4. sätze über das rechnen mit z-folgen - E

4. SÄTZE ÜBER DAS RECHNEN MIT Z-FOLGEN
Objekttyp:
Chapter
Zeitschrift:
L'Enseignement Mathématique
Band (Jahr): 12 (1966)
Heft 1-2:
L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE
PDF erstellt am:
31.10.2017
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4. SÄTZE ÜBER DAS RECHNEN MIT Z-FOLGEN
Die eineindeutige Zuordnung der reellen Zahlen aus (0,1) zu
den Z-Folgen aus D schreiben wir abgekiïrzt in der Form
Damit ist gemeint, dass (d m ) die der Zahl x gemâss (Z) zuge
ordnete Z-Folge ist. Daraus kann man sofort folgende Aussage
ableiten:
(A) Wenn x x <-» 1>m ) und 2 <-» (d 2 , M ) ist, so ist x t
gleichbedeutend mit 1>m = d2>m fur aile m=1,2,3, ...
Das gibt jetzt Anlass zu der
{dl>m)d
x2x
=x2
dl>md
i=i
(x v x 2 ) heisst der
Définition 1. Die natùrliche Zahl
Index zweier verschiedener reeller Zahlen x und 2 aus (0,1),
x2x
1
wenn folgendes gilt:
1.
x 1 ++(d Um ) und
2.
3.
Wenn
i>l ist,
d Ui
#
so sei auch d lfk
i-1.
Mit dieser Bezeichnung
x2x
2
<-+(d 2>m )
d 2ti
=
d 2>k
fur aile
k=l,2,
gilt jetzt
(B) Es sei
Dann ist x i
>x2 gleichbedeutend mit d lti <
dIAd
1A
Hilfssatz 2. a) Es sei x <-» (d m ) Dann gibt es zu jedem
> 0 ein k (e) derart, dass fur aile ye (0,1) aus der Beziehung
i (x, y) > k die Beziehung \x ? y\ < s folgt.
.
s
b) Es sei
fur
n=
1,2, ... Dann folgt aus lim
n->cc
£*
n
=
oo
rf^ Beziehung
Beweis. Da b) unmittelbar aus a) folgt, gentigt es, a) zu
beweisen. s > 0 sei beliebig und fest. Wir wâhlen jetzt eine
nattirliche Zahl k so, dass e> 1-fc ist, und betrachten nur solche
y aus (0,1), fur die i (x, y) ;> k + 1 ist. Ein solches y greifen wir
heraus. Die zugeordnete Z-Folge sei (d*m ), und der Index sei i*.
Dann kann man die Differenz \x ? y\ vermoge (3) abschàtzen:
21-fc2
Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
Berner kenswert ist die Tatsache, dass die Aussage b) in
Hilfssatz 2 nicht umkehrbar ist. Das zeigt das Beispiel
Es
gilt lim x n
H-*OO
= x,
aber lim
»->OO
i =
n
2
.
Im weiteren benôtigen wir oft den bekannten
Hilfssatz 3. (qt ) sei eine Folge natûrlicher Zahlen. Dann ist
die Négation der Aussage lim q t = oo gleichwertig mit der Aus
in der Folge
sage, dass
(qt ) eine feste natûrliche
Zahl k unendlich
oft çorkommt.
Weiter brauchen wir den
Hilfssatz 4. Es
in = i (xn x) fur n =
mit lim i n = oo .
,
«-?oo
sei
xn
<-»
1, 2, 3, ...
(d B ,J, x <-> (d m ), x n <x und
Dann ist lim x n =x gleichwertig
"~*°°
Beweis. Wegen Hilfssatz 2, b) haben wir nur zu beweisen,
dass unter der angegebenen Voraussetzung aus lim x n = x die
Behauptung lim in
=
oo
folgt. Wir ftihren den Beweis indirekt.
Aus der Annahme, dass lim i n
n-+oo
=
oo
nicht gilt, folgt mit Hilfs
es eine natiïrliche Zahl k gibt, die in der Folge der
(i n ) unendlich oft vorkommt. Es sei also {ln)l n ) eine unendliche Teil
folge aus der Folge der nattirlichen Zahlen (n) mit der Eigen
satz 3, dass
schaft
(4)
Fur aile n gilt wegen
(4)
Nach unserer Voraussetzung sind aile x kn kleiner als x. Weil
X stets i (x Àn , x)
ist, gilt also wegen (B) fur aile
n
X n die Beziehung
fur jedes
=k
Setzt man das in die vorhergehende Formel ein,
fur aile n
so
erhàlt man
Fur aile n gilt demnach
Das bedeutet aber gerade
d.h. die Folge (x n ) kann nicht gegen x konvergieren. Damit ergibt
sich ein Widerspruch gegen die Annahme, dass lim i n = oo
n->oo
nieht gilt. Somit ist dièse Annahme falsch und der Hilfssatz
bewiesen.
5. KONSTRUKTION EINER LÖSUNG VON (2)
Es sei (d m ) eine Z-Folge aus D. (Siehe Abschnitt 2). Jeder
solchen Folge kann man einen Ausdruck
(5)
zuordnen. Dabei bedeutet
£*
die Summe liber aile m, ftir die
m
0 ist. Es lâsst sich zeigen, dass z entweder eine positive
réelle Zahl ist oder 00. Denn nach Définition einer Z-Folge (d m )
sind aile d m nicht negativ, und mindestens ein d m ist von Null
verschieden. Die Folge der Partialsummen
dm
ist daher eine monoton steigende Folge. Also ist
konvergent oder bestimmt divergent. Es gilt daher
z
entweder
Nach den Überlegungen im Abschnitt 3 kann man jeder
reellen Zahl aus (0,1) in eineindeutiger Weise eine Z-Folge aus
D zuordnen. Somit kann man mit (5) auf folgende Art eine
positive réelle Funktion erklàren: Wenn