M1A: ANALYSIS F ¨UR MATHEMATIKER UND

M1A: ANALYSIS FÜR MATHEMATIKER UND WIRTSCHAFTSMATHEMATIKER
ÜBUNGEN
UNIVERSITÄT MÜNCHEN – WINTER 2004/05
1. H AUSAUFGABEN VOM 19. O KTOBER 2004
Aufgabe 1.1. Wie Sie in der Vorlesung erfahren haben, hat jede natürliche Zahl x einen Nachfolger N (x). Dieser
Umstand erlaubt es uns, die Grundrechenarten zu definieren, und zwar rekursiv:
Für jede natürliche Zahl x sei x + 0 = x, und für jedes Paar (x, y) von natürlichen Zahlen sei
x + N (y) = N (x + y).
Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist durch x · 0 = 0 und die Rekursionsformel x · N (y) = x · y + x definiert.
(a) Die Konstanten 1, 2, 3, 4 sind durch 1 = N (0), 2 = N (1), 3 = N (2), 4 = N (3) definiert. Beweisen Sie die
Gleichung 2 + 2 = 4.
(b) Beweisen Sie das Distributivgesetz, nämlich ∀x, y, z ∈ N: x · (y + z) = x · y + x · z
(c∗) Beweisen Sie das Kommutativgesetz ∀x, y, z ∈ N: x + y = y + x
Das in den Übungsgruppen behandelte Assoziativgesetz (x + y) + z = x + (y + z) dürfen Sie verwenden.
Aufgabe 1.2. Zeigen Sie mit Hilfe von Wahrheitstafeln, dass die Aussage “wenn nicht a, dann auch nicht b” tatsächlich
gleichwertig zu “aus b folgt a” ist.
Aufgabe 1.3. Drücken Sie folgende Sätze durch Formeln aus, ohne ein einziges Wort zu benutzen.
(a) Es gibt beliebig große x, sodass f (x) < x ist.
(b) Für alle genügend großen x gilt f (x) < x.
(c) Für alle genügend großen x gilt f (x, a) < x, aber nicht notwendigerweise gleichmäßig in a ∈ R.
(d) Gleichmäßig in a ∈ R gilt für genügend große x die Abschätzung f (x, a) < x.
Erläuterung. Gleichmäßig“ bedeutet: Wenn nur x groß genug ist, dann gilt f (x, a) < x gleich für alle a.
”
(e) Wie viele Summanden man braucht, um eine natürliche Zahl als Summe von k-ten Potenzen darzustellen,
lässt sich durch Schranken abschätzen, die nur vom Exponenten k abhängen.
Hier einige Symbole, die Sie zur Lösung gebrauchen könnten:
∀x ∈ N ∃y > 0 :
((yxy −1 = −x ⇒ x < y)
∧
yx + y = N (x))
Stimmt diese Formel eigentlich? Begründen Sie Ihre Meinung!
Pn
Aufgabe 1.4.
(a) Zeigen Sie, dass ∀n ∈ N: k=1 k 2 = 31 n3 + 12 n2 + 16 n.
(b) Bestimmen Sie für jede natürliche Zahl n die Summe der ersten n ungeraden Zahlen. Mit Beweis!
Aufgabe 1.5. (∗) Wir definieren rekursiv c1 (x) := x und
n−1 xn
1 X
n
cn (x) :=
− ·
ck (x) für n > 2.
n
n
k−1
k=1
Erinnerung an die rekursive Definition der Summe:
0
X
n
k = 0,
k=1
Zeigen Sie: Für m, n ∈ N mit n > 1 gilt
m
X
n
k =
k=1
m
X
m−1
X
k n + mn für m > 1 und n > 1.
k=1
k n = cn+1 (m + 1).
k=1
Warnung: Die Formel stimmt für n = 0 nicht.
Welche Formeln erhält man daraus in den Spezialfällen n = 1, 2, 3?
Abgabe bis Dienstag, 26. Oktober 2004, 9.10 Uhr in die für M1A vorgesehenen Einwurfkästen.