¨Ubungsblatt 5

Termersetzungsysteme
SS 2014
Übungsblatt 5
Abgabe der Lösungen: 21.05.2014
Aufgabe 1
Polynomielle Interpretation
(5 Punkte)
Betrachten Sie das folgende TES über Σ = {o : 0 → 1, s : 1 → 1, + : 2 → 1, ∗ : 2 → 1}:
o+x→
s(x) + y →
o∗x→
s(x) ∗ y →
x
s(x + y)
o
y + (x ∗ y)
1. Beweisen Sie (SN) mittels einer polynomiellen Interpretation.
2. Beweisen Sie (SN) für das gleiche TES, nun mit der letzten Regel durch s(x)∗y → (x∗y)+y
ersetzt.
Hinweis: Den Begriff der Polynomiellen Interpretation“ darf man hier notfalls mit weiteren
”
passenden mathematischen Funktionen wie z.B. Potenzierung erweitern, so lange die Funktionen weiterhin monoton sind und auf den natürlichen Zahlen bzw. einer geeigneten Teilmenge
derselben leben.
Aufgabe 2
Eigenschaften der rekursiven Pfadordnung
(5 Punkte)
Erinnern Sie sich an die folgenden Ableitungsregeln für die rekursive Pfadordnung:
f (t1 , . . . , tn )
rpo
ti
(emb)
ti rpo s
(weak)
f (t1 , . . . , tn ) rpo s
t rpo u
u rpo s
(tran)
rpo
t s
f g
∀i. f (t1 , . . . , tn ) rpo si
(prec)
f (t1 , . . . , tn ) rpo g(s1 , . . . , sm )
∀i. f (t1 , . . . , tn ) rpo si
ht1 , . . . , tn i rpo
f hs1 , . . . , sn i
f (t1 , . . . , tn ) rpo f (s1 , . . . , sn )
(rec)
Wir sagen, dass f : n → 1 Multiset-Status hat, wenn hx1 , . . . , xn i >f hy1 , . . . , yn i g.d.w. {x1 , . . . ,
xn } >mul {y1 , . . . , yn }. Wir sagen, dass ein TES (Σ, R) rpo-terminierend ist, wenn s rpo t für
alle (s → t) ∈ R.
TES, SS 2014
1. Beweisen Sie, dass, wenn ein Funktionssymbol f : n → 1 Multiset-Status hat, man die
Regel (rec) wie folgt vereinfachen kann, ohne die Bedeutung von rpo zu ändern:
{t1 , . . . , tn } rpo
mul {s1 , . . . , sn }
(rec−mult)
f (t1 , . . . , tn ) rpo f (s1 , . . . , sn )
2. Sei (Σ, R) ein rpo-terminierendes TES. Beweisen Sie, dass das TES (Σ, R ∪ R0 ) auch rpoterminierend ist, sobald für alle (s → t) ∈ R0 gilt, dass s →+
emb t. Hier bedeutet s →emb t, dass
s = C[D[r]] und t = C[r] für geeignete C, D und r.
Aufgabe 3
Beweise mit der rekursiven Pfadordnung(5 Punkte)
Lösen Sie Aufgabe 1 erneut, nun aber mittels der rekursiven Pfadordnung statt polynomieller
Interpretationen. Danach ersetzen Sie die letzte Reduktionsregel durch s(x) ∗ y → y + (y ∗ x)
und beweisen Sie (SN) für das so abgeänderte System.
Aufgabe 4
Partielle Ableitungen in Maude
(5 Punkte)
Implementieren Sie den Kalkül partieller Ableitungen aus Aufgabe 1, Übungsblatt 1 in Maude.
Sie können die folgende Vorlage als Einstiegspunkt dafür verwenden:
1
2
fmod DIFF is
protecting NAT .
--- eingebaute nat ü rliche Zahlen
sort Var Term .
subsort Nat < Term .
subsort Var < Term .
--- nat ü rliche Zahlen sind Terme
--- D i f f e r e n z i e r u n g s v a r i a b l e n sind Terme
3
4
5
6
7
8
9
10
ops x y z : -> Var .
--- drei fest kodierte Variablen
--- zum Differenzieren
op part__ : Var Term -> Term . --- D i f f e r e n z i e r u n g s o p e r a t o r
11
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endfm
Links
[1] Maude System Website, http://maude.cs.uiuc.edu/.
[2] Maude Manual (Version
maude-manual.html.
2.5),
http://maude.cs.uiuc.edu/maude2-manual/html/
[3] Maude Manual (Version 2.5): Running Maude, http://maude.cs.uiuc.edu/
maude2-manual/html/maude-manualch2.html#x13-240002.2
[4] Maude Manual (Version 2.5): Complete List of Maude Commands, http://maude.cs.uiuc.
edu/maude2-manual/html/maude-manualch18.html#x96-25200018
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