Formale Sprachen und Komplexität ¨Ubungsblatt 1

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Theoretische Informatik
Prof. Dr. D. Kuske, M.Sc. M. Huschenbett
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2012/fsuk/
Formale Sprachen und Komplexität
Übungsblatt 1
Besprechung der Seminaraufgaben in den Übungen am 10. und 13. April 2012
Abgabe der Hausaufgaben direkt vor der Vorlesung am 17. April 2012
Seminaraufgaben
Aufgabe 1
Entscheiden Sie für die nachstehenden Mengen, ob es sich um formale Sprachen handelt:
a) die Menge aller deutschen Großstädte (≥ 100.000 Einwohner)
b) die Menge der Namen aller deutschen Großstädte
c) die Menger aller Vornamen der Einwohner Ilmenaus
d) die Menge aller natürlichen Zahlen
e) die Menge aller Dezimaldarstellungen natürlicher Zahlen
Aufgabe 2
Es sei Σ = {a, b, c} ein dreielementiges Alphabet. Für σ ∈ Σ und w ∈ Σ∗ bezeichnet |w|σ die
Anzahl der Vorkommen von σ in w. Für w = aabcba gilt beispielsweise |w|a = 3, |w|b = 2
und |w|c = 1. Für eine Sprache L ⊆ Σ∗ bezeichne L das Komplement von L in Σ∗ , d.h.
L = Σ∗ \ L = { w ∈ Σ∗ | w 6∈ L } .
Unter den folgenden 16 Sprachen über Σ befinden sich 8 Paare gleicher Sprachen. Finden Sie
heraus, welche Paare das sind und geben Sie jeweils eine kurze Begründung für die entsprechende Gleichheit.
L1 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b }
L9 = L31
L2 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = 0 }
L10 = (L2 L3 )2
L3 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = 2 }
L11 = L2
L4 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = 4 }
L12 = { an bn | n ∈ N }
L5 = { w ∈ Σ∗ | |w|a = |w|b = |w|c }
L13 = {ab}+
L6 = {b, c}∗ {a}{b, c}∗ {a}{b, c}∗
L14 = {b, c}∗
L7 = L1 ∩ { w ∈ Σ∗ | |w|b = |w|c }
L15 = Σ∗ {a}Σ∗
L8 = L1 ∩ {a}∗ {b}∗
L16 = {a}{ba}∗ {b}
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Formale Sprachen und Komplexität
Übungsblatt 1
Aufgabe 3
Nun sei Σ = {0, 1} das binäre Alphabet. Geben Sie für die folgenden drei Sprachen über Σ
möglichst einfache Beschreibungen an.
+
L1 = Σ∗ {1}Σ∗
L2 = {0}+ ∪ {1}+
L3 = Σ∗ {00, 11}Σ∗ ∩ {0}Σ∗ {1}
Aufgabe 4
Formalisieren Sie die beiden folgenden Entscheidungsprobleme im Sinne der Vorlesung.
a) Eingabe: Eine natürliche Zahl n.
Frage: Ist n eine Primzahl?
b) Eingabe: Ein gerichteter Graph G = (V, E) und eine natürliche Zahl k.
Frage: Besitzt G einen Pfad, der aus k paarweise verschiedenen Knoten besteht, d.h. gibt
es paarweise verschiedene v1 , . . . , vk ∈ V mit (v1 , v2 ), . . . , (vk−1 , vk ) ∈ E?
Hausaufgaben
Aufgabe 1
Es sei Σ = {a, b}. Unter den nachstehenden sechs Sprachen befinden sich zwei Paare gleicher
Sprachen sowie zwei weitere Sprachen, die genau einmal vorkommen. Finden Sie heraus, welches die beiden Paare sowie die beiden einzelnen Sprachen sind. Die behaupteten Gleichheiten
müssen Sie nicht begründen. Geben Sie weiterhin für je zwei Sprachen Li und Lj mit Li 6= Lj
ein Wort w ∈ Σ∗ an, das diese Ungleichheit belegt.
2 ∗
∗
L1 = {b}∗ {a}{b}∗
L4 = {b}∗ {aa}{b}∗
2 ∗
∗
L2 = {b}∗ {a}
L5 = {b}∗ {aa} {b}∗
2 ∗
L3 = {b}∗ {aa}{b}∗
L6 = w ∈ Σ? |w|a ist gerade
Aufgabe 2
Formalisieren Sie die beiden folgenden Entscheidungsprobleme im Sinne der Vorlesung.
a) Eingabe: Zwei natürliche Zahlen a und b.
Frage: Ist a ein Teiler von b?
b) Eingabe: Ein Binärbaum T , dessen Knoten mit 0 oder 1 beschriftet sind.
Frage: Gibt es in T genauso viele Knoten die mit 0 beschriftet sind wie mit 1 beschriftete
Knoten.