Datenschutz und Datensicherheit

Fakultät für Informatik
Professur Theoretische Informatik
und Informationssicherheit
Wintersemester 2007/08
Prof. Dr. Hanno Lefmann
Datenschutz und Datensicherheit
1. Übung
Aufgabe 1 Für ganze Zahlen a, n mit n ≥ 1 ist der Rest von a bei Division durch
n, bezeichnet mit a modulo n, definiert als
a mod n := a − ba/nc · n.
1. Zeigen Sie: ab mod n = a · (b mod n) mod n.
2. Lösen Sie folgende Rechenaufgaben:
• Addition/Subtraktion:
12 − 18 mod 21
12 + 18 mod 21
• Multiplikation:
4 · 3 mod 12
−4 · 8 mod 12
4 · 9 mod 12
17 · 5 · 21 mod 12
3. Falls es zu ganzen Zahlen a, n mit n ≥ 1 eine Zahl b ∈ Zn gibt (Zn =
{0, 1, . . . , n − 1}), für die ab mod n = 1 gilt, so nennen wir b das multiplikativ Inverse von a und bezeichnen es mit a−1 . Bestimmen Sie, ob folgende
Inverse existieren:
12−1 mod 13
bzw.
7−1 mod 21.
Aufgabe 2 Für n ∈ N ist die Äquivalenzrelation Kongruenz modulo n“ auf den
”
ganzen Zahlen folgendermaßen definiert: Für zwei Zahlen a, b ∈ Z gilt
a ≡ b mod n :⇔ ∃k ∈ Z : a − b = kn.
Zeigen Sie: Es gilt a ≡ b mod n ⇔ a mod n = b mod n ( Zwei Zahlen sind kongruent
”
gdw. ihre Divisionsreste modulo n gleich sind.“).
Aufgabe 3 Wir verändern bei der Cäsar-Chiffre über dem Alphabet Zn die Chiffrierfunktion E und wählen anstatt E(m, k) = m + k mod n für Klartextbuchstaben
m und Schlüssel k aus Zn nun E(m, k) = mk mod n.
1. Wie sieht die Dechiffrierfunktion D(c, k) für Chiffratbuchstaben c und den
verwendeten Schlüssel k aus?
2. Für welche Kombinationen aus Schlüssel k und Alphabetgröße (Modulus) n
können wir jeden Buchstaben m ∈ Zn korrekt ver- und wieder entschlüsseln?
Aufgabe 4 Wir betrachten die Vigenère-Chiffre: Für n ∈ N seien die Klartextmenge
M sowie die Chiffratmenge C jeweils gleich Z∗n , der Menge aller Wörter w0 , . . . , wl−1 ,
l ≥ 0, mit Buchstaben wi ∈ Zn ). Für die Schlüssellänge s ∈ N ist die Schlüsselmenge
K = Zsn , d.h. Schlüssel k bestehen aus s Buchstaben k0 , . . . , ks−1 aus Zn . Ein Klartext wird nun in Blöcke der Länge s eingeteilt, und jeder Block m0 , . . . , ms−1 einzeln
verschlüsselt, indem der Buchstabe mi wie bei der Cäsar-Chiffre durch mi +ki mod n
ersetzt wird.
Verschlüsseln Sie den Klartext WINTERSEMESTER“ mit dem Schlüssel UNI“
”
”
und diskutieren Sie Vorteile gegenüber der Cäsar-Chiffre!