Aufgaben zur Mikroökonomik II Zu Kapitel 12: Wettbewerb

Aufgaben zur Mikroökonomik II
Zu Kapitel 12:
Wettbewerb und Monopol auf einem einzelnen Markt
Aufgabe 1
Berechnen Sie die Angebotsfunktion eines Unternehmens, dessen Produktionsfunktion
gegeben ist durch
1
y = 2 · (x1 · x2 ) 3 ,
wobei die Faktorpreise mit ω1 = 2 bzw. ω2 = 4 gegeben sind.
Aufgabe 2
Die Kostenfunktionen von drei Unternehmen lauten jeweils:
y2
200
y2
c2 (y) = 200 +
400
y2
c3 (y) = 300 +
600
c1 (y) = 100 +
(a) Errechnen Sie, welche Menge yi jedes Unternehmen beim Marktpreis p = 10 anbietet
und wie hoch der dabei entstehende Gewinn ist.
(b) Berechnen Sie die aggregierte Angebotsfunktion dieser drei Unternehmen am Markt.
Die Kostenfunktionen aller Unternehmen auf diesem Markt sei allgemein folgendermaßen
darstellbar:
Ca (y) = a +
y2
2·a
(c) Ermitteln Sie, bei welcher - von a abhängigen - Angebotsmenge ya (a) die Unternehmen jeweils im Durchschnittskostenminimum produzieren.
(d) Ermitteln sie die Preisuntergrenze p̃, unter die der Marktpreis nicht fallen darf,
damit die Unternehmen im Optimum nicht mit Verlust produzieren.
(e) Zeigen sie allgemein: Wenn eine Kostenfunktion c(y) durch Fixkosten und steigende
Grenzkosten charakterisiert ist, dann schneidet die Grenzkostenkurve (MC) die
Durchschnittskostenkurve (AC) in deren Minimum.
1
Aufgabe 3
Auf einem Wochenmarkt kommen viele Leute, um an zahlreichen Ständen Äpfel zu kaufen.
Angebots- und Nachfragefunktionen sind gegeben durch
D(p) = 2500 − 100 · p
S(p) = −500 + 500 · p
mit p als Preis pro kg Äpfel.
(a) Errechnen Sie Preis und Menge im Marktgleichgewicht.
(b) Stellen Sie das Gleichgewicht sowie Konsumenten- und Produzentenrente graphisch
dar.
(c) Errechnen Sie die sich ergebende Konsumentenrente und die Produzentenrente algebraisch. Kommen alle Käufer in den Genuß einer Konsumentenrente?
(d) Wieviel wären die Konsumenten maximal zu zahlen bereit gewesen für die im
Gleichgewicht nachgefragte Menge?
Aufgabe 4
Die Nachfragefunktion auf einem Markt ist gegeben durch
D(p) = 30 − 2 · p
Die Angebotsfunktion lautet:
S(p) = p
(a) Bestimmen Sie die Menge und den Preis des Gutes im Marktgleichgewicht.
(b) Wie hoch sind jeweils Produzenten- und Konsumentenrente im Marktgleichgewicht?
(c) Der Staat erhebt eine Steuer auf das angebotene Gut in Höhe von t = 3. Ermitteln Sie zunächst Menge und Preis im neuen Marktgleichgewicht. Wie haben
sich Produzenten- und Konsumentenrente verändert? Wie hoch ist der entstandene
Wohlfahrtsverlust?
2
Aufgabe 5
Für einen Monopolisten gelte folgende Preis-Absatz-Funktion:
p(y) = 235 − 2 · y
Seine Kostenfunktion ist gegeben durch
K(y) = y 3 − 26y 2 + 280y + 500
(a) Welchen Preis wird der Monopolist verlangen, wenn er seinen Gewinn maximieren
will? Wie hoch ist dann sein Gewinn?
(b) Wie hoch ist die ermittelte Konsumentenrente?
(c) Bei welchem Preisniveau würde die Summe aus Konsumenten- und Produzentenrente maximiert?
Aufgabe 6
Der Filmhändler Leao Igreja besitzt die alleinigen Verleihrechte an y = 100.000 Filmen
aus vergangenen Jahrzehnten. Igreja kann mit der Nachfragefunktion
p(y) = 2000 − 0.125 · y
für seine Filme rechnen.
(a) Wieviele Filme zu welchem Preis werden verliehen, wenn lediglich fixe Kosten für
die sachgemäße Filmlagerung von 1.000.000,- entstehen?
(b) Wie ändert sich die Antwort, wenn zusätzlich zu den angegebenen Fixkosten variable
(Verwaltungs-)Kosten in Höhe von 200,- pro verliehenem Film entstehen?
(c) Wie hoch ist der in (b) entstehenden gesellschaftliche Wohlfahrtsverlust, der durch
das Monopolverhalten von Leao Igreja entsteht?
Aufgabe 7
Die Produktionsfunktion eines Monopolisten sei:
x=2·A
Die Nachfragefunktion laute:
1
·x
2
(a) Leiten Sie die Grenzerlösfunktion des Monopolisten her.
p(x) = 10 −
(b) Der Monopolist verhält sich auf dem Faktormarkt als Mengenanpasser (also Preisnehmer) und bezahlt für den Faktor A den Preis pA . Berechnen Sie die gewinnmaximale Angebotsmenge sowie die Nachfragefunktion nach dem Produktionsfaktor
A jeweils in Abhängigkeit von pA .
(c) Welcher Gesamtgewinn (in Abhängigkeit von pA ) ergibt sich?
3
Aufgabe 8, Probeklausur 04/05
Ein Monopolist habe folgende Kostenfunktion: K(y) = 2 · y 2 + 6. Die Preis-AbsatzFunktion am Markt ist gegeben durch p(y) = 30 − y.
Wahr Falsch
a)
Die gewinnmaximale Outputmenge beträgt y = 6.
b)
Die gewinnmaximale Outputmenge ist erreicht, wenn der
Grenzerlös einer weiteren Outputeinheit Null beträgt.
c)
Das gesellschaftliche Wohlfahrtsmaximum ist erreicht, wenn
der Grenzerlös einer weiteren Outputeinheit Null beträgt.
d)
Das gesellschaftliche Wohlfahrtsmaximum ist erreicht, wenn
die Grenzkosten einer weiteren Outputeinheit den Durchschnittskosten entsprechen.
4
Zu Kapitel 13: Allgemeines Gleichgewicht
Aufgabe 9
Anna und Bert trinken Bier (Gut 1) und Wein (Gut 2). Es bezeichnen x1A Annas Bierkonsum, x2A Annas Weinkonsum, x1B Berts Bierkonsum und x2B Berts Weinkonsum. Annas
Präferenzen werden durch die Nutzenfunktion uA = min(x1A , x2A ) dargestellt, während
Bert die Nutzenfunktion uB = x1B + x2B hat. Insgesamt stehen 12 Liter Bier und 8 Liter
Wein zur Verfügung. Welche der folgenden Allokationen ist Pareto-effizient?
(a) Bert trinkt 12 Liter Bier und 8 Liter Wein, Anna trinkt weder Bier noch Wein.
(b) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt weder Bier noch Wein.
(c) Jeder der beiden trinkt 6 Liter Bier und 4 Liter Wein.
(d) Anna trinkt 8 Liter Bier und 8 Liter Wein; Bert trinkt 4 Liter Bier und 0 Liter
Wein.
Aufgabe 10
Die beiden Geschwister Armin und Birgit versuchen, sich hinsichtlich der Aufteilung der
von ihnen am Ostersonntag im Garten gefundenen Süßigkeiten einig zu werden. Zusammen haben sie 12 Schokoladeneier xS sowie 12 Osterhasen xH gefunden. Die Nutzenfunktionen sind jeweils gegeben durch
2
uA = xSA · (xH
A)
2
uB = (xSB ) · xH
B
(a) Leiten Sie die Kontraktkurve her.
(b) Sind die Verteilungen z1 : ”Armin besitzt alles, Birgit nichts” oder z2 : ”Jeder
bekommt jeweils 6 Eier und 6 Hasen” pareto-optimal?
(c) Angenommen, die Eltern haben - Streitigkeiten vorhersehend - die gefundenen
Schätze gemäß z2 aufgeteilt. Ist es denkbar, daß die beiden durch anschließende
Verhandlungen zu dem Zustand z3 : ”Armin erhält 5 Schokoladeneier (Birgit 7) und
7 Osterhasen (Birgit 5) gelangen? Ist zur Beurteilung ein interpersoneller Nutzenvergleich notwendig?
(d) Ist z3 ein möglicher Endzustand von Verhandlungen?
Aufgabe 11
Die Nutzenfunktionenen uA und uB zweier Haushalte seien gegeben durch
1
2
uA = (x1A ) 3 · (x2A ) 3
2
1
UB = (x1B ) 3 · (x2B ) 3
mit den zwei zur Verfügung stehenden Gütermengen x¯1 = x1A + x1B bzw. x¯2 = x2A + x2B .
Stellen Sie die Kontraktkurve x2A = f (x¯1 , x¯2 , x1A ) algebraisch dar und verdeutlichen Sie
das Ergebnis graphisch für den Fall x¯1 = x¯2 = 1.
bzw.
5
Aufgabe 12
Gegeben sind folgende Nutzenfunktionen:
uA (x1A , x2A ) = M IN (x1A , 2 · x2A )
uB (x1B , x2B ) = M IN (x1B , 2 · x2B )
(a) Charakterisieren Sie die Nutzenfunktionen.
(b) Zeichnen Sie eine Edgeworthbox, wenn beide Güter x1 und x2 in gleicher Höhe x̄ = 1
gegeben sind. Wie sieht die Kontraktkurve aus?
(c) Erläutern Sie pareto-verbessernde Tauschmöglichkeiten, wenn die Ausgangsausstattung gegeben ist durch
3
4
1
ωA2 = ωB1 =
4
ωA1 = ωB2 =
Die Nutzenfunktion des zweiten Haushalts ändert sie folgendermaßen:
uB (x1B , x2B ) = M IN (2 · x1B , x2B )
(d) Wie sieht nun die Kontraktkurve aus?
(e) Erläutern Sie auch hier pareto-verbessernde Tauschmöglichkeiten bei der in (c)
angegebenen Anfangsausstattung.
6
Aufgabe 13
Eine Ökonomie besteht aus zwei Haushalten, die zwei Güter konsumieren und konvexe,
monotone Präferenzen haben.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
(a) Wenn die Preise nicht die Gleichgewichtspreise sind, dann ist die Summe der mit
den Preisen bewerteten Überschussnachfragefunktionen der beiden Haushalte für
jedes Gut positiv.
(b) Ausgehend von der Allokation eines Wettbewerbsgleichgewichts kann eine ParetoVerbesserung möglich sein.
(c) Wenn an der Anfangsausstattung die Grenzraten der Substitution der beiden Haushalte
übereinstimmen, dann ist die Anfangsausstattung die Allokation eines Wettbewerbsgleichgewichts.
Aufgabe 14
Die beiden Güter x1 und x2 werden durch den Einsatz der Faktoren A (Arbeit) und K
(Kapital) hergestellt. Die Produktionsfunktionen sind gegeben durch xi = xi (Ai , K i ), und
die beiden Produktionsfaktoren stehen zueinander in einem substitutiven Verhältnis. Insgesamt stehen für die Produkton beider Güter Faktormengen von K̄ und Ā zur Verfügung.
(a) Skizzieren Sie analog zur Edgeworthbox in einer ”Faktorbox” die Kurve effizienter
Produktionen und erläutern Sie die Marginalbedingung für eine optimale Faktorallokation.
(b) Erörtern Sie nun anhand eines weiteren Diagramms den Zusammenhang zwischen
dieser ”Faktorbox” und der Transformationskurve von x1 und x2 . Erläutern Sie
dabei die Bedeutung der Grenzrate der Transformation und ihren Zusammenhang
zu den Grenzproduktivitäten der Faktoren.
(c) Veranschaulichen Sie die Auswirkungen einer Zunahme beider Faktormengen auf
die Faktorbox und die Produktionsmöglichkeitengrenze.
(d) Wo liegen Allokationspunkte von Arbeit und Kapital in Relation zur Produktionsmöglichkeitengrenze, die in der Faktorbox nicht auf der Kurve effizienter Produktion
liegen?
7
Aufgabe 15
Gegeben sei die in Aufgabe 14 beschriebene Konstellation. Ferner gilt für eine bestimmte
Faktorallokation:
2
1
> T RSAK
T RSAK
Wahr
a)
Von x1 kann ohne Reduzierung der x2 -Produktion
mehr produziert werden, wenn Kapital von der x2 zur x1 -Produktion und Arbeit von der x1 - zur x2 Produktion transferiert wird.
b)
Aufgrund der Faktorknappheit kann die Produktion von x1 nur durch eine Reduzierung der Produktion von x2 erhöht werden.
c)
Da T RS 2 geringer ist als T RS 1 , kann die Produktion von x2 nur durch eine Reduzierung der Produktion von x1 gesteigert werden.
d)
Von x1 kann ohne Reduzierung der x2 -Produktion
mehr produziert werden, wenn Arbeit von der x2 zur x1 -Produktion und Kapital von der x1 - zur x2 Produktion transferiert wird.
Falsch
Aufgabe 16
Der kleine Peter sammelt am Strand Muscheln und Krebse. Wenn er A1 Stunden am
Strand herumspaziert, findet er
x 1 = A1
Beutel Muscheln. Bei einem Aufwand von A2 Stunden Suche nach Krebsen kann er
r
A2
x2 =
2
Krebse sammeln. Ihm stehen in den Urlaubstagen insgesamt A = 32 Stunden zum Suchen
zur Verfügung.
(a) Berechnen Sie die Transformationskurve algebraisch und stellen Sie sie graphisch
dar.
(b) Berechnen Sie den Ausdruck für die Grenzrate der Transformation
8
dx2
.
dx1
(c) Am Ende des Urlaubs kann Peter seine Vorräte an Muscheln für p1 = 1 und seine
Krebse, die solange qualitätssichernd gelagert wurden, für p2 = 4 verkaufen. Wie
sollte Peter sein Zeitbudget optimal aufteilen und welche Erlöse kann er maximal
erzielen?
Aufgabe 17
Die Produktionsfunktionen zur Herstellung zweier Güter y 1 und y 2 sind gegeben durch
2
1
2
1
y 1 (x11 , x12 ) = 2(x11 ) 3 (x12 ) 3 und y 2 (x21 , x22 ) = 2(x21 ) 3 (x22 ) 3 .
Der gesamte Faktorbestand sei fest gegeben durch x¯1 und x¯2 .
(a) Wie verläuft die Kontraktkurve?
(b) Berechnen Sie die Transformationskurve y 1 (y 2 , x¯1 , x¯2 ).
(c) Ermitteln Sie Steigung und Achsenabschnitte der Transformationskurve.
9
Zu Kapitel 14: Ersparnis und Investition
Aufgabe 18
Ulrich Unbedarft hat für 2 Perioden unterschiedliche Einkünfte zur Verfügung. In Periode
1 verfügt er über ein Einkommen in Höhe von m1 , in Periode 2 eine sichere Rente in Höhe
von m2 . Auf dem Kapitalmarkt kann Geld zum Zinssatz r angelegt oder geliehen werden.
Ulrichs Nutzenfunktion ist gegeben durch
u(c1 , c2 ) = c21 · c2
(a) Stellen Sie Ulrichs Konsummöglichkeiten in einer geeigneten Graphik dar und stellen
Sie die Budgetgleichung auf.
(b) Ermitteln Sie das optimale Konsumgüterbündel (c∗1 , c∗2 ).
(c) Wie groß muß m2 wenigstens sein, damit Ulrich keine Ersparnisse bildet?
(d) Der Staat hat große Bedenken hinsichtlich der Mündigkeit seiner Bürger, selbst
für ausreichende Alterseinkünfte zu sorgen. Daher führt er zum Zeitpunkt 1 eine
Zwangsabgabe in Höhe von Z mit Z < m1 ein, die - verzinst - in der 2. Periode
zurückgezahlt wird. Erläutern Sie anhand einer Graphik, welche Auswirkungen dies
auf die Entscheidung von Ulrich haben kann, wenn zudem keine Möglichkeit besteht,
sich diese Zwangsabgabe am Kapitalmarkt durch einen Kredit in entsprechender
Höhe zurückzuholen.
Aufgabe 19
Unterstellen Sie einen Haushalt mit einer intertemporalen Nutzenfunktion des Typs
u(c1 , c2 ) = cα1 · cβ2 mit 0 < α, β < 1, der seinen Nutzen über zwei Perioden maximiert.
Sein Einkommen m1 = m2 = m ist in jeder Periode exogen vorgegeben; er hat jedoch die
Möglichkeit, sich zum Zinssatz r am Kreditmarkt zu verschulden oder zum gleichen Zins
Ersparnisse anzulegen. Das Preisniveau betrage p = 1
(a) Schreiben Sie die Budgetrestriktionen für die einzelnen Periode und für die gesamt
Lebenszeit auf. Wie lautet allgemein die Bedingung erster Ordnung für ein Nutzenmaximum (das ”zeitliche 2. GOSSENsche Gesetz”), und wie lautet sie im Falle der
gegebenen Nutzenfunktion?
(b) Stellen Sie das Entscheidungsproblem des Haushalts in einem (c1, c2)-Diagramm
graphisch dar. Wie beeinflussen Einkommens- und Zinssatzänderungen die optimale
Entscheidung des Haushaltes?
(c) Es gelte α = 2 · β. Berechnen Sie das intertemporale Haushaltsgleichgewicht für die
Situation r = 0.1 und m = 110.
(d) Bei welchem Zinssatz r konsumiert der Haushalt im Falle α = β in jeder Periode
genau das Einkommen m?
10
(e) Bei welchem Zinssatz r, allgemein abhängig von α > 0 und β > 0, konsumiert der
Haushalt in jeder Periode genau das Einkommen m?
Aufgabe 20
Ein Haushalt erziele ein Einkommen von m1 = 100 in Periode 1 und von m2 = 60 in
Periode 2. Das Preisniveau betrage p = 2. Er konsumiert zu den jeweiligen Zeitpunkten
die Gütermengen c1 und c2 und kann dabei zum Zinssatz r sowohl Ersparnisse anlegen
als auch Kredite aufnehmen. Seine intertemporale Nutzenfunktion ist gegeben durch
u(c1 , c2 ) = ln c1 + α ln c2
(a) Bestimmen Sie die optimale Konsumaufteilung für den Fall α = 0, 2 und r = 20%.
Ist der Konsument Sparer oder Schuldner? Bei welchem Parameterwert α würde er
in beiden Perioden gleich viele Güter konsumieren?
(b) Erläutern Sie die sich ergebenden Effekte, die ein Anstieg des Zinssatzes auf das
Konsumverhalten hätte. Welche Auswirkungen auf die Höhe des Gegenwartskonsums und des Zukunftskonsums wären zu erwarten?
(c) Angenommen, der Haushalt muss auf dem Kreditmarkt für seine Kredite einen
Zinssatz rK > r in Kauf nehmen. Stellen Sie die Budgetrestriktion des Haushaltes
in diesem Fall in einem geeigneten Diagramm dar.
(d) Der Haushalt kann davon ausgehen, dass zum Zeitpunkt 2 das Preisniveau auf
p2 > p angestiegen ist. Stellen Sie nun die intertemporale Budgetrestriktion auf
und berechnen Sie die optimale Entscheidung für die in (a) angebenenen Parameter,
· p gilt und der Zinssatz wieder einheitlich mit r = 20% gegeben ist.
wenn p2 = 10
9
11
Zu Kapitel 15: Risiko und Versicherungsmärkte
Aufgabe 21
Ein Haushalt hat sich zwischen zwei Alternativen A und B zu entscheiden, wobei er bei der
Entscheidung für A mit einer Wahrscheinlichkeit von ΠA = 25% einen Einkommenszufluß
von 400 Geldeinheiten (GE) und mit 1 − ΠA = 75% einen Einkommenszufluß von 64 GE
erreichen kann. Bei Alternative B erzielt er mit ΠB = 25% 256 GE und mit 1−ΠB = 75%
100 GE.
(a) Berechnen Sie den Erwartungswert für die Alternativen A und B.
√
(b) Der Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) = c mit c als dem realisierten Einkommenszufluß. Berechnen Sie den Erwartungsnutzen für die beiden Alternativen. Für
welche Alternative entscheidet sich der Haushalt?
Aufgabe 22
√
Ein Haushalt habe die Nutzenfunktion u(c) = 5 · c + 200. Sein Vermögen beträgt 4
Mio. Euro. Welchen Betrag ist der Haushalt höchstens bereit, für den Abschluß einer
Vermögensversicherung zu bezahlen, wenn er sein Vermögen mit einer Wahrscheinlichkeit
von Π = 10% vollständig verliert und ihm mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% nur 2,56
Mio. Euro verbleiben? Welche Summe muss ein Versicherungsanbieter, der ohne Gewinn
arbeitet, wenigstens verlangen, um die zu erwartenden Risiken decken zu können? Wie
groß ist also der Spielraum für den Versicherungsbeitrag in diesem Fall?
Aufgabe 23
Helmut Hartgeld hat es geschafft - er sitzt bei Günther Jauch auf dem Stuhl und beantwortet Fragen in der Hoffnung, es bis zum Millionär zu schaffen. Bei der viertletzten Frage
allerdings verbrät er seinen letzten Joker - er hat nun die Auswahl zwischen 2 Antworten,
von denen eine richtig ist. Beantwortet er sie korrekt, gewinnt er 64.000 Euro, antwortet
er nicht, kann er mit 32.000 Euro nach Hause gehen, beantwortet er die Frage falsch, fällt
er auf 16.000 Euro zurück.
pc
mit c dem
a) Angenommen, Helmuts Nutzenfunktion sei gegeben durch u(c) = 10
Geldbetrag, den er mit nach Hause nehmen kann. Wird er das Risiko eingehen und
raten?
b) Zu welchem Ergebnis wäre er gekommen, wenn er den 50/50-Joker nicht mehr
gehabt hätte und aus einer von 4 Antworten hätte wählen müssen?
c) Vor dem Einsatz des 50/50-Jokers hätte er folgende strategische Überlegung machen
können: Er setzt den Joker noch nicht ein, rät mit einer Wahrscheinlichkeit von
25% richtig und bekommt anschließend die 125.000 Euro-Frage gestellt, von der
er aufgrund seiner Erfahrung als langjähriger Fernsehzuschauer annehmen kann,
er wisse ihre Antwort mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%. Falls nicht, würde
12
er dann seinen gesparten Joker einsetzen können, zwei falsche Antworten streichen
und anschliessend zwischen den beiden übrig gebliebenen Antworten raten. Ist diese
Strategie der sofortigen Verwendung des 50/50-Jokers vorzuziehen?
d) Wie sähen die Überlegungen in (a)-(c) aus, wenn Helmut völlig risikoneutral wäre?
Aufgabe 24
Herr Müller hat ein Vermögen in Höhe von 1000 Euro. Mit Wahrscheinlichkeit 10% tritt
ein Schaden ein, der dieses Vermögen auf 500 Euro absenkt. Die Präferenzen von Herrn
Müller werden durch die von-Neumann-Morgenstern-Nutzenfunktion u(c) dargestellt, für
die gilt u0 (c) > 0 und u00 (c) < 0.
Wahr Falsch
a)
Herr Müller ist risikoneutral.
b)
Der Erwartungswert des Nutzens aus dem
Vermögen ist für Herrn Müller größer als der
Nutzen aus dem Erwartungswert des Vermögens.
c)
Herr Müller würde eine Versicherungspolice, die
den gesamten Schaden für eine Prämie in Höhe
von 50 Euro abdeckt, in Anspruch nehmen.
d)
Ein risikoneutrales Versicherungsunternehmen ist
bereit, den Schaden für eine Prämie in Höhe von
40 Euro zu versichern.
13
Zu Kapitel 16: Spiele in Normalform
Aufgabe 25
In einem Land steht eine wichtige Wahl unmittelbar bevor. Die Wahlprogramme x, über
die abzustimmen sind, können Werte zwischen 0 (links) und 1 (rechts) annehmen. Für
jeden Wähler gibt es ein Programm, das er am meisten schätzt. Diese präferierten Programme sind zwischen den beiden Extremen 0 und 1 gleichverteilt. Am Wahlsonntag
stimmt jeder Wähler für denjenigen der beiden zur Verfügung stehenden Politiker, dessen
Programm seiner Präferenz am Nähesten ist.
a) Im Wahlkampf kündigt der eine Politiker, der immer die Wahrheit sagt, an, für ein
Programm von x = 0.4 einstehen zu wollen. Der andere Politiker dagegen ist nur
darauf aus, die meisten Stimmen auf sich zu vereinigen. Mit welchem Programm x
wird dieser Politiker die Wahl antreten?
b) Vor der nächsten Wahl hat der Politiker mit dem Programm von 0.4 gelernt, dass
die Enthüllung seiner wahren Präferenzen nicht zu einem Sieg führt. Jetzt verfolgt
auch er das alleinige Ziel, die Stimmen zu maximieren. Bestimmen sie das NashGleichgewicht für diese Wahl.
Aufgabe 26
Zum Schutze der Umwelt beschließt der Staat, dass alle Gebrauchtwagen, die den Besitzer
wechseln, eine zusätzliche Abgasreinigungsanlage benötigen. Die Installierungskosten
der Abgasreinigungsanlage sind 500 Euro. Überprüft die KFZ-Zulassungsstelle, ob eine
Abgasreinigungsanlage eingebaut worden ist, so entstehen dem Staat Kosten in Höhe
von 100 Euro. Wird ein Auto ohne Abgasreinigungsanlage zugelassen, so entsteht ein
Umweltschaden, dessen Behebung 8000 Euro kosten würde. In dem Gesetz wird festgelegt,
dass ein Halter, der versucht, ein KFZ ohne Abgasreinigungsanlage zuzulassen, das Auto
nachrüsten muss, die Kosten der Kontrolle trägt und zusätzlich einen Monat Fahrverbot
erhält. Das Fahrverbot zwingt den Autofahrer zum Taxifahren, das mit Kosten in Höhe
von 3400 Euro verbunden ist.
a) Vervollständigen Sie die folgende Auszahlungsmatrix.
Staat
Überprüfung ohne Überprüfung
Kfz-Eigentümer
Mit Abgasreinigung
−500, −100
,
ohne Abgasreinigung
,
,
b) Existiert ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien? c) Der Staat überprüft die
Autos mit einer Wahrscheinlichkeit von y. Der Anteil der Autofahrer, die sich an
das Gesetz halten, beträgt x. Bestimmen Sie das gemischte Gleichgewicht.
14
Aufgabe 27
Ein Ladendieb überlegt, in einem Kaufhaus eine Beute im Wert von b > 0 zu stehlen.
Wenn der Kaufhausdetektiv wachsam ist, dann wird der Ladendieb überführt. Dieser
muss dann die Beute wieder hergeben und wird mit einer Strafe in Höhe von s > 0
belegt. Der Detektiv erhält für die Überführung des Diebes eine Prämie in Höhe von
p > 0. Anstatt wachsam zu sein, kann der Kaufhausdetektiv aber auch eine Kaffeepause
einlegen, die ihm einen Erholungswert in Höhe von e > 0 verschafft, wobei p > e gilt. In
diesem Fall bleibt ein möglicher Diebstahl unentdeckt.
a) Stellen Sie diese Situation als Spiel in Normalform dar.
b) Zeigen Sie, dass es kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien gibt.
c) Bestimmen Sie das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
d) Welche der folgenden Maßnahmen reduzieren die Wahrscheinlichkeit eines Diebstahls? (i) strengere Strafe, (ii) höhere Prämie für den Kaufhausdetektiv, (iii)
weniger lohnende Beute, (iv) unattraktivere Kaffeepause?
Aufgabe 28
Gegeben sei das folgende Spiel in Normalform.
Spieler 2
links rechts
Spieler 1
oben
x, 2
0, 0
unten
0, 0
2, 1
Wahr
a)
Für x = 1 ist “oben, links” das einzige NashGleichgewicht in reinen Strategien.
b)
Für x = 1 gibt es mindestens ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien.
c)
Wenn x ≥ 0 gilt, dann ist “oben, links” ein NashGleichgewicht.
d)
Wenn x > 2 gilt, dann ist “oben” eine dominante
Strategie für Spieler 1.
15
Falsch
Aufgabe 29
Die Multikonzern AG plant in Periode 1 ein Dirketinvestition im Land Fiskalia im Umfang
von k ≥ 0. In Periode 2 wird damit ein Output in Höhe von f (k) erzielt, wobei f 0 (k) >
0 und f 00 (k) < 0 gelten. Das investierte Kapital wird in der Produktion vollständig
verbraucht. Der Zinssatz ist r > 0.
(a) Bestimmen Sie die notwendige Bedingung für das gewinnmaximierende Investitionsvolumen.
(b) Fiskalia erhebt von dem Unternehmen eine pauschale Steuer in Höhe von T > 0.
Welchen Einfluss hat diese Steuer auf die Investitionsentscheidung?
(c) Die Steuer werde nun von der Regierung von Fiskalia am Beginn der Periode 2 festgesetzt, nachdem die Multikonzern AG ihre Investition getätigt hat. Nachdem die
Steuer bekannt gegeben ist, hat die Multikonzern AG die Möglichkeit, das Kapital
zu repatriieren und in ihrem Heimatland in der Produktion einzusetzen. Dann zahlt
sie in Fiskalia keine Steuer, aber der Output ist im Heimatland um den Faktor c,
0 ≤ c ≤ 1, geringer als bei der Produktion in Fiskalia.
(c1) Welchen Steuerbetrag T verlangt die Regierung von Fiskalia, wenn sie die
Steuereinnahme maximieren will?
(c2) Bestimmen Sie die notwendige Bedingung für das optimale Direktinvestitionsniveau, das die Multikonzern AG in Periode 1 wählt.
(c3) Wie verändert sich das optimale Dirketinvestitionsniveau in Abhängigkeit von
c?
(c4) Diskutieren Sie, durch welche Maßnahmen Fiskalia seine Attraktivität für Direktinvestitionen steigern könnte.
Aufgabe 30
Betrachten Sie das folgende Spiel in Extensivform:
Spieler 1
%\
\
\
L %
R
%
\
%
\
%
\
Spieler 2
Spieler 2
%e
\
%
e r
l* \\ r*
l%
e
%
\
ee
Auszahlungen%
\
%
Spieler 1
Spieler 2
0
2
3
3
1
1
2
0
16
(a) Übertragen Sie dieses Spiel in ein Normalformspiel. Beachten Sie dabei, dass Spieler
2 sich in den beiden für ihn relevanten Entscheidungsknoten unterschiedlich verhalten kann.
(b) Bestimmen Sie die Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien dieses Spiels.
(c) Welche(s) dieser Nash-Gleichgewichte sind (ist) teilspielperfekt?
Aufgabe 31
A und B verhandeln über die Aufteilung eines Gewinns von 10 Euro. Beginnend mit
A schlagen A und B abwechselnd eine Aufteilung vor, die der andere annehmen oder
ablehnen kann. Sobald der Antwortende annimmt, wird der in dieser Runde noch vorhandene Gewinn entsprechend aufgeteilt. Bei Ablehnung beginnt eine neue Verhandlungsrunde.
Von Runde zu Runde sinkt der Gewinn um 1 Euro, so dass bei Einigung in Runde 2 nur
9 Euro, bei Einigung in Runde 3 nur 8 Euro usw. zu verteilen sind. Nehmen Sie an,
dass der antwortende Spieler einen Vorschlag annimmt, wenn er zwischen Annahme und
Ablehnung indifferent ist.
Zu welcher Aufteilung kommt es im teilspielperfekten Gleichgewicht? In welcher Runde
einigen sich beide?
Aufgabe 32
A und B verhandeln über die Aufteilung eines Gewinns von 1 Euro. A und B schlagen
abwechselnd eine Aufteilung vor, die der andere annehmen oder ablehnen kann. In ungeraden Perioden schlägt A vor, in geraden B.
A diskontiert Auszahlungen mit dem Diskontfaktor δA , B diskontiert Auszahlungen mit
dem Faktor δB . Dabei gilt δB > δA . Nehmen Sie an, es gäbe ein eindeutiges teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht.
Welche Aufteilung wird beschlossen? Wann kommt es zur Einigung?
Aufgabe 33
Auf dem Markt für ein homogenes Gut sind zwei Dypolisten 1 und 2 tätig, die die Mengen
y1 bzw. y2 anbieten. Die Kostenfunktionen der beiden Unternehmen sind identisch und
lauten
c(y1 ) = 3y1 bzw. c(y2 ) = 3y2
Die Preis-Absatz-Funktion ist
p(y) = 15 − 2y
wobei y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet.
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(a) Beide Unternehmen bestimmen ihre Angebotsmenge für gegebene Menge des anderen Unternehmens. Berechnen Sie die von jedem Unternehmen abgesetzte Menge,
den Marktpreis und den Gewinn jedes der beiden Unternehmen im Gleichgewicht
der so bestimmten Entscheidungen.
(b) Welche Menge und welchen Preis würden die beiden Unternehmen wählen, wenn
sie den gemeinsamen Gewinn maximieren würden? Wie groß ist dieser maximale
gemeinsame Gewinn? Erklären Sie, warum eine Kartellvereinbarung, die diesen
Gewinn erreichen soll, nicht stabil ist.
(c) Welche Menge und welcher Preis würden sich einstellen, wenn die Unternehmen
sich wie unter vollkommener Konkurrenz verhalten würden? Vergleichen Sie die
Allokationen aus a), b) und c) hinsichtlich der gesell- schaftlichen Wohlfahrt.
Aufgabe 34
Betrachten Sie das Modell aus Aufgabe 34. Nun gelte, dass Unternehmen 1 seine Angebotsmenge zuerst festlegt. In Kenntnis dieser Menge bestimmt dann Unternehmen 2 seine
Angebotsmenge.
(a) Bestimmen Sie die optimale Angebotsmenge des Unternehmen 2 in Abhängigkeit
der zuvor festgelegten Menge y1. Um wieviel ändert Unternehmen 2 seine Menge,
wenn Unternehmen 1 seine Menge um eine Einheit erhöht?
(b) Begründen Sie ohne Rechnung, warum Unternehmen 1 einen Gewinn erzielt, der
mindestens so groß ist wie bei gleichzeitiger Entscheidung über die Angebotsmengen.
(c) Berechnen Sie die optimale Angebotsmenge des Unternehmens 1, die daraufhin
gewählte Menge des Unternehmens 2 und den Preis, der sich einstellt. Welchen
Gewinn erzielen die beiden Unternehmen?
Aufgabe 35
Auf dem Markt für ein homogenes Gut sind zwei Dyopolisten i = 1; 2 tätig, die die
Mengen y1 bzw. y2 anbieten. Die Preis-Absatz-Funktion lautet p(y), wobei p0 (y) < 0
gilt und y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet. Die Technologien
der beiden Unternehmen weisen jeweils konstante Grenzkosten und keine Fixkosten auf.
Die Grenzkosten des Unternehmens 1 sind c1, die des Unternehmens 2 sind c2. Es gilt
0 < c1 < c2. Betrachten Sie in a) bis d) ein Cournot-Gleichgewicht, in dem beide
Unternehmen eine positive Menge produzieren.
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Wahr
a)
Falsch
Im Cournot-Gleichgewicht gilt für beide Unternehmen i = 1,2
p(y) + p0 (y) · yi = ci .
b)
Im Cournot-Gleichgewicht verlangt Unternehmen
1 einen geringeren Preis als Unternehmen 2.
c)
Im Cournot-Gleichgewicht setzt Unternehmen 1
eine größere Menge ab als Unternehmen 2.
d)
Im Cournot-Gleichgewicht erzielen beide Unternehmen den selben Gewinn.
e)
Bei gemeinsamer Gewinnmaximierung wird die
Produktion in Unternehmen 2 eingestellt.
Aufgabe 36 (Fusionsparadoxon)
Auf einem Markt sind die drei Oligopolisten A, B und C tätig. Die Technologie der Unternehmen weist identische, konstante Grenzkosten in Höhe von c > 0 und keine Fixkosten
auf. Die Preis-Absatz-Funktion lautet
p(y) = a − by
wobei y die gesamte auf dem Markt abgesetzte Menge bezeichnet und a > 0, b > 0
gelten.
(a) Berechnen Sie die von jedem Unternehmen abgesetzte Menge, den Marktpreis und
den Gewinn jedes der drei Unternehmen im symmetrischen Cournot-Gleichgewicht.
(b) A und B fusionieren zum neuen Unternehmen X, das weiterhin über die selbe Technologie verfügt. Betrachten Sie das Cournot-Gleichgewicht, das sich nach der Fusion
einstellt. Welche Mengen werden zu welchem Preis von X und C abgesetzt, und
welche Gewinne erzielen diese beiden Unternehmen? Hat sich die Fusion gelohnt?
Welchen Einfluss hat die Fusion auf C?
(c) Nun fusionieren auch C und X zum Unternehmen Y . Welche Menge setzt das neue
Unternehmen Y ab, welcher Preis stellt sich ein? Lohnt sich diese Fusion? Erklären
Sie die Ergebnisse aus b) und c).
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Aufgabe 37
Auf dem Markt für ein homogenes Gut sind zwei Dyopolisten tätig, die ohne Fixkosten
mit identischen, konstanten Grenzkosten produzieren. Die Marktnachfragefunktion ist
linear fallend. Die Unternehmen entscheiden simultan entweder über Mengen (CournotGleichgewicht) oder über Preise (Bertrand-Gleichgewicht).
Wahr Falsch
a)
Die gesamte gehandelte Menge ist im Cournotund im Bertrand-Gleichgewicht identisch.
b)
Im Bertrand-Gleichgewicht ist der Gewinn so groß
wie bei vollkommener Konkurrenz.
c)
Im Cournot-Gleichgewicht ist die Summe der
Gewinne beider Unternehmen so groß wie der maximale Gewinn eines Monopolisten.
d)
Im Bertrand-Gleichgewicht ist der Preis niedriger
als im Cournot-Gleichgewicht.
e)
Im Bertrand-Gleichgewicht ist die Konsumentenrente niedriger als im Cournot-Gleichgewicht.
Aufgabe 38
Der risikoneutrale Eigentümer einer Profifußballmannschaft gibt als Saisonziel die Qualifikation für die Champions-League (C-L) vor. Auf dem Transfermarkt befindet sich ein
genialer aber auch launischer Spielmacher, der in einer Saison entweder ein durchschnittliches Anstrengungsniveau von 100 oder 50 leisten kann. Ein höheres Anstrengungsniveau
bedeutet den Einzug in die C-L mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.8, während das geringere Niveau diese auf 0.4 verringert. Die C-L-Teilnahme sichert dem Verein Einnahmen
von 10 Mio; wird die C-L nicht erreicht, werden lediglich 2 Mio eingenommen.
Der Eigentümer des Vereins will dem Spielmacher einen Vertrag anbieten, der ihn mittels
monetärer Anreize zu Höchstleistungen motivieren soll. Er überlegt, das Grundgehalt des
Spielmachers durch eine zusätzliche Bonuszahlung im Fall des C-L-Einzuges zu ergänzen.
Sollte sich der Spielmacher nicht anstrengen, droht ihm eine exorbitante Strafe. Lehnt der
Spielmacher ein Engagement beim betrachteten Verein ab, beträgt sein Nutzen 900. Der
Eigentümer will die erwarteten Einnahmen maximieren. Der Nutzen des Spielmachers
ergibt sich aus
p
Zahlung − Anstrengungsniveau.
(a) Charakterisieren Sie die Nutzenfunktion des Spielmachers.
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(b) Welche Bedingung muss der Vertrag bei unterstellter Rationalität erfüllen, damit
der Spielmacher ihn annimmt?
(c) Wie hoch sind jeweils die Zahlungen an den Spielmacher? Interpretieren Sie das
Ergebnis.
Aufgabe 39
Ein Unternehmer stellt zur Leitung seiner Firma einen Manager ein. Er kann nicht
beobachten, ob dieser einen hohen Arbeitseinsatz ah = 0, 5 oder einen niedrigen Arbeitseinsatz al = 0, 1 leistet. Beobachtbar ist jedoch der erzielte Output des Unternehmens,
der entweder y1 = 140 oder y2 = 80 betragen kann.
Wenn der Manager mit dem Arbeitseinsatz ah arbeitet, kann mit einer Wahrscheinlichkeit
von πh = 0, 5 ein Output von y1 realisiert werden. Falls der Manager nur einen Arbeitseinsatz von al wählt, kann lediglich mit der Wahrscheinlichkeit von πl = 0, 1 der Output
von y1 realisiert werden. Mit der Wahrscheinlichkeit (1 − πh ), bzw. (1 − πl ) ergibt sich
als Ergebnis jeweils y2 . Der Manager wird nicht arbeiten, wenn Uo < 5 gilt.
(a) Die Nutzenfunktion eines risikoneutralen Managers lautet u(wi ) = wi , wobei i = 1, 2
gilt. Berechnen Sie den Betrag, den dieser Manager bereit ist, dem Unternehmer
für einen Vertragsabschluss zu zahlen. Welches Einkommen hat der Manager nach
Abzug dieser Zahlung?
(b) Gehen Sie nun davon aus, dass dieser Manager risikoavers ist und seine Nutzen√
funktion u(wi ) = wi lautet, wobei i = 1, 2 gilt. Der Unternehmer zahlt ihm je
nach Output einen anderen Lohn aus. Berechnen Sie aus Sicht des Unternehmers
das optimale Entlohnungsschema mit w1 , bzw. w2 .
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