Uebungsserie 1.1 – Harmonische Signale und Ihre Darstellung

15. September 2017
Elektrizitätslehre 3
Martin Weisenhorn
Uebungsserie 1.1 – Harmonische Signale und Ihre
Darstellung
Aufgabe 1. Die nachfolgende Grafik stellt das Oszillogramm zweier sinusförmiger Spannungen
dar, die entsprechende mathematische Beschreibung ist
u(t) = û cos(2πf t + ϕu ).
a) Bestimmen Sie für die beiden Spannungen u1 (t) und u2 (t) die Frequenz f , die Phasenwinkel
ϕu1 und ϕu,2 , sowie die Amplituden û1 und û2 .
b) Wie gross ist der Betrag der Phasenverschiebung zwischen û1 und û2 in Grad?
c) Bestimmen Sie die Summe uS (t) = u1 (t) + u2 (t).
Aufgabe 2. (Phasenverschiebung) Für die skizzierte Sinusgrössen gebe man an:
a) Kreisfrequenz ω und Periodendauer T ,
b) den Phasenverschiebungswinkel des Stroms gegenüber der Spannung ϕ,
c) die reellen Zeitfunktionen u(t) und i(t),
d) die Effektivwertzeiger U und I.
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2
Aufgabe 3. (Komplexe Zahlen) Bestimmen Sie die polaren und kartesischen Formen der
komplexen Zahlen X und von deren reziproken Werten Y =
von Radianten anzugeben
1
X.
Alle Winkel sind in Einheiten
a) X = 3 + 4j
b) X = 3 − 4j
c) X = 2 + exp(jπ)
d) X = 1 ∠ π2 ; Das Symbol ∠α bedeutet ejα .
e) X = (1 + j)2
f) X = 1+j
1−j ; Es gibt zwei Lösungsansätze: 1.) Erweiterung des Bruchs mit dem konjugiert
komplexen Nenner, 2.) Zähler und Nenner in polarkoordinaten darstellen. Lösen Sie das
Problem auf beide Weisen.
Aufgabe 4. (Harmonische Signale als komplexe Zahlen dargestellt) Geben Sie für
die unten stehenden Zeitfunktionen y(t) die Parameter ŷ und ϕ an damit die Gleichung y(t) =
ŷ cos(ωt+ϕ) erfüllt ist. Bestimmen Sie ausserdem die entsprechenden komplexen Zahlen y, sodass
n
o
y(t) = Re y ejωt = Re ŷ ejϕ ejωt .
a) y(t) = −2 · cos(ωt + π/3)
b) y(t) = 0.5 · sin(ωt + π/8)
Aufgabe 5. (Komplexe Zeiger als harmonische Signale darstellen) Bestimmen Sie aus
den jeweiligen Angaben der komplexen Effektivwerte die zugehörige reelle Zeitfunktion:
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Aufgabe 6. (Superposition) Drei Quellen mit sinusförmiger Quellenspannung und gleicher
Frequenz sind in Reihe geschaltet. Die Klemmenspannung hat den Effektivwert 10.0 V und den
Nullphasenwinkel 15◦ .
Uq1 = 30 V; ϕu1 = 30 ◦ ; Uq2 = 45 V; ϕu2 = 60 ◦
a) Zeichnen Sie ein Zeigerdieagramm mit allen vorkommenden Spannungen
b) und bestimmen Sie die Kenngrössen der dritten Quelle.
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Aufgabe 7. (Vom komplexen Zeiger zum Zeitsignal) Wie lauten die zu den Zeigern
gehörenden reellen Zeitfunktionen?
Aufgabe 8. (Superposition) An einem Knotenpunkt sind die Ströme I1 und I2 bekannt:
I1 = 5.0 A ∠0◦ ; I2 = 4.2 A ∠120◦ ; f = 50 Hz
Bestimmen Sie jeweils den unbekannten Strom I3 .
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Aufgabe 9. (Mittelwerte) Für die Mittelwerte eines periodischen Signals x(t) gelten die
folgenden Berechnungsformeln:
•
•
Linearer Mittelwert: x̄ =
1
T
RT
x(t) · dt
0
quadratischer
Mittelwert, auch Effektiv- oder RMS-Wert (Root Mean Square) genannt: X =
s
1
T
RT
x2 (t) · dt
0
Die bestimmten Integrale erstrecken sich dabei über je eine Periodendauer T . Bestimmen Sie auf
analytischem Weg (d. h. in Funktion der gegebenen Parametern) die linearen und quadratischen
Mittelwerte der folgenden Signale:
a) harmonisches Signal x(t) = x̂ cos(ωt + ϕ). Besteht eine Abhängigkeit des Mittelwertes vom
Nullphasenwinkel ϕ?
b) harmonisches Signal mit Offset: x(t) = x0 + x̂ sin(2πf t)
c) Rechteckpulsfolge x(t) mit Pegelwerten zwischen 0 und A und einer relativen Einschaltzeit
Tein
T :
x(t)
Tein
A
0
0
T
t
Unter der relativen Einschaltzeit versteht man das Verhältnis der Dauer Tein des höheren
Signalpegels A zur Periodendauer T des Signals.
d) Nun soll der lineare Mittelwert des Rechtecksignals vom Rechtecksignal abgezogen werden.
Wie gross ist der lineare Mittelwert des neuen Rechtecksignals? Wie gross ist dessen quadratischer Mittelwert?
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Lösung 1.
a) Die Dauer T einer Periode kann aus der Grafik herausgelesen werden. Der Zeitraum [−10, 0] ms
enthält genau eine Periode. Das heisst T = 10 ms.
Damit gilt für die Frequenz f = 1/T = 100 Hz.
Der Zeitpunk −tu2 des Spitzenwerts von u2 (t) der am nächsten bei t = 0 liegt lässt sich per
Lineal und Dreisatz bestimmen: −tu2 = −0.8523 ms. Gleiches gilt für die Bestimmung von
−tu1 : −tu1 = 1.25 ms.
Die Phasenwinkel berechnens sich wie folgt:
ϕu1 = ω tu1 = −0.7854 rad = −45◦
ϕu2 = ω tu2 = 0.5355 rad = 30◦
Die Scheitelwerte der Spannungen sind û1 = 2 V und û2 = 0.8 V.
b) ϕu2 − ϕu1 = 75◦
c) Das folgende MATLAB-Skript beschreibt die nötigen Rechenschritte:
u_1_ = 2 * exp ( -1 i * pi /4) ;
u_2_ = 0.8* exp (1 i * pi /6) ;
u_s_ = u_1_ + u_2_ ;
u_s = abs ( u_s_ )
phi = angle ( u_s_ )
phi_grad = phi *180/ pi
% Ergebnis :
% u_s = 2.3384
% phi = -0.4486
% phi_grad = -25.7037
Daraus folgt: uS (t) = 2.338 V · cos(2πf t − 25.70◦ )
Lösung 2.
a) ω = 314 s−1 ; T = 20 ms
b) ϕ = π/3
c) u(t) = 325 V · cos(314 s−1 t − π/2); i(t) = 3.48 A · cos(314 s−1 t − 5π/6)
d) U = 230 V ∠ − π/2; I = 2.46 A ∠ − 5π/6
Lösung 3.
X = 3 + 4j = 5 · ej arctan(4/3) = 5∠0.9273, Y = 51 ∠ − 0.9273 = 0.12 − 0.16j
X = 3 − 4j = 5 · e−j arctan(4/3) = 5∠ − 0.9273, Y = 51 ∠0.9273 = 0.12 + 0.16j
X = 2 + exp(jπ) = 2 − 1 = 1, Y = 1
π
X = 1 ∠ π2 = 1 · ej 2 = j, Y = ∠ −
π
2
= −j
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X = (1 + j)2 =
X=
1+j
1−j
=
√
√ π
2∠ 4
√
2∠− π4
2∠ π4
2
= 2∠ π2 = 2j, Y = 0.5∠ −
= 1∠ π2 = j, Y =
1
j
= −j = 1∠ −
π
2
7
= −0.5j
π
2
Lösung 4.
a) y(t) = −2 · cos(ωt + π/3) = ŷ cos(ωt + ϕ), wobei ŷ = 2, ϕ = 4π/3, y = 2 · ej
4π
3
b) y(t) = 0.5 · sin(ωt + π/8) = ŷ cos(ωt + ϕ), wobei ŷ = 0.5, ϕ = π/8 − π/2, y = 0.5 · e−j
Lösung 5.
Lösung 6.
uq3 = 64.4 V ∠ − 127.1◦
Lösung 7.
u(t) = 325 V · cos(314 s−1 · t)
i1 (t) = 5.66 A · cos(314 s−1 · t)
i2 (t) = 4.24 A · cos(314 s−1 · t + 90◦ )
i(t) = 7.07 A · cos(314 s−1 · t + 36.9◦ )
Lösung 8.
a) I3 = 4.65 A ∠ − 128◦
b) I3 = 7.98 A ∠152.9◦
Lösung 9.
a) x̄ = 0,
b) x̄ = x0 ,
c) x̄ = A TTein ,
X=
√x̂
2
X=
q
X=A
r
d) x̄ = 0,
x20 + 0.5 x̂2
X=
q
A2 TTein
Tein
T
−
A2
Tein
T
2
=
s
q
A
Tein
T
2
− A TTein
2
3π
8
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Die Resultate der letzten drei Aufgaben lassen sich viel schneller finden, wenn man den folgenden
Zusammenhang benutzt: Jedes Signal x(t) lässt sich als die Summe seines Gleichanteils x̄ und
seines Wechselanteils x̃(t) darstellen, d.h. x(t) = x̄ + x̃(t). Die Leistungen des Gleichanteils x̄ und
des Wechselanteils x̃(t) addieren sich zur Gesamtleistung P (x(t)) des Signals:
2
P (x(t)) = RMS(x(t))
2
= RMS(x̄)
2
+ RMS(x̃(t))
2
= x̄2 + RMS(x̃(t))
Eine Verallgemeinerung dieses Zusammenhangs auf Wechselanteile mit unterschiedlichen Frequenzen lernen Sie im Kurs Signale und Systeme als den Satz von Parseval kennen.