Allgemeines Gleichgewicht Ziel: Darstellung aller Märkte (Güter

Allgemeines Gleichgewicht
Ziel: Darstellung aller Märkte (Güter- und Faktormärkte) einer Volkswirtschaft einschl. aller Interdependenzen. Anwendung: Wohlfahrtsüberlegungen (z.B. bei der Evaluierung von wirtschaftspolitischen Maßnahmen).
1. Stufe: Reiner Tausch ohne Produktion
2. Stufe: Modell mit Produktion
Vereinfachungen: 2 Güter, 2 Wirtschaftssubjekte und
später: 2 Produktionsfaktoren, 2 Unternehmen
Grundfragen
1. Wie lautet die Bedingung für eine optimale Güterverteilung?
2. Wie lautet die Bedingung für eine effiziente Faktorverteilung?
3. Unter welcher Bedingung wird genau das produziert, was auch nachgefragt wird?
Annahmen (Reiner Tausch):
1. 2 Haushalte (A und B)
2. 2 Güter (x und y), die beliebig teilbar sind
3. Erstausstattung: xA , xB , y A und y B
4. Vollkommene Konkurrenz
5. Die Haushalte maximieren ihren Nutzen
6. Die Unternehmen maximieren ihren Gewinn
7. Die Nutzenfunktion der Haushalte haben konvexe Indifferenzkurven
Budgetbeschränkungen:
px · (xA − xA ) +py · (yA − y A ) = 0
px · (xB − xB ) +py · (yB − y B ) = 0
GG-Bedingungen:
(xA + xB ) = (xA + xB )
(yA + yB ) = (y A + y B )
Die Edgeworth-Box
b
E
ȳA
0A
x̄A
x̄B
0B
ȳB
b
E
Erstausstattung, Brutto- und Netto-Nachfrage
y
0B
x
b
X
b
E
x
0A
y
Erstausstattung
Brutto-Nachfrage (=Konsum)
Netto- (=Überschuss-) Nachfrage
Pareto-Optimum und Kontraktkurve
x̄B
b
b0B
ȳB
b
b
ȳA
0A
E
b
x̄A
Pareto-Optimum: Eine Allokation ist Pareto-optimal,
wenn es nicht möglich ist, ein Wirtschaftssubjekt besser zu stellen, ohne ein anderes schlechter zu stellen.
Kontraktkurve: Kurve aller Pareto-optimalen Allokationen.
Herleitung der Optimalitätsbedingung
U B = UB (xB , yB )
(1)
x = xA + xB
(2)
y = yA + yB
(3)
max. UA s.t. (1) unter Verwendung von (2) und (3):
L (xA , yA , λ) = UA (xA , yA )
+ λ UB (x − xA , y − yA ) − U B
Bedingungen 1. Ordnung:
∂L
∂UA
B
B
+ λ ∂U
· dx
=0
=
∂xA
∂xB
dxA
∂xA
∂L
∂UA
B
B
=
+ λ ∂U
· dy
=0
∂yA
∂yB
dyA
∂yA
∂L
= UB (x − xA , y − yA ) − U B = 0
∂λ
(4)
(5)
B
B
wegen (2) und (3) gilt dx
= dy
= −1. Löst man (4)
dxA
dyA
und (5) nach λ auf, ergibt sich:
λ=
∂UA
∂xA
∂UB
∂xB
=
∂UA
∂yA
∂UB
∂yB
⇔
∂UA
∂xA
∂UA
∂yA
|{z}
GRSA
=
∂UB
∂xB
∂UB
∂yB
|{z}
GRSB
Tausch: Mengen und Preisverhältnis
xB
ŪA0
0B
ŪA1
yA
VB
V
VA
EA
P
ŪB1
0A
ŪA1
ŪB1
ŪB0
xA
Eine höherem Nutzen als ŪA0 entsprechende
Indifferenzkurve des A
Dgl. für B
yB
Herleitung der Tauschkurven
xB
0B
P3
P4
TA
P2
yA
P1
VA4
VA3
ŪA4
ŪA3
VA2
P0
ŪA2
VA1
ŪA1
VA0 = EA
ŪA0
yB
0A
P0 –P4
ŪA0 –ŪA4
VA0 –VA4
TA
xA
Fünf zufällig ausgewählte Preislinien
Die P0 –P4 tangierenden Indifferenzkurven
des A mit steigendem Nutzen
Bei den geg. Preisen von A gewünschte
Tauschresultate
Tauschkurve des A
Die Tauschkurve eines Wirtschaftssubjekts gibt an,
welche Gütermengen es bei gegebenem Preisverhältnis konsumieren möchte (= Brutto-Nachfrage).
Pareto-optimaler Tausch
xB
0B
TA
yA
ŪBmax
Vopt
ŪAmax
TB
EA
Popt
0A
Vopt
ŪAmax
ŪBmax
TA
TA
Popt
yB
xA
Pareto-optimales Tauschresultat
Von A im Paretooptimum maximal erreichbares
Nutzenniveau
Von B im Paretooptimum maximal erreichbares
Nutzenniveau
Tauschkurve des A
Tauschkurve des B
Preislinie bei Pareto-optimalem Tausch
Im Optimum berühren sich die Indifferenzkurven, die
Tauschkurven schneiden sich.
Die Nutzenmöglichkeitskurve
y
0bB
x
b
G
b
F
H
0A
b
b
x
y
UB
0A b
bF
b
bG
H
b
0B
UA
Externe Effekte
Definition: Ein Externer Effekt ist eine Wirkung, die
von einer Konsum- oder Produktionsaktivität
ausgeht und andere Konsum- oder Produktionsaktivitäten beeinflußt ohne dass diese Wirkung über Märkte gehandelt wird.
Unterscheidung in positive ↔ negative Ext. Effekte in der Prokuktion oder im Konsum. (Einige
Autoren: Physische ↔ pekuniäre)
Beispiel: Wenn ein Mieter sich durch die laute Musik
seines Nachbarn gestört fühlt, handelt es sich
um einen negativen Externen Effekt im Konsum.
Problem: Der Marktmechanismus führt nicht mehr
zu einem Pareto-Optimum. (Marktversagen)
Lösungsmöglichkeiten: Internalisierung durch
• Pigou-Steuer (Steuer = soziale Susatzkosten)
• Coase-Theorem (über Eigentumsrechte)
Externe Effekte in der Produktion
Negative (positive) Externe Effekte in der Produktion
führen zu einer im Vergleich zum sozialen Optimum
zu hohen (geringen) Produktion.
p
cs
p∗
cp
b
b
p0
N
0
x∗
x0
x
Das Monopol
Gewinnmaximierung im Monopol
Gewinnfunktion:
π = E(x) − C(x)
(E: Ertrag und C: Gesamtkosten).
Aus
∂π
∂x
=0
⇒
E0 = C0 .
E, C, π
Kosten C
Erlös (Umsatz) E
Gewinn π
x
p
pM
Cournotscher Punkt
Grenzkosten C 0
Grenzerlös E 0
PAF
xM
Abbildung 1: Gewinnmaximierung im Monopol
x
Das Monopol bei linearer PAF
Erlösfunktion: E = p · x, wobei p durch die PreisAbsatz-Funktion p = a − bx zu ersetzen ist. Also:
E = (a − bx) · x = ax − bx2
Die Grenzerlösfunktion lautet dann
E0 =
∂E
= a − 2bx
∂x
Lineare Kostenfunktion ⇒ konstante Grenzkosten:
C = c · x + Cf
∂C
=c
∂x
Nach der Outputregel im Monopol E’=C’ erhalten
wir die optimale Menge:
C0 =
E0 = C0
⇒
a − 2bx = c
⇒
x∗ =
a−c
2b
und durch Einsetzen in die PAF den optimalen Preis
p∗ =
a−c
2
Monopolpreis und Elastizität (mathematisch)
Erlös hängt in zweifacher Weise von der Menge ab:
E(x) = x · p(x)). Grenzerlös (Produktregel):
E0 =
∂x
∂p
∂E
=
· p(x) +
·x
∂x
∂x
∂x
= 1 ist. Erweitert man den letzten Term
wobei ∂x
∂x
mit p, so ergibt sich
E0 = p + x ·
∂p x
∂p · p
=p+p·
·
∂x · p
∂x p
(6)
∂p
∂x
· xp ist aber genau der Kehrwert der Elastizität.
Wir können daher (6) durch Ausklammern von p auch
schreiben als
1
0
E =p 1+
(7)
ε
Dieser Ausdruck ist als Amoroso-Robinson-Relation
bekannt. In einigen Büchern wird sie auch mit “-” und
dem Betrag der Elastizität geschrieben. Berücksichtigt man nun, dass E 0 = C 0 gelten soll, so folgt aus
(7) durch auflösen nach p
p=
C0
1 + 1ε
als Regel für die Preissetzung (Markup-Pricing).
Monopolpreis und Elastizität (graphisch)
Im Monopol gilt, dass der Monopolist sein Optimum
immer im elastischen Bereich der PAF wählt.
p
= −∞
|| > 1
= −1
|| < 1
PAF
=0
E0
x
Aus der Abb. kann man dies sofort erkennen, da bei
einer Elastizität zwische 0 und -1 der Grenzerlös negativ wäre. Nach der Preissetzungsregel würde das aber
negative Grenzkosten implizieren, was nicht sinnvoll
ist.
Wohlfahrt im Monopol
Bei normalem Monopolverhalten (E 0 = C 0 ):
p
A
E
B
C
D
H
G
GK
F
P AF
0
xM
x
GE
Bei Regulierung (P = C 0 ):
p
A
E
B
C
D
H
G
GK
F
P AF
0
xM
GE
x
Arten von Preisdiskriminierung
Preisdiskriminierung ersten Grades: (Totale Preisdiskriminierung) Jeder Konsument zahlt einen
individuellen Preis, der seiner Zahlungsbereitschaft entspricht.
Preisdiskriminierung zweiten Grades: Der Preis variiert mit der abgenommenen Menge (z.B. Mengenrabatte), ist aber sonst für alle Konsumenten gleich.
Preisdiskriminierung dritten Grades: Der Monopolist bildet Marktsegmente anhand von eigenschaften des Konsumenten und bietet dann für
jedes Segment einen anderen Preis an. Beispiel:
Studentenpreise, Nachtzuschläge.
Das natürliche Monopol
Fallende Grenzkosten - steigende Skalenerträge
→ GK < DK (im relevanten Bereich)
Regulierung auf p = C 0 führt zu Verlust.
Beispiele: Leitungsgebundene Unternehmen
(z.B. Stromversorger)
p
pm
pmin
pw
DK
Verlust
PAF
xm
xw
E0
GK
x
Oligopol
• Oligopol = viele Nachfrager und wenige Anbieter.
• Wenige: Anbiter kennen sich gegenseitig und jeder einzelne hat einen Einfluß auf den Markt. ⇒
strategisches Verhalten (Spieltheorie).
• Vereinfachung: Duopole (2 Anbieter).
Oligopolmodelle lassen sich unterscheiden nach:
• Art der Güter (homogen ⇔ heterogen)
• Zeitliche Abfolge (simultan ⇔ sequenziell)
• Aktionsparameter (Preis ⇔ Menge)
Grundbegriffe der Spieltheorie
Zwei Strategien sind ein Nash-Gleichgewicht wenn
sich kein Spieler verbessern kann, bei gegebener Strategie des jeweils anderen.
Eine Reaktionsfunktion (Best-Response-Function) ist
die Strategie, die bei gegebener Strategie des anderen
Spielers die eigene Auszahlung (Payoff ) maximiert.
Reaktionsfunktionen bei Mengenwettbewerb
πi = qi · [p (qi + qj ) − c]
qi ↑ hat zwei Effekte auf πi :
1. πi ↑, weil p · qi ↑
2. πi ↓, weil p ↓
Isogewinnlinien und Reaktionsfunktion für U2:
q2
q20
q2 (q1 )
π1
π2
π3
q10
q1
Achtung: π1 > π2 > π3 . Reaktionsfunktion: q2 , das
zu jeweils höchstem π2 führt bei gegebenem q1 .
Cournot-Modell
Homegenes Gut (⇒ ein Preis), simultane Handlungen, Mengenwettbewerb
• Beide bilden eine Erwartung über die Menge
des anderen und setzen diese in ihre Reaktionsfunktion ein (unterstellte Reaktion von 0).
• Ein Gleichgewicht liegt vor, wenn sich die Erwartungen erfüllen, also q1∗ = q1 (q2∗ ) und q2∗ =
q2 (q1∗ ) (Schnittpunkt der Reaktionsfunktionen).
q2
q1 (q2 )
q20
b
b b
b
q10
b
q2 (q1 )
q1
Stackelberg-Modell
Homegenes Gut (⇒ ein Preis), sequentielle Handlungen, Mengenwettbewerb (Mengenführerschaft)
• U1 ist Stackelberg-Führer und wählt zuerst q1 ,
dann wählt U2 q2
• U1 muß die zu erwartende Reaktion von U2 in
seinem Verhalten berückscihtigen und erwartet,
dass U2 seinen Gewinn maximieren wird. Daher
muß man mit U2 beginnen (Backward Induction).
• Lösungsweg:
– U2 maximiert π2 für gegebenes q1 (Reaktionsfunktion)
– U1 maximiert seinen Gewinn unter der Nebenbedingung, dass die Reaktionsfunktion
von U2 gilt. Daher: Einsetzen von BR2 in
die Gewinnfunktion von U1 und maximieren. ⇒ q1∗
– Einsetzen in BR2 ⇒ q2∗ .
Vergleich: Stackelberg - Cournot
q2
q1 (q2 )
Cournot-Gleichgewicht
q20
b
b
Stackelberg-Gleichgewicht
q2 (q1 )
q10
q1
Bei Stackberg-Wettbewerb ist der Gewinn des Stackelberg-Führers höher als im Cournot-Fall, der des anderen jedoch geringer.
Launhardt-Modell
Heterogenes Gut, simultane Handlungen, Preiswettbewerb
p2
p∗2
p1 (p2 )
b
p∗1
p2 (p1 )
p1