus, denn:
ϕ(a) |{z}
· ϕ(b) = |a| · |b| = |a · b| = ϕ(a |{z}
· b)
in R
in C
• ϕ : hR+ , ·i → hR, +i
ϕ(x) = ln x
ist ein Homomorphismus, denn ϕ(a · b) = ln(a · b) = ln a + ln b = ϕ(a) + ϕ(b)
ϕ bijektiv ⇒ ϕ Isomorphismus
Lemma 6.1.1.
• ϕ(1G ) = 1H , denn
a · 1G = a ∀a ∈ G
ϕ(a) · ϕ(1G ) = ϕ(a)
ϕ(a) · 1H = ϕ(a)
ϕ(1G ) = 1H (Kürzungsregel)
• ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 ∀a ∈ G
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
72
ϕ : G → H Homomorphismus
Kern:
G
YYYYYY
YYYYYY
YYYYY
•
eeeee•
e
e
e
e
1G eeeeeeee
1H
H
Urbild ϕ−1 (1H ) = ker ϕ
ker ϕ = Kern von ϕ“ = ist eine Untergruppe von G, sogar Normalteiler.
”
Gibt es ein anderes Element, das auf 1H abgebildet wird?
Bild:
H
G
hϕ(G)
hhhh
Bild“ von G ist auch Untergruppe von H = im ϕ
”
Isomorphismus
G
MMM
q
q
MMM
q
qqq
Kern M
MMM
qqq
MM
q
q
q
H
im ϕ
hhhh
Satz 6.1.3 (Homomorphiesatz für Gruppen). Sei ϕ : hG, ·i → hH, ∗i ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist ker ϕ ein Normalteiler von G und das Bild im ϕ ist
isomorph zur Faktorgruppe G/ker ϕ, also G/ker ϕ ∼
=im ϕ (ohne Beweis).
6.1.2
Zyklische Gruppen
Sei hG, ·i eine Gruppe, a ∈ G fest und beliebig. Frage: Wie sieht die kleinste Untergruppe von G aus, welche a enthält?
hai. . . die von a erzeugte Untergruppe
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
73
Es gilt: hai = {1, a, a−1 , a2 , a−2 , . . .} = {an | n ∈ Z}, denn
∈Z
an (am )−1 = an a−m
z }| {
= an − m ∈ hai
Definition 6.1.5. Sei hG, ·i Gruppe, a ∈ G. Dann heißt hai die von a erzeugte
Untergruppe. Gilt speziell G = hai für a ∈ G, so heißt G zyklisch und a erzeugendes
Element.
Beispiel(e) 6.1.7.
• Gruppe von Drehungen des Quadrats G = {ρ0 , ρ90 , ρ180 , ρ270 },
erzeugt von ρ90 , also G = hρ90 i
• hZ, +i = h1i
ϕ
/ hR+ , ·i
• hC \ {0}, ·i
ϕ : z → |z|
ker ϕ = {z | |z| = 1}
Jeder Kreis ist eine Klasse für sich, es gibt unendlich viele solcher Kreise:
#
∼
m
=
"!
R+
C \ {0}/ker ϕ
Satz 6.1.4 (kleiner Fermat’scher Satz). In jeder endlichen Gruppe G gilt
a|G| = 1, ∀a ∈ G
(ohne Beweis)
z.B. hZ5 \ {0}, ·i
Z5 = {1̄, 2̄, 3̄, 4̄} = h2̄i
2̄0 = 1̄
2̄1 = 2̄
a4 = 1̄ ∀a
2̄2 = 4̄
allg: ap−1 ≡ 1 mod p für a 6≡ 0 mod p (p prim)
2̄3 = 3̄
(2̄4 = 1̄)
6.2
Ringe, Körper und Bool’sche Algebra
hZ, +, ·i Ring genau dann, wenn gilt:
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
74
• hZ, +i kommutative Gruppe,
• hZ, ·i Monoid und
• die Distributivgesetze gelten.
Definition 6.2.1 (siehe Folie Definitionen algebraischer Strukturen).
(e) Ring
(f) Integritätsring, nullteilerfrei:
a, b 6= 0 ⇒ a · b 6= 0, oder:
a · b = 0⇒a = 0 ∨ b = 0
(g) Körper hK; +, ·i (hK, +i Gruppe, hK \ {0}, ·i Gruppe)
Beispiel(e) 6.2.1 (mit Beweis). hZ, +, ·i Integritätsring, kein Körper (Inverse fehlen)
• hZm , +, ·i mit ā + b̄ = a + b, ā · b̄ = a · b
ist stets ein (endlicher) kommutativer Ring mit Einselement
z.B.
+
0
1
2
3
Z4 :
0 1 2 3
· 0 1 2 3
0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 3 0 1
2 0 2 0 2
3 0 1 2
3 0 3 2 1
zyklische Gruppe
2 · 2 = 0!
erzeugendes Element 1
→ Nullteiler
Z3 : ergibt einen Körper (mit 3 Elementen)
→ hZ4 , +, ·i kein Integritätsring,
kein Körper
• hQ, +, ·i Körper, ebenso R, C
ddddKörper
ddddddddIntegritätsringe
ZZZZZZZZ
Ringe
unendlicher Fall
cccKörper
ccccccccc
[[[[
Integritätsringe=Körper
endlicher Fall
Satz 6.2.1. Jeder endliche Integritätsring ist ein Körper.
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
75
Proof. R = {a1 , a2 , . . . , an } sei ein endlicher Integritätsring
sei b ∈ R, b 6= 0, zu zeigen: es existiert ein inverses Element zu b.
f : R → R(a → a · b)
f ist injektiv, denn ai 6= aj ⇒ ai b 6= aj b
(angenommen ai b = aj b ⇒ (ai − aj ) |{z}
b = 0 ⇒ ai = aj )
6=0
⇒ f surjektiv (da R endlich) und damit f bijektiv ⇒ ∃a : a·b = 1, d.h. a = b−1
QED
Frage: Wann ist Zm ein Körper? Wie bereits festgestellt, ist Z3 ein Körper, aber Z4
nicht.
Satz 6.2.2. Der Restklassenring hZm ; +, ·i ist genau dann ein Integritätsrings (und
damit ein Körper), wenn m prim ist.
Proof. (i) Sei Zm ein Integritätsring, und angenommen m = a · b mit 1 < a, b < m.
b̄ Widerspruch
⇒ m̄ = 0̄ = |{z}
ā · |{z}
6=0̄
6=0̄
(ii) Zp (p prim). Zu zeigen: Zp ist Nullteilerfrei:
gelte ā · b̄ ≡ 0̄ mod p
⇒ p | a · b ⇒ p | a oder p | b
|{z}
|{z}
ā=0
b̄=0
QED
Der Verband
hV, ∪, ∩i Verschmelzungsgesetze: (a ∪ b) ∩ b = b ∀a
(a ∩ b) ∪ b = b ∀a
hV, ∪i und hV, ∩i kommutative Halbgruppen
mit (beiden) Distributivgesetzen: distributiver Verband
hB, ∪, ∩,0 , 0, 1i Bool’sche Algebra, wenn
• B distributiver Verband
• 0,1-Elemente, a ∪ 0 = a, a ∩ 1 = a ∀a
• Komplement a0 : a ∪ a0 = 1, a ∩ a0 = 0
Beispiel(e) 6.2.2.
• hP (M ), ∪, ∩i (∪, ∩ mengentheoretische Vereinigung bzw.
Durchschnitt) Potenzmengenverband einer Menge M bildet einen distributiven
Verband.
KAPITEL 6. ALGEBRAISCHE STRUKTUREN
76
• hSub(V4 ), ∪, ∩i (Sub(V4 ). . . Menge aller Untergruppen den klein’schen Vierergruppe V4 .)
V4 {ρ0 , ρ180 , σ1 , σ2 } = {(1), (1 3)(2 4), (2 4), (1 3)}
Hasse-Diagramm des Untergruppenverbands:
V4
•??
 ???

??

??


??


??


•
{ρ0 , ρ180 }•??{ρ
,
σ
}
•{ρ0 , σ2 }
0
1
??

??

??

??


??

?? 
•
{ρ0 }
σ?2
?4
•?

•
 1
σ1
?

? 
?
 ??
3
•

?
•?
2 ?
ρ0 , ρ180
∩ Infinum = mengentheoretischer Durchschnitt
∪ Suprenum = kleinste Untergruppe, welche beide Gruppen enthält
Bemerkungen:
– Soetwas kann man in jeder Gruppe machen.
– Hasse-Diagramme kann man immer machen, da ein Verband immer eine
geordnete Struktur ist.
• hP (M ), ∪, ∩,
, ∅, M i Bool’sche Algebra mit Ā = M \ A
• hB = {0, 1}, ∨, ∧, ¬, 0, 1i kleinste“ Bool’sche Algebra
”
Teil III
Differential- und Integralrechnung in
einer Variablen
77
Kapitel 7
Konvergenz von Folgen und Reihen
Folge reeller Zahlen: a0 , a1 , a2 , . . . , (an ) ist eine Abbildung f : N → R, n → an ∈ R
• an =
Beispiel(e) 7.0.3.
1
n2
• an = 2
2, 2, 2, 2, . . .
• a0 = 5, an+1 = 21 an +
• an = a0 + n · d
• an = a0 · q n
(n ≥ 1)
1, 14 , 19 , . . .
konstante Folge
5
an
für n = 0, 1, 2, . . . rekursiv definierte Folge
arithmetische Folge
geometrische Folge
Welche Eigenschaften können Folgen besitzen?
(i) Folgen können monoton sein z.B. (an ) rekursiv definiert durch a0 = 0, a1 =
2, an+1 = an2+4 für n ≥ 0
⇒ a0 = 0, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 3, 5, a4 = 3, 75, . . .
a0
0
1
a1
a2
2
3
a3 a4
-R
4
(an ) ist offensichtlich monoton wachsend
Allgemein: ist eine Folge (an ) in folgenden Fällen monoton:

an < an+1 streng monoton wachsend 


an > an+1 streng monoton fallend
∀n ∈ N
a ≤ an+1
monoton wachsend 


a ≥ an+1
monoton fallend
78
KAPITEL 7. KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
(ii) Folgen können beschränkt sein:
(an ) wie oben ⇒ |{z}
0
≤ an ≤
untere Schranke
G
|{z}
79
∀n ∈ N
obere Schranke
Allgemein heißt eine Folge (an ) beschränkt, wenn es Zahlen a und b gibt, sodass
a ≤ an ≤ b ∀n ∈ N gilt.
(an ) n ∈ N
a ≤ an ≤ b ∀n ∈ N
Bemerkung 7.0.1. Ist (an ) beschränkt, dann gibt es beliebig viele utnere und
obere Schranken. Jede beschränkte Folge besitzt jedoch in R eine kleinste obere
Schranke (Supremum) und eine größte untere Schranke (Infinum).
α = inf an , falls α ≤ ∀n
α > α → an0 < α0 für ein n0
0
analog β = sup an
(iii) Folgen können einen Grenzwert besitzen:
0
1
2
3
-R
4
an+1 =
an +4
2
für ε > 0
hier liegen fast alle Folgenglieder
-
4
|a − 4| < ε für fast alle n
für alle n > N
für ein bestimtes N
für fast alle“ = für alle bis auf endlich viele“
”
”
Definition 7.0.2. Eine Folge (an ) konvergiert gegen den Grenzwert a (in Zeichen:
limn→∞ an = a), falls in jeder ε-Umgebung von a fast alle Glieder der Folge liegen,
d.h. falls gilt: ∀ε > 0 ∃N (ε) ∈ N : |an − a| < ε ∀n > N (ε)
Andernfalls ist die Folge (an ) divergierend.
Zur Bestimmung von Grenzwerten von Folgen sind folgende Sätze nützlich:
1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist. (Hauptsatz für monotone Folgen)
KAPITEL 7. KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
a
b
-
80
-
6
∃ lim an
3. Eine Folge (an ) ist genau dann konvergent, wenn zu jedem ε > 0 ein Index N (ε)
existiert, sodass |am − an | < ε für alle m, n > N (ε) (Konvergenzkriterium von
Cauchy)
4. Limessätze: Für Summen, DIfferenzen, Produkte und Quotienten konvergenter
Folgen gilt:

 limn→∞ (an ± bn ) = a ± b
limn→∞ (an · bn ) = a · b
lim an = a, lim bn = b ⇒
n→∞
n→∞

limn→∞ abnn = ab , falls bn 6= 0, b 6= 0
Beispiel(e) 7.0.4.
• an = (−1)n
1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .
beschränkt −1 ≤
an ≤ 1 divergent
besitzt 2 Häufungswerte bei +1, −1, d.h. in jeder Umgebung liegen unendlich
viele Folgenglieder
• an = n1 (n ≥ 1) :
1, 21 , 13 , 14 , . . .
fallend, d.h. an+1 < an ∀n
beschränkt 0 ≤ an ≤ 1 streng monoton
⇒ konvergent, limn→∞ an = 0, denn |an − 0| = n1 < ε
1
+1
(bxc = x abgerundet)
für alle n >
ε
| {z }
N (ε)
• an = n 2 :
0, 1, 4, 9, . . .
streng monoton wachsend, unbeschränkt
⇒ divergent
Schreibweise:
limn→∞ an = ∞ bestimmt divergent“ = uneigentlich konvergent gegen ∞“
”
”
n2 +n−1
• an = 3n2 −11 :
1 + n1 − n12
1+0−0
1
=
=
11
n→∞
3−0
3
3 − n2
lim an = lim
n→∞
• an = q n :
1, q 2 , q 3 , q 4 , . . .

0 für |q| < 1



1 für q = 1
lim q n =
∞ für q > 1 (uneig. konvergent)
n→∞



sonst kein Grenzwert
KAPITEL 7. KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
81
Proof. sei q > 1:
q = 1 + p mit p > 0 q n = (1 + p)n = 1 + n1 p +
also q n → ∞ für n → ∞
n
2
p2 + . . . ≤ 1 + np → ∞ für n → ∞
sei 0 < q < 1:
1
q
= 1 + p mit p > 0
1
0 < q n ≤ 1+np
→ 0 für n → ∞
n
also q → 0 für n → ∞
QED
• an = (1 + n1 )n
es gilt:
n≥1:
2, 2.5, 2.37, 2.74, . . .
lim an = e = 2.71828 (ohne Beweis)
n→∞
• an =
√
n
n→1
für n → ∞ (ohne Beweis)
Nun betrachten wir unendliche Reihen:
1
10
1
1
+ 100
+ 1000
+ . . . = 0.1̇ = 19
1
1
1
1 − 3 + 5 − 7 + 19 − + . . . = π4 (Leibnitzreihe)
1 − 12 + 13 − 14 + 15 − + . . . = ln 2
aber 1 + 12 + 13 + 14 + . . . = ∞
sei a0 , a1 , a2 , . . . eine reelle Zahlenfolge, zugehörige Reihe a0 +a1 +a2 +. . . =
P∞
n=0
an
Folge von Partialsummen: s0 = a0
s 1 = a0 + a1
s 2 = a0 + a1 + a2
..
.
P
sn = ni=0 ai
↓
s für n → ∞?
Existiert
der Grenzwert der Folg der Partialsummen limn→∞ sn = s, so heißt die Reihe
P∞
a
n=0 n konvergent und s ihre Summe, ansonsten ist die Reihe divergent.
Beispiel(e) 7.0.5. unendliche geometrische Reihe
∞
X
n=0
qn = 1 + q + q2 + . . .
KAPITEL 7. KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
82
sn = 1 + q + . . . + q n
−
qsn =
q + . . . + q n +q n+1
(1 − q)sn = 1
−q n+1
P
n+1
1
1
n
2
sn = 1−q
→ 1−q
für n → ∞, falls |q| < 1 ⇒ ∞
n=0 q = 1 + q + q + . . . = 1−2
1−q
P
1
1
1 n
für |q| < 1 z.B.: 10
= 1−1 1 − 1 = 10
+ 100
+ ... = ∞
− 1 = 19
n=1 10
9
10
P∞
Satz 7.0.3. Ist die Reihe
n=0 an konvergent, folgt limn→∞ an = 0, aber nicht
umgekehrt.
P
Proof. (i) sei ∞
n=0 an konvergent, d.h. limn→∞ sn = s
an = (a0 + . . . + an ) − (a0 − . . . − an−1 ) = sn − sn−1
lim an = lim(sn − sn−1 ) = lim sn − lim sn−1 = s − s = 0
(ii) Nun betrachten wir die Reihe 1 + 21 + 13 + . . ., harmonische Reihe“
”
lim an = lim n1 = 0
1+
1
1 1 1 1 1 1
+ + + + + + +...
2
|3 {z 4} |5 6 {z 7 8}
|{z}
> 12
> 12
= 12
allgemein: sn2 ≥ 1 + nP· 12 → ∞ für n → ∞
1
⇒ lim sn = ∞, also
divergent, obwohl lim n1 = 0!
n
QED
Eine Reihe
P∞
n=0
an heißt absolut konvergent, falls
P∞
n=0
|an | konvergent.
Satz 7.0.4. Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent, aber nicht umgekehrt
(ohne Beweis).
•
Beispiel(e) 7.0.6.
1
10
−
P∞
1
100
n=0
+
1
1000
(−1)n+1
10n
1
10
+
1
100
− +... =
+ ... =
1
(1
100
−
1
10
1
9
ist absolut konvergent.
+
1
100
− + . . .) =
1
10
·
1
1
1−(− 10
)
=
ist absolut konvergent, und daher auch konvergent.
• 1 + 12 + 13 + . . . divergent
1 − 12 + 13 − + . . . = ln 2
ist konvergent, aber nicht absolut konvergent ⇒ bedingt konvergent
unendliche
Reihen
WWWWW
gg
WWWWW
ggggg
g
g
WW+
g
g
sg
konvergente
Reihen
divergente
Reihen
R
l
RRR
lll
RRR
l
l
vl
(
absolut konvergent
bedingt konvergent
1
,
11
also
KAPITEL 7. KONVERGENZ VON FOLGEN UND REIHEN
83
Zum Nachweis der Konvergenz einer Reihe sind folgende Konvergenzkriterien nützlich:
”
P
P
P
1. Gilt
an , bn , dass |an | ≤ |bn | für fast alle n und
bn ist konv, dann ist
P für
an absolut konvergent. (Majorantenkriterium)
analog Minorantenkriterium (für Divergenz)
P
P
2. Gilt für
an , dass | an+1
≤ q < 1 für fast alle n, dann ist
an absolut konveran
gent (Quotientenkriterium).
P
3. Ist an eine alternierende Reihe (das its eine Reihe, deren Glieder abwechselnde
P
Vorzeichen besitzen), sodass |an | monoton gegen 0 konvergiert, dann ist
an
konvergent (Leibnizkriterium).