§2 Matrixgruppen

Lie Gruppen, SS 2010
Montag 10.05
$Id: matrix.tex,v 1.8 2010/05/24 21:06:03 hk Exp $
$Id: topgr.tex,v 1.1 2010/05/24 21:06:55 hk Exp hk $
§2
Matrixgruppen
Wir haben bewiesen das jede abgeschlossene Untergruppe G von GLn R eine Matrixgruppe, also eine eingebettete Untermannigfaltigkeit des Rn×n ist. Darüber hinaus
haben wir auch eine explizite Beschreibung des Tangentialraums von G im neutralen Element erhalten, es handelt sich genau um diejenigen Matrizen X ∈ Rn×n deren
erzeugte Einparameteruntergruppe ganz in der Gruppe G verläuft, also T1 G = {X ∈
Rn×n |∀(t ∈ R) : exp(tX) ∈ G}. Damit haben wir auch einen neuen Beweis das die klassischen Matrixgruppen wie SLn R, SLn C, SOn R, SU(n) und so weiter allesamt eingebettete Untermannigfaltigkeiten von Rn×n beziehungsweise Cn×n ⊆ R2n×2n sind, denn
für alle diese Gruppen ist leicht zu sehen das sie abgeschlossen sind. Der Satz enthielt
zusätzlich die Aussage, dass für je zwei Matrizen X, Y ∈ T1 G auch der Kommutator
[X, Y ] ∈ T1 G ein Tangentialvektor an G ist. Die Bedeutung dieser Aussage ist zur Zeit
aber noch etwas unklar, im weiteren Verlauf des Beweises von Satz 13 hat sie keine
Rolle mehr gespielt.
Trotzdem ist die Abgeschlossenheit des Tangentialraums T1 G unter Kommutatorbildung ein wesentlicher Punkt, und um dies in den richtigen Kontext zu setzen führen
wir jetzt den Begriff einer Lie-Algebra ein. Dieser hat weder mit Matrixgruppen noch
mit den reellen Zahlen zu tun, und daher geben wir gleich die allgemeine Definition
über beliebigen Körpern.
Definition 2.7: Sei K ein Körper. Eine Liealgebra über K ist ein Paar (L, [ , ])
bestehend aus einem Vektorraum L über K und einer bilinearen Abbildung
[ , ] : L × L → L; (a, b) 7→ [a, b]
mit den folgenden beiden Eigenschaften:
(a) Für jedes a ∈ L gilt [a, a] = 0.
(b) Für alle a, b, c ∈ L gilt
[[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0.
Man bezeichnet das Produkt [a, b] ∈ L für a, b ∈ L auch als die Lie-Klammer von a und
b und manchmal auch als den Kommutator von a und b. Letzteres hat zwar durchaus
seine Gründe, ist aber in der allgemeinen Situation eher ein Bezeichnungsmissbrauch.
Die Gleichung in (b) wird als die Jacobi-Identität bezeichnet. Merken kann man sie
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sich, indem man zunächst [[a, b], c] hinschreibt und die drei Einträge dann zwei zyklisch
permutiert, also zuerst [[b, c], a] und dann [[c, a], b]. Die Jacobi-Identität fordert das die
Summe dieser drei Terme Null ist. Der Name ist dabei der klassischen Jacobi-Identität
(u × v) × w + (v × w) × u + (w × u) × v = 0
für das Vektorprodukt im R3 entlehnt. Insbesondere ist (R3 , ×) ein Beispiel einer Liealgebra. Wir wollen noch eine kleine unmittelbare Folgerung aus der Definition einer
Liealgebra (L, [ , ]) anmerken. Sind a, b ∈ L so haben wir
0 = [a + b, a + b] = [a, a] + [a, b] + [b, a] + [b, b] = [a, b] + [b, a], also [b, a] = −[a, b].
Oft wird auch diese Eigenschaft anstelle der Bedingung [a, a] = 0 für eine Liealgebra
gefordert, zumindest wenn man nur an den beiden Körpern K = R und K = C
interessiert ist. Aus der Antisymmetrie folgt für jedes a ∈ L auch [a, a] = −[a, a], d.h.
2[a, a] = 0 und ist die Charakteristik des Körpers K nicht 2, so ergibt sich weiter
auch [a, a] = 0. Für char K 6= 2 hat man also die freie Auswahl welche der beiden
Eigenschaften man zur Definition einer Liealgebra verwendet. Wir wollen nun eine
grosse Klasse von Beispielen von Liealgebren konstruieren.
Lemma 2.14: Seien K ein Körper und A eine assoziative Algebra über K (d.h. ein
mit einer assoziativen, bilinearen Multiplikation versehener Vektorraum über K). Für
a, b ∈ A bezeichne [a, b] := ab−ba ∈ A den Kommutator von a und b. Dann ist (A, [ , ])
eine Liealgebra über K.
Beweis: Die Abbildung [ , ] : A × A → A ist offenbar bilinear und für jedes a ∈ A gilt
[a, a] = a2 − a2 = 0. Nun seien a, b, c ∈ A gegeben. Dann ist
[[a, b], c] = [a, b]c − c[a, b] = abc − bac − cab + cba,
und mit zyklischer Vertauschung von a, b, c folgen auch
[[b, c], a] = bca − cba − abc + acb und [[c, a], b] = cab − acb − bca + bac
und als Summe ergibt sich [[a, b], c] + [[b, c], a] + [[c, a], b] = 0.
Ein besonders wichtiger Spezialfall des Lemmas ist die Algebra aller Endomorphismen
eines Vektorraums V über K. Ist V ein Vektorraum über K, so bilden die Endomorphismen von V eine assoziative Algebra, deren Kommutator gerade der schon früher
verwendete Kommutator linearer Abbildungen ist, und mit dem Lemma erhalten wir
die Liealgebra
gl(V ) := (End(V ), [ , ]).
Ist V endlichdimensional mit n = dim V und einer gegebenen Basis, so können wir
gl(V ) auch als die Liealgebra der n × n Matrizen über K mit dem Kommutator von
Matrizen als Lieklammer auffassen, und schreiben gln K für diese Liealgebra. Haben wir
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auf dem Vektorraum V zusätzlich eine Algebrenstruktur gegeben, also eine bilineare
Multiplikation, so spielt oftmals auch die im folgenden Lemma definierte Lielagebra
eine Rolle. Diese ist eine Lie-Unteralgebra im Sinne der folgenden Definition:
Definition 2.8: Sei L eine Lielagebra über dem Körper K. Eine Unterliealgebra von L
ist ein Untervektorraum M von L mii [M, M ] ⊆ M , d.h. [a, b] ∈ M für alle a, b ∈ M .
Offenbar bildet dann (M, [ , ]) selbst eine Liealgebra über K.
Lemma 2.15 (Die Liealgebra der Derivationen einer Algebra)
Sei A eine Algebra über dem Körper K. Eine lineare Abbildung D : A → A heißt eine
Derivation von A, wenn sie die Produktregel erfüllt, wenn also
D(ab) = D(a)b + aD(b)
für alle a, b ∈ A gilt. Die Menge Der(A) aller Derivationen von A ist eine Lieunteralgebra von gl(A).
Beweis: Dies ist eine Übungsaufgabe.
Wir wollen noch ein letztes, zunächst etwas komplizierter aussehendes, Beispiel einer
Liealgebra konstruieren. Sei d ∈ N und sei U ⊆ Rd eine offene Menge. Wir betrachten
den Vektorraum C ∞ (U ) aller unendlich oft differenzierbaren, reellwertigen Funktionen
auf U . Ein homogener, linearer Differentialoperator erster Ordnung ist ein Differentialoperator der Form
∂f
∂f
+ · · · + ad ·
∂x1
∂xd
Pd
mit Funktionen a1 , . . . , ad ∈ C ∞ (U ). Man schreibt einfach D =
i=1 ai ∂/∂xi . Für
zwei solche homogenen, linearen Differentialoperatoren D1 , D2 erster Ordnung D1 , D2
definieren wir die Lieklammer von D1 und D2 durch
D : C ∞ (U ) → C ∞ (U ); f 7→ a1 ·
[D1 , D2 ]f := D1 (D2 f ) − D2 (D1 f ),
und dies ist wieder ein homogener,
linearer Differentialoperator
erster Ordnung. SchreiPd
Pd
ben wir nämlich D1 = i=1 ai ∂/∂xi , D2 = i=1 bi ∂/∂xi , so ist auch
!
X
d
d
X ∂bj ∂
X
X
∂2
∂2
∂bj
∂
D1 D2 =
ai
·
+ ai b j
=
+
ai bj
ai
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj
∂xi ∂xj 1≤i,j≤d
∂xi ∂xj
j=1
i=1
1≤i,j≤d
und für D2 D1 ergibt sich die analoge Formel mit vertauschten ai und bj . In der Differenz
verschwinden die Ableitungen zweiter Ordnung und es ergibt sich
!
d
d
X
X
∂bi
∂ai
∂
D1 D2 − D2 D1 =
aj
− bj
.
∂xj
∂xj ∂xj
i=1
j=1
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Damit bildet die Menge aller homogenen, linearen Differentialoperatoren erster Ordnung eine Lieunteralgebra der Liealgebra gl(C ∞ (U )) und ist damit selbst eine Liealgebra. Tatsächlich ist diese Liealgebra genau die Menge der Derivationen von C ∞ (U )
wenn C ∞ (U ) mit der punktweisen Multiplikation von Funktionen als Multiplikation
ausgestattet wird.
Mit dem Begriff einer Lieunteralgebra ausgerüstet können wir jetzt Satz 13 so
ergänzen, dass der Tangentialraum T1 G einer abgeschlossenen Untergruppe G von
GLn R im neutralen Element immer eine Lieunteralgebra von gln R ist. Wie wir in
einigen Übungsaufgaben sehen werden ist die Liealgebra T1 G eine Linearisierung der
Gruppe G und kann dazu benutzt werden um Aussagen über solche Gruppen in Probleme der linearen Algebra zu übersetzen. In diesem Zusammenhang ist eine Benennungskonvention üblich. Wird eine abgeschlossene Untergruppe G von GLn R mit lateinischen
Großbuchstaben geschrieben, so wird der Tangentialraum T1 G mit den entsprechenden
kleingeschriebenen Frakturbuchstaben benannt. Also zum Beispiel
G = SLn R =⇒ T1 G = sln R = {A ∈ gln R| tr A = 0},
G = SOn R =⇒ T1 G = son R = {A ∈ gln R|At = −A}.
Leider kommt nicht jede Linunteralgebra von gln R als Tangentialraum einer Matrixgruppe vor. Dies ist allerdings eher eine Schwäche der hier gewählten Definition einer
Matrixgruppe. Wir hatten ja schon bemerkt das es neben den eingebetteten Untermannigfaltigkeiten auch einen allgemeineren Begriff einer Untermannigfaltigkeit gibt,
der dann zu einem allgemeineren Begriff einer Matrixgruppe führt. Für diese Verallgemeinerung ist dann tatsächlich jede Lieunteralgebra von gln R der Tangentialraum
einer Matrixgruppe.
§3
Topologische Gruppen
In diesem Kapitel wollen wir allgemeine topologische Gruppen behandeln, und beginnen mit dem Begriff einer Topologie. Topologische Räume sind ein begrifflicher
Rahmen, der es erlaubt von Stetigkeit zu sprechen. Mit weitgehend demselben Zweck
wurden im Rahmen der Analysis II Vorlesung die metrischen Räume eingeführt. Topologische Räume kann man sich als eine weitgehende Verallgemeinerung metrischer
Räume denken, und bevor wir Topologien definieren wollen wir erst einmal sehen
warum metrische Räume nicht immer ausreichen. Zu diesem Zweck betrachten wir
die Menge X := RR aller Abbildungen f : R → R. Für Folgen solcher Abbildungen
haben wir den Begriff der punktweisen Konvergenz, und wir wollen uns klarmachen
das sich dieser nicht durch eine Metrik beschreiben läßt, d.h. es gibt keine Metrik d
auf X für die Folge von Funktionen genau dann punktweise konvergiert wenn sie in der
Metrik konvergiert.
Dies liegt daran das sich die punktweise Konvergenz recht merkwürdig verhält. Wir
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betrachten die Teilmenge A := C(R) aller stetigen Funktionen f : R → R und die
Menge B aller Funktionen f : R → R, die punktweiser Grenzwert einer Folge stetiger
Funktionen sind, d.h. für die Folge (fn )n∈N in C(R) existiert mit f (x) = limn→∞ fn (x)
für jedes x ∈ R. Wäre die punktweise Konvergenz von einer Metrik beschrieben, so
wäre B der Abschluß von A in dieser Metrik. Insbesondere müsste dann für jede Folge
(fn )n∈N in B, die punktweise gegen eine Funktion f : R → R konvergiert auch f ∈ B
sein. Dies ist aber nicht so. Die Funktionen aus B sind nicht völlig willkürlich, sondern
in recht vielen Punkten stetig. Das wollen wir hier nicht näher ausführen, sondern nur
festhalten das zum Beispiel die charakteristische Funktion χQ der rationalen Zahlen
nicht in B liegt. Es gibt aber eine Folge aus B die punktweise gegen χQ konvergiert.
Wähle nämlich eine Abzählung Q = {rn |n ∈ N} der rationalen Zahlen. Für jedes
n ∈ N sei fn : R → R die Funktion mit fn (rk ) = 1 für alle 1 ≤ k ≤ n und fn (x) = 0
für alle x ∈ R\{rk |1 ≤ k ≤ n}. Dann ist offenbar χQ (x) = limn→∞ fn (x) für jedes
x ∈ R. Weiter gilt fn ∈ B für jedes n ∈ N, als gegen fn punktweise konvergente Folge
stetiger Funktionen können wir etwa stückweise lineare Funktionen nehmen, die um
die rk (1 ≤ k ≤ n) herum immer kleinere Zacken mit Wert 1 in den rk sind und sonst
überall Null sind.
Die punktweise Konvergenz ist also nicht durch eine Metrik gegeben, sehr wohl aber
durch eine Topologie auf X. Definieren wir jetzt einen topologischen Raum.
Definition 3.1: Ein topologischer Raum ist ein Paar (X, τ ) bestehend aus einer Menge
X und einer Menge τ ⊆ P(X) von Teilmengen von X, deren Elemente offene Mengen
genannt werden, mit den folgenden Eigenschaften:
S
(a) Vereinigungen offener Mengen sind offen, d.h. ist τ 0 ⊆ τ , so ist auch τ 0 ∈ τ .
(b) Der Schnitt von je zwei offenen Mengen ist wieder offen, d.h. für alle U, V ∈ τ ist
auch U ∩ V ∈ τ .
(c) Es ist ∅ ∈ τ und X ∈ τ .
Die Forderung ∅ ∈ τ kann man auch als einen Spezialfall von (a) ansehen. Per Induktion folgt weiter das für endlich viele offene Mengen U1 , . . . , Un ∈ τ auch U1 ∩. . .∩Un ∈ τ
wieder offen ist. Meist schreibt man nur X für einen topologischen Raum, falls man
doch einmal die Menge τ braucht, so nennt man sie die Topologie von X. Wir besprechen jetzt einige Beispiele.
Sei X ein metrischer Raum. Bekanntlich nennt man dann eine Menge U ⊆ X offen,
wenn es für jedes x ∈ U ein > 0 mit
B (x) := {y ∈ X|d(x, y) < } ⊆ U
gibt. Die Menge dieser offenen Mengen bildet dann eine Topologie auf X. Mit einem
kleinem Bezeichnungsmissbrauch spricht man auch kurz davon das jeder metrische
Raum ein topologischer Raum ist.
Als ein weiteres Beispiel bildet auf jeder beliebigen Menge X die volle Potenzmenge
τ := P(X) eine Topologie auf X, d.h. jede Teilmenge von X soll offen sein. Diese
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Topologie wird auch als die diskrete Topologie bezeichnet. Sie ist in Wahrheit ein
Spezialfall der Topologien aus Metriken, denn die diskrete Topologie wird von der
diskreten Metrik
(
1, x 6= y,
d(x, y) :=
0, x = y
erzeugt. Ebenfalls auf einer beliebigen Menge X haben wir die Topologie τ := {∅, X}.
Diese nennt man die indiskrete Topologie, manchmal auch die gröbste Topologie oder
die triviale Topologie. Manchmal nennt man eine Topologie aber auch trivial wenn sie
die diskrete oder die indiskrete Topologie ist.
Wir wollen jetzt noch ein etwas spannenderes Beispiel einer nicht metrischen Topologie angeben, die sogeannte Sorgenfrey Topologie auf R. Hier nennt man eine Teilmenne U ⊆ R offen wenn es für jedes x ∈ U ein > 0 mit [x, x + ) ⊆ U gibt. Auch
dies erfüllt offenbar die drei Axiome einer Topologie.
In Analysis II haben Sie gelernt das eine Teilmenge eines metrischen Raums genau
dann abgeschlossen ist, wenn ihr Komplement offen ist. In einem allgemeinen topologischen Raum verwenden wir dies als die Definition einer abgeschlossenen Menge.
Definition 3.2: Sei X ein topologischer Raum. Eine Menge A ⊆ X heißt abgeschlossen
wenn ihr Komplement X\A ⊆ X offen ist.
Durch Komplementbildung erhält man aus den Axiomen eines topologischen Raums
auch die Grundeigenschaften abgeschlossener Mengen.
(a) Durchschnitte abgeschlossener Mengen sind wieder abgeschlossen,
T d.h. ist (Ai )i∈I
eine Familie abgeschlossener Teilmengen von X, so ist auch i∈I Ai ⊆ X wieder
abgeschlossen.
(b) Sind A, B ⊆ X abgeschlossen, so ist auch A ∪ B ⊆ X abgeschlossen.
(c) Die leere Menge ∅ ⊆ X und ganz X sind abgeschlossen in X.
Hat man umgekehrt ein solches System von Teilmengen einer Menge X gegeben, so
bilden die Komplemente dieser Mengen eine Topologie auf X, d.h. man kann Topologien auch durch Angabe der abgeschlossenen Mengen definieren. Ein Beispiel wo dies
bequemer ist, ist die sogenannte Zariski-Topologie auf dem Cn . Hier nennen wir eine Menge A ⊆ Cn abgeschlossen wenn sie algebraisch ist, wenn es also eine Menge
M ⊆ C[z1 , . . . , zn ] von Polynomen gibt, deren gemeinsame Nullstellenmenge gerade A
ist, d.h.
A = V (M ) := {z ∈ Cn |∀(p ∈ M ) : p(z) = 0}.
Die algebraischen Mengen sind also gerade die durch algebraische Gleichungen beschreibbaren Teilmengen des Cn . Diese bilden tatsächlich die abgeschlossenen Mengen
einer Topologie auf dem Cn , der sogenannten Zariski-Topologie. Zunächst sind
∅ = V ({1}) und Cn = V (∅)
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algebraisch. Ist (Ai )i∈I eine Familie algebraischer Mengen, so gibt es für jedes i ∈ I
eine Menge Mi ⊆ C[z1 , . . . , zn ] von Polynomen mit Ai = V (Mi ), und damit ist auch
!
\
\
[
Ai =
V (Mi ) = V
Mi
i∈I
i∈I
i∈I
algebraisch. Nur die Vereinigung algebraischer Mengen ist etwas komplizierter. Seien
A, B ⊆ Cn algebraisch und wähle Mengen M, N ⊆ C[z1 , . . . , zn ] mit A = V (M ) und
B = V (M ). Setze dann
Q := {p · q|p ∈ M, q ∈ N } ⊆ C[z1 , . . . , zn ].
Dann gelten offenbar V (M ), V (N ) ⊆ V (Q), also auch A ∪ B = V (M ) ∪ V (N ) ⊆ V (Q).
Sei umgekehrt z ∈ V (Q). Ist z ∈ A, so ist auch z ∈ A ∪ B. Nun sei z ∈
/ A = V (M ),
also existiert ein p ∈ M mit p(z) 6= 0. Ist dann q ∈ N , so ist pq ∈ Q, also p(z)q(z) =
(pq)(z) = 0 und somit q(z) = 0. Dies zeigt z ∈ V (N ) = B ⊆ A ∪ B. Damit ist auch
A ∪ B = V (Q) algebraisch.
Die Zariski-Topologie kann man in viele Richtungen verallgemeinern, statt C kann
man einen beliebigen Körpern nehmen, man kann sie auf Teilmengen des K n definieren,
und so weiter.
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