Mathematik I, 1. Semester, Studiengänge PIUS und WT

Mathematik I, 1. Semester, Studiengänge PIUS und WT
Aufgaben zur Wiederholung
WS 2006/2007
1. Berechnen Sie : a) log3 7, 5
b)
c)
4!−6
e2 −2e
¶
5 µ
X
6
k−1
·
k−1 k+1
k=2
2. Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
¡ x−2 ¢x+2 ¡ x+3 ¢x−4
a)
a
= a
, a > 0,
b)
3(2
x)
x
= 2(3 ) ,
c)
lg(x − 1) + lg 3 = lg(x2 − 1) ,
d)
e)
x4 − 6x3 − 2x2 + 50x − 75 = 0 ,
f)
10
5
−
= 4,
lg x − 2 lg x + 1
√
√
√
2 3 + x − 3x − 2 = x − 2 ,
g)
x2 + (5 − 2i)x + 5(1 − i) = 0 ,
h)
x2 + (1 − 2i)x − 2i = 0 .
3. Gleichungen
(a) Bestimmen Sie λ ∈ R so, daÿ die Gleichung λx2 − (1 − 2λ)x + λ − 2 = 0
zwei verschiedene reellwertige Lösungen hat.
(b) Für welche Zahlen a > 0 existieren reelle Lösungen der Gleichung
x2 − 4x − log2 a = 0?
n
4. Stellen Sie die Gleichung E = rq 1−q
1−q nach n um.
5. Fassen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich zusammen und vereinfachen
Sie sie:
1
1
1
(n + 1)!
a)
,
b)
+
+
.
n · (n − 1)!
(n − 1)! n! (n + 1)!
6. Es seien u = −2 + 2i und v = −4 + 3i. Geben Sie u in trigonometrischer Darstellungsform an.
u
Berechnen Sie u · v , und u10 !
v
7. Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a)
z 4 = −i ,
b)
z 3 = 3 + 4i .
Skizzieren Sie die Lösungen in der Gauÿschen Zahlenebene.
8. Von einer komplexen Zahl z sind bekannt : ϕ = arg(z) = π6 sowie Re(z) =
Geben Sie z in trigonometrischer und kartesischer Form an.
√
3 .
9. Es seien die Vektoren p~ = (3, 2, −2)T und ~q = (−2, 4, 1)T gegeben.
a) Berechnen Sie die Länge der Projektion des Vektors p~ auf die Richtung von ~q.
b) Ermitteln Sie einen Vektor ~n mit |~n| = √
14, der senkrecht auf p~ und ~q steht.
c) Für welche reelle Zahl λ gilt |~
p + λ~q| = 38 ?
1
10. Bestimmen Sie den Punkt P der x-Achse, der von den Punkten A = (2, −4, 5)
und B = (−3, 2, 7) den gleichen Abstand besitzt.
11. Untersuchen Sie, ob die vier Punkte A = (1, 2, −1), B = (−1, 3, −4), C =
(0, 5, −7) und D = (2, 4, −4) in einer Ebene liegen.
12. Die Gerade g1 geht durch die Punkte P1 = (1, −2, 1) und P2 = (−2, 3, 5), die
Gerade g2 durch die Punkte Q1 = (1, −5, −2) und Q2 = (10, −11, −5). In welchem
Punkt und mit welchem spitzen Winkel schneiden sich g1 und g2 ?
13. Die Punkte P1 = (0, 0, 1), P2 = (1, −1, 0) und P3 = (−2, 1, 1) spannen eine
Ebene auf. Geben Sie die Gleichung dieser Ebene in der Form ax + by + cz = d
an. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes Q = (4, 5, 3) von dieser Ebene.
14. Sind die Vektoren ~a = (2, −1, −3)T , ~b = (−2, 1, 1)T , ~c = (−2, 1, −3)T linear
abhängig oder nicht?
Geben Sie im Fall linearer Abhängigkeit wenigstens eine nicht-triviale Linearkombination dieser Vektoren an, die den Nullvektor ergibt.
15. a) Für welches reelle a ist die Determinante von A negativ?


2
0 1
0
 −5
a 0
0 

A=
 0 −4 1 −3 
0
7 3
0
b) Bestimmen Sie DetA für



A=


1
0 1
0
0
0
0 2
2 −2
0
4 0 −1 10
−1 −2 1
1 −4
0
0 1
1 −1



!


16. Ermitteln Sie die Werte a, b ∈ R, für die das lineare Gleichungssystem
x − 2y + 3z = 4
3x + y − 5z = 5
2x − ay + 4z = b
keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder eine Parameterlösung hat. Geben Sie
die Parameterlösung an!
µ
¶
2 1
17. Für welche reellen Zahlen a ist die Matrix A =
regulär ? Berechnen
1 a
Sie die Inverse A−1 für a = −1.
18. Gegeben seien die folgenden Vektoren und Matrizen :
2


¶
µ
¶
µ
−1
1
4
8 −6
1 −2
a=
, b= 3  , A=
und B =
.
2
3
4
2 −3
5
2
Berechnen Sie, falls möglich, die folgenden Ausdrücke :
µ
¶
B + a · bT , A · B · b + A · a und
A · a − B · b · aT .
19. Berechnen Sie alle
µ reellen¶symmetrischen (2, 2)-Matrizen A, die Lösung der Glei4 0
chung A · AT =
sind.
0 9
20. Wählen Sie die Parameter a und b so, daÿ die Funktion y = ax + b durch das
Wertepaar (5, 3) geht und a) gerade oder b) ungerade sei.
21. Bestimmen Sie Denitionsbereich, Wertebereich und Umkehrfunktion für:
√
1
a) y =
,
b) y = x2 + 4 + 2 ,
1−x
2x
x−2
c) y =
.
, d) y =
x
1+2
x+4
22. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf ihre Symmetrieeigenschaften:
2
a) y = −|x| ,
b) y = −x3 ,
c) y = −
,
d) y = x4 − 2x2 ,
1 + x2
e) y = x cos x , f)
y = x2 sin x , g) y = sin x − cos x .
23. Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen beschränkt sind:
3
a) y = x − 2 , b) y = −x2 + 1 , c) y = − cos x + 1 .
2
24. Welche der folgenden Funktionen sind periodisch:
a)
d)
y = sin2 x ,
y = 5,
b)
e)
y = sin x2 ,
y = x cos x .
c)
y = 1 + tan x ,
25. Bestimmen Sie die erste Ableitung folgender Funktionen !
x · sin x
π
(a) f (x) = 2
, x ∈ [0, ]
x −1
4
p
π
(b) f (x) = sin(4x), x ∈ [0, ]
4
r
x−2
(c) f (x) =
, x ∈ [2, ∞]
2x + 1
(d) f (x) = xsin x , x ∈ R+
√
x
(e) f (x) =
+ x2 2x − 1,
3x − 1
(f) f (x) = x(ln x)2 , x ∈ R+
x>
2
(g) f (x) = x2 · e−x + ex · cos x
(h) f (x) = arcsin
1 − x2
1 + x2
3
1
2
1
cos x
x
+ ln(tan ), x ∈ (0, π)
2
2
2 sin x 2
√
1
x 3
f (x) = √ arctan
1 − x2
3
r
1 − sin x
π
f (x) = ln
, x ∈ [0, ]
1 + sin x
2
1
f (x) = x2 · sin
x
1
f (x) = arcsin , x > 1
x
r q
√
f (x) = x x x
(i) f (x) =
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
26. Für die Funktion
y = f (x) =
x2
x2 +4
sind alle Stellen zu berechnen, an denen Extremwerte vorliegen. Art (Minimum
oder Maximum) und dazugehörende Funktionswerte sind anzugeben.
Berechnen Sie auÿerdem diejenigen Bereiche, in denen f (x)
(a) monoton fallend
und
(b) konkav ist.
27. Welches ist der kleinste und welches der gröÿte Wert, den die Funktion f (x) =
2
(2 − x2 )e−x auf der Menge der reellen Zahlen annimmt?
28. Welchen Anstieg hat der Graph der Funktion
f (x) =
x · sin x
x2 − 1
an den Stellen x0 =
π
16
und x1 =
π
?
8
29. Man gebe die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion
y = 2x2 − 6x + 7
im Punkt (1; 3) an!
30. Berechnen Sie die erste Ableitung y 0 der folgenden implizit gegebenen Funktion
5
y3x
x2 (2y 2 − x2 ) +
=0 .
2
2
Wie groÿ ist die erste Ableitung der Kurventangente im Punkt P = (1, 1) ?
31. Für folgende in Parameterdarstellung gegebene ebene Kurve (Pascalsche Schnecke):
x = x(t) = a · cos2 t + l · cos t ,
y = y(t) = a · cos t · sin t + l · sin t ,
4
0 ≤ t < 2π
mit a = 1, 5 und l = 4
ist der Anstieg der Kurventangente im Punkt P0 = (x(t0 ), y(t0 )) für t0 = 1 zu
berechnen.
32. Ermitteln Sie die folgenden Grenzwerte!
a)
lim
x→0
ln(1 + x)
,
2 − ex − cos x
b)
lim ln x · e−3x
x→+∞
33. Für eine Wechselspannung u(t) = u0 · sin(ωt + ϕ) sei u0 = 220V, ω = 0.1πms−1
und ϕ = π/3. Gemessen wurde t1 = (5.0 ± 0.1)ms. Berechnen Sie den absoluten
und relativen Fehler der Spannung.
34. Geben Sie alle partiellen Ableitungen 1. Ordnung der folgenden Funktion an!
f (x, y, z)
xy 2 − ez √
− z − xy
z2 − y
=
35. Für die Funktion z = f (x, y) = x2 + 3xy + 2y 2 ist im Punkt P0 = (−1, 1) die
Gleichung der Tangentialebene an die Bildäche von z = f (x, y) in parameterfreier Darstellung anzugeben. Auÿerdem ist der Gradient von z = f (x, y) im Punkt
P1 = (4, −3) zu berechnen.
36. Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion
f (x, y) = 2x4 − 4x2 + y 2 + 6y + 13
Extremwerte besitzt.
Berechnen Sie die dazugehörenden Funktionswerte.
37. Berechnen Sie für f (x1 , x2 , x3 ) = x21 + 2x1 x2 + 3, 5 · x23 die Richtungsableitung
∂f
T
T
√1
∂r (x0 ) mit r = 3 (1, 1, 1) und x0 = (1, 3, −2) .
5