Formale Sprachen und Komplexität SS13 ¨Ubungsblatt 1

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, Dr. S. Grau
http://www.tu-ilmenau.de/tinf/
Formale Sprachen und Komplexität SS13
Übungsblatt 1
Abgabe & Besprechung: Dienstag 09.04.2013, 13:00 Uhr / 17:00 Uhr
Aufgabe 1 (Formale Sprachen)
Entscheiden Sie für die nachstehenden Mengen, ob es sich um formale Sprachen handelt:
(a) die Menge aller deutschen Großstädte (≥ 100.000 Einwohner)
(b) die Menge der Namen aller deutschen Großstädte
(c) die Menge der Vornamen der Einwohner Ilmenaus
(d) die Menge aller natürlichen Zahlen
(e) die Menge der Dezimaldarstellungen natürlicher Zahlen
(f) die Menge der Dezimaldarstellungen reeller Zahlen
Aufgabe 2 (Beschreibung von Sprachen)
Es sei Σ = {a, b, c} ein dreielementiges Alphabet. Für σ ∈ Σ und w ∈ Σ∗ bezeichnet |w|σ
die Anzahl der Vorkommen von σ in w. Für w = aabcba gilt beispielsweise |w|a = 3,
|w|b = 2 und |w|c = 1. Für eine Sprache L ⊆ Σ∗ bezeichen L das Komplement von L,
d.h.
L = Σ∗ \ L = {w ∈ Σ∗ | w 6∈ L}.
Unter den folgenden 16 Sprachen über Σ befinden sich 8 Paare gleicher Sprachen. Finden
Sie heraus, welche Paare das sind und geben Sie jeweils eine kurze Begründung für die
entsprechende Gleichheit.
L1 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 0}
L9 = L1
L2 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 4}
L10 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = 2}
L3 = (L1 L10 )2
L11 = {an bn | n ∈ N}
L4 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
L12 = L35 L34
L5 = {w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b = |w|c }
L13 = {ab}+
L6 = {b, c}∗ {a}{b, c}∗ {a}{b, c}∗
L14 = {a}{ba}∗ {b}
L7 = L4 ∩ {w ∈ Σ∗ | |w|b = |w|c }
L15 = Σ∗ {a}Σ∗
L8 = L4 ∩ {a}∗ {b}∗
L16 = ({b}∗ {c}∗ )+
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Übungsblatt 1
Aufgabe 3 (Beschreibung von Sprachen)
Nun sei Σ = {0, 1} das binäre Alphabet. Geben Sie für die folgenden drei Sprachen über
Σ möglichst einfache Beschreibungen an.
L1 = Σ∗ {0}Σ∗
L2 = ({0}+ ∪ {1}+ )+
L3 = {1}Σ∗ {0} ∩ Σ∗ {00, 11}Σ∗
Aufgabe 4 (Formalisierung von Entscheidungsproblemen)
Formalisieren Sie die folgenden Entscheidungsprobleme im Sinne der Vorlesung.
(a) Eingabe: Eine natürliche Zahl n.
Frage: Ist n eine Primzahl?
(b) Eingabe: Ein Graph G = (V, E).
Frage: Besitzt G eine Rundreise, d.h. gibt es eine Ordnung (v1 , . . . , vn ) der Knoten,
so dass (v1 , v2 ), . . . , (vn−1 , vn ), (vn , v1 ) ∈ E gilt?
Aufgabe 5 (Beschreibung von Sprachen)
Es sei Σ = {a, b}. Unter den nachstehenden sechs Sprachen befinden sich zwei Paare
gleicher Sprachen, sowie zwei Sprachen die genau einmal vorkommen. Identifizieren Sie
für jedes Paar verschiedener Sprachen Li , Lj ein Wort w ∈ Σ∗ , so dass w ∈ Li und
w 6∈ Lj gilt.
∗
L1 = ({b}∗ {aa}{b}∗ )2
L2 = {w ∈ Σ∗ | |w|a ist gerade }
∗
L3 = ({b}∗ {a}{b}∗ )2
L4 = ({b}∗ {aa}{b}∗ )∗
∗
L5 = ({b}∗ {a})2
L6 = {b}∗ ({aa}{b}∗ )∗