Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017

Übungen zur Physik II PHY 121, FS 2017
Abgabe: Dienstag, 02. Mai 1200
Serie 8
Flussdichte = flux density
Spule = coil
Spulenwindung = coil winding
Zylinderspule = solenoid
Allgemeine Fragen
1. Ist das Magnetfeld der Erde homogen oder inhomogen? Diskutiere die Frage aus einer ’lokalen’ und einer
globalen Betrachtung.
Antwort:
Aus globaler Sicht ist das Magnetfeld der Erde nicht homogen. Es entspricht einem magnetischen Dipolfeld mit zusätzlichen Störungen. Die Feldstärke beträgt in Mitteleuropa ungefähr 48 µT. Zum Vergleich:
Ein Hufeisenmagnet hat eine Feldstärke von ca. 100 mT. Der magnetische Nordpol der Erde liegt am
geographischen Südpol. Seine genaue Position ändert sich und ist nicht gleich mit der Rotationsachse der
Erde, welche in Richtung des geographischen Nordpols zeigt. Die Feldstörungen betragen in der Stärke
ca. 10% der Stärke des Dipolfeldes (Abb. 1, links). Zusätzlich gibt es grossflächige Störungen des Feldes
(Abb. 1, rechts).
US/UK World Magnetic Model - Epoch 2015.0
Main Field Total Intensity (F)
135°W
70°N
90°W
45°W
0°
45°E
90°E
135°E
180°
70°N
60°N
60°N
55
60
00
0
50
45°N
55
0
5000
0
00
40000
0
3500
35000
0
00
45
0
4000
15°N
45°N
0
00
50
4500
0
0
4500
30°N
30°N
40
0
00
15°N
35000
30000
0°
0
00
00
0
3500
0
30000
3500
0
0°
4000
0
15°S 40000
3000
0
4500
0
15°S
5000
0
30°S
5500
0
55
0
35
0
00
50000
30°S
6000
0
55000
35000
00
00
40000
30
0
45°S
45000
25000
25
0
45°S
65
00
00
0
0
40
00
0
60
60°S
0
45
00
60°S
00
0
50
Main Field Total Intensity (F)
Contour interval: 1000 nT.
Mercator Projection.
j : Position of dip poles
135°W
j
k
35000
00
70°S
180°
90°W
45°W
0°
45°E
90°E
135°E
70°S
180°
Map developed by NOAA/NGDC & CIRES
http://ngdc.noaa.gov/geomag/WMM
Map reviewed by NGA and BGS
Published December 2014
Abbildung 1: Links: Abweichung der Stärke des Erdmagnetfeldes von einem idealen Dipolfeld [J.V. Korhonen et al., 2007, Magnetic Anomaly Map of the World]. Rechts: Gesamtintensitätskarte der Erde [https://www.ngdc.noaa.gov/geomag/WMM/DoDWMM.shtml].
Das Magnetfeld der Erde wird zudem stark von Sonnenwinden beeinflusst (geomagnetischer Sturm). Diese Winde sind Wolken geladener Teilchen, welche von der Sonne abgestossen werden. Ausserhalb der
Erdatmosphäre wird das Erdmagnetfeld durch diese Sonnenwinde stark verformt. Besonders starke Sonnenwinde können sogar auf der Erdoberfläche geomagnetische Aktivitäten (Feldstörungen) verursachen,
welche zu Induktionsströmen in Überlandleitungen führen und in sehr seltenen Fällen sogar Stromausfälle
verursachen.
Für viele Laborversuche kann das Erdmagnetfeld als lokal und homogen betrachtet werden. Das gilt im
Speziellen, da viele stromführende Geräte oder magnetisierte Baustoffe höhere Feldstärken aufweisen und
damit das Erdmagnetfeld vernachlässigt werden kann. Für Magnetfeld-empfindliche Experimente werden
spezielle Baustoffe und Erdmagnetfeld-kompensierende Spulen verwendet (siehe z.B. am PSI das Low
1
Temperature Facility Instrument (LTF), http://www.psi.ch/smus/ltf. Auszug von der Webseite: Earthfield compensation is usually better than 0.001 mT for all directions. Some variation (±0.002 mT) can
occur depending on the position of the 60-ton crane in the hall.).
2. Diskutiere die Lorentzkraft für eine Punktladung q und für ein Leiterelement dl welche sich durch ein
Magnetfeld bewegen. Welche Arbeit leistet die Lorentzkraft?
Antwort:
Die allgemeine Lorentzkraft ist die Kraft die auf eine elektrische Ladung q im elektromagnetischen Feld
wirkt, wenn q sich mit der Geschwindigkeit ~v bewegt. Sie ist gegeben durch
~ + ~v × B)
~
F~L = q(E
(0.1)
~ und B
~ die externen Felder sind, also nicht von der Ladung erzeugte Felder (oft sieht man
wobei E
~ was jedoch historisch falsch ist). Für die Richtung
für die Definition der Lorentzkraft F~L = q~v × B,
der Kraft auf eine positive Ladung, verursacht durch den magnetischen Anteil, kann die rechte-HandRegel verwendet werden. Dabei zeigt der Daumen in Bewegungsrichtung der Ladung, der Zeigefinger in
Richtung des magnetischen Feldes und der Mittelfinger in Richtung der Kraft. Zu beachten ist, dass für eine
negative Ladung die Kraft in die entgegengesetzte Richtung zeigt. Der magnetische Teil der Lorentzkraft
wirkt senkrecht zur Bewegungsrichtung und verrichtet somit keine Arbeit (der Betrag der Geschwindigkeit
ändert sich nicht). Das elektrische Feld hingegen verrichtet die Arbeit
Z
Wel = q
b
E(x)dx.
(0.2)
a
Bewegt sich ein stromdurchflossener Leiter durch ein Magnetfeld, so ist die Kraft auf den Leiter die Summe
aller Kräfte auf die einzelnen Ladungsträger. Dabei führen die Ladungsträger zwei Bewegungen aus; sie
bewegen sich in Bewegungsrichtung des Leiters mit vLeiter und gleichzeitig bewegen sie sich innerhalb des
Leiters mit einer Driftgeschwindigkeit vDrift und erzeugen so den Strom. Betrachtet man nun ein kleines
Leiterelement dl mit Querschnitt A so wirkt auf jeden Ladungsträger die Kraft
~ + q ~vLeiter × B.
~
F~q = q ~vDrift × B
(0.3)
~ = 0), ergibt sich für das Leiterelement
Ist die Leitergeschwindigkeit parallel zum Magnetfeld (~vLeiter × B
die Kraft (verwende dq ~vDrift = I d~l )
~
dF~ = I d~l × B.
(0.4)
Durch Integration der Kräfte auf alle Leiterelemente erhält man schliesslich die Kraft auf den gesamten
Leiter.
3. Vergleiche die Wirkung des E-Feldes und des B-Feldes auf ein geladenes Teilchen.
Antwort:
Geladene Teilchen bewegen sich im homogenen B-Feld, welches senkrecht zur Bewegungsrichtung steht,
auf einer Kreisbahn. Den Radius dieser Kreisbahn kann man durch gleichsetzen der Zentripetalkraft mit
der Lorentzkraft erhalten:
mv
.
(0.5)
r=
qB
Teilchen werden also nach Impuls pro Ladung ’sortiert’.
~ Steht das
Bewegt sich ein geladenes Teilchen q durch ein elektrisches Feld wird es beschleunigt (F~ = q E).
E-Feld parallel zur Bewegungsrichtung, so wird das Teilchen beschleunigt oder abgebremst entsprechend
der Feldrichtung (parallel/antiparallel) und des Vorzeichens der Ladung. Im Fall, dass das E-Feld senkrecht
zur Bewegungsrichtung steht, beschreibt das Teilchen eine Bahn wie beim waagrechten Wurf. Betrachte
2
dazu ein geladenes Teilchen, welches durch den Spalt eines Plattenkondensators fliegt. Seine Ablenkung y
(y-Achse steht senkrecht zu den Kondensatorplatten) nach durchlaufener Strecke x im Plattenkondensator
kann analog zum waagrechten Wurf berechnet werden:
y=
1 qEx2
.
2 mv 2
(0.6)
Im elektrischen Feld werden die Teilchen also nach Ladung pro kinetischer Energie ’sortiert’.
4. Diskutiere das Gesetz von Ampère und vergleiche es mit dem Gauß’schen Satz.
Antwort:
~ entlang eines geschlosDas Gesetz von Ampère besagt, dass das Integral der magnetischen Flussdichte B
senen Weges S genau dem umschlossenen Strom entspricht:
I
X
~ · d~s = µ0
B
Ii .
(0.7)
S
i
Der Betrag der magnetischen Flussdichte B ist, bis auf eine additive Konstante, gegeben durch den gesamten Strom der durch die vom Weg S umschlossene Fläche fliesst. Die genaue Verteilung der Stromdichte
ist dabei nicht relevant. Dies ist analog zum Gauß’schen Satz
I
X
~ · dA
~= 1
Qi
(0.8)
E
ε0 i
A
angewendet auf die Elektrostatik. Dort ist der Betrag der elektrischen Feldstärke nur abhängig von der
gesamten Ladung in einem geschlossenen Volumen. Beide Gesetze können auch in der völlig äquivalenten
differenzieller Form dargestellt werden (benutze dazu den Gauß’schen oder Stokes Integralsatz). Für den
Gauß’schen Satz lautet sie:
~ ·E
~ = 1ρ
∇
(0.9)
ε0
mit ρ der Ladungsdichte Q/V (Ladung pro Volumen). Für das Ampère’sche Gesetz gilt:
~ ×B
~ = µ0~j
∇
(0.10)
mit der Stromdichte ~j, wobei j = I/AIntegrationsfläche .
5. Diskutiere das Gesetz von Biot-Savart.
Antwort:
Das Biot-Savart-Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der magnetischen Induktion (= magnetische
~ und der elektrischen Stromdichte ~j her. Es erlaubt auch die Berechnung der magnetischen
Flussdichte) B
Feldstärkenverteilung im Raum, wenn die Stromverteilung bekannt ist. Das Gesetz ist auch äquivalent
−~
r2
zum Ampèreschen Gesetz und lautet (ê12 = |~~rr11 −~
r2 | = Einheitsvektor):
~ r1 ) = µ0
B(~
4π
Z ~
j(~r2 ) × ê12
dV2
2
r12
V
(0.11)
Fliesst der Strom nur durch einen dünnen Draht, so kann das Volumenintegral in ein Linienintegral
umgewandelt werden durch
~ · d~l = I d~l
~j dV = ~j · dA
3
(0.12)
in die neue Form
~ r1 ) = µ0 I
B(~
4π
=
µ0
I
4π
Z ~
dl × ê12
2
r12
s
Z ~
dl × (~r1 − r~2 )
s
|~r1 − r~2 |3
(0.13)
.
(0.14)
Ein Stromleiter der infinitesimalen Länge dl der sich am Ort ~r2 befindet und der von einem Strom I
durchflossen wird, erzeugt am Ort ~r1 die magnetische Flussdichte dB. Die gesamte magnetische Flussdichte
~ ergibt sich durch Integration aller vorhandenen infinitesimalen Leiterstücke dl.
B
Aufgaben
1 Calutron [3P]
Uran kommt in der Natur vor allem als Isotop Uran 238 vor, der
Anteil des Uran 235 beträgt nur ca. 0.72%. Allerdings benötigt man
das seltene Uran 235 um es in Atomkraftwerken oder Kernwaffen
einzusetzen. Um spaltbares Material zu gewinnen, muss also der
Anteil Uran 235 an der Gesamtmenge erhöht werden. Im zweiten
Weltkrieg wurden zur Uran-Anreicherung grosse Massenspektrometer, so genannte Calutrons (California University Cyclotrona )
gebaut um den natürliche Anteil des 235 U von ca. 0.72% auf 85% zu
erhöhen. Um eine Separierung der beiden Isotope im Massenspektrometer zu erreichen wurde das Uran zuerst verdampft, danach
durch Beschuss mit hochenergetischen Elektronen doppelt positiv
ionisiert, durch ein E-Feld beschleunigt und schliesslich durch ein
B-Feld abgelenkt und gesammelt. Abbildung 2 zeigt mehrere Calutrons nebeneinander in einem Oval aufgestellt, um den gemeinsamen Magneten zu benutzen. Vorne Links sieht man fünf ErsatzCalutrons.
Abbildung 2: Calutronanlage.
~ und B
~ Feld in die Skizze rechts
(a) [0.5P] Zeichnen Sie das E
ein.
(b) [1.5P] Wir nehmen eine Spannung für die Erzeugung des
E-Feldes von 35 kV und ein Magnetfeld von 0.5 T an. Die
Distanz D beträgt 0.5 m. Mit welchem Abstand ∆x werden
die beiden Strahlen auf die Sammelvorrichtung auftreffen?
(c) [1P] Wenn wir einen Strom von 50 mA annehmen, wie viele
Uran-235 Ionen werden dann pro Sekunde aufgesammelt werden? Wie lange dauert es, bis man 1 kg reines (also 100%)
angereichertes Uran-235 produziert hat?
a Siehe
materials.
auch
http://www.y12.doe.gov/about/history/informational-
Lösung
(a) Die E- und B-Felder sind in Abbildung 3 eingezeichnet.
4
D
Δx
E-Feld
B-Feld
D
∆x
r235
r238
Abbildung 3: Schema eines Calutrons mit E- und B-Feldern.
(b) Im E-Feld erhält das zweifach ionisierte Uran-Ion mit q = 2 · e eine Energie von
Ekin
=
⇒v
=
1
q · V = mv 2
2
r
2qV
.
m
(1.1)
(1.2)
Das ergibt mit m238 = 238.0508 u, m235 = 235.0439 u:
v235
=
v238
=
m
s
m
0
238 261 .
s
2390 777
(1.3)
(1.4)
Man sieht, dass v c und daher die klassische Betrachtungsweise korrekt ist. Im Magnetfeld wirkt auf
das Ion die Lorentzkraft, wodurch es auf eine Kreisbahn gezwungen wird. Die Beziehung lautet also:
mv 2
~ = q · v · B ⇒ r = mv
= FL = q · |~v × B|
r
qB
(1.5)
Eingesetzt ergeben sich folgende Radien:
r235 = 0.5839 m
(1.6)
r238 = 0.5876 m.
(1.7)
Jetzt müssen wir aber noch berücksichtigen, dass der Ionenstrahl nicht einen vollen Kreisviertel durchläuft.
Aus dem Schema und mit Hilfe des Satzes von Pythagoras sieht man dass:
(r − D)2 + x2 = r2 ⇒ −2rD + D2 + x2 = 0
p
⇒ x = 2rD − D2 .
Der Abstand, mit dem
235
U und
(1.8)
(1.9)
238
U auf die Sammelvorrichtung treffen ist also:
p
p
∆x = x238 − x235 = 2r238 D − D2 − 2r235 D − D2 .
5
(1.10)
Das ergibt nach Einsetzen aller Werte: ∆x = 3.2 mm.
Dieser Wert ist sehr klein und macht eine Separation sehr schwierig. Besser wäre es, den Abstand D
zu vergrössern und das B-Feld stärker zu machen.
(c) Ein Strom von 50 mA entspricht 50
Daraus folgt, dass pro Sekunde
mC
s .
Ein Ion trägt jeweils ZWEI Elementarladungen 2 · 1.6 · 10−19 C.
nI = 50 · 10−3 ·
1
2 · 1.6 · 10−19
Ionen aufgesammelt werden. Ein 235 U Ion hat eine Masse von 235 Masseneinheiten, also m235 = 235 · 1.66 ·
10−27 kg. Ausserdem muss man berücksichtigen, dass nur 0.72 % des natürlichen Urans 235 U ist.
Pro Sekunde sammelt man damit 0.0072·nI = 1.12·1015 235 U Ionen, was einer Masse mt=1s = 4.38·10−10 kg
entspricht. Für ein Kilogramm braucht man also ungefähr 72 Jahre.
2 Spule [3P]
Eine lange dünne Spule mit Radius R = 0.01 m und Länge L = 0.25 m besteht aus N = 500 Windungen.
Ein Strom von I = 0.1 A fliesst durch die Spule. Der Punkt P möge sich genau im Mittelpunkt der 250sten
Spulenwindung, d.h. in der Mitte der Spule befinden.
(a) [1.5P] Wie gross ist das B-Feld im Punkt P ? Leiten Sie die Formel aus dem Ampère’schen Gesetz her.
(b) [1.5P] Nun wird die 250ste. Windung der Spule durch ein kurzes Stück Draht ersetzt, welches kein
störendes Magnetfeld erzeugen soll. Der Draht soll also die 249ste und 251ste Windung kurzschliessen.
Wie gross ist nun die magnetische Flussdichte im Punkt P ? Um welchen Bruchteil hat sich die magnetische
Flussdichte im Punkt P verändert?
Lösung
(a) Wir verwenden das Ampère’sche Gesetz
I
~ · d~s = µ0 IIn
B
(2.1)
S
~ zeigt auf
und integrieren entlang dem in Abb. 4 dargestellten Weg S. Die magnetische Flussdichte B
den vertikalen Stücken des Weges, welche sich genau in der Mitte zwischen zwei Windungen befinden,
senkrecht zum Weg, daher ist das Integral entlang dieser Wegstücke Null. Das untere Stück kann beliebig
weit von der Spule entfernt gewählt werden, sodass hier B = 0 ist. Somit bleibt nur noch das Integral im
Inneren der Spule. Hier ist B konstant und zeigt parallel zum Weg, damit wird Gleichung 2.1 zu
B
L
= µ0 I.
N
(2.2)
Umgestellt und eingesetzt ergibt sich:
B=
µ0 IN
= 0.251 mT.
L
6
(2.3)
Abbildung 4: Schematische Darstellung eines Schnittes durch die Mitte der langen Spule.
(b) Das Magnetfeld im Punkt P berechnen wir indem wir vom Magnetfeld Ba aus Aufgabe (a) das Magnetfeld, welches von einer einzelnen Windung hervorgerufen wird abziehen. Letzteres kann wieder mit
Biot-Savart berechnet werden. dl sei ein infinitesimales Teilstückchen der einen Windung. d~l steht senkrecht auf dem Verbindungsvektor von P zum Mittelpunkt der Leiterschleife und damit senkrecht zu den
inneren Feldlinien. Mit dl = R sin φ ≈ Rdφ erhalten wir:
Z
µ0 I
µ0 2π R · R dφ
I
=
.
(2.4)
BSchleife =
4π 0
R3
2R
Damit ergibt sich:
µ0 I
µ0 IN
−
= 0.245 mT.
L
2R
Beachte den kleinen Unterschied in der magnetischen Flussdichte im Vergleich zu Aufgabe (a).
Bb = Ba − BSchleife =
(2.5)
3 Biot-Savart [3P]
Sechs gleiche Drahtstücke der Länge s und Widerstand R werden zu einem Hexagon (regelmässiges Sechseck)
zusammengefügt. Eine kleine Batterie mit Spannung V0 erzeugt im Hexagon einen Stromfluss im Uhrzeigersinn. Für die Berechnungen sollen die Übergänge zwischen den Drahtstücken und die Batterieabmessungen
vernachlässigt werden.
(a) [1.5P] Wie gross ist die Magnetfeldstärke im Mittelpunkt des Hexagons?
(b) [0.5P] Ein Teilchen mit Ladung Q befindet sich im Mittelpunkt des Hexagons und bewegt sich mit der
Geschwindigkeit v0 senkrecht zur Hexagonfläche (in die Papierebene hinein). Wie gross ist der Betrag
und die Richtung der Kraft auf die Ladung am Anfang? Beschreibe qualitativ die weitere Bewegung des
Teilchens.
(c) [1P] Nun befindet sich das Teilchen mit Ladung Q erneut im Zentrum des Hexagons, bewegt sich jetzt
aber innnerhalb der Hexagonfläche mit Geschwindigkeit v0 nach rechts. Wie gross ist Betrag und Richtung
der Kraft zu Beginn? Versuche qualitativ die weitere Bahnbewegung des Teilchens zu beschreiben.
Tipp:
Z
a
b
b
1
y
p
dy
=
2
2
2
(x2 + y 2 )3/2
x · x + y a
7
(3.1)
Lösung
(a) Den Koordinatennullpunkt setzen wir in die Mitte der Leiterschleife. Aus Symmetriegründen können wir die magnetische Flussdichte
B der gesamten Schleife ausrechnen indem wir den Beitrag für ein
halbes Drahtstück s/2 berechnen und diesen dann mit zwölf multiplizieren. Die Feldstärke H hängt im Vakuum mit der magnetischen
Flussdichte zusammen über H = µB0 . Wir verwenden das Gesetz
von Biot-Savart
Z
~ × (~r − r~0 )
dl
~ r) = 1
H(~
I(r0 )
(3.2)
4π s
|~r − r~0 |3
und bestimmen als erstes den Term |~r − r~0 |. Gemäss Abb. 5 und
unter Verwendung des Satzes von Pythagoras ist der Abstand vom
Mittelpunkt zu einem Punkt auf dem oberen Stück der Leiterschleife gegeben durch
r
|~r − r~0 | =
p
l2
+
(s2
−
(s/2)2 )
=
l2 +
Abbildung 5: Sechseckige Stromdurchflossene Leiterschleife.
3s2
.
4
(3.3)
Das Kreuzprodukt d~l × (~r − r~0 ) ist gleich dem Produkt von l mit dem dazu senkrechten Anteil von ~r − r~0 ,
welcher gegeben ist durch:
√
p
3
s2 − (s/2)2 =
s.
(3.4)
2
Damit vereinfacht sich das Biot-Savart Gesetz zu:
3
H(0) =
π
Unter Verwendung des Tipps und mit I =
V0
Rtot
Z
√
s/2
I
0
=
V0
6R
3
2 s
dl
2
(l2 + 3s4 )3/2
(3.5)
erhalten wir für die Feldstärke in der Mitte
s/2
√
√
3
sl
3V0
3I
2
q
.
H(0) =
=
π 3 s2 · l2 + 3 s2 6sπR
4
4
(3.6)
0
(b) In der Mitte des Hexagons zeigen die Feldlinien senkrecht zur Hexagonfläche und sind gerade. Ein sich
senkrecht zur Hexagonfläche bewegendes geladenes Teilchen bewegt sich entlang der magnetischen Feldlinien. Es erfährt somit keine Lorentzkraft und wird eine geradlinige Bewegung ausführen.
(c) In diesem Fall ist die Bewegungsrichtung senkrecht zu den Feldlinien. Das geladene Teilchen wird senkrecht
zur Flugrichtung und senkrecht zum Magnetfeld abgelenkt. Der Betrag seiner Geschwindigkeit ist konstant.
Es wird sich auf Bahnen in der Ebene der Leiterschleife bewegen, solange sein Impuls nicht gross genug
ist, die Leiterschleife zu verlassen. Der Betrag der Kraft beträgt
√
Qv0 3V0 µ0
.
F = Qv0 B =
6sπR
8
(3.7)
4 Stromschleife [3P]
Eine Stromschleife bestehe aus einem Halbkreis mit Radius R und zwei
geraden Segmenten der Gesamtlänge 4R, die einen Winkel von 60◦ einschliessen. Ein Strom I0 soll in der Schleife im Uhrzeigersinn fliessen.
Die Schleife befindet sich in derselben Ebene in der ein homogenes Magnetfeld der Stärke B0 herrscht (siehe Skizze). Die Übergänge zwischen
den einzelnen Leiterelementen sollen für die Berechnungen vernachlässigt
werden.
(a) [1P] Wie gross ist die Nettokraft auf die Stromschleife?
(b) [2P] Wie gross ist das Nettodrehmoment M auf die Stromschleife?
Wir vernachlässigen das durch den Strom I0 erzeugte Magnetfeld.
Lösung
Wir definieren zuerst ein Koordinatensystem, welches wir in die Mitte der Schlaufe setzen. Dabei soll x nach
rechts, y nach oben und z aus dem Blatt heraus zeigen.
~ = 0) ist gegeben durch
(a) Die Lorentzkraft (E
~
F~L = q · ~v × B.
(4.1)
Damit zeigt die Lorentzkraft senkrecht zur Spule und zum Magnetfeld aus dem Blatt hinaus oder hinein
(rechte bzw. linke Schlaufenseite). Da die linke Hälfte der Spule spiegelsymmetrisch zur Rechten ist und
das Magnetfeld von links nach rechts zeigt, sind die Kräfte auf der linken und rechten Hälfte genau
gegengleich. Somit beträgt die Nettokraft auf die Schlaufe FL,netto = 0 N.
(b) Das Nettodrehmoment ist genau das doppelte Drehmoment einer
Schleifenhälfte. Dieses wird berechnet indem die Lorentzkraft dF~L
am Leiterstück d~l mit dem Abstand d zur vertikalen Symmetrieachse ’multipliziert’ und entlang der Schleifenhälfte integriert wird.
Das Drehmoment am Leiterstück ist
~ = d~ × dF~L .
dM
(4.2)
und aufintegriert über den betrachteten Weg S
Z
~ = d~ × dF~L .
M
d
α
(4.3)
S
Im Leiter gilt
~v · dq = I · d~l
(4.4)
und es folgt mit Gleichung 4.1
~
dF~L = I · d~l × B.
(4.5)
Wir setzen Gleichung 4.5 in Gleichung 4.3 ein
~ =
M
Z
~
d~ × (I · d~l × B).
(4.6)
S
Für unsere Betrachtung teilen wir den Weg S auf in das gerade Leiterstück und den Viertelkreisbogen.
Für Ersteres gilt dann
Z 2R
~
~
MGerade =
d~ × (I · d~l × B).
(4.7)
0
9
Nun kann man entweder alle Komponenten der Vektoren aufschreiben und so das Drehmoment rechnen
oder man überlegt sich, welche Komponenten nach den zwei Kreuzprodukten übrig bleiben. Im geraden
~ nicht und damit zeigt die Lorentzkraft dort immer in
Leiterstück ändert sich der Winkel von d~l zu B
negativer z-Richtung und bleibt konstant mit
dFL,z = −I · sin(β) · dl · B.
(4.8)
~
wobei β = 120◦ der Winkel zwischen dem Leiterstück d~l und der angelegten magnetischen Flussdichte B
ist. Da d~ nach links zeigt und F~L ins Blatt hinein, bleibt nur noch eine Komponente des Drehmomentes
übrig und zwar in negative y-Richtung. Man erhält:
Z 2R
I · d · sin(β)dl · B.
(4.9)
My,Gerade = −
0
Beachte, dass die beiden negativen Vorzeichen von dy und dFL,z sich gerade aufheben aber ein weiteres negatives Vorzeichen vom Kreuzprodukt herkommt. Den Abstand d können wir durch geometrische
Überlegung mit d = l/2 ersetzen. Wir erhalten demnach:
Z
My,Gerade = −I · sin(β) · B
0
2R
l
dl.
2
(4.10)
√
Integration und Substitution von sin(120◦ ) =
3/2 ergibt schliesslich
√
3
My,Gerade = −I ·
· R2 · B.
2
(4.11)
Für den Viertelkreisbogen ist |d~l| = R dα und d = R sin(α). Der Winkel α ist auch gleich dem Winkel
~ wie durch geometrische Überlegungen ersichtlich ist. Wir betrachten wieder Gleichung
zwischen d~l und B,
~ immer in negativer z-Richtung zeigt (x− und
4.6 und erkennen, dass das Kreuzprodukt aus d~l und B
y-Komponenten sind 0).
FL,z,Kreisbogen
=
−I · sin(α)dl · B
(4.12)
=
−I · sin(α)R · dα · B.
(4.13)
Das Kreuzprodukt von d~ mit F~L,Kreisbogen hat nur noch eine y-Komponente
Z
My,Kreisbogen
=
0
−
dx · FL,z,Kreisbogen
(4.14)
π/2
Z
0
R sin(α) · I · sin(α)R · dα · B
=
(4.15)
π/2
=
2
Z
0
sin2 (α)dα
I ·R ·B
(4.16)
π/2
α sin(2α)
−
2
4
=
I · R2 · B ·
=
π
− · I · R2 · B.
4
0
(4.17)
π/2
Das totale Drehmoment auf die Schleife wirkt in negative y-Richtung und ist dann
√
π
Mtotal = 2 · (My,Gerade + My,Kreisbogen ) = −I · R2 · B
3+·
.
2
10
(4.18)
(4.19)
Die Rechnung kann auch über das magnetische Moment unter Beachtung der Stromflussrichtung (magn.
Moment bildet mit Stromumlaufrichtung eine Rechtsschraube) erfolgen:
~
m
~ m = −I · A
(4.20)
und mit
~
M
~
m
~m×B
~ × B.
~
= −I · A
=
(4.21)
(4.22)
Das Endergebnis ist das gleiche wie in Gleichung 4.19.
25. April 2017
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