3. Öffentliche Güter

Öentliche Güter
3.4. Lindahl-Lösung
Idee: Quasi-Markt-Mechanismus, indem Individuen
individuelle Preise für ö. Gut entsprechend ihrer
Zahlungsbereitschaft zahlen.
Idee: Während bei privaten Gütern Individuen unterschiedliche
Mengen zum selben Preis konsumieren, konsumieren sie zu
unterschiedlichen Preisen dieselbe Menge ö. Güter.
Damit könnte eziente Lösung erreicht werden.
Rainald Borck
1
Öentliche Güter
Betrachte 2 Individuen; sei
pi
der Preis für Ind.
i = 1, 2
mit
p1 + p2 = 1.
Wenn
i
zum Preis
pi
Einheiten von
max u(G, xi )
G
NB:
G
kaufen könnte:
x i + p i G = Mi
(1)
FOC für innere Lösung:
uiG − pi uix = 0
oder
GRSi = pi
Rainald Borck
(2)
(3)
2
Öentliche Güter
Wähle
p1 , p2
Aus (3) und
so, dass beide dieselbe Menge
p1 + p2 = 1
G
nachfragen.
folgt:
GRS1 + GRS2 = 1 (4)
Die Bereitstellung ist also ezient.
Zudem ist für jedes Ind. seine Zahlungsbereitschaft gleich dem
Preis: Äquivalenzprinzip (Lindahl, Wicksell).
Rainald Borck
3
Öentliche Güter
EUR
ΣMZB
MZB2
MZB1
1
p2
p1
G*
G
Abbildung: Lindahl Lösung
Rainald Borck
4
Öentliche Güter
Problem: Lindahl-Lösung ist keine wirkliche Lösung: woher soll
Planer Zahlungsbereitschaften kennen?
Wenn ZB private Information sind und Individuen sie
oenbaren müssen: Anreiz ZB zu untertreiben.
Bsp. s. Graphik: Wenn Ind. 2 statt wahrer
M ZB2 M ZB20
äuÿert:
bereitgestellte Menge sinkt von
G∗
auf
G0 .
0
Lindahl-Preis sinkt von p2 auf p2 .
Nettoeekt auf Konsumentenrente ist Dierenz aus der grauen
(+) und schwarzen (−) Fläche: Anreiz zum Untertreiben.
Rainald Borck
5
Öentliche Güter
EUR
ΣΜΖΒ
MZB2
MZB'2
1
p2
p'2
p1
G' G*
G
Abbildung: Lindahl Lösung und Untertreiben
Rainald Borck
6
Öentliche Güter
3.5. Anreizmechanismen
Problem: wie bringt man Individuen dazu ihre wahren
Präferenzen zu oenbaren?
Wenn Ind. ZB äuÿern sollen und davon ausgehen, dass ihre
Zahlung daran geknüpft ist: Anreiz zum Untertreiben.
Wenn Zahlung unabhängig von geäuÿerter ZB ist: Anreiz zum
Übertreiben.
I. a. gibt es keinen nicht-diktatorischen Mechanismus, der
dafür sorgt, dass Individuen ihre wahren Präferenzen
oenbaren (Gibbard-Satterthwaite Theorem).
Selbst für Spezialfälle, in denen anreizkompatible
Mechanismen existieren, kann nicht gleichzeitig Ezienz und
Budgetausgleich erreicht werden.
Rainald Borck
7
Öentliche Güter
Andere Möglichkeiten, Präferenzen zu erkunden? Bsp:
Wohnungsmarkt. Ind. äuÿern durch Wohnungswahl ihre
Präferenzen für ö. Güter (z.B. Parks oder Schulen).
Kombination von Mechanismen mit Unter- und Übertreibung
als dominanter Strategie.
Bohm (1972): Geäuÿerte ZB hängen nicht signikant vom
Mechanismus ab.
Für Spezialfälle existieren Mechanismen, die
anreizkompatibel sind und die eziente Bereitstellung eines
öentlichen Gutes ermöglichen.
Rainald Borck
8
Öentliche Güter
Clarke-Steuer
Idee: Um Individuen zu einer gesellschaftlich ezienten
Entscheidung zu veranlassen, müssen sie die gesellschaftlichen
Kosten ihrer Entscheidung tragen.
Annahmen. In einer Gesellschaft mit
N
Individuen wird über
die Bereitstellung eines ö. Gutes entschieden (ja/nein).
Die Individuen haben quasilineare Nutzenfunktionen
Ui = xi + ui (G),
Sei
ui (0) = 0,
und
ui (1) = vi
die
Zahlungsbereitschaft von Ind. i.
Rainald Borck
G ∈ {0, 1}
(5)
maximale
9
Öentliche Güter
c
α
=
1
i i
Bereitstellungskosten
Anteilen
αi ,
P
werden unter Ind. entsprechend ihren
aufgeteilt.
Bereitstellung ist ezient, wenn
X
vi ≥ c
(6)
i
Optimal wäre Bereitstellung, wenn (6) erfüllt ist.
Aber: wenn die Zahlungsbereitschaften
vi
private Information
sind, ist nicht sicher gestellt, dass Ind. sie freiwillig oenbaren.
Rainald Borck
10
Öentliche Güter
Sei
bi = vi − αi c
Ind.
is
Nettozahlungsbereitschaft.
Mechanismus: Frage alle Individuen nach
(die geäuÿerte ZB)
ai
bi .
Sei
is
Antwort
nicht notwendigerweise gleich
bi .
Das Gut wird genau dann bereitgestellt, wenn
X
ai ≥ 0
(7)
i
Zahlung von Ind.
i
an den Staat:
αi cG + Ti (a)
mit
Rainald Borck
a:
(8)
Vektor der geäuÿerten Zahlungsbereitschaften.
11
Öentliche Güter
Der
Anreizterm
Ti (a) =
Das ist die
Ti (a)
ist deniert als
P
P
P
| j6=i aj | wenn ( j6=i aj )( N
j=1 aj ) < 0
0
sonst
(9)
Clarke-Steuer.
In Worten: Ind.
i
zahlt eine Clarke-Steuer g.d.w. die Summe
aller geäuÿerten Zahlungsbereitschaften ihr Vorzeichen ändert.
Dies bedeutet, dass Individuum
Entscheidung
Rainald Borck
i
für die gesellschaftliche
ausschlaggebend (pivotal) ist.
12
Öentliche Güter
Ergebnis
Bei einer Clarke-Steuer ist die Angabe der wahren
Zahlungsbereitschaft für jedes Individuum eine (schwach)
dominante Strategie.
Wenn
ai = bi
für alle
i
entspricht die Bereitstellungs-Regel (7)
gerade der gesellschaftlichen ezienten Regel.
Beweis des Theorems s. nächste Folie.
Intuition: Clarke-Steuer internalisiert
externen Eekt, den das
eigene Verhalten auf die Gesellschaft ausübt.
Rainald Borck
13
Öentliche Güter
Beweis
Z.z. dass sich Lügen nicht lohnt.
Es gelte
1
P
j6=i aj
> 0.
2 Fälle:
P
j6=i aj
+ bi > 0. Wenn i Wahrheit sagt, wird Projekt
durchgeführt und i ist nicht entscheidend. Nutzen
u∗i = bi
Kann Lügen sich lohnen?
PN
1 ai 6= bi , j=1 aj ≥ 0. Gegenüber Wahrheit sagen ändert sich
nichts.
2 ai 6= bi ,
PN
j=1
aj < 0. Projekt wird nicht durchgeführt
→ Clarke Steuer. Nutzen
X
ûi = −
aj
und
i
ist entscheidend
j6=i
ûi >
u∗i
⇔
X
aj + bi < 0
j6=i
Rainald Borck
14
Öentliche Güter
2
P
j6=i aj
+ bi < 0. Wenn i Wahrheit sagt, wird
i ist entscheidend. Nutzen
X
u∗i = −
aj
Projekt nicht
durchgeführt und
j6=i
Kann Lügen sich lohnen?
PN
1 ai 6= bi , j=1 aj ≤ 0. Gegenüber Wahrheit sagen ändert sich
nichts.
2 ai 6= bi ,
PN
j=1
aj > 0.
Projekt wird durchgeführt und
i
ist
nicht entscheidend und zahlt keine Clarke Steuer. Nutzen
ûi = bi
ûi > u∗i ⇔
X
aj + bi > 0
j6=i
Analog der Fall
Rainald Borck
P
j6=i
aj < 0.
Q.E.D.
15
Öentliche Güter
Beispiel
Betrachte ein Beispiel mit 3 Ind:
P
j6=i bj
Cl.St.
ui
6
0
-4
1
1
0
1
5
-3
3
2
Ind.
bi
1
-4
2
3
Summe der Netto-ZB ist
2
und das Gut wird folglich
bereitgestellt.
Ind. 3 zahlt eine Clarke-Steuer, weil es als einziges
entscheidend ist.
Beachte: Bereitstellung ist ezient, da
P
vi > c,
aber Ind. 1
wird schlechter gestellt.
Rainald Borck
16
Öentliche Güter
Kann sich Lügen auszahlen?
Betrachte Ind. 3. Um Clarke-Steuer zu vermeiden, müsste er
z.B.
b3 = 2
angeben, aber dann wäre
P
nicht bereitgestellt und der Nutzen von
aj = −1, Gut wird
3 wäre 0 gegenüber 2,
wenn er Wahrheit sagt und Clarke-Steuer zahlt.
Betrachte Ind. 1. Um Bereitstellung zu verhindern, müsste sie
z.B.
b1 = −7
angeben, aber dann müsste sie eine
Clarke-Steuer von 6 zahlen, Nettonutzen (−6) wäre geringer
als bei Wahrheitsagen ohne Clarke-Steuer (−4).
Rainald Borck
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Öentliche Güter
Budgetüberschüsse
Wenn es entscheidende Ind. gibt, erzielt Clarke-Steuer einen
Budgetüberschuss (im Bsp. oben 3).
D.h. dass die Bereitstellung nicht pareto-ezient ist, da dieser
Überschuss
nicht an die Ind. zurückgegeben werden darf
(warum?).
Im Beispiel oben führt die Steuer sogar zu einem
negativen
sozialen Überschuss.
Aber: wenn es viele Ind. gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass
einzelne die Entscheidung beeinussen gering.
Rainald Borck
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