Grundlegendes zur Zahlentheorie

Grundlegendes zur Zahlentheorie
Arno Fehringer, Gymnasiallehrer für Mathematik und Physik
Dezember 2012
Arno Fehringer : Grundlegendes zur Zahlentheorie
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Arno Fehringer : Grundlegendes zur Zahlentheorie
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Satz:
Es gibt beliebig große Lücken in der Primzahlenfolge. Mit anderen Worten:
∀ k ∈IN , k≥2 , gibt es k aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen.
Bew:
Betrachte für k ∈ IN , k≥2 , die k aufeinanderfolgenden Zahlen
(k+ 1) !+2, (k +1) !+3,
..... , (k +1)!+ k , (k+ 1)!+k+ 1 .
Jede Zahl (k+1)!+ j ist durch j teilbar für j=2,..., k+1
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Satz:
Der kleinste Teiler ungleich 1 einer natürlichen Zahl ist eine Primzahl:
∀ t∈IN ∖ {1} : min {t: t∈IN∖ {1}∧t/z } ∈ IP
Bew:
{t: t∈IN ∖ {1}∧t/z } ≠ { }
Sei t 1 =min {t: t ∈IN∖ {1}∧t/z }
Annahme t 1 ∉IP
∃ t 2 ∈IN ∖ {1},1< t 2 < t 1 mit t 1 /z
Widerspruchzu t 1 =min {t: t∈IN∖ {1}∧t/z }
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Satz:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Bew:
Angenommen , es gäbe nur endlich viele Primzahlen p1 ,....,pn .
Setze n = p1⋅...⋅pn + 1
Dann ist n eine Primzahl oder der kleinste nichttriviale Teiler von n ist
eine Primzahl.
In beiden Fällen sind diese Primzahlen nicht aus der vorgegebenen Menge
{ p 1 ; ...; pn } im Widerspruch zur Annahme.
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Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie:
Jede natürliche Zahl z >1 kann eindeutig als Produkt von Primzahlen dargestellt werden:
∀ z∈IN∖ {1} ∃ r ∈IN : z=∏ pi , i=1, ... ,r
Bew:
Existenz :
Sei z ∈ IN. Falls z ∈IP ist nichts zu zeigen.
Falls z∉IP sei p1 =min{t: t∈IN ∖ {1}∧t/z } ∈ IP und z=p1 n1 für ein geeignetes
n1 ∈ IN . Die gleiche Argumentation kann auf n1 angewendet werden .
Der Prozeß bricht nach r Schritten ab, und z=∏ pi i=1,...,r
Eindeutigkeit :
Sei z ∈ IN die kleinste Zahl mit nichteindeutiger Primzahldarstellung , etwa
z=∏ pi =
∏ qj
i=1,...,r
j=1,..., s
Dann gilt O.B.d.A. p1 ≠ q j , j=1,..., s und p1 >q1
Setze n = p1 ∏ pi − q1 ∏ pi
n=( p1−q1 ) ∏ pi
i=2,...,r
i=2,...,r
Wegen n< z und q1 /n ist die Darstellung von n eindeutig und q1 kommt in der
Primzahldarstellung von p1−q1 vor.
q1 /(p1−q1 )
,
q1 /q1
⇒
q1 /p 1
∧
q1=p1
Widerspruch zu p1 >q1
Also ist die Primzahldarstellung für alle z eindeutig.
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Satz:
Sei IP = { p1 ; p2 ; p3 ; ...}
Für
a=∏ p ai ,
i
b=∏ p bi ,
i
a/b
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
p i ∈ IP ∀ i ∈ IN
ai⩽bi
⇔
∧
ai ∈ IN∪{0} und
∧
bi ∈ IN∪{0} gilt :
∀ i ∈ IN
Bew:
⇒:
a=∏ p ai ,
i
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
∧
a i ∈ IN∪{0}
b=∏ p bi ,
i
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
∧
bi ∈ IN∪{0}
a /b
⇒
∃ c : ac=b
∏ p iai ∏ p ici
ai + ci =bi
=
c=∏ p c i
i
mit
∏ p ai i p ici
=
∏ p ai i +c i
=
∏ p bi i
ai ⩽bi
⇒
⇐:
Sei ai ⩽bi , Setze
c i =bi−ai
c i ∈ IN∪{0}
∀ i ∈ IN
∏ p iai ∏ p ici
=
ac=b
a/b
⇒
∏ p ai i p ici
=
∀ i ∈ IN
und
c=∏ p c i
i
∏ p bi i
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Satz über die Anzahl der Teiler einer Zahl:
Sei
a=∏ p ai ,
i
pi ∈ IP , i ∈ {1;...;r}
, ai ≥1 ,
und sei
T a := {t: t∈IN ∧ t /a } . Dann ist # Ta = ( a1 +1)⋅...⋅(ar + 1)
Bew:
a=∏ p ai ,
i
speziell
Sei
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
a=∏ p
ai
,
i
pi ∈ IP
t∈ Ta ∧ t=∏ p t i ,
i
⇒
t i≤ai
⇒
ti = 0
⇒
t =
⇒
# Ta = ( a1 +1)⋅...⋅(ar +1)
∀
,
ai ∈ IN∪{0}
i ∈ {1;...;r}
,
ai ≥1
.
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
,
t i ∈ IN∪{0}
i∈IN
für
∏ p ti i
∧
ai = 0
,
pi ∈ IP ,
i ∈ {1;...;r}
,
0 ≤ t i ≤ai
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,
Satz über den größten gemeinsamen Teiler ggT zweier Zahlen:
Für
a=∏ p ai und
i
(a ;b) =
b=∏ p b i ,
i
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN ∧ a i ,bi ∈ IN∪{0} gilt :
{ ai ;bi }
∏ p min
i
Bew:
t /a ∧ t /b ∧ t=∏ p t i ,
i
⇒
t i ≤ai ∧ t i≤bi ∀
⇒
t i ≤ min { ai ;bi }
min { ai ;bi } = 0
⇒
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN
∧
t i ∈ IN∪{0}
i ∈ IN
t i = 0 ∧ p t i=p 0=1
i
i
⇒ (a ;b)=∏ p min { ai ;bi }
i
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Satz über das kleinste gemeinsame Vielfache kgV zweier Zahlen:
Für
a=∏ p ai und
i
[a;b] =
b=∏ p bi ,
i
pi ∈ IP ∀ i ∈ IN ∧ ai ,bi ∈ IN∪{0} gilt :
{ ai ;bi }
∏ p max
i
Bew:
Sei
v
gemeinsames Vielfaches von a und b
a/ v ∧ b /v
⇒ [a; b] =
⇒
,
v=∏ p v i
i
ai ≤v i ∧ bi ≤v i ⇒ max { ai ;bi }≤v i
{ ai ;bi }
∏ p max
i
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Satz über den Zusammenhang von ggT und kgV:
∀
a,b
∈ IN : ( a;b)⋅[a ;b] = a⋅b
Bew:
Sei
a=∏ p ai und
i
⇒ (a ;b) =
[ a;b] =
a⋅b =
i∈{1;...;n}
pi ∈ IP ∀ i ∈ {1;...;n} ∧ ai ,bi ∈ IN∪{0}
ai ;bi }
∏ p min{
i
{ ai ;bi }
∏ p max
i
∏ p ai + bi
i
⇒ (a ;b)⋅[a ;b] =
∀
b=∏ p bi ,
i
{ ai ;bi } +max { ai ;bi }
∏ p min
i
: min { ai ;b i }+max { ai ;bi } = ai +bi
⇒ (a ;b)⋅[a ;b] =
∏ p ai + bi
i
(a;b)⋅[a ; b] = a⋅b
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Satz über die Bestimmung des ggT über den Euklidischen Algorithmus:
∀
a1 , a2 ∈ IN ,
a1 > a 2 : (a1 ;a2 ) = (a2 ; a3 ) mit
a3=a1−v 2 a2 ∧ a 3 <a2
a1
a2
a3 = a1 - 2a2
a2
a3 = a1 - 2a2
Bew:
∃ eindeutige
Für
v 2 , a3 ∈ IN
i=1,2 ,3 Seien
, a3 < a2 :
T( ai)={t : t∈IN∧t /ai }
Wir zeigen : T (a1 )∩T(a2 )=T(a2 )∩T (a3 )
Sei
⇒
t ∈ T(a1 )∩T(a 2 ) ⇒
⇒
t ∈ T (a2 )∩T(a3 ) ⇒
a1=v 2 a2 + a3=v 2 kt+lt=(v 2 k+ l)t
die Teilermengen von
ai .
wobei a 3=a 1−v 2 a2 .
, a 2=mt
a3=a3=a1−v 2 a2 =nt−v 2 mt=(n−v 2 m)t
Sei umgekehrt
⇒
a1 =nt
a1=v 2 a2 + a3
⇒
⇒
a2 =kt
t ∈ T(a2 )∩T( a3 )
, a 3=lt
t ∈ T(a 1)∩T(a2 )
(a1 ;a2 ) = (a2 ; a3 )
Das Verfahren wird nun analog auf a2 und a3 angewendet. Es bricht nach
beispielsweise 4 Schritten ab , man erhält die Gleichungen :
a1 =v 2 a 2 +a3
a2 =v3 a 3 +a4
a3 =v4 a4 + a5
a 4=v5 a5 +0
⇒
(a1 ;a2 ) = (a2 ; a3 ) = (a3 ;a 4 ) = (a4 ; a5 ) = (a5 ; 0) = a5
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Satz:
Sei
a5 = ( a1 ; a2 )
Dann gibt es x ,y
der größte gemeinsame Teiler von a1 und a2
∈ ℤ : a = xa1 + ya2
Bew:
Nach dem Euklidischen Algorithmus folgen folgende Linearkombinationen LK :
a5 = LK(a3 ,a4 )
a5 = LK(a3 ,LK(a 2 , a3 ))
a5 = LK(LK (a1, a2 ), LK(a2 ,LK (a1, a2 )))
a5 = LK(a1, a 2 )
⇒
∃
x , y ∈ ℤ : a5 = xa1 +ya2
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Satz:
Sei
a5 = ( a1 ; a2 )
der größte gemeinsame Teiler von a1 und a2 ,
sei L (a1 ,a2 ) = { xa1 + ya2 : x,y ∈ℤ }
V (a5 ) = { va5 : v∈ℤ }
Dann gilt:
die Menge der Linearkombinationen und
die Menge der Vielfachen.
L(a1, a2 ) = V (a5 )
Bew:
⇒:
Sei
⇒
a = xa 1 +ya 2 ∈ L(a1, a 2 )
⇒
es ist
a1=ua5 ∧ a2 =wa 5
a = xua5 +ywa 5 = (xu+yw)a5 ∈ V(a5 )
⇒:
Sei
⇒
a = va5 ∈ V(a 5 )
⇒
nach Voraussetzung ist a5 = xa1 +ya 2
a = v (xa1 +ya2 ) = vxa1 + vya2 ∈ L(a1, a2 )
Folgerung:
(a1 ;a2 ) = a5 = min V (a5 ) = min L(a1, a2 )
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Satz über die Lösbarkeit von Diophantischen Gleichungen:
Sei (x I y) ∈ ℤ×ℤ
⇒
a1 x+ a2 y = c
⇒
c = va5
⇒
a5 = (a1 ;a2 ) ∣ c
Gelte umgekehrt
eine Lösung der Gleichung
a1 x+ a2 y = c
∈ L(a1, a2 ) = V(a 5 )
a5 = (a1 ;a2 ) ∣ c
⇒
c = va5 ∈ V(a5 ) = L(a1, a2 )
⇒
∃ (x I y ) ∈ℤ×ℤ : c= a1 x+ a2 y
Mit anderen Worten :
a1 x+ a2 y = c
ist
lösbar
⇔
(a1 ;a2 ) ∣ c
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.
Satz über Darstellung der Lösungsmenge einer Diophantischen Gleichung:
Sei IL = { ( x I y ) : a1 x+ a2 y = c } die Lösungsmenge der Diophantischen
Gleichung a1 x+ a2 y = c
, wobei schon maximal gekürzt sein soll , also
(a1 ;a 2)=1 ist , und sei (x 0 I y 0 ) ∈ IL.
Dann gilt :
IL = { (x 0 + va2 I y0 −va1 ) : v∈ℤ }
Bew:
⇒ :
Seien (x I y ), (x 0 I y 0 ) ∈ IL
⇒
a1 x+ a2 y = c
a 1 x 0 +a 2 y 0 = c
⇒
a1 (x−x 0 )+ a2 (y−y 0 ) = 0
⇒
( x−x0 )
a
=− 2
( y−y 0 )
a1
⇒
( x−x0 ) = va2
⇒
x = x 0 + va2
∧
∧
(y−y 0 ) = −va1
y = y 0−va1
⇒ :
Sei
⇒
x = x0 + va2
∧
y = y 0 −va1
a1 (x 0 + va2 )+a2 (y 0 −va1 ) = a1 x 0 +a 2 x 0 + va1 a2 −va1 a2 = c
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Finden einer speziellen Lösung
Diophantischen Gleichung:
( x0
∣ y0 )
und der Gesamtheit der Lösungen einer
21 x + 35 y = 14
Euklidischer Algorithmus für ( 35; 21) :
35 = 1⋅21 + 14
21 = 1⋅14 + 7
also
14 = 2⋅7
( 21;35 ) = 7
21 x + 35 y = 14
∣ :7
.
3x + 5y = 2
Euklidischer Algorithmus für ( 5;3 ) :
5 = 1⋅3 + 2
3 = 1⋅2 + 1
also
2 = 1⋅1
1 ∈ L ( 3,5 )
( 3;5 ) = 1
:
5 − 1⋅3 = 2
3 − 1⋅2 = 1
3 − 1⋅( 5 − 1⋅3 ) = 1
2⋅3 − 1⋅5 = 1
3⋅2 + 5⋅(−1) = 1
3⋅2 + 5⋅(−1) = 1
3⋅4 + 5⋅(−2 ) = 2
( x0
∣⋅2
∣ y0 ) = ( 4 ∣ −2) ∈ IL
IL =
{( 4
+ v⋅5 ∣ −2 − v⋅3 ) ∣ v ∈ ℤ }
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