Blatt 10 - Humboldt-Universität zu Berlin

Humboldt-Universität zu Berlin
Bereich Stochastik und Finanzmathematik
Blatt 10
Wintersemester 2014/2015
Version vom 22. Januar 2015
Prof. Dr. Dirk Becherer
Peter Frentrup
Übungen zur Analysis III
Aufgabe 1 (4 Punkte)
Wenn möglich, bearbeiten Sie diese Aufgabe bitte auf englisch, um die Korrektur zu erleichtern.
Ein (beschränkter und messbarer) Körper A ⊂ R3 bestehe aus einem homogenen Material. Damit
ergibt sich sein Masseschwerpunkt als
Z
Z
Z
1
z dλ3 .
y dλ3 ,
(Sx , Sy , Sz ) =
x dλ3 ,
λ3 (A) A
A
A
Berechnen Sie den Schwerpunkt des Körpers, der durch die Flächen { 19 (x2 + y 2 ) = 5 − z} und {z = 1}
eingeschlossen wird.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Betrachten Sie die Euler’schen Beta- und Gamma-Funktionen
Z 1
Z ∞
x−1
y−1
B(x, y) =
t (1 − t)
dt und Γ(x) =
tx−1 e−t dt,
0
0
für positive reelle Zahlen x, y > 0. Beweisen Sie die Identität
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)
Hinweis: Substituieren Sie t = sin2 α in B(x, y) und t = r2 in Γ(x+y) und wenden Sie auf das Produkt
B(x, y)Γ(x + y) den Satz von Fubini sowie die Transformation von Polar- zu kartesischen Koordinaten
an.
Aufgabe 3 (4 Punkte + 4 Zusatzpunkte)
Sei (X, A, µ) ein Maßraum und f : X → R eine messbare numerische Funktion. Wir definieren das
wesentliche (essentielle) Supremum von f als
ess sup f := inf
sup f (x).
A∈A x∈X\A
µ(A)=0
Beweisen Sie:
a) Falls a < ess sup f ≤ ∞, so gilt µ({x ∈ X | f (x) > a}) > 0.
b) Es existiert eine Nullmenge A ∈ A, µ(A) = 0, mit ess sup f = sup f (x).
x∈X\A
c) Zusatz: Für kf k∞ := ess sup|f | gilt kf k∞ = 0 genau dann, wenn f = 0 µ-fast überall.
Damit definieren wir die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen
L∞ (µ) := f : X → R kf k∞ < ∞ .
Wegen Eigenschaft c) ist k·k∞ keine Norm. Dazu müssen wir zu Äquivalenzklassen über gehen. Sei
N := {f : X → R | f = 0 µ − fast überall}, so ist L∞ := L∞ /N ; analog zu Lp := Lp /N für p ∈ [1, ∞).
d) Zusatz: Für eine Äquivalenzklasse [f ] ∈ L∞ sei k[f ]k∞ := kf k∞ . Beweisen Sie, dass (L∞ (µ), k·k∞ )
ein normierter Vektorraum ist.
Aufgabe 4 (Präsenzaufgabe)
a) Seien (X, A, µ) und (Y, B, ν) Maßräume und f : X × Y → R eine numerische
R R Funktion. Entscheiden
R R Sie jeweils, ob der Satz von
R Fubini anwendbar ist. Berechnen Sie X Y f (x, ·) dν µ(dx)
und Y X f (·, y) dµ ν(dy), sowie X×Y f dµ ⊗ ν, falls diese definiert sind.
(i) X = Y = R mit Borel-σ-Algebra A = B = B(R), Lebesgue-Maß µ = ν = λ1 und


 1, −1 ≤ x − y < 0,
f (x, y) = −1,
0 ≤ x − y ≤ 1,


0, sonst.
(ii) X = Y = [0, 1] mit A = L(X) und Lebesgue-Maß µ = λ1 , sowie B = 2Y , Zählmaß
ν(B) = |B| := card(B) und der Funktion f (x, y) = x + y.
(iii) X = Y = [0, 1] mit A = B = L(X) und Lebesgue-Maß µ = ν = λ1 , sowie der Funktion
f (x, y) = −
x
x2 − y 2
d2
arctan = 2
.
dx dy
y
(x + y 2 )2
b) Studenten, die noch wenige Punkte haben (vgl. Webseite), können diesen Aufgabenteil auch schriftlich abgeben, wenn möglich auf englisch (4 Zusatzpunkte).
Seien p, q > 1 reelle Zahlen mit
1
p
+
1
q
= 1.
(i) Beweisen Sie die Ungleichung a1/p ·b1/q ≤ ap + qb für alle positiven reellen Zahlen a, b ∈ (0, ∞)
durch Analyse der Funktion ϕ(t) := p1 t + 1q − t1/p .
(ii) Zeigen Sie, dass für f ∈ Lp und h ∈ Lq auch f · h ∈ L1 und es gilt:
kf · hk1 ≤ kf kp · khkq .
Abgabe: Dienstag, 13.1.2015 vor der Vorlesung
Die Lösungen sind in Zweiergruppen abzugeben. Jede Aufgabe schreiben Sie bitte auf ein eigenes
Blatt, mit Namen, Matrikelnummern und Übungsgruppe.