Analysis Übungen Hausaufgaben für 22. März

Analysis Übungen
Hausaufgaben für 22. März
1
Folgen
Die folgenden zwei Sätze werden verwendet.
Satz (2) ist eine einfache Konsequenz des Satzes (1).
e ist die Eulersche Zahl (e ≈ 2.7183 . . .)
(1) lim
n + 1 n
n
n→∞
(2) lim
n + α n
n→∞
1.
n
1 n
= lim 1 +
=e
n→∞
n
α n
= lim 1 +
= eα
n→∞
n
für alle α ∈ R.
(a) (1p) AN 5.12. a).
(b) (1p) AN 5.12. c).
(c) (1p) AN 5.12. e).
(d) (1p) AN 5.12. h).
(e) (1p) AN 5.12. j).
(f) (1p) AN 5.12. k).
Weitere Beispiele zu Folgen
2. Zeige, dass die folgenden Grenzwerte gelten.
n
n
n→∞ 2
(a) lim
=0
2n
n→∞ n!
(b) lim
=0
3. Man beweise oder widerlege die folgende Aussage:
Wenn 0 < an < 1 für alle Glieder einer Folge gilt, dann lim ann = 0.
n→∞
2
Reihen
∞
X
Wenn alle Glieder einer Folge summiert werden, dann sprechen wir von Reihen. Formal:
an .
n=0
4.
(a) (1p)
Reihe.
Zeige, dass die Reihe
∞
X
1
n
n=1
divergent ist. Diese Reihe heißt die harmonische
∞
X
1
(b) (1p) Zeige, dass die Reihe
konvergent ist.
n2
n=1
∞
X
1
π2
(Als eine Anwendung der Fourier-Reihen kann man zeigen, dass
=
. Dies
n2
6
n=1
übersteigt den Rahmen des Kurses.)
∞
X
1
konvergent or divergent?
(c) (1p) Ist die Reihe
n3
n=1
(Hinweis: verwende das Majorantenkriterium von Seite 113 im Skriptum.)
∞
X
1
√ konvergent or divergent?
(d) (1p) Ist die Reihe
n
n=1
(Hinweis: verwende das Minorantenkriterium.)
∞
X
1
(e) Was kann man über die Reihe
sagen?
3/2
n
n=1
∞
X
1
Und wie lautet im Allgemeinen das Konvergenzverhalten der Reihe
,
np
n=1
wenn 1 < p < 2 ? (Siehe auch p-series im Web.)
5.
(a) (2p) AN 8.2.a). Erkläre, warum die Reihe konvergent ist und finde ihre Summe mit Hilfe
der teleskopischen Eigenschaft der Reihe.
(b) (2p) AN 8.2.b). Erkläre, warum die Reihe konvergent ist und finde ihre Summe mit Hilfe
der teleskopischen Eigenschaft der Reihe.
(c) (2p) AN 8.2.c). Verwende das Quotientenkriterium (Skriptum Seite 113) um zu zeigen,
dass die Reihe konvergent ist. Dann finde ihre Summe mit Hilfe deren teleskopischer
Eigenschaft.
(d)
AN 8.2.d). Verwende das Quotientenkriterium um zu zeigen, dass die Reihe konvergent
ist. Dann finde ihre Summe mit Hilfe deren teleskopischer Eigenschaft.
6. Es gibt ein weiteres, häufig verwendetes Kriterium für die Überprüfung der Konvergenz einer
Reihe, nämlich das sogenannte Wurzelkriterium:

∞

> 1 =⇒ P an ist divergent,



n=1


p
∞
P
n
lim sup |an | < 1 =⇒
an ist konvergent,

n→∞

n=1




= 1 =⇒ kann nicht mit dieser Methode entschieden werden.
Wenn lim
n→∞
p
n
|an | existiert, dann kann man limsup einfach durch lim ersetzen.
(a) (1p) Verwende das Wurzelkriterium um zu entscheiden, ob die Reihe
konvergent oder divergent ist.
(b) (1p) Verwende das Wurzelkriterium um zu entscheiden, ob die Reihe
oder divergent ist.
7. (2p) AN 8.8 b).
∞ X
n − 1 n2
n
n=1
∞
X
n3
2n
n=1
konvergent
Löse diese Aufgabe auf drei verschiedene Weisen: 1.) mit Hilfe des Quo-
tientenkriteriums, 2.) mit Hilfe des Wurzelkriteriums, 3.) mit Hilfe des Majorantenkriteriums.
8. (1p) AN 8.9 a) Finde einen Ausdruck für an , dann verwende das Quotientenkriterium.
9. AN 8.9 b) Finde einen Ausdruck für an , dann verwende das Quotientenkriterium.
10. Alternierende Reihen.
Wenn die Vorzeichen der Glieder einer Folge abwechselnd positiv und negativ sind, dann
∞
X
sprechen wir von einer alternierenden Reihe. Formal:
(−1)n an , wobei an ≥ 0 für alle
n=0
n.
Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen: wenn die Folge an in der oben angeführten Formel
monoton fallend ist und gegen 0 konvergiert, dann ist die alternierende Reihe konvergent. (Also
das ist eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer alternierenden Reihe.)
(a) (1p) Verwende das Leibniz-Kriterium um zu zeigen, dass die alternierende harmonische
Reihe
∞
X
1
skip
(−1)n+1 konvergent ist.
n
n=1
∞
X
1
(Bei den Taylor-Reihen wird man sehen, dass
(−1)n+1 = ln(2).)
n
n=1
(b) (1p) Ist das Leibniz-Kriterium anwendbar für die Reihe
konvergent or divergent?
∞
X
n=1
(−1)
n
n − 1 n
n
. Ist die Reihe
(c) Spielt die Reihenfolge der Glieder eine Rolle, wenn wir unendlich viele Zahlen addieren
(d.h. wenn wir eine Reihe haben) ?
1 1 1 1
+ − + − . . . = ln(2).
2 3 4 5
Welcher Wert ergibt sich, wenn wir genau die selben Zahlen ABER in einer anderen
1 1 1 1 1 1
1
1
Reihenfolge addieren? 1 + − + + − + +
− . . . =?
3 2 5 7 4 9 11 6
Es wurde schon erwähnt, dass 1 −
1
1 1 1 1
ln(2) = − + − + . . .
2
2 4 6 8
1
1
1
= 0 + + 0 − + 0 + + ...
2
4
6
1 1 1 1 1
ln(2) = 1 − + − + − + . . .
2 3 4 5 6
(3)
(4)
Durch gliedweise Addition der Reihe (3) und der Reihe (4) (was im Falle zweier konver-
genter Reihen erlaubt ist),
1 1 1 1 1
3
ln(2) = 1 + − + + − + . . .
2
3 2 5 7 4
Infolgedessen: Die Reihenfolge der Glieder SPIELT EINE ROLLE, wenn wir mit bedingt
konvergenten Reihen arbeiten. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/Conditional_convergence.
n
∞
X
X
Dieses Beispiel führt zum besseren Verstn̈dnis der Definition der Reihen:
an = lim
ak .
n=1
n→∞
k=1
11. Man behalte im Kopf das grundsätzlichste Faktum im Bezug auf die Konvergenz einer Reihe
∞
X
an , und zwar die notwendige Bedingung :
n=1
Ist
∞
X
an konvergent, dann lim an = 0.
n→∞
n=1
In der Praxis: wenn lim an 6= 0, dann ist
n→∞
∞
X
an divergent.
n=1
Untersuche, ob die folgenden Reihen die notwendige Bedingung erfüllen.
(a) (1p)
(b) (1p)
(c) (1p)
∞ X
n − 1 n
n=1
∞ X
n=1
∞
X
n
n − 1 n2
n
n!
.
nn
n=1
(d) (1p) AN 8.8 c).
(e) (1p) AN 8.8 d).