¨Ubungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen1

Heilbronn, den 14.5.2010
Prof. Dr. V. Stahl
WS 10/11
Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz
mit Musterlösungen1
Blatt 8
Aufgabe 1. Überlegen Sie, wie man folgende Relationen R grafisch darstellen
könnte und entscheiden Sie, ob die Relationen reflexiv auf A, symmetrisch
bzw. transitiv sind. Geben Sie eine kurze Begründung.
R = {(a, b) | a, b ∈ Z, a 6= b},
A=Z
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a + b = 1},
A=R
2
2
A=R
3
3
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a = b },
A=R
R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist gerade },
A = N0
R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist ungerade },
A = N0
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},
A = {1, 2, 3}
R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)},
A = {1, 2, 3}
R = ∅,
A=N
R = N × N,
A=N
R = {(a, b) | a, b ∈ R, a < b },
Lösung von Aufgabe 1.
• R = {(a, b) | a, b ∈ Z, a 6= b}
nicht reflexiv da z.B. (2, 2) 6∈ R
symmetrisch, da mit x 6= y auch y 6= x gilt
nicht transitiv, da z.B. 2 6= 3, 3 6= 2 aber 2 = 2
• R = {(a, b) | a, b ∈ R, a + b = 1}
nicht reflexiv da z.B. (2, 2) 6∈ R
symmetrisch: wenn a + b = 1, dann auch b + a = 1
nicht transitiv: (2, −1) ∈ R, (−1, 2) ∈ R aber (2, 2) 6∈ R.
• R = {(a, b) | a, b ∈ R, a2 < b2 }
nicht reflexiv da z.B. (2, 2) 6∈ R
nicht symmetrisch da z.B. (1, 2) ∈ R aber (2, 1) 6∈ R
transitiv, da aus a2 < b2 und b2 < c2 folgt a2 < c2 .
• R = {(a, b) | a, b ∈ R, a3 = b3 }
reflexiv da x3 = x3 für alle x ∈ R
symmetrisch da aus x3 = y 3 folgt y 3 = x3
transitiv da aus x3 = y 3 und y 3 = z 3 folgt x3 = z 3 .
1 Bitte geben Sie die Lösungen nicht weiter – Ihre Nachfolger sollen auch die Chance haben,
die Aufgaben selbständig rauszukriegen.
1
• R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist gerade }
reflexiv da x − x = 0 und 0 ist gerade für alle x.
symmetrisch: wenn x − y gerade ist, dann auch y − x.
transitiv: wenn x − y und y − z gerade sind, dann auch x − z, da
x − z = (x − y) + (y − z) und die Summe zweier gerader Zahlen ist
wieder gerade.
• R = {(a, b) | a, b ∈ N0 , a − b ist ungerade }
nicht reflexiv da 2 − 2 = 0 und 0 ist nicht ungerade
symmetrisch: wenn x − y ungerade ist, dann auch y − x.
nicht transitiv da z.B. (1, 2) ∈ R, (2, 3) ∈ R aber (1, 3) 6∈ R.
• R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} als Relation auf {1, 2, 3}
nicht reflexiv da z.B. (1, 1) 6∈ R
nicht symmetrisch da z.B. (1, 2) ∈ R aber (2, 1) 6∈ R
transitiv: es gibt nur einen Fall wo xRy und yRz, nämlich für x = 1,
y = 2, z = 3 und da gilt xRz.
• R = {(2, 1), (3, 2), (3, 1)} als Relation auf {1, 2, 3}
nicht reflexiv da z.B. (1, 1) 6∈ R
nicht symmetrisch da z.B. (2, 1) ∈ R aber (1, 2) 6∈ R
transitiv: es gibt wieder nur ein Fall wo xRy und yRz, nämlich x = 3,
y = 2, z = 1 und da gilt auch xRz.
• R = ∅ als Relation auf N
nicht reflexiv, da z.B. (1, 1) 6∈ R
symmetrisch: Da für kein x, y ∈ N gilt xRy kann man sagen, dass für
jedes x, y ∈ N, für das xRy gilt, auch yRx gilt.
transitiv: gleiche Argumentation wir für symmetrisch.
• R = N × N als Relation auf N
reflexiv, da xRx für alle x ∈ N
symmetrisch, da immer yRx gilt.
transitiv, da immer xRz gilt.
Aufgabe 2. Sei R eine Relation. Die Umkehrrelation R−1 von R ist definiert
durch
R−1 = {(a, b) | bRa}.
Das heißt (a, b) ∈ R−1 genau dann wenn (b, a) ∈ R.
• Was ist die Umkehrrelation von >N und ≡3 ?
• Zeigen Sie, dass wenn R reflexiv auf A ist, auch R−1 reflexiv auf A
ist.
• Zeigen Sie, dass wenn R symmetrisch ist, auch R−1 symmetrisch ist.
• Zeigen Sie, dass wenn R transitiv ist, auch R−1 transitiv ist.
• Zeigen Sie, dass für jede Relation R gilt, dass die Relation R0 =
R ∪ R−1 symmetrisch ist.
Lösung von Aufgabe 2.
2
• Die Umkehrrelation von >N ist <N .
Die Umkehrrelation von ≡3 ist wieder ≡3 . Dies gilt allgemein für alle
symmetrischen Relationen.
•
– Sei A beliebig aber fest und R eine beliebig aber fest gewählte,
reflexive Relation auf A.
Zu zeigen: R−1 ist reflexiv auf A.
– Annahme: ∀x ∈ A xRx.
Zu zeigen: ∀y ∈ A yR−1 y.
– Definition der Umkehrrelation:
Zu zeigen: ∀y ∈ A yRy.
(Dies ist bis auf gebundene Umbenennung gleich der Annahme. Man wäre also hier schon fertig. Spaßeshalber aber noch
die ausführliche Variante.)
– Sei y ∈ A beliebig aber fest. Zu zeigen yRy.
– Dies folgt aus der Annahme durch Spezialisierung mit x = y.
•
– Sei R eine beliebige aber fest gewählte, symmetrische Relation.
Zu zeigen: R−1 ist symmetrisch.
– Annahme: ∀x, y xRy → yRx.
Zu zeigen: ∀a, b aR−1 b → bR−1 a.
– Definition der Umkehrrelation:
Zu zeigen: ∀a, b bRa → aRb. (Auch diese Formel ist bis auf gebundene Umbenennung und Reihenfolge der Allquantoren schon
das, was in der Annahme steht. Man wäre also hier schon fertig.)
– Annahme: bRa.
Zu zeigen: aRb.
– Aus der Annahme folgt durch Spezialisierung mit x = b, y = a
dass bRa → aRb.
– Mit Modus Ponens folgt aRb.
•
– Sei R eine beliebige aber fest gewählte, transitive Relation.
Zu zeigen: R−1 ist transitiv.
– Annahme: ∀x, y, z (xRy ∧ yRz) → xRz
Zu zeigen: ∀a, b, c (aR−1 b ∧ bR−1 c) → aR−1 c
– Definition der Umkehrrelation:
Zu zeigen: ∀a, b, c (bRa ∧ cRb) → cRa. (Auch hier wäre man im
Prinzip schon fertig.)
– Seien a, b, c beliebig aber fest. Zu zeigen: ∀a, b, c (bRa ∧ cRb) →
cRa.
– Annahme: bRa ∧ cRb.
Zu zeigen: cRa.
– Aus der Annahme folgt durch Spezialisierung mit x = c, y =
b, z = a dass cRb ∧ bRa → cRa.
– Mit Modus Ponens folgt cRa.
3
•
– Sei R eine beliebige Relation und sei R0 = R ∪ R−1 .
Zu zeigen: R0 ist symmetrisch.
– Zu zeigen: ∀x, y xR0 y → yR0 x.
– Seien x, y beliebig aber fest. Zu zeigen xR0 y → yR0 x.
– Annahme: xR0 y
Zu zeigen: yR0 x.
– Defintion von R0
Annahme: xRy ∨ xR−1 y
Zu zeigen: yRx ∨ yR−1 x
– Definition der Umkehrrelation.
Annahme: xRy ∨ yRx
Zu zeigen: yRx ∨ xRy.
Dies folgt direkt aus der Annahme.
Aufgabe 3. Finden Sie eine Relation R und eine Menge A so dass
• R reflexiv auf A ist aber weder symmetrisch noch transitiv.
• R zwar symmetrisch aber weder reflexiv auf A noch transitiv ist.
• R zwar transitiv aber weder reflexiv auf A noch symmetrisch ist.
• R weder reflexiv auf A noch symmetrisch noch transitiv ist.
Hinweis: Es ist einfacher wenn man mit Relationen auf einer endlichen
Menge z.B. {1, 2, 3} spielt.
Lösung von Aufgabe 3.
• Relation, die zwar reflexiv aber weder symmetrisch noch transitiv ist.
R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 3)},
A = {1, 2, 3}
• Relation, die zwar symmetrisch aber weder reflexiv noch transitiv ist.
R = {(1, 2), (2, 1)},
A = {1, 2}
• Relation, die zwar transitiv aber weder reflexiv noch symmetrisch ist.
R = {(1, 2), (2, 3), (1, 3)},
A = {1, 2, 3}
• Relation, die weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv ist.
R = {(1, 2), (2, 3)},
A = {1, 2, 3}
Aufgabe 4. Wie kann man am Schaubild einer Relation R ⊆ R×R sofort ablesen ob sie reflexiv ist? Woran sieht man dass sie symmetrisch ist? Hinweis:
Zeichnen Sie zuerst ein paar reflexive bzw. symmetrische Relationen und
suchen dann die Gemeinsamkeiten. (Transitivität lässt sich nicht so direkt
sehen, denken Sie aber trotzdem mal darüber nach).
4
Lösung von Aufgabe 4. Reflexiv: Hautpdiagonale ist eingezeichnet.
Symmetrisch: Bild ist symmetrisch zur Hauptdiagonalen.
Aufgabe 5. Prüfen Sie ob folgende Relationen reflexiv auf N0 , symmetrisch
oder transitiv sind:
•
•
•
•
≡3 ∪ ≤N
≡3 \ ≤N
≤N \ ≡3
≡3 ∩ ≤N
Lösung von Aufgabe 5.
• ≡3 ∪ ≤N
– reflexiv.
– nicht symmetrisch da (2, 3) ∈≡3 ∪ ≤N aber (3, 2) 6∈≡3 ∪ ≤N .
– nicht transitiv da (3, 4) ∈≡3 ∪ ≤N , (4, 1) ∈≡3 ∪ ≤N aber (3, 1) 6∈≡3
∪ ≤N .
• ≡3 \ ≤N
– nicht reflexiv da (1, 1) 6∈≡3 \ ≤N .
– nicht symmetrisch da (6, 3) ∈≡3 \ ≤N aber (3, 6) 6∈≡3 \ ≤N .
– transitiv, da ≡3 \ ≤N = ≡3 ∩ >N .
• ≤N \ ≡3
– nicht reflexiv, da (1, 1) 6∈≤N \ ≡3 .
– nicht symmetrisch, da (1, 2) ∈≤N \ ≡3 , aber (2, 1) 6∈≤N \ ≡3 .
– nicht transitiv, da (1, 2) ∈≤N \ ≡3 , (2, 4) ∈≤N \ ≡3 aber (1, 4) 6∈≤N
\ ≡3 .
• ≡3 ∩ ≤N
– nicht reflexiv auf N0 , da (0, 0) 6∈≡3 ∩ ≤N .
– nicht symmetrisch da (1, 4) ∈≡3 ∩ ≤N aber (4, 1) 6∈≡3 ∩ ≤N .
– transitiv, da sowohl ≡3 als auch ≤N transitiv sind.
Aufgabe 6. Eine Relation R ⊆ A × A heißt antisymmetrisch, wenn
für alle x, y gilt
wenn xRy und yRx
dann ist x = y.
So ist z.B. die Relation ≤N antisymmetrisch, denn aus x ≤N y und y ≤N x
folgt x = y. Welche der folgenden Relationen sind antisymmetrisch?
<N , ≥Z , σ, ≡3 , ⊆, ∅, N × N, = .
Beschreiben Sie, wie man allgemein vorgeht um von einer Relation R zu
entscheiden ob sie antisymmetrisch ist und wie ein Beweis der Antisymmetrie beginnen würde.
5
Lösung von Aufgabe 6.
• <N ist antisymmetrisch. Der Fall x <N y und y <N x kann nicht
eintreten, deshalb ist für alle Fälle wo x <N y und y <N x auch
x = y.
• ≥Z ist antisymmetrisch. Aus x ≥Z y und y ≥Z x folgt x = y.
• σ ist antisymmetrisch. Auch hier kann xσy und yσx nicht eintreten.
• ≡3 ist nicht antisymmetrisch. Ein Gegenbeispiel ist 6 ≡3 9 und 9 ≡3 6
aber 6 6= 9.
• ⊆ ist antisymmetrisch. Wenn A ⊆ B und B ⊆ A dann ist A = B.
• ∅ ist antisymmetrisch. Die Bedingung xRy und yRx ist nie erfüllt.
• N × N ist nicht antisymmetrisch. So ist z.B. (2, 3) ∈ N × N und
(3, 2) ∈ N × N aber 2 6= 3.
• = ist antisymmetrisch. Wenn x = y und y = x dann ist natürlich
auch x = y.
Allgemeine Vorgehensweise zum prüfen ob R antisymmetrisch ist:
• Beispiele x, y suchen für die (x, y) ∈ R und (y, x) ∈ R mit x 6= y.
Wenn ein solches Beispiel existiert, dann ist R nicht antisymmetrisch
(Gegenbeispiel).
• Wenn kein Gegenbeispiel gefunden wurde, dann ist R vermutlich antisymmetrisch.
Beweis: Zu zeigen R ist antisymmetrisch.
Zu zeigen: Für alle x, y gilt: wenn xRy und yRx dann x = y.
Annahme: Sei x, y beliebig aber fest.
Zu zeigen: Wenn xRy und yRx dann x = y.
Annahme: xRy und yRx.
Zu zeigen: x = y.
Einsetzen der Definition von R.
Aufgabe 7. Eine Relation R ⊆ A×A heißt Halbordnung auf A, wenn R reflexiv
auf A, transitiv und antisymmetrisch ist. Welche der folgenden Relationen
sind Halbordnungen?
• ≤N auf N.
• <N auf N.
• ≥Z auf Z.
• σ auf N.
• ≡3 auf N0 .
• ⊆ auf der Menge aller Mengen.
• ∅ auf N.
• N × N auf N.
6
• =Q auf Q.
Lösung von Aufgabe 7.
• ≤N ist Halbordnung auf N.
• <N ist keine Halbordnung auf N.
• ≥Z ist Halbordnung auf Z.
• σ ist keine Halbordnung auf N.
• ≡3 ist keine Halbordnung auf N0 .
• ⊆ ist Halbordnung auf der Menge aller Mengen.
• ∅ ist keine Halbordnung auf N.
• N × N ist keine Halbordnung auf N.
• =Q ist Halbordnung auf Q.
Aufgabe 8. Eine Relation R ⊆ A × A heißt totale Ordnung auf A, wenn R
Halbordnung ist und außerdem je zwei Elemente von A vergleichbar sind,
d.h.
für alle x, y gilt
wenn x, y ∈ A
dann xRy oder yRx.
Welche der folgenden Relationen sind totale Ordnungen?
• ≤N auf N.
• <N auf N.
• ≥Z auf Z.
• σ auf N.
• ≡3 auf N0 .
• ⊆ auf der Menge aller Mengen.
• ∅ auf N.
• N × N auf N.
• =Q auf Q.
Lösung von Aufgabe 8.
• ≤N ist totale Ordnung auf N.
• <N ist keine totale Ordnung auf N.
• ≥Z ist totale Ordnung auf Z.
• σ ist keine totale Ordnung auf N.
• ≡3 ist keine totale Ordnung auf N0 .
7
• ⊆ ist keine totale Ordnung auf der Menge aller Mengen, z.B. {1} 6⊆
{2} und {2} 6⊆ {1}.
• ∅ ist keine totale Ordnung auf N.
• N × N ist keine totale Ordnung auf N.
• =Q ist keine totale Ordnung auf Q, z.B. 3 6= 2 und 2 6= 3.
Aufgabe 9. Finden Sie jeweils 3 Elemente der Mengen
<N × ≥Z
(≡3 )2
Lösung von Aufgabe 9.
• Die Elemente von <N × ≥Z sind Paare, deren erste Komponente aus
der Menge <N und deren zweite Komponente aus ≥Z kommt, also
z.B.
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
(2, 3), (1, −2) ,
(3, 7), (−4, −4) ,
(1, 5), (−3, −5)
• Die Elemente von (≡3 )2 sind Paare, bei denen beide Komponenten
aus ≡3 sind, also z.B.
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
(1, 4), (2, 5) ,
(5, 5), (6, 0) ,
(8, 5), (8, 5)
Aufgabe 10. Für jede Relation R ist die Umkehrrelation R−1 definiert durch
R−1 = {(a, b) | bRa}.
Beweisen Sie ausführlich, dass für jede symmetrische Relation R gilt
R−1 = R.
Lösung von Aufgabe 10.
• Zu zeigen: Für jede symmetrische Relation gilt R−1 = R.
• Sei R eine beliebige aber fest gewählte symmetrische Relation. Zu
zeigen:
R−1 = R.
• Definition der Mengengleichheit. Zu zeigen:
R ⊆ R−1 ∧ R−1 ⊆ R.
Es wird R ⊆ R−1 bewiesen, der Beweis von R−1 ⊆ R ist analog.
• Zu zeigen:
∀x, y (x, y) ∈ R → (x, y) ∈ R−1 .
8
• Seien x, y beliebig aber fest. Zu zeigen:
(x, y) ∈ R → (x, y) ∈ R−1 .
• Annahme
(x, y) ∈ R.
Zu zeigen
(x, y) ∈ R−1 .
• Definition der Umkehrrelation. Zu zeigen:
(y, x) ∈ R.
Dies folgt aus der Annahme dass (x, y) ∈ R und aus der Symmetrie
von R.
Aufgabe 11. Die Kleiner Relation auf N ist definiert durch
<N = {(x, y) | x, y ∈ N ∧ ∃z ∈ N x + z = y}.
Beweisen Sie ausführlich, dass <N transitiv ist.
Lösung von Aufgabe 11.
• Zu zeigen:
∀x, y, z (x <N y ∧ y <N z) → x <N z.
• Seien x, y, z beliebig aber fest. Zu zeigen:
(x <N y ∧ y <N z) → x <N z.
• Annahme: x <N y ∧ y <N z. Zu zeigen: x <N z.
• Definition von <N . Annahme:
x, y ∈ N ∧ ∃a ∈ N x + a = y
y, z ∈ N ∧ ∃b ∈ N y + b = z.
Zu zeigen:
x, z ∈ N ∧ ∃c ∈ N x + c = z.
Dass x, z ∈ N folgt direkt aus der Annahme. Es ist also ein c ∈ N zu
konstruieren mit x + c = z.
• Seien a, b ∈ N so dass
x + a = y,
y + b = z.
Folglich ist
x + a + b = z.
9
• Mit c = a + b gilt somit c ∈ N und x + c = z.
Aufgabe 12. Lesen Sie im Skript nach was eine Zerlegung ist. Finden Sie alle
Zerlegungen der Menge
A = {1, 2, 3}.
Lösung von Aufgabe 12.
Z1
=
Z2
=
Z3
=
Z4
=
Z5
=
©
ª
{1}, {2}, {3}
©
ª
{1}, {2, 3}
©
ª
{2}, {1, 3}
©
ª
{3}, {1, 2}
©
ª
{1, 2, 3}
Aufgabe 13. Überlegen Sie sich ein paar Beispiele, wo Zerlegungen in der
“wirklichen Welt” vorkommen. Zum Beispiel wird die Menge der Menschen oft zerlegt in Männer und Frauen oder in Kinder, Jugendliche, Erwachsene oder in Europäer, Amerikaner, Asiaten, Afrikaner, Australier,
usw.
Lösung von Aufgabe 13.
Aufgabe 14. Berechnen Sie eine Zerlegung der Menge
{1, 2} × {1, 2, 3}
mit 4 Elementen.
Lösung von Aufgabe 14.
©
ª
{(1, 1)}, {(1, 2)}, {(1, 3)}, {(2, 1), (2, 2), (2, 3)} .
Aufgabe 15. Finden Sie eine Zerlegung Z1 der Menge N und eine Zerlegung
Z2 der Menge Z so dass Z1 ⊆ Z2 .
Lösung von Aufgabe 15. Es gibt viele Lösungen. Sei z.B. K1 die Menge der
geraden natürlichen Zahlen, K2 die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen, K3 die Menge der ganzen Zahlen kleiner oder gleich Null und
Z1
= {K1 , K2 }
Z2
= {K1 , K2 , K3 }.
Dann ist Z1 eine Zerlegung von N und Z2 eine Zerlegung von Z und
Z1 ⊆ Z2 .
Aufgabe 16. Lesen Sie im Skript nach was eine Äquivalenzrelation und eine
Äquivalenzklasse ist. Gegeben ist die Menge A = {1, 2, 3}. Finden Sie 3
Äquivalenzrelationen auf A und geben Sie deren Äquivalenzklassen an.
Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es insgesamt auf A?
10
Lösung von Aufgabe 16. Äquivalenzrelationen auf {1, 2, 3}:
•
R
=
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
K1
=
{1}
K2
=
{2}
K3
=
{3}
•
R
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 2), (2, 1)}
K1
= {1, 2}
K2
= {3}
R
K1
= {(1, 1), (2, 2), (3, 3)(1, 3), (3, 1)}
= {1, 3}
K2
= {2}
•
Insgesamt gibt es 5 Äquivalenzrelationen auf A. Man erkennt das am einfachsten wenn man die Zerlegungen aufzählt:
©
ª
{1}, {2}, {3}
©
ª
{1, 2}, {3}
©
ª
{1, 3}, {2}
©
ª
{2, 3}, {1}
©
ª
{1, 2, 3}
Aufgabe 17. Wenn x ∈ A und A = B ist, dann ist offensichtlich auch x ∈ B.
Beweisen Sie diese Aussage ausführlich, indem Sie nur die in der Vorlesung besprochenen Beweisschritte und Definitionen (Mengengleichheit,
Teilmengenbeziehung) verwenden. Schreiben Sie zuerst die zu zeigende
Aussage als Formel der Prädikatenlogik hin und machen Sie deutlich an
welcher Stelle Sie Modus Ponens verwenden.
Lösung von Aufgabe 17.
• Zu zeigen:
∀A, B, x (x ∈ A ∧ A = B) → x ∈ B.
• Seien A, B, x beliebig aber fest. Annahme:
x ∈ A,
A = B.
Zu zeigen:
x ∈ B.
11
• Definition Mengengleichheit. Annahme:
∀X, Y X = Y ↔ (X ⊆ Y ∧ Y ⊆ X).
• Spezialisierung. Annahme:
A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A).
• Annahme:
A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
• Definition der Teilmengenbeziehung. Annahme:
∀X, Y X ⊆ Y ↔ ∀z(z ∈ X → z ∈ Y ).
• Spezialisierung. Annahme:
A ⊆ B ↔ ∀z(z ∈ A → z ∈ B).
• Annahme:
∀z z ∈ A → z ∈ B.
• Spezialisierung. Annahme:
x ∈ A → x ∈ B.
• Modus Ponens.
x ∈ B.
Aufgabe 18. Etwas aus der Praxis...: Lesen Sie den Artikel “Programs with
Common Sense” von John McCarthy (siehe Webseite zur Vorlesung unter Links & Literatur). Es handelt sich um eine Veröffentlichung aus der
Anfangszeit der KI, die jedoch wegweisend für viele spätere Arbeiten war.
McCarthy definiert eine Relation “at”, wobei
at(x, y)
bedeutet, dass x in der Nähe von y ist. Begründen Sie, weshalb McCarthy
behauptet, dass “at” transitiv ist und weshalb er dafür von Prof. Y. BarHillel kritisiert wird. Wenn die Welt, über die der advice taker nachdenken
kann, nur aus den Objekten “I”, “car”, “airport”, “desk” und “home”
bestehen würde, wäre “at” dann transitiv? Überlegen Sie sich, wie man die
Relation “at” exakt definieren könnte, so dass sie die umgangssprachliche
Bedeutung “in der Nähe von” hat. Man sagt z.B. dass der Mond in der
Nähe der Erde ist, aber andererseits ist ein Astronaut auf dem Mond nicht
in der Nähe von seiner Familie auf der Erde.
12
Lösung von Aufgabe 18. Definiert man “at” als
at = {(I, desk), (desk, car), (I, car) . . .},
d.h. nur als Teilmenge der Paare der endlich vielen, von McCarthy genannten Objekte, dann ist “at” tatsächlich transitiv. Ist “at” jedoch so
definiert, dass es alle Paare von Objekten enthält, die z.B. weniger als
1cm voneinander entfernt sind, dann würde aus der Transitivität von “at”
folgen, dass auch alle anderen Objekte miteinander in Relation stehen,
was natürlich Unsinn ist.
Eine Relation “at” mit der Bedeutung “in der Nähe von” exakt zu
definieren ist sehr schwierig. Ob (x, y) ∈ at gilt, hängt nicht nur vom Abstand von x und y ab sondern auch von der Größe von x und y. Eine Fliege,
die 1km von mir entfernt ist, ist nicht in meiner Nähe, aber Untergruppenbach ist in der Nähe von Heilbronn. Weiterhin hängt (x, y) ∈ at auch vom
Abstand zwischen allen anderen Objekten vom selben Typ wie x und y ab.
So ist der Mond nur deshalb in der Nähe der Erde, weil alle anderen Planeten viel weiter weg sind. Eine Tante, die normalerweise in Amerika lebt
und mich vom Stuttgarter Flughafen anruft, ist in meiner Nähe, obwohl
ich die anderen Stuttgarter nicht als in meiner Nähe betrachte. Um also
entscheiden zu können, welche Paare in “at” sind, braucht man sehr viel
Allgemeinwissen, welches mindestens genauso schwierig zu formalisieren
ist.
Aufgabe 19. Die Teilbarkeitsrelation auf N wird durch das Symbol | beschrieben und ist wie folgt definiert:
x | y ↔ x ∈ N ∧ y ∈ N ∧ ∃k (k ∈ N ∧ kx = y).
Ist die Teilbarkeitsrelation reflexiv, symmetrisch, transitiv? Definieren Sie
den Begriff Primzahl durch eine prädikatenlogische Formel unter Verwendung der Teilbarkeitsrelation.
Lösung von Aufgabe 19. Die Teilbarkeitsrelation ist reflexiv und transitiv
aber nicht symmetrisch.
Primzahl(x) ↔ x ∈ N ∧ x 6= 1 ∧ ∀z (z | x → (z = 1 ∨ z = x)).
Aufgabe 20. In relationalen Datenbanken wird oft mit Tabellen gearbeitet,
z.B.
Typ
Ford
VW
Fiat
Kennzeichen
HN-DA-8190
S-KR-7618
MOS-RT-1783
13
Farbe
rot
blau
grün
Baujahr
1995
2001
2003
Dass eine solche Tabelle tatsächlich eine Relation ist, erkennt man wenn
man die beteiligten Mengen identifiziert:
Typ
=
{Ford, VW, Fiat, . . .}
Kennzeichen
=
{HN-DA-8190, S-KR-7618, MOS-RT-1783, . . .}
Farbe
=
{rot, blau, grün, . . .}
Baujahr
= N.
Die oben als Tabelle dargestellte Relation ist dann die Menge der Quadrupel
©
R =
(Ford, HN-DA-8190, rot, 1995),
(VW, S-KR-7618, blau, 2001),
(Fiat, MOS-RT-1783, grün, 2003)
ª
Somit gilt
R ⊆ Typ × Kennzeichen × Farbe × Baujahr.
Es gibt natürlich mehrere Autos des selben Herstellers, mehrere mit der
selben Farbe und auch mehrere mit dem selben Baujahr. Andererseits
gibt es aber zu gegebenem Kennzeichen höchstens ein Auto mit diesem
Kennzeichen. Das Attribut Kennzeichen wird daher auch Schlüssel der Tabelle genannt. Formulieren Sie in der Sprache der Logik, dass das Attribut
Kennzeichen Schlüssel der Relation R ist.
Lösung von Aufgabe 20.
∀a1 , a2 ∈ Typ
∀b ∈ Kennzeichen
∀c1 , c2 ∈ Farbe
∀d1 , d2 ∈ Baujahr
(a1 , b, c1 , d1 ) ∈ R ∧ (a2 , b, c2 , d2 ) ∈ R
→ (a1 , b, c1 , d1 ) = (a2 , b, c2 , d2 ).
14