3. Übungsblatt

MATHEMATISCHES INSTITUT
DER UNIVERSITÄT ZU KÖLN
Dr. R. Wienands
Dr. C. Alfes-Neumann
Sommersemester 2017
1. Mai 2017
3. Übung zur Mathematik II für Studierende der Chemie
ABGABE DER ÜBUNG AM 08.05.2017 bzw. 09.05.2017 IN DER IHNEN ZUGETEILTEN
ÜBUNGSGRUPPE!
Aufgabe 1.
(15 Punkte, schriftlich) - Klausuraufgabe von 2016 -
Bestimmen Sie die Lösung des nachfolgenden inhomogenen linearen Differentialgleichungssystems:
3 1
−3x − 1
Y (x) =
Y (x) +
1 3
−x − 6
0
Gehen Sie hierbei wie folgt vor:
(i) (2 Punkte) Bestimmen Sie zunächst die Eigenwerte der Matrix
3 1
A=
.
1 3
(ii) (4 Punkte) Bestimmen Sie nun die Menge der dazugehörigen Eigenvektoren dieser Matrix A.
(iii) (1 Punkt) Geben Sie die Lösung der homogenen Gleichung an.
(iv) (5 Punkte) Ermitteln Sie eine Lösung des inhomogenen Systems mit dem Ansatz
Y (x) =
a·x+b
.
c·x+d
(v) (1 Punkt) Geben Sie die allgemeine Lösung des Systems an.
(vi) (2 Punkte) Machen Sie die Probe zur Verifikation Ihrer Lösung.
Aufgabe 2.
(8 Punkte, schriftlich) - Wiederholung komplexe Zahlen -
Am Anfang stand - wie so oft bei wissenschaftlichen Entdeckungen - die Nichtlösbarkeit eines Problems.
Die Nichtlösbarkeit bestimmter algebraischer Gleichung hatte schon vorher oft zur schrittweisen Erweiterung unseres Zahlbegriffs geführt:
x + 2 = 0 nicht lösbar in N, führt auf Z (x = −2)
5x − 3 = 0 nicht lösbar in Z, führt auf Q (x = −3/5)
√
x2 − 2 = 0 nicht lösbar in Q, führt auf R (x = ± 2)
√
x2 + 1 = 0 nicht lösbar in R, führt auf C (x = ± −1 = ±i),
wobei mit N die Menge der natürlichen Zahlen, mit Z die Menge der ganzen Zahlen, mit Q die Menge
der rationalen Zahlen, mit R die Menge der reellen Zahlen und mit C die Menge der komplexen Zahlen
abgekürzt wird.
Hier sollen ein paar Begriffe zum Umgang mit komplexen Zahlen wiederholt werden.
(i) Da eine komplexe Zahl z = x + iy durch die Angabe zweier reeller Zahlen x und y eindeutig festgelegt
wird, lassen sich den komplexen Zahlen die Punkte der Ebene, d.h. des Vektorraumes R2 zuordnen.
Visualisieren Sie diesen Sachverhalt anhand einer Skizze. Tragen Sie dort auch die komplexen Zahlen
z1 = 1 + i und z2 = 1 − i ein. Verdeutlichen Sie sich daran die Begriffe ’Betrag einer komplexen Zahl’
und ’komplex konjugierte Zahl’.
√
Wiederholung: Für z = a +ib ∈ C gilt: z̄ = a −ib ist die komplex konjugierte Zahl und |z| = a2 + b2
ist der Betrag der Zahl z.
(ii) Sizzieren Sie den Zusammenhang zwischen Real-, Imaginärteil und Betrag einer komplexen Zahl und
den Funktionen Sinus und Cosinus.
(iii) Eine wichtige Formel im Umgang mit komplexen Zahlen ist die Eulersche Formel
eix = cos(x) + i sin(x) für x ∈ R.
Bestimmen Sie jeweils den Real- und Imaginärteil der Zahlen e0 , ei·π , ei·2π , ei·π/2 .
Aufgabe 3.
(7 Punkte, schriftlich) - Differentialgleichung höherer Ordnung -
Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe 2. Ordnung:
y00 (t) − y0 (t) − 12y(t) = 0
Aufgabe 4.
mit y(0) = 2,
y0 (0) = 1 .
(mündlich) - DGL höherer Ordnung in System von DGLen 1. Ordnung umwandeln -
Es sei n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R mit an 6= 0, und f : Rn → R. Wir betrachten die Differentialgleichung n-ter
Ordnung
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + . . . + a1 y0 (t) + a0 y = f (t, y, y0 , . . . , y(n−1) ),
(1)
wobei y(k) die k-te Ableitung von y nach t bezeichnet. In der Vorlesung wurde darauf hingewiesen, dass sich
(1) in ein System erster Ordnung der Form
Y 0 (t) = AY (t) + B(t,Y (t))
(2)
umschreiben lässt, mit Y (t) = (y(t), y0 (t), . . . , y(n−1) (t))T .
(i) Geben Sie die zugehörige Matrix A ∈ Rn×n und die Inhomogenität B : R × Rn → Rn aus (2) explizit
an.
(ii) Es sei nun n = 3, a3 = 1, a2 = −2, a1 = −1, a0 = 2 und f = 0. Geben Sie auch hier das zugehörige
System 1. Ordnung an und bestimmen Sie die Lösungen dieses System. Gehen Sie dabei wie bei
Aufgabe 1 (i)-(iii) vor. Geben Sie anschließend auch die Lösung y(t) der ursprünglichen Differentialgleichung höherer Ordnung an.