Brownsche Bewegung, SoSe 2017 Prof. Dr. I. Veselić Dr. C

Brownsche Bewegung, SoSe 2017
Prof. Dr. I. Veselić
Dr. C. Schumacher
Hausaufgabe 1
Abgabe am 4.5.2017
Aufgabe 1. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X : Ω → Rn und Y : Ω → Rk Zufallsvariablen und y0 ∈ Rk . Weiter sei g : Rk → Rn eine faktorisierte Version der bedingten Erwartung E[X | Y ], sprich, es gelte E[X | Y = y] = g(y) für PY -fast alle y ∈ Rk . Wir setzen voraus,
dass das Ereignis Bε := {|Y − y0 | ≤ ε} für alle ε > 0 positive Wahrscheinlichkeit hat und dass g
in y0 stetig ist. Zeigen Sie
ε&0
E[X | |Y − y0 | ≤ ε] −−→ g(y0 ),
wobei für Ereignisse B ∈ A mit positiver Wahrscheinlichkeit E[X | B] := E[X 1B ]/ P(B) sei.
Anmerkung: Die Definition von E[X | B] verallgemeinert die Formel P(A | B) = P(A ∩ B)/ P(B)
für A ∈ A, wie man mit der Wahl X = 1A erkennt.
Aufgabe 2. Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, X, X0 ∈ L1 (Ω, A, P) und Y : (Ω, A) →
(S, S) eine Zufallsvariable mit Werten im Messraum (S, S). Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(i) X0 ist eine Version von E[X | Y ].
(ii) X0 ist σ(Y )-messbar, und für alle g ∈ L∞ (S, S, PY ) gilt E[X · g(Y )] = E[X0 · g(Y )].
Aufgabe 3. Es seien X und Y zwei reellwertige Zufallsgrößen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum
(Ω, A, P) mit gemeinsamer Dichte Rf : R2 → [0, ∞) bezüglich dem Lebesguemaß auf R2 . Wir
notieren mit fY : R → R, fY (y) := R f (x, y) dx die Randdichte von Y und setzen für y ∈ R mit
fY (y) > 0
f (x, y)
.
fX|Y =y : R → R, fX|Y =y (x) :=
fY (y)
Weiter sei ξ : R → R Borel-messbar und E(|ξ(X)|) < ∞. Zeigen Sie: Für PY -fast alle y ∈ R gilt
E(ξ(X) | Y = y) =
Z
ξ(x)fX|Y =y (x) dx.
R
Aufgabe 4. Bekanntlich erzeugen Zufallsvariablen σ-Algebren. Ziel dieser Aufgabe ist es, zu
zeigen, dass es zu jeder σ-Algebra eine Zufallsvariable gibt, die sie erzeugt. Das ist gut zu wissen,
wenn man über bedingte Erwartungen und Wahrscheinlichkeiten lieber in faktorisierter Form
nachdenkt.
Es sei (Ω, A) ein Messraum und E ⊆ A ein Erzeuger der σ-Algebra F := σ(E). Wir setzen
X : (Ω, A) → ({0, 1}E , S), X(ω) := (1F (ω))F ∈E
mit der Produkt-σ-Algebra S := P({0, 1})⊗E . Zeigen Sie σ(X) = F. (Damit zeigen Sie insbesondere, dass X eine Zufallsvariable ist.)
Anmerkung: Oft gibt es einfachere Konstruktionen. Im Beispiel Ω = ∞
n=1 An , E := {An | n ∈ N}
E
N
ist X(ω) = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) ∈ {0, 1} = {0, 1} mit der 1 an der Stelle k mit ω ∈ Ak . Die
Zufallsvariable Y : Ω → N mit Y (ω) = k für alle ω ∈ Ak erzeugt F auch.
U