Dr. Kai-Friederike Oelbermann Wintersemester 2014/15 Hochschule

Dr. Kai-Friederike Oelbermann
Hochschule Magdeburg-Stendal
Wintersemester 2014/15
7. Übungsblatt zur Vorlesung
”
Mathematik III, KW“
Aufgabe 32. (Poisson-Verteilung)
Sei X eine Poisson verteilte Zufallsvariable zum Parameter
E(X).
> 0. Berechnen Sie den Erwartungswert
Lösungsskizze:
Der Erwartungswert wird über die Reihe der Exponetialfunktion berechnent,
ex =
1
X
xn
n=0
n!
.
Damit gilt
E(X) =
1
X
kP(X = k) =
k=0
= e
1
X
k
ke
k!
k=0
1
X
k=1
k
(k
1)!
= e
e = .
Aufgabe 33. (Gesetz der großen Zahlen)
Innerhalb einer Woche entbinden in einem Krankenhaus n Frauen. Wir nehmen an, dass dabei keine
Mehrlingsgeburten auftreten und dass die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen bzw. für ein Mädchen
gleich und unabhängig sei. Sei an die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass mindestens 60 % der
Neugeborenen Mädchen sind.
(i) Bestimmen Sie a10 .
(ii) Beweisen oder wiederlegen Sie: a100 < a10 .
(iii) Zeigen Sie: limn!1 an = 0.
Lösungsskizze:
(i) Es gilt a10 =
P10
j=6
10
j
(1/2)10 =
386
1024
= 0.376.
(ii) Wir lösen diese Aufgabe mit der Tschebysche↵-Ungleichung. Bezeichnet Xj 2 {0, 1} die Geburt
P
eines Jungen bzw. eines Mädchens und Yn = ni=1 Xi die Anzahl der Mädchen unter n Geburten,
so gilt Yn ⇠ Bin(n, 1/2) und somit P(Y100 60)  P(|Y100 50| 10)  Var(Y100 )/100. Wegen
Var(Y100 ) = 100 · 1/2 · 1/2 = 25 folgt a100 < a10 .
(iii) Es gilt an = P(Yn n · 0.6) = P(Yn /n 0.6) = P( Ynn
bei n ! 1 (Schwaches Gesetz der großen Zahlen).
0.5
0.1)  P(|Yn /n
0.5|
0.1) ! 0
Aufgabe 34. (Maximum-Likelihood Schätzer)
In einer Bernoulli-Kette mit unbekannter Tre↵erwahrscheinlichkeit p 2 (0, 1) sei der erste Tre↵er im
k-ten Versuch aufgetreten. Stellen Sie die Likelihood-Funktion zu dieser Beobachtung auf und zeigen
Sie, dass der ML-Schätzwert für p durch 1/k gegeben ist.
Lösungsskizze:
p)k
Die Likelihood-Funktion zur Beobachtung k ist Lk (p) = (1
bezüglich p liefert die Behauptung,
@
(1
@p
p)k
1
p = ( 1)(k
= (1
p)k
1)(1
2
p)k
2
p + (1
( pk + p + 1
1 p.
p)k
p) = (1
Maximierung dieser Funktion
1
p)k
2
(1
pk).
Nullsetzen der ersten Ableitung liefert p = 1/k.
Aufgabe 35. (Test)
Bei der Züchtung einer gewissen Blumensorte ergeben sich rote und weiße Exemplare. Nach den Vererbungsgesetzen muss dabei eine der beiden Farben als dominates Merkmal mit der Wahrscheinlichkeit
3/4 auftreten. In einem Kreutungsversuch ergeben sich 13 Nachkommen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit irrt man sich, wenn man die dabei häufiger auftretende Farbe als dominant hält?
Lösungsskizze:
Die Anzahl X der Nachkommen mit dominatem Merkmal besitzt die Binomialverteilung Bin(13, 3/4).
Im Fall X  6 wird die häufiger auftretende Farbe fälschlicherweise für dominant gehalten. Die
P
j
13 j ⇡ 0.02429
Wahrscheinlichkeit hierfür ist P(X  6) = 6i=0 = 13
j (3/4) (1/4)