A15B/C) ERKLÄRUNG

A15B/C) ERKLÄRUNG
Aufgabenstellung: „Sind Monopolpreise ein Gleichgewicht in reinen Strategien bei
und
, wenn für die Nachfrager beim zufälligen Aufsuchen einer ersten Firma keine Suchkosten anfallen, aber
das zufällige Aufsuchen jeder weiteren Firma, um dort den Preis zu erfahren, Suchkosten von
verursacht? Wie
groß ist der Monopolgewinn jeder Firma?“
Der Monopolpreis bei Bertrand mit Suchkosten und konstanten Grenzkosten (!) ist immer gleich der max. ZB der
Konsumenten (warum sollte auch irgendwer, der seinen Preis frei festlegt, drunter bleiben?) Also:
.
Die Idee ist jetzt: wenn eine Firma einen Preis setzen kann, bei dem es sich für einen Nachfrager lohnt, „mal zu schauen
ob’s noch ‘ne günstigere Firma gibt“, dann ist der Monopolpreis nicht stabil. Denn: dann könnte eine Firma, die diesen
Preis setzt, Nachfrager von anderen Firmen, die sich mal umschauen, auffangen.
Knackpunkt in der Aufgabenstellung ist aber: jeder Nachfrager schaut sich einmal eine einzige andere Firma an. Wenn
die nicht günstiger ist, hört er auf zu suchen und bleibt bei seiner alten Firma.
Wie müsste jetzt also dieser Preis
aussehen, damit es sich für einen Nachfrager lohnt, nach Abweichlern zu suchen?
(Hier wird implizit angenommen, dass die Nachfrager wissen, dass es „irgendwo“ den Preis gibt, aber eben nicht, bei
welchem Anbieter.)
Ich mache hier ein Beispiel mit den konkreten Zahlen, aus dem sich die allgemeine Form dann aber ableitet:
 Damit es sich für einen Nachfrager lohnt, nach einer anderen Firma zu suchen, muss gelten:
(
)
(
)
Der Nachfrager ist Kunde bei einem Anbieter – bleiben also noch 9 andere Anbieter, die er sich anschauen
kann. Von diesen neun Anbietern macht einer den Preis , die anderen 8 machen den Preis
, den der
Nachfrager auch jetzt schon bezahlt.
ist also die WK, bei zufälliger Suche unter den 9 anderen Anbietern den Abweichler zu finden. Findet der NF
den Abweichler, hat er einen Nutzen in Höhe seiner Zahlungs-bereitschaft minus dem Preis des Abweichlers
(
).
Sehr viel höher, genauer gesagt , ist aber die Wahrscheinlichkeit, dass der NF beim zufälligen Suchen
stattdessen bei einem der 8 anderen Monopolpreisanbieter landet und den Nutzen (
) behält.
In jedem Fall muss er beim Abweichen die Suchkosten bezahlen, egal welchen Anbieter er findet.
Damit sich das Ganze für den Nachfrager nun lohnt, muss der Nutzen des Suchens unterm Strich höher sein als
der Nutzen, den er gerade im Moment hat – das ist (
), ohne dass er Suchkosten bezahlen müsste.
 Allgemein aufgeschrieben ist die Gleichung also:
(
)
(
)
 Diese Gleichung löst man nun nach
auf und erhält dann ein Ergebnis wie zum Beispiel
. Das sagt aus,
dass der Preis des Abweichlers 1 sein muss, damit es sich für die Nachfrager überhaupt lohnt, auf die Suche
zu gehen.
 Wenn dieser Preis nun aber unter den Grenzkosten der Anbieter (wie hier
) liegt, würden sie Verlust
machen, wenn sie den Abweichlerpreis setzen – deshalb sind Monopolpreise dann ein Gleichgewicht: wenn die
Anbieter irgendwas unterhalb von
setzen, wechselt trotzdem niemand (eben wegen den Suchkosten) – und
so tief, wie sie gehen müssten (nämlich kleiner als 1) können sie nicht gehen.
Für die Lösung von Aufgabe c) braucht man eine allgemeine Formel für (
), deshalb einfach die obenstehende
allgemeine Gleichung nach
auflösen, ohne irgendwas einzusetzen (theoretisch könnte man alles außer auch schon
einsetzen – aus Gründen der Übersicht rate ich aber davon ab).
Der Abweichlerpreis hängt also von der Anzahl der Unternehmen ab – je weniger Unternehmen am Markt sind, desto
größer ist die Chance, den Abweichler zu treffen…und desto kleiner darf der Preisunterschied sein, dass es sich
trotzdem noch lohnt, zu suchen.
(Lösungsidee s. nächste Seite)
Lösungsidee ist jetzt:
 Bei Monopolpreisen teilen sich alle Firmen den Monopolgewinn (pro Stück (
verteilen sich gleichmäßig auf die 10 Firmen:
(
) oder allgemein
(
)), d.h. die 100 Nachfrager
)
 Wenn die Firma nun Abweichlerpreise setzt, macht sie stattdessen folgenden Gewinn:
(
)
(
)
Die Firma macht für jeden Nachfrager, der eine Einheit kauft, einen Gewinn von (
).
Der Teil links vom „+“ sind die Nachfrager, die der Firma ohnehin zugefallen sind (am Anfang sind die NF ja
gleichmäßig auf die Firmen verteilt).
Der Teil rechts von „+“ sind die Nachfrager, die die Abweichlerfirma durch Suchen gefunden haben:
o
ist die Anzahl Nachfrager, den jede Firma anfangs abbekommt
o
ist damit die Anzahl Nachfrager, den die neun Konkurrenzfirmen des Abweichlers insgesamt
haben
o
Die Nachfrager der Konkurrenz suchen nun zufällig ein anderes Unternehmen (auch sie haben ja neun
andere zur Auswahl). Mit einer Wahrscheinlichkeit von finden sie also dann den Abweichler. Und nur
wenn sie das tun, bekommt der Abweichler durch sie Gewinne.
Der Abweichler bekommt also zusätzlich zu seinen eigenen Nachfragern noch Gewinne von
Nachfragern, die ihn zusätzlich gefunden haben.
Oder, allgemein:
(
)
.
 Damit Monopolpreise ein Gleichgewicht sind, darf sich Abweichen nicht lohnen. Es muss also der
Monopolgewinn größer sein als der Abweichlergewinn, also (allgemeine Version der Gleichungen von oben):
(
)
(
)
(
In die Gleichung wird nun einfach der weiter oben berechnete Term für
)
(
eingesetzt und nach
)
aufgelöst.
 Zum Schluss bringt Einsetzen der bekannten Werte ( , , ) dann ein
. Das ist die Mindestanzahl an
Unternehmen, die im Markt sein müssen, damit der Monopolgewinn größer ist als der zu erwartende Gewinn
für einen Abweichler.